Vektorfelt for en magnet kan demonstreres med jernfilspon. Michael Faradays klassiske studier av feltlinjer rundt en magnet var opprinnelsen til studiet av feltteori. Via Maxwells ligninger kan man si noe om størrelse og retning på ladninger og hvordan dette gir elektromagnetiske felt. Gravitasjonskreftene forårsaket av masse, en av universets svake krefter, lager gravitasjonsfelt. Variasjoner i kjemiske eller fysiske variable for eksempel temperaturen rundt et objekt lager et varmefelt. Bølgefelt på havoverflaten med ordnete og uordnete strukturer. Trykkfelt rundt et lavtrykk eller høytrykk i meteorologi.
Vektorfelt framstilles grafisk som piler som viser bevegelsesretningen og hastigheten. Linjer hvor feltet er tangenter til hvert punkt i rommet kalles feltlinjer (integralkurver). Feltlinjene er ikke avhengig av størrelsen på feltet, sier ingenting om hastigheten (størrelsen av vektoren), men bare retningen på feltet, hvilken vei vektorene for ethvert punkt peker.
Størrelser uttrykkes som tall kalt skalar for eksempel temperatur, trykk, hastighet, masse, elektrisk ladning, og skalarfeltet viser hvordan disse varierer i et tredimensjonalt rom. Konturlinjer kan trekkes mellom punkter som har samme verdi for eksempel isobarer med samme trykk eller isotermer med samme trykk. Skalarfeltet kan vises som vektorer med retning og størrelse og alle vektorene i rommet blir kalt et vektorfelt. I vektorregning kan man regne med vektorer i form av summering (addere), subtraksjon (trekke fra) eller multiplisere (gange). Vektorene kan defineres i form av enhetsvektorer (i, j, k). Derivasjon av en vektor viser hvordan den endrer seg med tiden.
Navier-Stokeligningene er partielle differensialligninger viser kreftene (trykk, akselerasjon, friksjon (viskositet og strømskjær), tyngdekraft) som virker på det flytende materialet (gass eller væske) på ethvert sted. Hvis materialet består av ladete partikler vil det i tillegg være elektromagnetiske krefter i et elektrisk felt og magnetfelt (Lorentzkraft), slik at her blir det en kobling mot Maxwells partielle differensialligninger.
Solvinden med elektrisk ladete partikler blir avbøyd av Jordens magnetfelt og i kollisjon med den øvre delen av atmosfæren blir det dannet ultrafiolett stråling, røntgenstråling, nordlys og sørlys.
Et vektorfelt F i en undermengde av det euklidske tredimensjonale rom R3 som tilordner en vektor F(x,y,z) for hvert punkt (x,y,z) i rommet. En vektor kan tegnes som en pil som har retning og lengde eller hastighet. Ethvert punkt i rommet tilordnes en vektor. Regningen med vektorfelt baserer seg på integral- og differensialregning. Et vektorfelt kan også betraktes i et todimensjonalt plan (R2) som tangenter til en overflate.
Vektorfelt kan også betraktes i n-dimensjonale rom som n-dimensjonale vektorer. En vektorverdifunksjon F kan uttrykkes som:
\(F:R^n \rightarrow R^m\)
hvor Rn er en undermengde av Rm. En vektor kan flyttes til et annet koordinatsystem. Mens vektorfelt har en vektor for ethvert punkt i rommet har et skalarfelt en skalar. Skalarfelt kan ikke transformeres.
De tre delene (komponentene) av vektorfeltet F er skalare funksjoner F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z) og vektorfeltet F(x,y,z) kan uttrykkes som:
\(F\left(x,y,z\right)= F_1\left(x,y,z\right)i + F_2\left(x,y,z\right)j + F_3\left(x,y,z\right)k\)
med enhetsvektorene (i,j,k). Vektorfeltet er satt sammen av skalarfelter. Vektorfeltet kalles glatt hvis de skalare funksjoner har kontinuerlige partiellderiverte.
Vektorfelt kan uttrykkes i form av polarkoordinater F(r,θ) med radial komponent Fr(r,θ) og transversal kompoent Fθ(r,θ):
\(F\left(r,\theta\right)= F_r\left(r,\theta\right)\hat r+ F_\theta\left(r,\theta\right)\hat \theta\)
\(\hat r= \cos \theta i +\sin\theta j\;\;\;\;\;\, \hat \theta= -\sin \theta i +\cos \theta j\)
hvor r-hatt og theta-hatt er enhetsvektorene (basis)
For noen felt kan man finne feltlinjene via differensialligninger med polarkoordinater.
Gradient (grad)
Hvis vi har en funksjon med n variable f(x1,x2,…,xn) så vil gradienten til f være gitt ved de partiellderiverte:
\(\bigtriangledown f= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\)
Hvis vi har for et vektorfelt F i 3D-rommet R3:
\(F\left(x,y,z\right)=\bigtriangledown \phi\left(x,y,z\right)\)
i et domene D, så vil F være et konservativt vektorfelt i D, og phi (φ) er skalarpotensialet for F. Et konservativt vektorfelt \(F=\bigtriangledown f\)
hvor funksjonen f er potensialet til F. \(\bigtriangledown\)en omvendt delta, er gradientoperatoren.
Vi har gradienten gitt i form av de partiellderiverte, og (i, j, k) er enhetsvektorer. De tre partiellderiverte angir krumningen i rommet
\(grad\;f\left(x, y, z\right)=\bigtriangledown f\left(x, y, z\right)=\frac{\partial f}{\partial x }i + \frac{\partial f}{\partial y }j +\frac{\partial f}{\partial z }k \)
Hvis vi har et konservativt vektorfelt i planet F(x,y):
\(F\left(x,y\right)= F_1(x,y)i + F_2(x,y) j\)
så vil ethvert punkt i domene D i xy-planet tilfredsstille:
\(\frac{\partial}{\partial y}F_1\left(x,y\right)=\frac{\partial}{\partial y}F_2\left(x,y\right)\)
Man kan integrere et kontinuerlig vektorfelt langs en parametrisert kurve med endelig lengde.
\(r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k \;\;\;\;\;\; a\leq t\leq b\)
Linjeintegralet over domene C blir:
\(\displaystyle \int F\bullet dr= \int_a^b F\bullet \frac{dx}{dt}dt\)
Kurveintegralet (linjeintegralet) for et konservative vektorfelt i en lukket kurve C i planet er lik 0:
\(\displaystyle\int F \bullet T_c=0\)
Flateintegral vil si å integrere over en flate.
Divergens (div)
Divergensen til F divF er funksjon (skalarfelt) og er det samme som flukstetthet:
\(div \; F= \bigtriangledown \bullet F= \frac{\partial F}{\partial x}i + \frac{\partial F}{\partial y}j + \frac{\partial F}{\partial z}k \)
Vi kan også uttrykke dette som
\(div \; F= \bigtriangledown \bullet F= \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z} \)
Vi ser at divergensen til F er et skalarfelt:
\(\bigtriangledown= i\frac{\partial}{\partial x}+j \frac{\partial}{\partial y}+ k\frac{\partial}{\partial z}\)
Divergensen til vektorfeltet F i punktet P sier noe om hvordan feltet sprer seg vekk fra P, divergerer, en fluks per enhetsvolum ut fra små sfærer med sentrum i P:
\(div\;F(P)= \lim\limits_{\epsilon \to 0^+ } \displaystyle\frac{3}{4\pi \epsilon ^3}\oint F\bullet \hat N ds\)
Divergensen sier noe om punktet er en kilde eller sink for vektorfeltet.
Sirkulasjon (curl)
Sirkulasjonen eller rotasjonen til vektorfeltet F curlF angir hvordan vektorfeltet (flyt av objekter) roterer rundt punktet P i rommet R3. En vektor har lengde og retning og beskriver rotasjonen av et punkt i vektorfeltet, nablaoperatoren i kryssprodukt med vektorfeltet
\(curl \;F=\bigtriangledown \times F= \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)i + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)j + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)k\)
og som determinant til matrisen
\(curl \; F= \bigtriangledown \times F=\begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F3 \end{vmatrix}\)
Hvis punktene i rommet med tilhørende vektor er representert med parameterligning r=r(t) så vil tangentvektoren dr/dt være parallel med vektorfeltet F(r(t)).
\(\displaystyle\frac{dr}{dt}=\lambda(t)F\left(r(t)\right)\)
For noen vektorfelt er det mulig å finne feltlinjene via differensialligninger som kan bli multiplisert med funksjoner.
Greens teorem og Stokes teorem
Hvis F=F1(x,y)i +F2(x,y) er et glatt felt i en lukket region R i planet med grenser C så har vi ifølge Greens teorem:
\(\displaystyle\oint F \bullet dr= \oint\oint curl F \bullet\hat N ds\)
Maxwells fire berømte ligninger for elektromagnetisme i et tredimensjonalt rom er:
\(div\;E= \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon _ 0}\;\;\;\; \;\; \left(\text{Gauss lov}\right)\)
\(div \; H=0\)
\(curl \; E= \mu_0 \displaystyle\frac{\partial H}{\partial t}\)
\(curl \; H = J +\epsilon _ 0 \displaystyle\frac {\partial E}{\partial x}\)
hvor feltene E og H er tidsavhengig, J er strømtettheten hvor curlH=J er Ampères lov.
Litteratur
Adams, R.A. Calculus (4.ed.). Addison-Wesley 1999.
Apostol, T.M. Calculus (Vol I + II). Blaisdell Publ. Comp. 1962.