Om prosjektet
Dette prosjektet arbeider mot ny teoretisk forståing innan det matematiske feltet algebraisk geometri. Hovudmålet er å konstruerere og analysera nye døme av ikkje-kommutative algebraiske varietetar.
I algebraisk geometri studerer ein algebraiske varietetar. Desse er geometriske objekt som er definerte ved hjelp av algebraiske likningar
med fleire ukjende. I skulen lærer ein om dei enklaste døma på slike objekt, til dømes vil likninga x + y = 1 definera ei linje, medan x*x + y*y = 1 definerer ein sirkel.
Legger ein til fleire ukjende og gjer likningane meir innfløkte, kan ein produsera algebraiske varietetar med komplisert geometri. Eigenskapane til ein algebraisk varietet kan beskrivast ved hjelp av såkalla invariantar: Nokre av desse er enkle å illustrera, som t.d. invarianten dimensjon (ei linje har dimensjon 1, overflata på ein ball dimensjon 2) og invarianten krumning (overflata på ein ball krummar positivt, medan den vide enden på ein trompet krummar negativt).
Den deriverte kategorien til ein algebraisk varietet er ein til samanlikning svært abstrakt og komplisert invariant. Laust forklart er den deriverte kategorien ein struktur som beskriv alle objekta (teknisk: dei "koherente knippene") som finst i den algebraiske varieteten, og dessutan relasjonane mellom dei. Studiet av den deriverte kategorien og strukturar av denne typen blir gjerne kalla ikkje-kommutativ algebraisk geometri.
Ein spesielt interessant klasse av objekt i ikkje-kommutativ algebraisk geometri blir kalla ikkje-kommutative K3-flater. Ein ønskjer seg både
måtar å konstruera slike på og verktøy for å analysera dei betre. Det ikkje-kommutative perspektivet viser seg å vera viktig også i teoretisk fysikk, og eit hovudmål i dette prosjektet er å bruka eit fenomen frå fysikken (tittelens "gauge-dualitet") til å konstruera og analysera nye døme på ikkje-kommutative K3-flater.
Finansiering
Dette prosjektet er finansiert av Norges Forskningsråd. Prosjektnummer: 302277. Totalt budsjett ca 10,6 millionar.