\magnification = \magstep2
\parskip = \smallskipamount

Hei, jeg heter John Rognes.  N{\aa} skal jeg kort si noe om det faglige
innholdet i MA 001.

La oss ta utgangspunkt i et eksempel.  P{\aa} en {\o}y lever det en god
del mus, og en god dal katter.  Musene spiser og leker og forplanter seg,
og det gj{\o}r kattene ogs{\aa}.  Men kattene jakter ogs{\aa} p{\aa}
musene.  Kan vi forutsi hvordan antallet mus, eventuelt antallet katter,
utvikler seg over tid ?

Antallet mus vil forandre seg med tiden.  Noen mus f{\o}des, andre d{\o}r,
og noen fanges kanskje av en katt.  Med ved et hvert tidspunkt er det
i prinsipp mulig {\aa} telle opp hvor mange mus det er p{\aa} {\o}ya:
vi sier at antallet mus er en funksjon av tiden.

Hvis det f.eks. blir 10 flere mus hver dag vokser antallet mus line{\ae}rt
med tiden: vi har med en line{\ae}r funksjon {\aa} gj{\o}re.

Hvis i stedet antallet mus b{\o}lger opp og ned i l{\o}pet av {\aa}ret,
kanskje med en topp p{\aa} sensommeren, kan vi modellere antallet mus
med en periodisk funksjon, slik som de trigonometriske funksjonene sinus
og cosinus.

En tredje mulighet er at antallet mus vokser og vokser, slik at det
f.eks. dobles hvert halv{\aa}r.  Da har vi en eksponentiell vekst, som
er beskrevet av en s{\aa}kalt eksponentialfunksjon.  Vi skal ogs{\aa}
studere disse funksjonene.

For {\aa} forst{\aa} hvordan antallet mus utvikler seg over tid er
det nyttig {\aa} ha et m{\aa}l p{\aa} hvor fort musebestanden vokser,
dvs. forholdet mellom hvor mange mus som kommer til i l{\o}pet av en
tidsperiode, og denne periodens lengde.  N{\aa}r perioden er veldig
kort kalles dette vekstraten til musebestanden.  Vekstraten er igjen
en funksjon av tiden, og kalles den deriverte til funksjonen som ga
antallet mus.

Det {\aa} finne en derivert funksjon kalles derivasjon, og vi skal g{\aa}
gjennom den enkleste teorien for derivasjon, s{\aa} som tester for {\aa}
finne et lokalt maksimum eller minimum til en funksjon.

Omvendt kan det v{\ae}re at vi kjenner vekstraten til musebestanden
ved et hvert tidspunkt, og vil rekonstruere hvordan de mange sm{\aa}
endringene akkumulerer seg over tid, dvs. hvordan bestanden samlet har
forandret seg.  Dette l{\o}ses matematisk ved integrasjon.  Vi skal
l{\ae}re noen vanlige metoder for integrasjon, som integrasjon ved
substitusjon og delvis integrasjon.

Med disse verkt{\o}yene kan vi modellere hvordan musebestanden utvikler
seg over tid.  Oftest vil modellen forutsette at vekstraten ved et
gitt tids\-punkt er bestemt av musebestanden ved det samme tidspunktet,
og kanskje andre betingelser, s{\aa} som tiden p{\aa} {\aa}ret.  Denne
sammenhengen vil v{\ae}re gitt ved en likning, og likninger av denne typen
kalles differensial-likninger.  Det er fordi de involverer en funksjon
(musebestanden) og dens deriverte funksjon (vekstraten) i samme likning.

Vi trenger derivasjon for {\aa} formulere hva en differensialliking er,
og vi skal se p{\aa} en del slike likninger der vi kan nok om integrasjon
til {\aa} l{\o}se likningen, dvs. {\aa} komme frem til et uttrykk for
musebestanden som en funksjon av tiden.  Det vil v{\ae}re forholdsvis
begrenset hvilke differensiallikninger vi kan l{\o}se.  Videre kjennskap
til integrasjonsmetoder, eller til numeriske metoder fra MAT 100 ville
gitt et st{\o}rre repertoar i denne sammenhengen.

S{\aa} langt har MA 001 v{\ae}rt et slags utdrag av de enklere delene av
MAT 100.  Men til n{\aa} har kattene v{\ae}rt holdt utenfor bildet.
N{\aa}r vi skal ha en modell som holder styr p{\aa} b{\aa}de antallet
mus og antallet katter, og samspillet mellom disse, s{\aa} trenger vi
{\aa} ha matematikk for {\aa} kunne regne med par av tall: s{\aa} som
antallet mus og antallet katter p{\aa} {\o}ya ved et gitt tidspunkt.
Er det flere arter involvert m{\aa} vi kunne regne med tripler eller
h{\o}yere n-tupler av tall.

Dette leder oss til {\aa} studere vektorer, og systemer av flere
line{\ae}re likninger i flere ukjente.  Disse beskriver vi med matriser,
i et omr{\aa}de av matematikken som kalles line{\ae}r algebra.  Vi skal
forklare begrepene egenverdi og egenvektor, og se hvordan de er nyttige
for {\aa} behandle line{\ae}re likningssystemer.

S{\aa} skal vi se p{\aa} systemer av differensiallikninger.  For eksempel
kan vi se p{\aa} de to funksjonene som beskriver antallet mus og antallet
katter p{\aa} {\o}ya, som funksjoner av tiden.  Er det mange mus kommer
det mange mus til, og er det mange katter kommer det ogs{\aa} mange katter
til, men samtidig blir det fanget ekstra mange mus.  For {\aa} beskrive
dette samspillet kan vi sette opp et system av to differensiallikninger
med to ukjente funksjoner.

For {\aa} l{\o}se et slikt system av differensiallikninger f{\aa}r
vi brukt for alt vi har l{\ae}rt til n{\aa}.  Derivasjon for {\aa}
sette opp likningen.  Line{\ae}r algebra for {\aa} omforme den til et
egenverdi-problem.  Og integrasjon for {\aa} dra nytte av l{\o}sningen
til dette egenverdiproblemet.

N{\aa}r vi har kommet s{\aa} langt er vi i gang med deler av MAT 110,
men igjen holder vi oss til de vanligste metodene og enkleste eksemplene.
Sammenfattet er MA 001 et utdrag av matematikk fra videreg{\aa}ende skole,
MAT 100 og MAT 110.

\end
