\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1

\define\R{\Bbb R}

\document

\subhead Oppgave 1 \endsubhead

(a)
Finn de komplekse r{\o}ttene til polynomet $z^6 - 1$.
Vis med en skisse hvor disse r{\o}ttene ligger i det komplekse
planet.

(b)
Gi en faktorisering av $x^6 - 1$ som et produkt av reelle f{\o}rste--
og annengrads polynomer.


\subhead Oppgave 2 \endsubhead

Finn den generelle l{\o}sningen til differenslikningen
$$
x_{n+2} + x_{n+1} - 2 x_n = 4 \cdot 2^n + 3.
$$


\subhead Oppgave 3 \endsubhead

La
$$
f(x) = \sqrt{x^3 - 3x}
$$
v{\ae}re definert for alle reelle tall $x$ slik at $x^3 - 3x \ge 0$.

(a)
Hva er definisjonsmengden $D_f$ til $f$ ?
Bestem nullpunktene til $f$.

(b)
Avgj{\o}r hvor $f$ er voksende, og hvor $f$ er avtagende.
Finn det lokale maksimumspunktet til $f$.

(c)
Finn
$$
\lim_{x \to -\sqrt{3}^+} f'(x), \quad
\lim_{x \to 0^-} f'(x) \quad\text{og}\quad
\lim_{x \to \sqrt{3}^+} f'(x).
$$
Har $f$ noen asymptoter ?  Begrunn svaret.

Skisser grafene til $y = f(x)$ og $y = -f(x)$ i samme koordinatsystem.

(Dette er kurven av punkter $(x, y)$ i $xy$-planet
slik at $y^2 = x^3 - 3x$.)

(d)
Hva er det st{\o}rste mulige antall skj{\ae}ringspunkter
mellom kurven $y^2 = x^3 - 3x$ og en vilk{\aa}rlig linje
$y = ax + b$, der $a$ og $b$ er reelle tall ?
Begrunn svaret.


\subhead Oppgave 4 \endsubhead

(a)
Bestem integralet
$$
\int t \sqrt{1-t^2} \, dt.
$$

(b)
Bestem integralet
$$
\int \sqrt{1-t^2} \, dt.
$$
(Hint: Substituer $t = \sin u$.)

(c)
La
$$
g(x) = \sqrt{1 - (x-2)^2}
$$
for $x \in [1, 3]$.  Omr{\aa}det mellom grafene til $y = g(x)$ og $y
= -g(x)$ danner en sirkelskive med radius $1$ og sentrum i punktet $(2,
0)$ i $xy$-planet.

Finn volumet til omdreiningslegemet som fremkommer ved {\aa}
rotere denne sirkelskiven om $y$-aksen.


\subhead Oppgave 5 \endsubhead

(a)
Vis at
$$
\int {2 \over \cos t} \, dt =
\ln \left( {1 + \sin t \over 1 - \sin t} \right) + C,
$$
f\. eks\. ved {\aa} derivere h{\o}yresiden.

(b)
Finn alle l{\o}sningene $y = y(x)$ av differensiallikningen
$$
y' = {1\over2} \cos y
$$
med $-\pi/2 < y(x) < \pi/2$ for alle $x \in \R$.

(c)
La $y = y(x)$ v{\ae}re en l{\o}sning av differensiallikningen
i (b).  Finn
$$
\lim_{x \to \infty} y(x)
\qquad
\text{og}
\qquad
\lim_{x \to -\infty} y(x).
$$


\subhead Oppgave 6 \endsubhead

(a)
Forklar hvorfor
$$
\sum_{n = 0}^\infty (-1)^n {x^{4n} \over (2n)!}
$$
er Taylor--rekken til $\cos(x^2)$.
Finn konvergensomr{\aa}det til rekken.

(b)
Beregn integralet
$$
\int_0^1 \cos(x^2) \, dx
$$
med en n{\o}yaktighet bedre enn $10^{-3}$.
(Du kan gi svaret som en br{\o}k eller et desimaltall.)
Forklar hvorfor du vet at du har oppn{\aa}dd den {\o}nskede
n{\o}yaktigheten.

\enddocument

