Disputas: Martin Gunnar Gulbrandsen

Prøveforelesning

Bedømmelseskomité

Professor Manfred Lehn, Johannes Gutenberg-Universität
Professor Trygve Johnsen, Matematisk institutt, NTNU
Professor Hans Brodersen, Matematisk institutt, UiO

Sammendrag

I geometri er begrepet metrikk sentralt. På videregående skole lærer en om prikkproduktet av vektorer, som er et eksempel på en metrikk. Prikkproduktet er relatert til vinkelbegrepet gjennom identiteten u•v = |u| |v| cos(), der er vinkelen mellom to vektorer u og v. Så metrikken gir mening til «målbare» størrelser som lengde og vinkel. En viktig egenskap til prikkproduktet, som enhver metrikk skal oppfylle, er symmetriegenskapen u•v = v•u. I symplektisk geometri, derimot, erstattes metrikken med et tilsvarende produkt som skal være antisymmetrisk, det vil si u•v = –v•u. Motivasjonen for å studere slike produkter stammer opprinnelig fra problemstillinger i fysikk (Hamiltonsk mekanikk), men strukturen kan også betraktes som en rent matematisk konstruksjon. Den er imidlertid ikke så lett å knytte til et intuitivit begrep, slik en metrikk kan knyttes til lengde og vinkel. I prosjektet har vi studert egenskaper ved en klasse geometriske objekter som skal være utstyrt med en symplektisk struktur, altså et antisymmetrisk produkt som over, og som i tillegg skal være algebraisk, det vil si definert av ligninger mellom polynomer. For eksempel definerer ligningen x² + y² = 1 en sirkel, som derfor er algebraisk. Til sist skal objektet være kompakt, som er en form for endelighet eller begrensethet. For eksempel er en rett linje ikke kompakt, fordi den fortsetter uendelig langt i begge retninger, mens en sirkel er kompakt. Kombinasjonen symplektisk, algebraisk og kompakt viser seg å være veldig spesiell, og det er bare kjent et veldig lite antall eksempler på slike objekter. Vi har studert en familie av eksempler, som utgjør omtrent halvparten av de kjente eksemplene, og som går under navnet Kummer-varieteter. Mer spesifikt har vi studert fibrasjoner av Kummer-varieteter. En fibrasjon av et geometrisk objekt er en bestemt form for oppdeling i objekter av lavere dimensjon: En kan forsøke å forstå et geometrisk objekt ved å skjære det opp i tynne skiver, og se om det er enklere å forstå skivene hver for seg. I symplektisk geometri viser det seg at alle fibrasjoner har en nogenlunde lik struktur, og en håper at et studium av disse skal kunne lede til bedre forståelse av symplektiske strukturer. I vårt prosjekt har vi, under visse betingelser, besvart spørsmålet om hvilke av Kummer-varietetene som tillater fibrasjoner, det vil si hvilke av dem det er mulig å «skive opp» på en bestemt måte. Betydningen av prosjektet er hovedsaklig som en brikke i et større program, som mange forskere arbeider med, og som har som endelig mål å «fullstendig forstå» symplektisk geometri.

Kontaktperson

For mer informasjon, kontakt Yngvar Reichelt.