Gravitasjonskreftene (F) som virker mellom massene m1 og m2 med avstand r mellom dem er lik:
\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\)
G er gravitasjonskonstanten 6.67∙10-11 N m2 kg-2.
Enheten for kraft er newton (N). Gravitasjonskraften som virker på et objekt kalles vekt (w). Massen til et objekt er vekten dividert på tyngdens akselerasjon (g).
\(\displaystyle m=\frac{w}{g}\;\;\; \; w=mg\)
Enheten for masse er kg. 1 newton (N) er:
\(\displaystyle 1N = 1\; kg\; ms^{-2}=\frac{kg\; m }{s^2}\)
Et objekt med gravitasjonsmasse 1 kg veier 9.8 N:
\(\displaystyle w=mg= 1\; kg \cdot 9.8\; ms^{-2}= 9.8\; N\)
Vekten av et objekt med masse 60 kg har vekt 60∙9.8=588 N. Vekten balanseres av et motsatt rettet kraft som er like stor som vekten. Kraften som trekker 1 kg masse nedover er 9.81 N.
Hvis en person med masse 70 kg skal gå opp en stigning på 100 meter trengs følgende energimengde 68670 J
70 kg · 9.81 m/s2·100 m = 68670 J
Hvis denne stigningen skal gjøres på 10 minutter=10∙60s så vil energibehovet være 114 W. Det vil si kroppsvekten teller når man skal gå på ski opp en "monsterbakke".
Tetthet ρ (rho) er masse dividert på volum målt i kg m-3:
\(\displaystyle \rho= \frac{\text {masse}}{\text{volum}}\)
Newtons første lov: Et objekt som er i hvile fortsetter å være i hvile. Et objekt i bevegelse fortsetter å bevege seg i rett linje med konstant hastighet.
Newtons andre lov: Kraft (F) er masse (m) ganger akselerasjon (a)= hastighetsforandring:
\(\displaystyle F=ma\)
Hastigheten v(t) til et objekt som beveger seg i rett linje et veistykke x som funksjon av tiden er:
\(\displaystyle v(t)= \frac{dx}{dt}\)
Objektet endrer også posisjon og forflytningen langs linjen er i tidsintervallet [a,b] lik:
\(\displaystyle\text{forflytning}=\displaystyle\int_a^b v(t) dt\)
Hvis hastigheten endrer seg med tiden kalles det akselerasjon a(t) Hvis a(t)>0 så øker hastigheten og er a(t)<0 så minsker hastigheten:
\(\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}\)
Forandring i hastighet i tidsintervallet [a,b] kan uttrykkes som et integral:
\(\displaystyle \text{endring i hastighet}= \displaystyle\int_a^b a(t) dt\)
Hvis vi har et objekt som beveger seg med hastighet v(t) langs x-aksen så vil objektet befinne seg ved posisjon x, hvor a akselerasjon og v0 starthastighet er konstanter:
\(\displaystyle x= v_0t+\frac{1}{2}at^2\)
Hastigheten til objektet v(t)=dx/dt blir:
\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=v_0 + at\)
Hvis et objekt faller og bare påvirkes av tyngdens akselerasjon (g=9.8 m/s2) så blir:
\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}=-g \;\;\;\; \text{hvor v(0)}=v_0 \)
Vi løser differensialligningen. Hastigheten ved t=0 kalt v0 er lik integrasjonskonstanten c og vi får:
\(\displaystyle v= v_0 + gt\)
Forflytningen, her kalt høyden h, er lik integralet av hastigheten (se over):
\(h=\displaystyle\int(v_0 + gt)dt=\frac{1}{2}gt^2+v_0t + h_0\)
Hvis vi slipper en stein fra høyden h0 over bakken så vil høyden til steinen etter t sekunder være gitt ved:
\(\displaystyle h(t)=h_0 -4.9 t^2\)
Den deriverte av høyden (h´(t)) blir lik hastigheten i meter per sekund:
\(\displaystyle h'(t)=-9.8 t\)
Hvis vi kjenner hastigheten til et fallende objekt så kan vi finne høyden ved integrering.
Tyngdens akselerasjon g forårsaket av Jordens masse og rotasjon, gir akselerasjon for et objekt som faller i et gravitasjonsfelt er avhengig av breddegrad og høyde over havet, og er ved polene 9.832 m/s2, ved ekvator 9.780 m/s2. og 9.80665 m/s2 ved havnivå og breddegrad 45.5o. Gravitasjonsfeltet og tyngdens akselerasjon er vektorfelt
Newtons gravitasjonslov angir størrelsen på gravitasjonsfeltet:
\(\displaystyle g= \frac{GM}{r^2}\)
hvor G er gravitasjonskonstanten 6,67430∙10-11 m3 kg-1 s-2 = N m2 kg-2. M er massen til Jordenog r er radius radius 6371 km= 6.371∙106 m. Liten g blir brukt om gravitasjonsfeltet på Jorden.
Henry Cavendish (1731-1810) beregnet massen og tettheten av Jorden, og i Cavendish eksperiment målte han gravitasjonskreftene mellom masser med en torsjons balansevekt med en torsjonsfiber som kan måle små krefter. Vi kan bruke formelen over til å lage et estimat av Jordens masse:
\(\displaystyle M= \frac{gr^2}{G}= \frac{9.80665\; ms^{-2} \cdot\; (6.371 \cdot 10^6\;m) ^2\;}{6.674 \cdot 10^{-11}\;m^3kg^{-1}s^{-2}}= 5.964165\cdot 10^{24}\; kg\)
Hvor sterke er gravitasjonskreftene som virker mellom et elektron og proton ?
\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}=6.67 \cdot 10^{-11}Nm^2kg^{-2}\frac{(1.67 \cdot 10^{-27}kg)(9.11 \cdot 10^{-31}kg)}{(5.29 \cdot 10 ^{-11})^2 m^2}=3.63 \cdot 10^{-47}N\)
I atomær skala er gravitasjonskreftene omtrent uten betydning. Imidlertid, det er gravitasjonskreftene som gjør at planetene er runde, i motsetning til asterioder i asteroidebeltet som har mange forskjellig former. Objektene må ha over en bestemt størrelse for at gravitasjonskreftene blir sterke nok til å lage kuleform, jfr asteroider har ikke kuleform. For å lage en selvgraviterende kule på et steinobjekt må diameter >600 km, for is >400 km
Gravitasjonskreftene gjør at planetene går i ellipsebaner rundt Sola. For Merkur som er nærmest Sola er Einsteins relativitetsteori med i forklaringen på uregelmessigheter i Merkur-banen.
Gravitasjon er krumning av tidrommet
Den franske matematikeren Henri Poincaré gravitasjon hadde sett likhetstrekk mellom elektromagnetiske bølger og gravitasjon.
Tidevannskrefter, tyngekraft er og gravitasjon er egentlig krumning av rommet og hvor det finnes gravitasjonsbølger.
Einstein forklarte gravitasjon i sin generelle relativitetsteori som krumning av tidrommet. Gravitasjon er ikke en egen kraft men en egenskap ved rommet. På samme måte som elektromagnetiske bølger (lys radiobølger og mikrobølger) og elektromagnetisk felt finnes det gravitasjonsbølger og gravitasjonsfelt.
Gravitasjonsbølger er energibølger som frakter energi beveger seg med lyshastighet og skyldes masse som befinner seg i Universet. Gravitasjonsbølger kan som andre bølger blibrutt opp mindre enheter
De amerikanske fysikerne Russell Alan Hulse f. 1950 og Joseph Hooton Taylor jr. f. 1941 fikk nobelprisen I fysikk i 1993 «for oppdagelsen av en ny type pulsar, en oppdagelse som har åpnet nye muligheter for stuudiet av gravitasjon». De viste at en binær pulsar (to nøytronstjerner) kunne produsere gravitasjonsbølger.. I 2017 fikk de amerikanske fysikerene Rainer Weiss, Kip Thorne og Barry Barish nobelprisen i fysikk «for betydelige bidrag til LIGO-detektoren og observasjoner av gravitasjonsbølger» LIGO (laser interferometer gravitasjonsbølger observatorium) ved Caltech og MIT.
Frimerke bravitasjonsbølger
Einsteins generelle relativitetsteori for gravitasjon
Einsteins generelle relativitetsteori for gravitasjon og kosmologi med forklaring av krumning av et firedimensjonalt tidrom som følge symmetri, energi og masse. I Einsteins feltligninger som, inneholder gravitasjonskonstanten og lyshastigheten, omhandler venstre side av ligningssystemet geometri og rommets krumning, mens høyre side massen og energien i universet. Gravitasjon og akselerasjon er ekvivalente og krumning av tidrommet gir gravitasjonskrefter (tyngdekraft), forskjellig fra Newton gravitasjonsteori som sier at vekselvirkning mellom masser som gir tyngdekraft. U utregningene ble det anvendt tensorer og tensorregning. Krumning av et n-dimensjonalt rom kan bli beskrevet med ensorer. Tensorer kan betraktes som videreutvikling av vektorrom og funksjoner med vektoregenskaper. Den italienske matematikeren Tullio Levi-Civita (1873-1941) var med å videreutvikle tensorregningen, blant annet transformasjoner kvadratiske former og deres invaianter, blant annet basert på Sophus Lie sine transformasjonsgrupper. Kvadratiske former vil si at hvert av leddene i en ligninger uttrykt som et kvadrat .e.g. ax2 + by2 + cx2= 1 gir en hyperboloide. Karl Weierstrass og Leopold Kronecker og Friedrich Gauss studerte hvordan kvadratiske former blir påvirket av andre variable Invariant vil si at egenskapen ikke blir endret når de gjennomgår en transformasjon, det vil si forblir uforandret. Invarianter er egenskaper tilknyttet et matematisk objekt og som ikke endrer seg etter regneoperasjoner eller transformasjoner av objektet , anvendt i tilstander og tilstandsoverganger.
Viktige bidragsytere til tensormatematikken var de tyske matematikerne Elwin Bruno Christoffel 1829-1900) innen differensialgeometri og glatte flater og Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) med Riemanns krumningstensorer, Gauss sin Disquisitiones generales circa superficies (1827) ga en generell teori for kurvete overflater.
Den spesielle relativitetsteorien omhandler et koordinatsystem med hyperbolske roatasjoner og lineære Lorentztransformasjoner som sammenkobler tid og rom forklart av Hermann Minkowski(1864-1909). Vektorene har fire koordinater (x, y, z, ct) uttrykt som kolonnevektor og Lorentstransformasjoner som 4x4 ematrise (transoformasjonsmatrise).
Litteratur
Wikipedia