Snuttene er tenkt som et supplement til den vanlige undervisningen; de skal ikke erstatte forelesningene og læreboken, men være et tillegg for dem som har behov for eller lyst til å se litt mer. For å gjøre det enklere å arbeide videre med stoffet etter å ha sett videoene, har vi funnet frem noen anbefalte oppgaver det kan være lurt å kikke på. Ofte vil disse oppgavene kreve at man ikke bare har sett videosnutten, men også lest den aktuelle seksjonen i læreboken.
Videosnuttene er enkelt og tradisjonelt laget — det er ingen animasjoner og avansert grafikk, bare en foreleser, et kritt og en tavle (arbeidstittelen har vært "Math Unplugged"). Vi har valgt å konsentrere oss om det jordnære og matnyttige, det du trenger for å forstå lærestoffet og gjøre det godt i kurset. Ikke alle temaer er like godt dekket, og det kan godt hende det kommer flere videoer etter hvert. Forelesere på videoene er Inger Christin Borge og Tom Lindstrøm, mens Magnus Hovland har stått for regien og alt det tekniske.
I tillegg til de "offisielle" videoene på denne siden har også MatematikkTV laget videosnutter for MAT1100. De er som regel kortere og enklere enn snuttene nedenfor og egner seg utmerket dersom du vil ha en rask innføring i stoffet før forelesning eller ta en rask repetisjon etterpå. Vi har laget en side med tips om hvordan du kan bruke de to videotypene i arbeidet med kurset.
For å gjøre det lettere å finne frem har vi delt inn videoene i grupper som stort sett følger progresjonen i læreboken.
Oversikt over videosnuttene
Induksjonsbevis
Induksjonsbevis er ikke pensum i MAT1100, men i videregående skole og i MAT-INF1100. Temaet er viktig i de fleste matematikkurs, og vi har laget en egen snutt for dem som trenger litt ekstra påfyll.
Induksjon: Denne snutten gir en innføring i induksjon basert på det samme eksemplet som i seksjon 1.2 i Kalkulus. To utfyllende eksempler viser hvordan induksjonsbevis kan brukes i ulike sammenhenger.
Anbefalte oppgaver fra Kalkulus: Seksjon 1.2, nr: 1, 4, 11, 14, 17, 18
Foreleser: Tom Varighet: 34.24
Komplekse tall
Disse fire snuttene tar for seg teorien for komplekse tall og ligger ganske tett opptil fremstillingen i kapittel 3 i Kalkulus. Ønsker du en kortere og enklere innføring, kan du prøve denne snutten laget for MAT1001. For å regne effektivt med komplekse tall trenger du å vite litt om eksaktverdier for sinus og cosinus, og synes du dette er vanskelig, kan du kanskje få litt hjelp av denne videoen som også er fra MAT1001.
Hvorfor trenger vi komplekse tall? Dette er en motivasjonssnutt som gjennom et historisk eksempel prøver å forklare hvordan de komplekse tallene dukket opp og hvorfor de er nyttige. Snutten utdyper innledningen til kapittel 3 i Kalkulus og beskriver også Caspar Wessels geometriske tolkning av komplekse tall (seksjon 3.2 i Kalkulus).
Foreleser: Tom Varighet: 24.52
Regning med komplekse tall: Som tittelen sier, tar denne snutten for seg regning med komplekse tall, både på vanlig (kartesisk) form og polarform. Stoffet som gjennomgås her, finner du i seksjonene 3.1, 3.2 og (begynnelsen av) 3.3 i Kalkulus.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 3.1, nr: 1a)b)d)f)i), 5a)c); Seksjon 3.2, nr: 1, 3, 4, 5, 7a), Seksjon 3.3, nr: 1, 3
Foreleser: Tom Varighet: 30.26
n-te røtter av komplekse tall: Denne snutten forklarer hvordan man finner n-te røtter til komplekse tall. Den følger fremstillingen i seksjon 3.4 i Kalkulus ganske tett, men bruker teknikken på et annet eksempel.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 3.4, nr: 1a), 3a)c), 4b)
Foreleser: Tom Varighet: 23.38
Algebraens fundamentalteorem: Denne snutten prøver å forklare algebraens fundamentalteorem på en enkel og intuitiv måte. Du finner en grundigere og mer teoretisk gjennomgang i seksjon 3.5 i Kalkulus.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 3.5, nr: 1a), 3a), 5
Foreleser: Tom Varighet: 18.15
Den teoretiske ryggraden
De seks videosnuttene i denne bolken tar for seg de viktigste teoremene i pensum: Skjæringssetningen, ekstremalverdisetningen, middelverdisetningen og analysens fundamentalteorem. Disse resultatene bygger alle på det samme grunnleggende prinsippet (kompletthetsprinsippet), og det er også en innbyrdes sammenheng mellom setningene. I den vanlige undervisningen har teorien lett for å drukne litt blant alle regneoppgavene, og hovedhensikten med denne snuttsekvensen er å se de grunnleggende setningene i sammenheng og gi dem den oppmerksomheten de fortjener. Snuttene i denne gruppen er mer teoretiske og filosoferende enn de andre snuttene.
Kompletthetsprinsippet: Denne snutten problematiserer begrepet tallinje og viser at det er mye mer komplekst enn vi vanligvis forestiller oss. Kompletthetsprinsippet "forklarer" hvorfor de reelle tallene gir oss en plausibel tallinje, mens de rasjonale ikke gjør det. Videosnutten utdyper seksjon 2.3 i Kalkulus og er grunnlaget for de andre snuttene i denne bolken.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 2.3, nr: 1, 3
Foreleser: Tom Varighet: 23.51
Skjæringssetningen: Mange studenter synes at denne setningen er en trivialitet som umulig kan kreve et bevis. I denne snutten argumenterer vi for at verden er litt mer komplisert enn som så, og at det skjæringssetningen egentlig viser, er at vi har funnet de riktige definisjonene av tallinje og kontinuitet. Snutten utdyper seksjon 5.2 i Kalkulus og inneholder blant annet en skisse av beviset for skjæringssetningen.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 5.2, nr: 1b), 3a), 7, 10
Foreleser: Tom Varighet: 18.57
Ekstremalverdisetningen: I denne videosnutten ser vi først på en del funksjoner som er ubegrensede eller mangler maks- og min-punkter, og går så over til å diskutere ekstremalverdisetningen. Snutten inneholder et bevis for denne setningen som er en litt kortere variant av det som finnes i seksjon 5.3 i Kalkulus (bevisene for setning 5.3.2 og 5.3.5 er slått sammen til ett).
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 5.3, nr: 1a), 2, 5
Foreleser: Tom Varighet: 20.10
Middelverdisetningen: Denne snutten tar for seg middelverdisetningen fra seksjon 6.2 i Kalkulus og gir både en skisse av beviset og noen viktige anvendelser. Vi får bruk for disse anvendelsene i snutten om analysens fundamentalteorem.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 6.2, nr: 2a), 5, 6, 7, 8
Foreleser: Tom Varighet: 21.18
Integrasjon: Denne videosnutten handler om definisjonen av det bestemte integralet og følger fremstillingen i seksjon 8.2 i Kalkulus ganske tett, men tar samtidig med seg noe av motivasjonen fra seksjon 8.1. I tillegg til å definere begrepene integral og integrerbarhet, gir snutten et eksempel på en ikke-integrerbar funksjon og et bevis for at alle monotone funksjoner er integrerbare.
Anbefalte oppgaver fra Kalkulus: Seksjon 8.2, nr: 1, 5, 8, 11
Foreleser: Tom Varighet: 30.07
Analysens fundamentalteorem: Denne snutten forklarer sammenhengen mellom integrasjon (som definert i forrige snutt) og antiderivasjon. Denne sammenhengen var Newtons og Leibniz' store oppdagelse og er et av de største gjennombruddene i vitenskapens historie. Snutten gir en skisse av det ganske kompliserte beviset for analysens fundamentalteorem (se seksjon 8.3 i Kalkulus), men hopper over noen av de mer tekniske punktene.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 8.3, nr: 1a)b)c), 3a)b)c), 6
Foreleser: Tom Varighet: 20.59
Grenseverdier og kontinuitet
Snuttene i denne delen er litt ulike av natur. Noen er teoretiske og handler om definisjonen av grenseverdier og kontinuitet, mens andre er mer praktiske og viser eksempler på hvordan man finner grenseverdier i praksis.
Konvergens av følger: Denne snutten begynner med definisjon av konvergens (Definisjon 4.3.1 i Kalkulus) og et eksempel på hvordan man kan bruke definisjonen til å bevise resultater om konvergens. Snutten avsluttes med et ganske langt eksempel på hvordan man kan vise at induktivt gitte følger konvergerer (eksemplet ligner litt på eksempel 4.3.10 i Kalkulus).
Anbefalte oppgaver fra Kalkulus: Seksjon 4.3, nr: 4a)b), 17, 18
Foreleser: Christin Varighet: 28.18
Kontinuitet: Denne snutten motiverer og begrunner epsilon-delta-definisjonen av kontinuitet (seksjon 5.1 i Kalkulus) og forklarer deretter sammenhengen mellom kontinuitet og grenseverdier. Snutten viser også hvordan man i praksis viser at funksjoner er kontinuerlige ved å se på hvordan de er bygd opp ved hjelp av algebraiske operasjoner og elementære funksjoner.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 5.1, nr: 5a)b), 6, 7,
Foreleser: Christin Varighet: 18.43
Grenseverdier: I denne snutten starter vi med å forklare epsilon-delta-definisjonen av grenseverdier (seksjon 5.4 i Kalkulus) og viser deretter hvordan den kan brukes til å vise konvergens i konkrete eksempler.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 5.4, nr: 2a)b)e), 9
Foreleser: Christin Varighet: 20.44
L'Hôpitals regel: Denne snutten tar for seg én av de mest effektive metodene for å finne grenseverdier og viser gjennom eksempler hvordan den kan brukes til å løse oppgaver av svært forskjellig type.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 6.3, nr: 1a)b)e)g), 3a)b)d)e)g)
Foreleser: Christin Varighet: 23.13
Derivasjon
De tre videoene nedenfor tar for seg ganske avansert bruk av derivasjon. Trenger du hjelp til mer grunnleggende derivasjon, kan du ha nytte av denne videoen laget for forkurset i MAT1001.
Logaritmisk derivasjon: Denne snutten forklarer en teknikk som kan være nyttig når man skal derivere uttrykk med eksponentialuttrykk eller stygge produkter.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 6.1, nr: 3, 4
Foreleser: Christin Varighet: 9.20
Koblede hastigheter: Denne snutten gir tre eksempler på bruk av denne teknikken.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 7.2, nr: 1, 2, 6, 7, 10
Foreleser: Christin (og litt Tom) Varighet: 20.28
Omvendte funksjoner: I denne snutten definerer vi begrepet omvendt/invers funksjon, forklarer når en omvendt funksjon finnes, presenterer en formel for den deriverte til en omvendt funksjon og bruker denne til å finne den deriverte til arcustangens.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 7.4, nr: 1a)b)c), 2a)c, 3, 4, 6
Foreleser: Christin Varighet: 21.44
Integrasjon
I de to videoene nedenfor ser vi på ganske avansert bruk av integrasjon. Er du interessert i teorien bak, bør du ta en titt på videoene om integrasjon og analysens fundamentalteorem ovenfor. Trenger du hjelp med mer grunnleggende integrasjonsteknikk, kan du ha nytte av videoene om antiderivasjon og antiderivasjonsteknikker fra MAT1001.
Anvendelser av integralet: Denne snutten illustrerer hvordan integrasjon kan brukes til å regne ut arealer, volum av omdreiningslegemer (om både x-aksen og y-aksen) og buelengder. Vekten ligger både på regneteknikk og på hvordan man tenker når man setter opp integralene.
Anbefalte oppgaver fra Kalkulus: Seksjon 8.6, nr: 1b)f), 5a)c), 7a)e), 11a)c)
Foreleser: Christin Varighet: 45.48
Delbrøkoppspalting: Denne snutten inneholder en komplett gjennomgang av et langt og komplisert eksempel på delbrøksoppspalting med gjentatt annengradsfaktor.
Anbefalte oppgaver i Kalkulus: Seksjon 9.3, nr. 1f), 9, 10
Foreleser: Christin Varighet: 1.01.21
Andre temaer
Vi har (foreløpig?) ikke laget videosnutter om vektorer, matriser og funksjoner av flere variable, men du kan muligens ha nytte av MAT1001-snuttene om matriser og determinanter.
Bonusspor
En liten selvhjelpsvideo for dem som har problemer med å tyde Toms håndsskrift.
Lenker
Tips om hvordan du kan bruke videoene ovenfor i samspill MatematikkTVs videoer, finner du her, og en direkte lenke til MatematikkTVs startside, har du her. Mange kan sikkert også ha nytte av videoene laget til MAT1001 og forkurset i MAT1001.