Disputas: Magnus Dehli Vigeland

Prøveforelesning

Bedømmelseskomité

Professor Mikael Passare, Department of Mathematics, Stockholm University, Sverige
Professor Gunnar Fløystad, Matematisk institutt, Universitetet i Bergen
Professor Hans Brodersen, Matematisk institutt, Universitetet i Oslo

Leder av disputas:  Professor John Grue

Veileder:  Kristian Ranestad, Bjørn Jahren

Sammendrag

Tropisk geometri er en ny og fremadstormende gren av matematikken. Her justeres reglene for addisjon og multiplikasjon, så 2 + 2 slett ikke blir 4. Konsekvensene er uvant regning, merkelig geometri, og et matematisk språk som viser seg nyttig i stadig flere vitenskapelige disipliner.

De nye regnereglene er enkle nok: I tropisk matematikk er "summen" av to tall alltid lik det største av tallene (for eksempel blir 3 + 4 = 4, og 100 + 17 = 100) mens "produktet" av tallene er den vanlige summen (altså er 3 x 4 = 7, og 100 x 17 = 117). Med utgangspunkt i dette kan man bygge opp en "tropisk matematikk", med både funksjoner, algebra og geometri.

De nye reglene for addisjon og multiplikasjon er ikke tilfeldig valgt. Det viser seg at med akkurat disse valgene fungerer mye av matematikken på fascinerende vis som før. Men hva er vitsen? Hvorfor forandre på disse helt grunnleggende regneoperasjonene? En god grunn til å regne tropisk er rett og slett at det er enklere. Ikke bare når man skal summere bar-regningen (svaret er alltid det største tallet!) - mange kompliserte matematiske problemer blir lettere å takle når de ses i et tropisk lys. Ofte bidrar dette til å løse det opprinnelige problemet.

Utseendemessig er det dramatisk forskjell på klassisk og tropisk geometri. En tropisk kurve, for eksempel, er aldri buet, men ser derimot ut som en fyrstikkfigur med tentakler stikkende ut i mange retninger. Slike figurer er på mange måter enklere å ha med å gjøre enn vanlige kurver, fordi rette linjestykker er enklere enn buer.

Hovedtemaet i avhandlingen er å sammenligne den tropiske geometrien med den klassiske. Resultatene er overraskende: På tross av de store visuelle forskjellene er det en mengde satser i klassisk geometri som lar seg overføre mer eller mindre ordrett til tropisk geometri. I avhandlingen vises dette for flere berømte resultater, blant annet gruppestrukturen på elliptiske kurver, og telling av linjer på glatte algebraiske flater.

Kontaktperson

For mer informasjon, kontakt Marie Wennesland.