Kenneth forteller om prosjektet:
Prosjektet har som mål å utforske og utvikle matematiske og numeriske metoder for å analysere komplekse systemer av stokastiske transportligninger. Disse ligningene er essensielle for å forstå hvordan tilfeldige fluktuasjoner, eller støy, påvirker dynamiske systemer som turbulens, vannbølger, geofysiske strømmer, og kompressibel væskebevegelse.
Transportligninger er en type partielle differensialligninger som brukes til å modellere bevegelse og spredning av størrelser som masse, energi eller kjemiske stoffer i et medium. Disse ligningene tar hensyn til hastighetsfeltet, som beskriver retning og hastighet av bevegelsen i hvert punkt i mediet. Ved å inkludere stokastiske elementer i disse modellene, kan vi ta høyde for tilfeldige påvirkninger eller støy som oppstår i systemet. Dette er avgjørende fordi mange naturlige og industrielle prosesser er utsatt for uforutsigbare faktorer, som kan ha betydelig innvirkning på deres dynamikk.
Prosjektet fokuserer på gradientstøy, hvor hastighetsfeltene som driver ligningene påvirkes av støy. Dette muliggjør energibevarende løsninger, som hindrer kontinuerlig energiinjeksjon i systemet, noe som er ønskelig i fluidmekanikk. Energibevaring refererer til prinsippet om at den totale energien i et lukket system forblir konstant over tid, selv om den kan endre form. Konvensjonelle tilnærminger legger til såkalt Itô støy i kildeledd, noe som kontinuerlig tilfører energi. Gradientstøy krever avanserte matematiske verktøy for å håndtere dens komplekse påvirkning på systemene. Vi bruker Stratonovich- og Marcus-type fluktuasjoner for å representere denne støyen i hastighetsfeltene til transportligningene.
Å forstå stokastiske transportligninger hjelper oss med å få innsikt i hvordan tilfeldige faktorer påvirker komplekse systemer. For eksempel kan dette gi bedre modeller for å forutsi værmønstre, forstå turbulent flyt i væsker, eller forutsi bølgebevegelser på havet. En av inspirasjonskildene for denne forskningen er den kjente Kraichnan-modellen for turbulens, som beskriver adveksjon (transport) gjennom et Gaussisk hastighetsfelt. Men nyere forskning tyder på at en mer nøyaktig modell for støy i turbulente systemer er en Lévy-prosess med hopp. Prosjektet vil derfor også utforske diskontinuerlig Marcus-type gradientstøy.
Prosjektet har som mål å utvikle nye matematiske og numeriske teorier for å håndtere de spesifikke utfordringene som gradientstøy medfører. Vi fokuserer på å forstå superkritiske transportligninger, ikke-lineære bølgeligninger, og kompressibel Navier-Stokes ligninger. Viktige spørsmål er:
- Har disse stokastiske ligningene en løsning?
- Er løsningen entydig?
- Er løsningen stabil ved endringer i inngangsdataene?
- Hvordan kan løsningen beregnes numerisk?
Dette inkluderer å skape algoritmer som bevarer de grunnleggende egenskapene til de matematiske modellene vi bruker, som stabilitet (energibevaring) og konvergens. Prosjektet fokuserer på samspillet mellom teoretiske resultater og numeriske algoritmer, med hovedvekt på grunnleggende matematisk analyse.
Prosjektets samarbeidspartnere er:
- University of Oxford: Gui-Qiang Chen
- IMPA, Rio de Janeiro: Hermano Frid
- University of Vienna: Darko Mitrovic
- University of Leoben: Erika Hausenblas
- MPI, Leipzig: Benjamin Gess
- University of Oslo: Ulrik Fjordholm, Nils Henrik Risebro
- NTNU: Helge Holden