\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1

\topmatter
\title L{\o}sningsforslag s{\o}ndagsregning Ma 100
\endtitle
\endtopmatter

\define\R{\Bbb R}
\parindent=0pt
%\parskip=12pt

\document

\subhead Oppgave 1 \endsubhead

(a)
Derivasjon gir
$$
f'(x) = (2x - 1) e^{1/x}
$$
som er positiv for $x > 1/2$ og negativ for $x < 1/2$, $x \ne 0$.
S{\aa} $f$ har et lokalt minimum i $(1/2, e^2/4)$.  Vi har
$$
\align
\lim_{x \to -\infty} f(x) &= \infty, \\
\lim_{x \to 0^-} f(x) &= 0, \\
\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \infty, \\
\lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty.
\endalign
$$
S{\aa} $f$ har ikke noe globalt maksimum eller minimum.
Linjen $x = 0$ er en vertikal asymptote.
Vi har $\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -\infty$ og $\lim_{x \to \infty}
f'(x) = \infty$, s{\aa} $f$ har ingen skr{\aa}\-asymptoter.

\medskip
(b)
Siden $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ kan ikke $f(0)$ defineres
slik at $f$ blir kontinuerlig i~$0$.
Sammenligner med $1/x$:
$$
\lim_{x \to 0^+} {f(x) \over (1/x)} =
\lim_{x \to 0^+} x^3 e^{1/x} = \infty
$$
s{\aa} fordi
$$
\int_0^1 {1\over x} \,dx
$$
divergerer m{\aa} ogs{\aa} det gitte integralet divergere.

\medskip
(c)
Deriverer
$$
f''(x) = (2 - 2/x + 1/x^2) e^{1/x}
$$
og
$$
f^{(3)}(x) = (2/x^2 - 2/x^3 -2/x^2 + 2/x^3 - 1/x^4) e^{1/x}
= -x^{-4} e^{1/x}.
$$
S{\aa} $f(1) = e$, $f'(1) = e$, $f''(1) = e$ og
$T_2 f(x) = e + e(x-1) + (e/2)(x-1)^2$.
Da er $|f(x) - T_2f(x)| = |R_2f(x)| \le {M\over 3!} |x-1|^3$
for $x \in [0.9, 1.1]$ der $M$ er supremum av $|f^{(3)}(t)|$ for
$t$ mellom $1$ og $x$.
For $0.9 \le t \le 1.1$ er $|f^{(3)}(t)| = (1/t^4) e^{1/t}
\le (1/0.9^4) e^{1/0.9} \approx 4.630 \le 6$.  S{\aa}
$|f(x) - T_2f(x)| \le |x-1|^3 \le 0.1^3 = {1 \over 1000}$.
Som skulle vises.

\subhead Oppgave 2 \endsubhead

Svaret er $2 \pi ((\ln 2)^2 - 2 \ln 2 + 1)$.

\subhead Oppgave 3 \endsubhead

(a)
Linjen fra $(x, y)$ til $(x^2, 0)$ har stigningstall $(y-0)/(x-x^2)$.

\medskip
(b)
$$
y(x) = D {x \over 1-x }
$$
$$
y'(x) = {D \over (1-x)^2}
$$
$D=1$ gir $y'(0) = 1$.

\medskip
(c)
$$
x_{n+1} = x_n - y(x_n)/y'(x_n) = x_n - x_n(1-x_n) = x_n^2
$$
S{\aa} $x_n \to 0$ hvis og bare hvis $x_0 \in (-1, 1)$.

\subhead Oppgave 4 \endsubhead

(a)
$f'(x) = (x-1)e^x/x^2$ er positiv for $x > 1$ og negativ for
$x < 1$, $x \ne 0$, s{\aa} $f$ er voksende p{\aa} $[1, \infty)$
og avtagende p{\aa} $(-\infty, 0)$ og p{\aa} $(0, 1]$.
Linjen $x=0$ er en vertikal asymptote, og $y = 0$ er en horisontal
asymptote n{\aa}r $x \to -\infty$.

\medskip
(b)
$f''(x) = (x^2-2x+2)e^x/x^3$ er positiv for $x > 0$ og negativ for
$x < 0$, s{\aa} $f$ er konveks p{\aa} $(0, \infty)$ og
konkav p{\aa} $(-\infty, 0)$.

\medskip
(c)
L{\o}ser $f'(x) = f(x)/x$, dvs\. $(x-1)/x^2 = 1/x^2$ eller $x=2$.
S{\aa} $P = (2, f(2)) = (2, e^2/2)$.
En likning er $2(x-2) + (e^2/2)(y-e^2/2) = 0$.

\medskip
(d)
$$
\int_0^1 2\pi x e^x/x \,dx = 2\pi e
$$
konvergerer.
$$
\int_0^1 \pi (e^x/x)^2 \,dx
$$
divergerer, ved grensesammenligningstesten med det divergente
integralet
$$
\int_0^1 1/x^2 \,dx.
$$

\subhead Oppgave 5 \endsubhead

(a)
La $\sum_{n=0}^\infty a_n$ v{\ae}re en rekke og anta at grensen
$$
\lim_{n \to \infty} \left| {a_{n+1}\over a_n} \right| = a
$$
eksisterer.  Da gjelder
\roster
\item
Dersom $a < 1$, konvergerer rekken absolutt.
\item
Dersom $a > 1$, divergerer rekken.
\item
Dersom $a=1$ gir testen ingen konklusjon.
\endroster

\medskip
(b)
Rekken konvergerer for $x \in [-1, 1)$.

\medskip
(c)
Grensen er lik $(\ln 2)^2/2$.

\subhead Oppgave 6 \endsubhead

(a)
L{\o}sningene er
$z = \sqrt{2}/2 + i \sqrt{2}/2$,
$z = -\sqrt{2}/2 + i \sqrt{2}/2$,
$z = -\sqrt{2}/2 - i \sqrt{2}/2$ og
$z = \sqrt{2}/2 - i \sqrt{2}/2$.

\medskip
(b)
$$
z^4 + 1 = (z^2 - \sqrt{2} z + 1) (z^2 + \sqrt{2} z + 1).
$$

\subhead Oppgave 7 \endsubhead

(a)
L{\o}sningene er
$z = -1 + i \sqrt{3}$ og $z = -1 - i \sqrt{3}$.
P{\aa} polarform blir l{\o}sningene
$z = 2 e^{i 2\pi/3}$ og $z = 2 e^{i 4\pi/3}$.

\medskip
(b)
Den generelle l{\o}sningen er
$$
x_n = 2^n (C \cos (n 2\pi/3) + D \sin (n 2\pi/3))
$$
med $C$ og $D$ reelle tall.

\medskip
(c)
S{\o}ker en partikul{\ae}r l{\o}sning p{\aa} formen
$x^p_n = An + B$.  F{\aa}r $A = 3$ og $B = -12/7$, s{\aa}
$$
x_n = 2^n (C \cos (n 2\pi/3) + D \sin (n 2\pi/3)) + 3n -12/7.
$$

\subhead Oppgave 8 \endsubhead

(a)
Bruker forholdstesten.
$$
\left| {x^{2(n+1)} \over (2(n+1))!} \bigg/ {x^{2n} \over (2n)!} \right|
= {x^2 \over (2n+2)(2n+1)} \to 0
$$
n{\aa}r $n \to \infty$, for hver $x$.  Konvergensomr{\aa}det er hele
$\R$.

\medskip
(b)
Deriver leddvis to ganger, og reindekser.

\medskip
(c)
Differensiallikningen har karakteristisk likning $r^2-1 = 0$
med r{\o}tter $r = \pm 1$ og generell l{\o}sning
$$
y(x) = C e^x + D e^{-x}.
$$
Den spesielle l{\o}sningen med $y(0) = 1$ og $y'(0) = 0$ er
den med $C = D = 1/2$.  Dermed er
$$
f(x) = {e^x + e^{-x} \over 2}.
$$

\enddocument
