\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1

\topmatter
\title S{\o}ndagsregning MA 100 \\
24. november 1996 \endtitle
\endtopmatter

\define\R{\Bbb R}
\parindent=0pt

\document

\subhead Oppgave 1 \endsubhead

(Eksamen 9/12--85, Oppgave 1)

La funksjonen $f$ v{\ae}re gitt ved
$$
f(x) = x^2 e^{1/x}
\qquad\text{for $x\ne 0$.}
$$

(a)
Finn eventuelle ekstremalpunkter og asymptoter for $f$.
Skisser grafen til $f$.

(b)
Er det mulig {\aa} definere $f(0)$ slik at $f$ blir kontinuerlig p{\aa}
hele $\R$ ?  Begrunn svaret.

Unders{\o}k om integralet
$$
\int_0^1 f(x) \,dx
$$
konvergerer.

(c)
Finn Taylorpolynomet av 2\. grad for $f(x)$ rundt $x=1$.
Kall dette polynomet $T_2f(x)$.  Vis at $|f(x) - T_2f(x)| < {1\over1000}$
p{\aa} $[0.9, 1.1]$.

\subhead Oppgave 2 \endsubhead

(Eksamen 15/5--87, Oppgave 2)

Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer n{\aa}r omr{\aa}det
under kurven
$$
t = \ln x \,; \qquad 1 \le x \le 2
$$
dreies om $x$-aksen.

\subhead Oppgave 3 \endsubhead

(Eksamen 7/12--92, Oppgave 4)

(a)
En kurve $y = y(x)$ har den egenskapen at tangenten i ethvert punkt
$(x, y)$ p{\aa} kurven skj{\ae}rer $x$-aksen i punktet $(x^2, 0)$.
Vis at $y$ oppfyller den separable differensiallikningen
$$
y' (x-x^2) = y.
$$

(b)
Finn den generelle l{\o}sningen av likningen i (a), og bestem s{\aa}
en partikul{\ae}r l{\o}sning slik at $y'(0) = 1$.

(c)
La $y(x)$ v{\ae}re den partikul{\ae}re l{\o}sningen fra punkt~(b).
For hvilke valg av startpunkt $x_0$ vil Newtons metode for likningen
$y(x) = 0$ konvergere ?

\subhead Oppgave 4 \endsubhead

(Eksamen 8/6--93, Oppgave 1)

La
$$
f(x) = {e^x \over x}
$$
for $x \ne 0$.

(a)
Finn eventuelle maksimums-- og minimumspunkter of asymptoter til grafen
til $f$.

(b)
Avgj{\o}r hvor grafen til $f$ er konkav og hvor den er konveks, og
tegn kurven.

(c)
Grafen har ett punkt $P$ slik at tangenten i $P$ g{\aa}r gjennom origo.
Finn dette punktet.  Hva er en likning til normalen i $P$ ?

(d)
Den delen av planet i f{\o}rste kvadrant som begrenses av
koordinataksene, kurven og linjen $x = 1$ roteres om $y$-aksen.
Vis at det legemet som fremkommer har endelig volum, og beregn dette.

Unders{\o}k s{\aa} om volumet blir endelig om vi i stedet roterer om
$x$-aksen.

\subhead Oppgave 5 \endsubhead

(Eksamen 8/6--93, Oppgave 5)

(a)
Formuler forholdskriteriet for konvergens av rekker.

(b)
Finn konvergensomr{\aa}det for rekken
$$
\sum_{n=2}^\infty {(\ln n)^2 \over n} x^n.
$$

(c)
La $g(x)$ v{\ae}re summen av rekken i (b).  Beregn
$$
\lim_{x \to 0} {g(x) \over \sin(x^2)}.
$$

\subhead Oppgave 6 \endsubhead

(a)
Finn alle komplekse l{\o}sninger av likningen
$$
z^4 + 1 = 0.
$$

(b)
Skriv polynomet $z^4+1$ som et produkt av to annengradspolynomer
med reelle koeffisienter.

\subhead Oppgave 7 \endsubhead

(a)
L{\o}s annengradslikningen $z^2 + 2z + 4 = 0$ og skriv l{\o}sningen
p{\aa} polarform.

(b)
Finn den generelle l{\o}sningen til differenslikningen
$$
x_{n+2} + 2x_{n+1} + 4x_n = 0.
$$
Skriv l{\o}sningen uten bruk av komplekse tall.

(c)
Finn den generelle l{\o}sningen til
$$
x_{n+2} + 2x_{n+1} + 4x_n =  21 \cdot n.
$$


\subhead Oppgave 8 \endsubhead

(a)
Finn konvergensomr{\aa}det til rekken
$$
\sum_{n=0}^\infty {x^{2n} \over (2n)!}.
$$

(b)
Definer
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty {x^{2n} \over (2n)!}
$$
for alle $x$ i konvergensomr{\aa}det.  Vis at $f''(x) = f(x)$.

(c)
Finn en l{\o}sning av differensiallikningen
$$
y'' - y = 0
$$
slik at $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.
Finn et uttrykk for $f(x)$ uten {\aa} bruke rekker.

\enddocument
