Sannsynligetstetthetsfunksjonen f(x) for en uniform sannsynlighetsfordeling er:
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \quad \text{for} \: a \leq x \leq b\\ 0 & \quad \text{for } x<a\;\: \text{eller}\; x>b \end{cases} \)
Forventet verdi (gjennomsnitt) E(X) for en uniform sannsynlighetsfordeling for en stokastisk variabel Xmed grenser [a,b], lik midtpunktet i intervallet :
\(E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx= \frac{1}{b-a}\int_a^b xdx= \frac{a^2 - b^2}{2(b-a)}= \frac{a+b}{2}\)
Hvis vi lar m være midtpunktet i intervallet:
\(\displaystyle\frac{(b-a)}{2}= m-a= b-m\)
så blir varians Var(X), som bare er avhengig av lengden på intervallet lik:
\(\displaystyle Var(X)= \frac{1}{b-a}\int_a ^b (x-m) ^2 dx= \frac{1}{b-a}\int_{a-m}^{b-m}u^2 du= \frac{(b-a)^2}{12}\)
Standard uniform fordeling
For en standard uniform fordeling er a=0 og b= 1. Standard uniform fordeling U(0,1) i et intervall er gitt ved tetthetsfunksjonen f(x):
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1 & \quad \text{for} \: 0 \leq x \leq 1\\ 0 & \quad \text{for } x<0\;\: \text{eller}\; x>1 \end{cases} \)
Standard uniform fordeling [0,1] kan benyttes til å generere pseudorandome slumptall mellom 0 og 1. Gjennomsnittet for en standard uniform sannsynlighetsfordeling er µ=0.5.
Tusen pseudorandome slumptall fra uniform sannsynlighetsfordeling
\(E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx= \int_0^1 xdx= \frac{1}{2}=0.5\)
Varians til en standard uniform sannsynlighetsfordeling:
\(\displaystyle Var(X)= \int_{-\infty}^\infty (x- E(x))^2 \cdot f(x)= \int_0 ^1 \left(x--\frac{1}{2}\right)^2 dx=\frac{1}{12}\)