Det har knyttet seg stor interesse til å kunne forutsi katastrofer i et uforutsigbart kaotisk system (sommferfugleffekt, Lyapunovfunksjon) innen økonomi, økologi eller biologi. Det kan gjelde raske og plutselige endringer (katastrofe) i et økonomisk system, sosialsystem og samfunnsstruktur, helse og sykdom, klimasystem (tørke, flom), økosystem, mikrobiom, svingninger i populasjoner og populasjonskollaps, jordskjelv og tsunamier. Studier av hvorfor katastrofer og plutselige endringer i et system oppstår, har fått fornyet aktualitet, med ønske om å forstå på forhånd når blir et system blir ustabilt og vippepunkter (transisjonspunkter) opptrer, samt et systems robusthet ( resiliens ) til å tåle og absorbere forstyrrelser. Etter passering av et vippepunkt kan det være vanskelig å komme tilbake til det opprinnelige systemet grunnet hysterese.
Før darwinismen utviklet paleontologen Cuvier en katastrofeteori om utrydning av arter for å kunne forklare fossilfunn, en teori som seinere ble forkastet.
Matematisk eksempel
Vi kan se på et system med en variabel brukt som et eksempel på når ustabilitet oppstår:
\(y= x^3 + ax\)
Hvis a er negativ har ligningen flere røtter.
Vi ser på den deriverte til funksjonen, beskrivelse av endringen over tid:
\(y'= 3x^2 + a\)
Figur av den deriverte av funksjonen y= x3+ax ved forskjellge verdier av a.Vi har maksimums- eller minimumspunkter når den førstederiverte er lik 0. Vi har de to røttene for a=-4, avmerket med en sirkel med henholdsvis oransje farge (ustabilt) og lysegrønn farge (stabilt). Man kan tenke seg en fasevæske som flyter langs X-aksen. Følg den svarte kurven for å finne de to røttene (-1.155 og +1.155). Når den deriverte er større enn >0 (positiv) så beveger flyten seg til høyre og når den deriverte er negativ dvs. <0, så går flyten til venstre. I venstre punkt møtes de to flyt og gir stabilitet, mens i punktet til høyre er det flyt motsatt vei, noe som gir ustabilitet
\(\rightarrow \bigcirc \leftarrow\;\;\;\;\; \leftarrow \bigcirc \rightarrow\)
Vi ser at når a<0 er systemet stabilt, men når a nærmer seg 0 blir plutselig systemet ustabilt og uforutsigbart. Dette kalles en foldkatastrofe.
Litteratur:
Strogatz, Steven H: Nonlinear dynamics and chaos. Perseus Books Publ. 1994