\magnification=\magstep1
\input amstex
\documentstyle{amsppt}

\topmatter
\title Oblig 2 for MA 001 \endtitle
\rightheadtext{John Rognes}
%\author John Rognes \endauthor
%\date Oktober 2000 \enddate
\address Matematisk institutt, Universitetet i Oslo \endaddress
\endtopmatter

\define\degC{{}^\circ\text{C}}
\parindent=0pt
\parskip=\smallskipamount

\document

Hver student som er oppmeldt til eksamen i MA 001 h{\o}sten 2000 skal
ha godkjent to obligatoriske oppgaver.  Dette er den andre av disse.
Hver student leverer en individuell besvarelse til sin gruppel{\ae}rer,
som retter besvarelsene og godkjenner de som tilsvarer en best{\aa}tt
karakter (4.0 eller bedre).  Husk {\aa} skrive ditt fulle navn og
nummeret p{\aa} MA 001-gruppen du f{\o}lger p{\aa} besvarelsen.

Absolutt innleveringsfrist for b{\aa}de Oblig 1 og Oblig 2 er fredag
10.~november 2000.

Gi en matematisk begrunnelse for alle svar.  Gi eksakte svar n{\aa}r
det er mulig.

\head Oppgave 1 \endhead

Student A og student B skal drikke en kopp kaffe hver.  Kaffen serveres
sort med volum $V_k = 150$ ml og temperatur $T_k = 68 \degC$.
Begge studentene vil ha en skvett melk i kaffen, med volum $V_m =
10$ ml.  Melken st{\aa}r kaldt, og har temperatur $T_m = 4 \degC$.
Student A heller melk i sin kaffe, men s{\aa} ringer begge studentenes
mobiltelefoner og student B heller ikke melk i sin kopp.

(a)
N{\aa}r melken helles i kaffen f{\aa}r blandingen temperatur
$$
T_b = {V_k T_k + V_m T_m \over V_k + V_m} \,.
$$
Finn blandingstemperaturen i student A's kopp kaffe med melk.

(b)
Ettersom samtalene trekker ut, avtar temperaturen i kaffen (med eller
uten melk) eksponentielt mot romtemperaturen, som er konstant lik $T_r =
20 \degC$.  Etter $t$ minutter er temperaturen gitt ved uttrykket
$$
T(t) = T_r + (T_0 - T_r) \left(1\over2\right)^{t/h} \,.
$$
Gi en presis fortolkning av konstantene $T_0$ og $h$.

(c)
Etter 10 minutter ($t = 10$) har temperaturen i student A's kaffe (med
melk) falt til $42 \degC$.  Finn konstanten $h$.  Hva er temperaturen
i student A's kaffe etter ytterligere 10 minutter ($t = 20$) ?

(d)
Etter 20 minutter er student B ferdig med telefonsamtalen.  Hva er
da temperaturen i student B's kaffe (uten melk) ?

(e)
Student B heller s{\aa} melk i sin kaffe.  Finn blandingstemperaturen
for kaffen tilsatt melk etter 20 minutter.  Hvilken kopp kaffe med melk
er varmest etter 20 minutter ?

\head Oppgave 2 \endhead

(a)
La $a$, $b$, $k$ og $\ell$ v{\ae}re positive konstanter.  Vis at
funksjonen
$$
F(t) = -(a/k) t e^{-kt} - (a/k^2) e^{-kt} - (b/\ell) e^{-\ell t}
$$
er en antiderivert til funksjonen
$$
f(t) = a t e^{-kt} + b e^{-\ell t} \,.
$$

Etter et regnskyll renner det vann inn i et vannreservoar.  Etter $t\ge0$
timer er tilstr{\o}mningshastigheten $f(t) \ \text{m}^3/\text{h}$, der
$f(t)$ er gitt som i (a) og $a = 2.0 \cdot 10^5$, $b = 2.0 \cdot 10^4$,
$k = 1.0$ og $\ell = 0.1$.

(b)
Finn $f(0)$ og $\lim_{t\to\infty} f(t)$.

(c)
La $V(t) \ \text{m}^3$ v{\ae}re det samlede vannvolumet som har
str{\o}mmet inn i reservoaret fra tiden $0$ til tiden $t$.  Da er $V'(t)
= f(t)$.  Finn en formel for $V(t)$ for $t\ge0$.

(d)
Finn $V(0)$ og $\lim_{t\to\infty} V(t)$.

(e)
Det tappes ogs{\aa} vann ut av reservoaret med konstant
utstr{\o}mningshastighet $c = 2.0 \cdot 10^4 \ \text{m}^3/\text{h}$
for $t\ge0$, inntil reservoaret er tomt.  Vis at reservoaret t{\o}mmes
innen $t=20$ timer.

\head Oppgave 3 \endhead

En b{\o}lge i $xy$-planet er ved tidspunktet $t$ gitt som
grafen til funksjonen
$$
f_t(x) = 4 \cos x + 3 \cos(x-t) \,.
$$
Dette er summen av to b{\o}lger i $xy$-planet: en stillest{\aa}ende med
amplitude 4, og en med amplitude 3 som beveger seg mot h{\o}yre n{\aa}r
$t$ vokser.

(a)
Vis at $f_t(x) = (4 + 3\cos t) \cos x + (3 \sin t) \sin x = C \cos(x -
x_0)$ der $C = \sqrt{25 + 24 \cos t}$ og $\tan x_0 = 3 \sin t/(4 + 3
\cos t)$.


(b)
La $g(t) = 3 \sin t/(4 + 3 \cos t)$ for $0 \le t \le \pi$.  Finn $g'(t)$
og avgj{\o}r hvor $g$ er voksende og hvor $g$ er avtagende.

(c)
Finn maksimumspunktet og maksimumsverdien for $g(t)$.  Gi eksakte svar.

(d)
Ved tidspunktet $t$ har b{\o}lgetoppen n{\ae}rmest $y$-aksen
$xy$-koordinater $(x_0, C)$.  Finn $xy$-koordinatene til denne
b{\o}lgetoppen n{\aa}r $g(t)$ har sin maksimale verdi.

\head Oppgave 4 \endhead

(a)
Likningen $y = c x^r$ gjelder for $(x, y) = (4, 5)$ og $(x, y) = (25, 2)$.
Finn $c$ og $r$.  Er grafen til $y$ som en funksjon av $x$ en rett linje
i et rettvinklet line{\ae}rt koordinatsystem, i et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem, eller i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem ?

(b)
Bruk L'H{\^o}pitals regel (eventuelt flere ganger) for {\aa} finne
$$
\lim_{h\to0} {1 - \cos 2h \over h^2} \,.
$$

(c)
Finn det bestemte integralet
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 \! x \cos x \, dx
$$
ved hjelp av substitusjonen $u = g(x) = \sin x$.


\enddocument
