\magnification=\magstep1
\input amstex
\documentstyle{amsppt}

\topmatter
\title L{\o}sningsforslag til Oblig 2 for MA 001 \endtitle
\rightheadtext{John Rognes}
%\author John Rognes \endauthor
%\date Oktober 2000 \enddate
\address Matematisk institutt, Universitetet i Oslo \endaddress
\endtopmatter

\define\degC{{}^\circ\text{C}}
\parindent=0pt
\parskip=\smallskipamount

\document

\head Oppgave 1 \endhead

(a)
Blandingstemperaturen blir $T_b = (150 \cdot 68 + 10 \cdot 4)/(150 +
10) = 64 \degC$.

(b)
$T(0) = T_r + (T_0 - T_r) \cdot 1 = T_0$ s{\aa} $T_0$ er temperaturen
etter $0$ minutter.  Vi har $(1/2)^{(t+h)/h} = (1/2) \cdot (1/2)^{t/h}$,
s{\aa} $T(t+h)-T_r = (1/2)(T(t)-T_r)$, dvs.~$h$ er halveringstiden
for differansen mellom temperaturen i kaffen og romtemperaturen.

(c)
Setter inn $T_0 = 64$, $T_r = 20$, $t=10$ og $T(10) = 42$ og f{\aa}r $42
= 20 + (64-20)(1/2)^{10/h}$, som gir $(1/2)^{10/h} = (42-20)/(64-20) =
22/44 = 1/2$.  S{\aa} $10/h=1$ og $h=10$ minutter.

Etter $t=20$ minutter er temperaturen $T(20) = 20 + (64-20) (1/2)^{20/10}
= 20 + 44 (1/2)^2 = 31 \degC$.

(d)
Setter inn $T_0 = 68$ (uten melk), $T_r = 20$, $t=20$ og $h=10$ og
f{\aa}r at temperaturen er $T(20) = 20 + (68-20) (1/2)^{20/10} = 20 +
48 (1/2)^2 = 32 \degC$.

(e)
Blandingstemperaturen er $T_b = (150 \cdot 32 + 10 \cdot 4)/(150+10) =
4840/160 = 30.25 \degC$.  Etter 20 minutter er derfor student A's kopp
kaffe med melk varmest.

\head Oppgave 2 \endhead

(a)
Deriverer $F(t)$ med hensyn p{\aa} $t$ og f{\aa}r $F'(t) = -(a/k) \cdot
1 \cdot e^{-kt} - (a/k) \cdot t \cdot (-ke^{-kt}) - (a/k^2)(-ke^{-kt}) -
(b/\ell)(-\ell e^{-\ell t}) = ate^{-kt} +be^{-\ell t} = f(t)$.  Alts{\aa}
er $F(t)$ en antiderivert til $f(t)$.

(b)
Setter inn og f{\aa}r $f(0) = 2.0 \cdot 10^5 \cdot 0 \cdot e^{-1.0 \cdot
0} + 2.0 \cdot 10^4 \cdot e^{-0.1 \cdot 0} = 0 + 2.0 \cdot 10^4 \cdot 1 =
2.0 \cdot 10^4$.

I grensen er $\lim_{t\to\infty} f(t) = a \lim_{t\to\infty} t (e^{-k})^t +
b \lim_{t\to\infty} (e^{-\ell})^t = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0$.

(c)
$V(t)$ er en antiderivert til $f(t)$, s{\aa} $V(t) = F(t) + C$ for
en konstant $C$.  Siden $V(0) = 0$ m{\aa} $C = -F(0) = (a/k) \cdot 0
\cdot e^{-k \cdot 0} + (a/k^2) \cdot e^{-k \cdot 0} + (b/\ell)
e^{-\ell \cdot 0} = 0 + (a/k^2) + (b/\ell) = 2.0 \cdot 10^5 / 1.0^2
+ 2.0 \cdot 10^4 / 0.1 = 4.0 \cdot 10^5$.  Dette gir
$$
\align
V(t) &= (a/k^2) + (b/\ell) - (a/k) t e^{-kt} - (a/k^2)e^{-kt}
	-(b/\ell)e^{-\ell t} \\
&= 4.0 \cdot 10^5 - 2.0 \cdot 10^5 t e^{-1.0 t}
	- 2.0 \cdot 10^5 e^{-1.0 t} - 2.0 \cdot 10^5 e^{-0.1 t} \,.
\endalign
$$

(d)
Har valgt $C$ slik at $V(0) = 0$.

I grensen er
$$
\align
\lim_{t\to\infty} V(t) &= (a/k^2) + (b/\ell) - (a/k) \lim_{t\to\infty}
te^{-kt} - (a/k^2) \lim_{t\to\infty} e^{-kt} - (b/\ell) \lim_{t\to\infty}
e^{-\ell t} \\
&= (a/k^2) + (b/\ell) - 0 - 0 - 0 = (a/k^2) + (b/\ell) = 4.0 \cdot 10^5 \,.
\endalign
$$

(e)
$V'(t) = f(t) > 0$ s{\aa} $V$ er strengt voksende.  Etter $t=20$ timer er
derfor $V(20) < \lim_{t\to\infty} V(t) = 4.0 \cdot 10^5$.  Etter $t$ timer
er det tappet ut $ct \ \text{m}^3$ vann, s{\aa} etter 20 timer er det
tappet ut $2.0 \cdot 10^4 \cdot 20 = 4.0 \cdot 10^5 \ \text{m}^3$ vann.
Dette er mer enn $V(20)$, s{\aa} reservoaret er t{\o}mt innen 20 timer.

\head Oppgave 3 \endhead

(a)
Regner ut
$$
\align
f_t(x) &= 4 \cos x + 3 \cos(x-t) \\
&= 4 \cos x + 3 \cos x \cos t + 3 \sin x \sin t \\
&= (4 + 3\cos t) \cos x + (3 \sin t) \sin x \,.
\endalign
$$
Her er $(4 + 3\cos t) \cos x + (3 \sin t) \sin x = C \cos (x - x_0)$
n{\aa}r $(C, x_0)$ er polarkoordinatene til $(4 + 3\cos t, 3 \sin t)$.
S{\aa} $C\ge0$ oppfyller $C^2 = (4 + 3\cos t)^2 + (3 \sin t)^2 = 16 +
24 \cos t + 9 \cos^2 t + 9 \sin^2 t = 16 + 24 \cos t + 9 = 25 + 24
\cos t$, dvs.~$C = \sqrt{25 + 24 \cos t}$.  Videre m{\aa} $\tan x_0 =
(3 \sin t)/(4 + 3\cos t)$.

(b)
Deriverer ved br{\o}kregelen
$$
\align
g'(t) &= {(3\cos t)(4 + 3\cos t) - (3\sin t)(0 - 3\sin t) \over
	(4 + 3 \cos t)^2} \\
&= {12 \cos t + 9 \cos^2 t + 9 \sin^2 t \over
	(4 + 3 \cos t)^2} = {3(4 \cos t + 3) \over (4 + 3 \cos t)^2} \,.
\endalign
$$
Nevneren er alltid positiv, s{\aa} $g'(t)$ har samme fortegn som $h(t) =
4 \cos t + 3$.  Her er $4 \cos t + 3 = 0$ hvis $\cos t = -3/4$, dvs.~for
$t = \cos^{-1}(-3/4) = \pi - \cos^{-1}(3/4) \approx 2.419$.

Siden $\cos t$ er strengt avtagende for $0 \le t \le \pi$ er $g'(t)>0$ for
$0 \le t < \cos^{-1}(-3/4)$ og $g'(t) < 0$ for $\cos^{-1}(-3/4) < t \le
\pi$.  Derfor er $g(t)$ voksende p{\aa} intervallet $[0, \cos^{-1}(-3/4)]$
og avtagende p{\aa} intervallet $[\cos^{-1}(-3/4), \pi]$.

(c)
$g(t)$ har maksimum for $t = \cos^{-1}(-3/4)$, der $g$ skifter
fra {\aa} v{\ae}re voksende til {\aa} v{\ae}re avtagende.  Her er $\sin
t = +\sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - (-3/4)^2} = \sqrt 7 / 4$.
Maksimumsverdien er $g(t) = 3 \sin t /(4 + 3 \cos t) = (3 \sqrt 7 / 4) /
(4 + 3(-3/4)) = 3\sqrt7/(16-9) = 3\sqrt7/7 \approx 1.134$.

(d)
For $t = \cos^{-1}(-3/4)$ er $g(t)$ maksimal.  Fra (a) finner vi $C =
\sqrt{25 + 24 \cos t} = \sqrt{25 + 24(-3/4)} = \sqrt 7 \approx 2.646$
og $\tan x_0 = g(t) = 3\sqrt7/7$, s{\aa} $x_0 = \tan^{-1}(3\sqrt7/7)
\approx 0.848$.  Koordinatene er $(\tan^{-1}(3\sqrt7/7), \sqrt7)$.

\head Oppgave 4 \endhead

(a)
Gitt $5 = c \cdot 4^r$ og $2 = c \cdot 25^r$ f{\aa}s $5/2 = (c \cdot
4^r)/(c \cdot 25^r) = (4/25)^r$, dvs.~$\log(5/2) = r \log(4/25)$ eller
$r = \log(5/2)/\log(4/25) = -1/2$.  Da er $c = 5/4^{(-1/2)} = 5/(1/2)
= 10$.  Vi har $\log y = \log c + r \log x$ s{\aa} $\log y$ er en
line{\ae}r funksjon av $\log x$ og grafen til $y$ som funksjon av $x$
blir en rett linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, men ikke i
et rettvinklet line{\ae}rt eller et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

(b)
$$
\lim_{h\to 0} {1 - \cos 2h \over h^2} = \lim_{h\to 0} {0 + 2 \sin 2h
\over 2h} = \lim_{h\to0} {4 \cos 2h \over 2} = 2 \cos 0 = 2 \,.
$$

(c)
Det ubestemte integralet er
$$
\int \sin^4 \! x \cos x \, dx = \int g(x)^4 g'(x) \, dx = \int u^4 \, du =
(1/5) u^5 + C = (1/5) \sin^5 \! x + C \,.
$$
S{\aa}
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 \! x \cos x \, dx = \left[ (1/5) \sin^5 \! x
\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = (1/5)1^5 - (1/5)(-1)^5 = 2/5 \,.
$$


\enddocument
