Sannsynlighetstetthetsfunksjon f(x) for Weibullfunksjonen er:
\(f(x) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right) ^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k} & \quad \text{hvis} \;\;x\geq 0\\ 0 & \quad \text{hvis } \;\;x <0 \end{cases} \)
Hvor k > 0 er en formparameter (shapeparameter) og lambda (λ) er en skalaparameter (scaleparameter).
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen for Weibull-fordelingen med skalaparameter scale=1 og formparameter shape (k) varierende fra 0.5 til 3. For k <1 og x=0 så er stigningen uendelig (∞).
Mengden x angir tiden før feil opptrer, og feilraten er proporsjonal med en potens av tiden. Hvis formparamter k < 1 så betyr det at feilraten minsker med tiden.
Weibullfordelingen er i familie med eksponentialfordelingen hvor k= 1, og med Rayleighfordelingen hvor k=2 og
\(\lambda = \sqrt{2\sigma}\)
Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) for Weibull-fordelingen er for x ≥ 0:
\(F(x)= 1-e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\)
Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) for Weibull-fordelingen med skalaparameter scale=1 og formparameter shape (k) varierende fra 0.5 til 3.
Gjennomsnittet for Weibullfordelingen er:
\(\lambda\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\)
hvor gamma (Γ) er gamma-funksjonen.
Medianverdien for Weibullfordelingen er for k>1 lik,
\(\Gamma(\ln2)^{\frac{1}{k}}\)
for k<0 er medianen lik null.
Varians for Weibullfordelingen er lik:
\(\lambda^2 \left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right)-\left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2\right]\)
Kvantilfunksjonen Q(x), som er den inverse av den kumulative fordelingsfunksjonen er:
Kvantilfunksjoen Q(x) for Weibull-fordelingen med skalaparameter scale=1 og formparameter shape (k) varierende fra 0.5 til 3. Er lik den inverse av F(x).
Eksempel på Weibullfordeling av vindhastighet for k=2 og λ=4.
Litteratur
R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/.
Wikipedia