MA 366: ARTIN RESIPROSITET

Referanse: J.W.S. Cassels and A. Frölich, ‘Algebraic Number Theory’, Academic Press, 1967. Se særlig kapittel VII av J.T. Tate om ‘Global Class Field Theory’ og Exercise 1 og 2 på s. 348–355.

Frobenius-automorfien

En tallkropp K er en endelig utvidelse av de rasjonale tall ℚ. La K ⊂ L være en Galois-utvidelse av tallkropper, med Galois-gruppe G = Gal(L/K). La O_{K} ⊂ O_{L} være ringene av algebraiske heltall i henholdsvis K og L. For et primideal v ⊂ O_{K} er kvotientringen O_{K}/v en endelig kropp med Nv elementer. For et primideal w ⊂ O_{L} er v = w ∩ O_{K} et primideal i O_{K}. Vi sier at w ligger over v. Et primideal v ⊂ O_{K} genererer et ideal v · O_{L} i O_{L} som entydig kan faktoriseres som et produkt w_{1}^{e_{1}} · . . . · w_{g}^{e_{g}} av primidealpotenser for primidealene w_{1}, …, w_{g} over v. Dersom e_{i} > 1 kalles w_{i} ramifisert over v, og hvis e_{i} = 1 kalles w_{i} uramifisert over v. Når K ⊂ L er Galois er e_{1} = ⋯ = e_{g}, så enten er alle w over v ramifiserte eller alle er uramifiserte. Vi sier et v selv er henholdsvis ramifisert eller uramifisert (i utvidelsen K ⊂ L). Kun endelig mange v kan være ramifisert. Dersom w er uramifisert over v finnes en Galois-automorfi σ_{w} ∈ G, som er karakterisert ved at σ_{w}(a) ≡ a^{Nv} (mod w) for alle a ∈ O_{L}. Denne kalles Frobenius-automorfien til w over v. Dersom w_{1} og w_{2} er uramifiserte over samme primideal v ⊂ O_{K} er σ_{w_{1}} og σ_{w_{2}} konjugerte automorfier i G = Gal(L/K). Dersom K ⊂ L er en abelsk utvidelse, dvs. hvis G er en abelsk gruppe, så avhenger σ_{w} ∈ G bare av primidealet v, og vi definerer F_{L/K}(v) = σ_{w} for et vilkårlig valg av w uramifisert over v. F_{L/K} er en avbildning fra mengden av uramifiserte primidealer v ⊂ O_{K} til den abelske Galois-gruppen G.

Potensrestsymbolet

La m være et naturlig tall, la ζ_{m} = e^{2πi/m} være en primitiv mte-rot av enheten, og la K være en tallkropp som inneholder ζ_{m}. La S være en mengde primidealer i O_{K} som inneholder alle de primidealene v som deler m, dvs. m ∈ v. For a ∈ K^{∗} og v ∉ S et primideal som ikke deler a, dvs. a ∉ v, er mtepotens-restsymbolet (a/v)_{m} definert ved likningen

F_{L/K}(a^{1/m}) = (\frac{a}{v})_{m} · a^{1/m}

der L = K(a^{1/m}) = K[x]/(x^{m} − a) er en Kummer-utvidelse. Da er (a/v)_{m} en mterot av enheten, uavhengig av valget av mterot a^{1/m}. Videre er Nv ≡ 1 (mod m) siden m ∉ v, og (a/v)_{m} er den entydige mteroten av enheten slik at

(\frac{a}{v})_{m} ≡ a^{\frac{Nv−1}{m}} (mod v) .

Vi har (a/v)_{m} = 1 hvis og bare hvis x^{m} ≡ a (mod v) har en løsning med x ∈ O_{K}. Så hvis a ≡ a′ (mod v) er (a/v)_{m} = (a′/v)_{m}. Videre er (aa′/v)_{m} = (a/v)_{m}(a′/v)_{m} dersom v ikke deler a og a′.

Typeset by AMS-TEX

Artins resiprositetslov

La K ⊂ L være en abelsk Galois-utvidelse, og la S være en mengde primidealer i O_{K} som inneholder alle de ramifiserte primidealene. Hver v ∈ S har en (eksplisitt) potens v^{m_{v}} slik at dersom b ∈ K^{∗} oppfyller b ≡ 1 (mod v^{m_{v}}) for alle v ∈ S, så er

∏_{v∉S} F_{L/K}(v)^{ord_{v}(b)} = 1 .

(Dersom m = 2 og ρ: K → ℝ må vi også anta at ρ(b) > 0.) For 0 ≠ b ∈ O_{K} er ord_{v}(b) den maksimale potensen av v som deler b, og generelt er ord_{v}(b_{1}/b_{2}) = ord_{v}(b_{1}) − ord_{v}(b_{2}).

Loven sier at dersom b er tilstrekkelig nær 1 ved alle ramifiserte primidealer v, så er produktet (i G) av Frobenius-automorfiene F_{L/K}(v) for alle uramifiserte primidealer v lik identiteten, hvis hvert ideal v gjentas så ofte som v deler b.

Betingelsen om at b ligger nær 1 kan reformuleres og presiseres på flere måter, som vi utelater her.

La nå L = K(a^{1/m}) være en Kummer-utvidelse, og la S være en mengde primidealer i O_{K} som inneholder alle primidealene som deler m, eller som er ramifisert. Dersom b ∈ K^{∗} er tilstrekkelig nær 1 ved alle v ∈ S (og ρ(b) > 0 dersom m = 2 og ρ: K → ℝ), så er

∏_{v∉S} (\frac{a}{v})_{m}^{ord_{v}(b)} = 1 .

Kvadratisk resiprositet

I tilfellet m = 2, K = ℚ er (a/p)_{2} = (a/p) = ±1 lik det kvadratiske restsymbolet, eller Legendre-symbolet, for p et (positivt rasjonalt) odde primtall, a et heltall og (a, p) = 1. Artins resiprositetslov for den kvadratiske utvidelsen ℚ ⊂ ℚ(\sqrt{a}) impliserer

(\frac{a}{p}) = (\frac{a}{q})

for p ≡ q (mod 8a_{0}), der a = 2^{v}a_{0} med a_{0} odde. (Da er b = p/q tilstrekkelig nær 1 ved primtallene som deler m = 2 eller er ramifisert i den kvadratiske utvidelsen.)

Hvis så p ≡ q (mod 8) er odde primtall lar vi q = p + 8a og finner at

(\frac{q}{p}) = (\frac{8a}{p}) = (\frac{8a}{q}) = (\frac{−p}{q}) .

De øvrige tilfellene av kvadratisk resiprositet følger forholdsvis lett fra dette. Se også K. Ireland og M. Rosen, ‘A Classical Introduction to Modern Number Theory’, Proposition 5.3.3.

Normrest-symbolet

La igjen K være en tallkropp som inneholder ζ_{m}. For a, b ∈ K^{∗} og v ⊂ O_{K} et vilkårlig primideal kan man definere et symbol (a, b)_{v} som er en veldefinert mterot av enheten. Hvis v ikke deler m eller a er

(a, b)_{v} = (\frac{a}{v})_{m}^{ord_{v}(b)} .

(Hvis m = 2 og ρ: K → ℝ er det også et symbol (a, b)_{ρ} som er +1 hvis ρ(a) > 0 eller ρ(b) > 0, og er −1 hvis ρ(a) < 0 og ρ(b) < 0.) Dette er ‘lokalt definert’, og er forholdsvis lett å regne ut.

Den generelle potens-resiprositetsloven

La a, b ∈ K^{∗}. Da er

(\frac{a}{b})_{m} (\frac{b}{a})_{m}^{−1} = ∏_{v∈S(a)∩S(b)}(b, a)_{v}

der produktet til høyre løper over de primidealene v ⊂ O_{K} som deler m, eller som deler både a og b. (Hvis m = 2 og ρ: K → ℝ må også symbolene (a, b)_{ρ} regnes med.) Merk at høyresiden bare avhenger av endelig mange primidealer v, og endelig mange reelle imbeddinger ρ: K → ℝ. En eksplisitt formel for høyresiden gir en resiprositetslov for mtepotens-restsymbolet.

For eksempel, hvis m = 2, K = ℚ og a = p ≠ b = q er odde primtall, så er høyresiden lik (−1)^{(p−1)/2·(q−1)/2} (kvadratisk resiprositet).

Hvis m = 3, K = ℚ(ζ_{3}) og a, b er relativt primiske og hver for seg ≡ ±1 (mod 3), så er høyresiden lik 1 (kubisk resiprositet).

Det kan i prinsipp gis konkrete algebraiske formler som bestemmer høyresiden også for m = p et odde primtall, K = ℚ(ζ_{p}) etc.

John Rognes

Oslo, 22. mai 2000