\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1

\define\C{\Bbb C}
\define\Q{\Bbb Q}
\define\R{\Bbb R}

\font\titlefont=cmb10 at 30pt

\document
\line{Matematisk institutt \hfill 30. oktober 1996}
\bigskip
\centerline{{\titlefont MA 100}}
\bigskip
\centerline{Innleveringsoppgaver, andre sett}
\centerline{Leveres til gruppel{\ae}rer senest 15. november}
\bigskip

\subhead Oppgave 1 \endsubhead

Finn grenseverdiene:

(a)
$$
\lim_{x \to 0} {e^{-2x}-1 \over \sin x}
$$

(b)
$$
\lim_{x \to 0} {\arcsin x - x \over x^3}
$$

\subhead Oppgave 2 \endsubhead

Regn ut integralene:

(a)
$$
\int_0^{1/3} \arctan(\sqrt{x}) \, dx
$$

(b)
$$
\int \ln(\sqrt{x}+1) \, dx
$$

\subhead Oppgave 3 \endsubhead

(a)
Vis at $z = -1 + 2i$ er en rot i polynomet
$$
P(z) = z^3 + z - 10 \,.
$$

(b)
Finn den komplekse og reelle faktoriseringen til $P(z)$.

(c)
Finn delbr{\o}ksoppspaltningen til
$$
{3x^2 + 5x + 4 \over x^3 + x - 10} \,.
$$

(d)
L{\o}s integralet
$$
\int {3x^2 + 5x + 4 \over x^3 + x - 10} \, dx \,.
$$


\subhead Oppgave 4 \endsubhead

En pasient f{\aa}r intraven{\o}st en jevn, kontinuerlig tilf{\o}rsel
av medisin med en hastighet av $10$ milliliter i timen.  Medisinen
skilles ut av kroppen med en fart p{\aa} $5\%$ per time.  La $y(t)$
betegne mengden av medisin i kroppen $t$ timer etter at behandlingen
har begynt.  Vis at dersom $y(t)$ m{\aa}les i milliliter, s{\aa} er
$$
y'(t) + {1\over20} y(t) = 10 \quad;\quad y(0) = 0 \,.
$$
Finn $y(t)$ og $\lim_{t \to \infty} y(t)$.

\subhead Oppgave 5 \endsubhead

I denne oppgaven lar vi
$$
I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx
$$
for $n = 0, 1, 2, \dots$.

(a)
Beregn $I_0$ og $I_1$.

(b)
Vis at
$$
\tan^{n+2} x = \tan^n x \left( {1 \over \cos^2 x} - 1\right)
$$
og bruk denne formelen til {\aa} vise at
$$
I_{n+2} = {1 \over n+1} - I_n \,.
$$

(c)
Vis ved induksjon at
$$
I_{2n+1} = {(-1)^n \over 2} \left[ \ln 2 - (1 - {1\over2} + {1\over3}
- \dots + {(-1)^{n+1}\over n}) \right] \,.
$$

(d)
Vis at
$$
\lim_{n \to \infty} \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx = 0
$$
og bruk dette til {\aa} vise at
$$
\ln 2 = \lim_{n \to \infty} (1 - {1\over2} + {1\over3}
- \dots + {(-1)^{n+1}\over n}) \,.
$$

\subhead Oppgave 6 \endsubhead

(a)
Finn den generelle l{\o}sningen til differensligningen
$$
x_{n+1} - 2x_n + x_{n-1} = 0 \,.
$$

(b)
Finn en l{\o}sning av den inhomogene ligningen
$$
x_{n+1} - 2x_n + x_{n-1} = -4
$$
slik at $x_0 = 0$, $x_{10} = 0$.

(c)
To barn har fem fotballkort hver.  De spiller et spill med f{\o}lgende
regler.  Begge kaster ett av sine kort opp i luften.  Dersom det ene
lander med forsiden opp og det andre med baksiden opp, vinner hun som
fikk forsiden opp motstanderens kort.  Dersom begge f{\aa}r forsiden opp
eller begge f{\aa}r baksiden opp, plukker de opp kortene og kaster dem
en gang til.  Spillet fortsetter til den ene av spillerne har tapt alle
sine kort.  Hvor mange kast m{\aa} hver spiller i gjennomsnitt regne med
{\aa} gj{\o}re f{\o}r spillet er over ?

\medskip
\centerline{SLUTT}

\enddocument
