Sannsynlighetstetthetsfunksjonen til Students t-fordelingen er:
\(f(x)=\displaystyle\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \frac{1}{\sqrt{n\pi}}\cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^2}{n})^{\frac{n+1}{2}}}\)
hvor Γ() er gammafunksjonen, og n er antall frihetsgrader ("degrees of freedom", df)
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen til Students t-fordeling ved forskjellige verdier av n= antall frihetsgrader (df). Når n øker nærmer funksjonen seg standard normalfordeling. t-fordelingen har gjennomsnitt lik 0 og varianse lik 1, men er litt lavere og bredere enn normalfordelingen.
Kumulativ sannsynlighet F(x) for Students t-fordeling ved forskjellige verdier av n= antalll frihetsgrader (df). Arealet under sannsynlighetstetthetsfunksjoner er lik 1.
Forventning E(X) og variansen (Var(X)) til t-fordelingen X~t(n) er:
\(E(X)= \displaystyle 0\:\:\: \;\;n>1\;\;\;\;\; Var(X)= \frac{n}{n-2}\;\;\;\;\; n>2\)
Tilfellet hvor man har bare en frihetsgrad tilsvarer det Cauchy-fordelingen.
Generelt har vi Z-skår med gjennomsnitt µ og standardavik sigma (σ), SE ("standard error" er standardfeilen (standardavviket til gjennomsnitet)
\(Z=\displaystyle\frac{(\overline X-\mu)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}= \frac{(\overline X - \mu)}{SE}\)
Når vi gjør et forsøk finner vi en verdi s som estimat av standardavviket σ, den sanne verdi som vi aldr finner, men kan estimere ved å gjøre gjentatte forsøk.
Vi har en t-fordeling som avhenger av n:
\(t=\displaystyle\frac{(\overline X-\mu)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)
I statistikktabeller finner vi de kritiske tabellverdiene (kvantilene) for t-fordelingen. For eksempel t-kvantilene (kritiske t-verdier) for α=0.025 med forskjellig antall frihetsgrader n her 1-20. Legg merke til at man ser på arealet fra -∞ opp til de kritiske verdiene tα.
12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086
For eksempel Students t-fordeling for to-halet og en-halet, df=5,α=0.05, samt kritiske tabellverdier (en- og to-halet) for frihetsgrader df=1-20.
Students t-fordeling i enhalet test for antall frihetsgrader df= 5.
Kritiske tabellverdier for Students t-fordeling enhalet test:
6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782
1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725
Students t-fordeling i tohalet test for antall frihetsgrader df= 5.
Kritiske tabellverdier for Students t-fordeling tohalet test:
12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086
Students t-fordeling, også bare kalt t-fordelingen, publisert av W.S. Gosset som arbeidet ved Guinness-bryggeriet i Dublin. En av mytene går ut på at han publiserte under pseudonymet Student slik at arbeidsgiveren ikke skulle bli klar over hva han arbeidet med. En annen myte går ut på at de ikke ville vise konkurrenten av de brukte t-test for å undersøke råvarekvaliteten i ølbryggingen. R.A. Fisher videreutviklet t-testen. t-fordelingen er kontinuerlig sannsynlighetsfordeling, klokkeformet og symmetrisk, basert på et lite prøveantallet og hvor standardavviket er ukjent. Den nærmer seg normalfordelingen når antall frihetsgrader øker.
Litteratur
R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/.