\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1

\define\C{\Bbb C}
\define\Q{\Bbb Q}
\define\R{\Bbb R}

\font\titlefont=cmb10 at 30pt

\document
\line{Matematisk institutt \hfill 2. oktober 1996}
\bigskip
\bigskip
\centerline{{\titlefont MA 100}}
\bigskip
\bigskip
\centerline{Innleveringsoppgaver, f{\o}rste sett}
\centerline{Leveres til gruppel{\ae}rer senest 18. oktober}
\bigskip
\bigskip

\subhead Oppgave 1 \endsubhead

La $f\: \R \to \R$ og $g \: \R \to \R$ v{\ae}re kontinuerlige
funksjoner slik at $f(r) = g(r)$ for alle rasjonale $r \in \Q$.
Vis at $f(x) = g(x)$ for alle reelle $x \in \R$.

\subhead Oppgave 2 \endsubhead

(a)
Finn l{\o}sningene til ligningen
$$
z^4 - z^2 + 1 = 0
$$
der $z \in \C$. (Hint: La $t = z^2$.)

(b)
Skriv polynomet $x^4 - x^2 + 1$ som et produkt av reelle
annengradspolynomer.


\subhead Oppgave 3 \endsubhead

La
$$
g(x) = {\ln x \over x}
$$
v{\ae}re definert for $x > 0$.

(a)
Avgj{\o}r hvor funksjonen $g$ er voksende og hvor den er avtagende.
Finn eventuelle ekstremalpunkter og --verdier.

(b)
Avgj{\o}r hvor $g$ er konveks og hvor den er konkav.

(c)
Finn grenseverdiene $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ og
$\lim_{x \to \infty} g(x)$.  Skisser grafen til $g$.

(d)
Forklar hvorfor ligningen $g(x) = b$ har ingen l{\o}sninger for $b >
1/e$, n{o}yaktig {\'e}n l{\o}sning for $b = 1/e$ eller $b \le 0$, og
n{\o}yaktig to l{\o}sninger for $0 < b < 1/e$.

(e)
La $a > 0$ v{\ae}re et gitt tall.
Vis at $x$ l{\o}ser ligningen
$$
a^x = x^a
\tag *
$$
hvis og bare hvis $g(x) = g(a)$.

(f)
Likningen~(*) har {\aa}penbart alltid l{\o}sningen $x = a$.  Forklar
hvorfor ligningen har n{\o}yaktig {\'e}n l{\o}sning n{\aa}r $0 < a \le
1$ eller $a = e$, mens ligningen har n{\o}yaktig to l{\o}sninger n{\aa}r
$1 < a$ og $a \ne e$.

(g)
Avgj{\o}r hvilket av tallene $e^\pi$ og $\pi^e$ som er st{\o}rst,
uten {\aa} regne dem ut.  (Hint: Se p{\aa} funksjonen $f(x) = e^x
-x^e$.)



\subhead Oppgave 4 \endsubhead

La $z = a + ib$ der $a = \cos(\pi/9)$ og $b = \sin(\pi/9)$.

(a)
Skriv $z$ p{\aa} formen $e^{i \theta}$.

(b)
Regn ut $z^3$ p{\aa} to forskjellige m{\aa}ter, og vis at
$$
\align
a^3 - 3 a b^2 &= {1\over2} \\
3 a^2 b - b^3 &= {\sqrt{3}\over2}.
\endalign
$$

(c)
Bruk at $a^2 + b^2 = 1$ til {\aa} vise at $a = \cos(\pi/9)$ l{\o}ser
ligningen
$$
4 a^3 - 3 a = {1\over2}.
$$


\subhead Oppgave 5 \endsubhead

La $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ v{\ae}re en tallf{\o}lge slik at for $n \ge 2$
er $x_n$ lik gjennomsnittet av de to foreg{\aa}ende tallene i f{\o}lgen.

(a)
Forklar hvorfor $\{x_n\}$ oppfyller differensligningen
$$
x_{n+2} - {1\over2} x_{n+1} - {1\over2} x_n = 0.
$$

(b)
Finn den generelle l{\o}sningen av denne differensligningen.

(c)
Hva m{\aa} $x_1$ v{\ae}re hvis $x_0 = 7$ og
$$
\lim_{n \to \infty} x_n = 3 \quad ?
$$


\subhead Oppgave 6 \endsubhead

Luften i en kulerund varmluftsballong avkj{\o}les og trekker seg sammen.
Ballong\-ens volum minker med $1$ kubikkmeter per minutt.  Hvor fort
krymper overflaten av ballongen n{\aa}r radien er $5$ meter ?


\bigskip
\centerline{SLUTT}

\enddocument
