MA 366, ALGEBRAISK TALLTEORI

John Rognes

29. april 2003

Introduksjon

Vi skal følge Jürgen Neukirchs lærebok “Algebraic Number Theory,” Springer– Verlag, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, bind 322, ISBN 3-540-65399-6. Boken inneholder:

(1) en introduksjon til algebraisk tallteori for globale og lokale kropper, med ideal-teoretiske og valuasjons-teoretiske metoder; (kapittel I–III);

(2) en oversikt over abstrakt, lokal og global klassekropp-teori (kapittel IV–VI);

(3) en introduksjon til analytisk tallteori for zeta-funksjoner og L-rekker (kapit-

tel VII). I dette kurset vil vi nøye oss med den første av disse tre delene, eventuelt med en liten smakebit av den tredje delen slik den angår Riemanns zeta-funksjon og Riemann-hypotesen. Kurset kan oppfattes som en introduksjon til de aritmetiske eller tallteoretiske aspektene av Connes’ program for Riemann-hypotesen, som er tenkt å fungere som en rød tråd for avdelingens strategiske universitetsprogram i ren matematikk (SUPREMA, “New Contexts for Arithmetic and Geometry”).

Kapittel I handler om teorien for algebraiske heltall, som utviklet av bl.a. Euklid, Euler, Gauss, Dedekind, Dirichlet, Kummer, Minkowski og Hilbert.

I §1 vil vi først studere ringen ℤ av hele tall ved hjelp av ringen ℤ[i] av Gaussiske heltall, og mer generelt i §2 ringen O_{K} av algebraiske heltall i en tallkropp K, dvs. en kropp som er en endelig utvidelse av kroppen ℚ av rasjonale tall. Viktige eksempler på tallkropper er de kvadratiske (grad 2) kroppene K = ℚ(\sqrt{a}), der a er et kvadratfritt heltall, og de syklotomiske (sirkeldelende) kroppene K = ℚ(ζ), der ζ = e^{2πi/n} er en primitiv n-te rot av enheten. Vi er særlig interessert i primfaktorisering i slike ringer. Vi skal se i §3 at når tallbegrepet utvides fra å bety elementer i O_{K} til å også omfatte ideelle tall, dvs. idealer i O_{K}, så kan hvert ideal entydig faktoriseres som et produkt av primidealer. Dette kalles teorien for Dedekind-områder.

Så vil vi måle hvor langt dette er fra å gi et entydig faktoriserings-resultat for de opprinnelige tallene, dvs. elementene i O_{K}. Avviket er bestemt av to abelske grupper:

(1) idealklasse-gruppen Cl_{K} som forteller hvor mange flere ideelle tall det er enn elementer i O_{K};

(2) enhetsgruppen O_{K}^{∗} som forteller hvor mange elementer i O_{K} som identifiseres til det samme ideelle tallet;

Typeset by AMS-TEX

og en eksakt sekvens:

0 → O_{K}^{∗} → K^{∗} → J_{K} → Cl_{K} → 0 .

I §6 skal vi vise at idealklasse-gruppen Cl_{K} er en endelig gruppe. Dens orden kalles klassetallet til K. For å vise dette vil vi bruke Minkowski-teorien om gittere i Euklidiske vektorrom (indreproduktrom), som utvikles i §4 for generell gittere, og i §5 for spesielle gittere i det såkalte Minkowski-rommet til K. Vi berører Kummers resultat at Fermats likning x^{p} + y^{p} = z^{p} ikke har heltallige løsninger ≠ 0 for regulære primtall p ≥ 3. I §7 viser vi Dirichlets enhets-teorem, som gir strukturen til enhetsgruppen O_{K} oppfattet som en endelig-generert abelsk gruppe. Med dette har vi uttrykt faktoriseringsteorien i O_{K} ved hjelp av mengden (skjemaet) Spec(O_{K}) av primidealer i O_{K}.

I §8 ser vi på en utvidelse av tallkropper K ⊂ L, og sammenligner primidealene i O_{K} med primidealene i O_{L}. Det er en avbildning Spec(O_{L}) → Spec(O_{K}), og vi vil klassifisere primidealene i O_{L} som ligger over (avbildes til) et gitt primideal i O_{K} ved to tall: ramifikasjons-indeksen e og restgraden (treghets-graden) f. Ved å analysere denne klassifikasjonen for kroppsutvidelsen ℚ ⊂ ℚ(\sqrt{a}) vil vi vise Gauss’ kvadratiske resiprositets-sats. I §9 følger vi Hilbert og ser hvordan klassifikasjonen kan forenkles og presiseres i tilfellet hvor K ⊂ L er en Galois-utvidelse av tallkropper.

I §10 om syklotomiske kropper konkretiseres hele teorien i tilfellet med K = ℚ(ζ). Dette gir et nytt bevis for kvadratisk resiprositet, men peker også langt videre. Ved Kronecker–Webers teorem er hver abelsk utvidelse av ℚ, dvs. hver Galois-utvidelse med abelsk Galois-gruppe, inneholdt i en syklotomisk tallkropp. Klassekropp-teori er teorien utviklet av Hilbert, Furtwängler og flere, som mer generelt klassifiserer abelske utvidelser av andre tallkropper. En sentral konstruksjon i denne teorien oppfatter primidealer som elementer i en Galois-gruppe, nemlig som Frobeniusoperatoren assosiert til primidealet. Dette leder f.eks. frem til Artins resiprositetssats for n-te potens-rester (1927), som i tilfellet n = 2 gir kvadratisk resiprositet. Iwasawa-teori handler om oppførselen til idealklasse-gruppene i passende tårn av tallkropper, slik som de syklotomiske kroppene ℚ(ζ) for voksende n. Iwasawas hoved-formodning (main conjecture) uttrykker disse ved visse analytiske objekter som kalles p-adiske L-funksjoner, og ble bevist av Mazur og Wiles (1984).

§§1–10 utgjør kjernen i den aritmetiske teorien for tallkropper. Men det er også en annen klasse av kropper som har en helt parallell aritmetisk teori, nemlig de endelige utvidelsene av kroppen 𝔽_{p}(t) av rasjonale funksjoner i en variabel t over en primkropp 𝔽_{p} med p elementer. Slike kropper kalles funksjonskropper (over endelige kropper), og med en global kropp mener vi enten en tallkropp (over ℚ) eller en slik funksjonskropp (over 𝔽_{p}(t)). I tilfellet funksjonskropper kommer algebraisk geometri til assistanse, og nesten alle aritmetiske resultater om tallkropper har en parallell form for funksjonskropper, som ofte er lettere å bevise fordi det er algebrogeometriske teknikker som er tilgjengelige. Riemann-hypotesen er et ekstremt tilfelle; det tilsvarende resultatet for funksjonskropper kalles Weil-formodningen, og ble bevist av Deligne, mens hypotesen for tallkropper er fortsatt åpen. §§11–14 redegjør for noe av denne utviklingen.

Kapittel II handler om teorien for valuasjoner, og spesielt om lokale kropper, dvs. de kroppene som oppstår som kompletteringer av globale kropper. Dette er en effektiv måte å begrense oppmerksomheten fra fenomener som involverer alle primidealene, som i en global kropp, til de aspektene som bare gjelder ett enkelt primideal. Metoden tilsvarer å erstatte glatte funksjoner med deres formelle Taylorrekkeutviklinger. I §1 konstrueres kroppen ℚ_{p} av p-adiske tall og i §2 innføres den p-adiske absoluttverdien | |_{p}, som i §3 abstraheres til begrepet valuasjon på en kropp. Vi viser at den reelle absoluttverdien | |_{p} og de p-adiske absoluttverdiene | |_{p} essensielt utgjør alle mulige valuasjoner på ℚ. I §4 konstruerer vi kompletteringen av en kropp med hensyn på en valuasjon, og viser Hensels lemma om når faktoriseringer i en restkropp kan løftes til valuasjonsringen i en lokal kropp. ((ETC))

§1. De Gaussiske heltall

Faktorisering i hovedidealområder.

La R være en kommutativ ring med enhet 1, for eksempel ringen ℤ av hele tall. Ringen R kalles et integritetsområde dersom ab = 0 i R medfører a = 0 eller

b = 0. Dette er ekvivalent med at dersom a ≠ 0 og b ≠ 0 så er ab ≠ 0.

Et element a ∈ R genererer et hovedideal (a) = {xa | x ∈ R} ⊂ R. Et integritetsområde R kalles et hovedidealområde (principal ideal domain, PID) dersom hvert ideal I ⊂ R er et hovedideal, dvs. har formen I = (a).

Ringen R er noethersk dersom enhver voksende kjede

I_{0} ⊂ ⋯ ⊂ I_{n} ⊂ I_{n+1} ⊂ …

av idealer i R etter hvert er stasjonær, dvs. det finnes en m slik at I_{n} = I_{m} for alle n ≥ m.

Lemma. Ethvert hovedidealområde er noethersk.

Bevis. La I_{∞} = ⋃_{n≥0} I_{n}. Dette er et ideal i R, så det finnes et element a ∈ R med I_{∞} = (a). Da er a ∈ ⋃_{n≥0} I_{n}, så det finnes en m med a ∈ I_{m}. Da er I_{n} ⊂ I_{∞} = (a) ⊂ I_{m} ⊂ I_{n} for alle n ≥ m, dvs. R er noethersk. □

Et element u ∈ R kalles en enhet dersom det finnes et element x ∈ R med xu = 1, dvs. dersom u er invertibel i R. Enhetene i R danner en (abelsk) gruppe R^{∗} under multiplikasjon.

Et element π ∈ R kalles irredusibelt dersom π ikke er en enhet og π = ab i R medfører at a eller b er en enhet. Elementet π ≠ 0 kalles redusibelt (eller sammensatt) dersom π = ab der a og b ikke er enheter.

Proposisjon. I et noethersk integritetsområde R kan hvert element a ≠ 0 faktoriseres som et produkt

a = u · π_{1} · . . . · π_{n}

av en enhet u og endelig mange irredusible elementer π_{1}, …, π_{n}.

Bevis. Hvis a er en enhet, la n = 0 og u = a. Ellers kan vi induktivt anta at a = π_{1} · . . . · π_{n−1} · a_{n}, med n ≥ 1, der ingen av π_{1}, …, π_{n−1}, a_{n} er enheter. Dersom alle π_{1}, …, π_{n−1}, a_{n} er irredusible er vi fremme, med u = 1 og π_{n} = a_{n}. Hvis ikke er minst en av π_{1}, …, π_{n−1}, a_{n} redusibel; ved å omnumrere kan vi anta at det er a_{n}. Vi skriver a_{n} = π_{n} · a_{n+1}, der π_{n} og a_{n+1} ikke er enheter. Da er a = π_{1} ·. . .·π_{n} ·a_{n+1}, og argumentet kan gjentas. Enten så stopper denne prosessen ved et endelig stadium, som ønsket, eller den kan fortsettes i det uendelige. I så fall har vi en uendelig voksende følge av hovedidealer

(a_{1}) ⊂ ⋯ ⊂ (a_{n}) ⊂ (a_{n+1}) ⊂ …

Disse inklusjonene er ekte, for en likhet (a_{n}) = (a_{n+1}) ville implisert at π_{n} er en enhet, siden R er et integritetsområde. Men dette er umulig i en noethersk ring. □

Vi skal snart komme tilbake til spørsmålet om entydighet av en slik faktorisering. La a, b være elementer i R. Vi sier at a deler b, og skriver a | b, dersom b = xa

for et element x ∈ R.

Lemma. Dersom a | b og b | a i et integritetsområde R finnes en enhet u ∈ R^{∗} slik at b = ua.

Bevis. Vi kan skrive b = xa og a = yb, så a = yb = yxa. Dersom a = 0 er b = 0 og vi kan la u = 1. Ellers er yx = 1, siden R er et integritetsområde, så u = x er en enhet med b = ua. □

Et element p ∈ R kalles et primelement dersom p | ab medfører at p | a eller p | b.

Lemma. I et integritetsområde er ethvert primelement et irredusibelt element.

Bevis. Hvis p er et primelement og p = ab, så vil p | ab så p | a eller p | b. Men a | p og b | p, så i det første tilfellet må b være en enhet og i det andre tilfellet må a være en enhet. Altså er primelementet p irredusibelt. □

La a, b være elementer i R. Vi sier at d er en største felles faktor i a og b hvis d | a, d | b, og dersom c | a og c | b så vil c | d.

La (a, b) = {xa + yb | x, y ∈ R} ⊂ R være idealet generert av a og b.

Lemma. I et hovedidealområde R har hvert par av elementer a, b en største felles faktor d, gitt ved at (d) = (a, b). Det finnes elementer x, y ∈ R slik at d = xa + yb.

Bevis. Siden R er et hovedidealområde er idealet (a, b) et hovedideal, og har derfor formen (d) for et element d ∈ R. Siden d ∈ (d) = (a, b) er det klart at vi kan skrive d = xa + yb for passende x, y ∈ R. Da er a ∈ (a, b) = (d), så a = xd for en x ∈ R og d | a. Tilsvarende vil d | b. Dersom c | a og c | b vil c | xa + yb, så c | d, og d er en største felles faktor i a og b. □

Hvis 1 er en største felles faktor i a og b, dvs. (a, b) = (1) = R, så sier vi at a og b er relativt primiske, og skriver (a, b) = 1.

En største felles faktor er veldefinert opp til multiplikasjon med en enhet, dvs. hvis d er en største felles faktor i a og b så er alle de andre største felles faktorene gitt som ud, der u ∈ R^{∗} gjennomløper enhetene i R. Vi sier derfor ofte litt upresist at d er den største felles faktoren.

Proposisjon. I et hovedidealområde er ethvert irredusibelt element et primelement.

Bevis. La π være et irredusibelt element, og anta at π | ab. Vi skal vise at π | a eller π | b. Den største felles faktoren (π, a) i π og a deler π, så enten er (π, a) = π eller (π, a) = 1, opp til multiplikasjon med en enhet. I det første tilfellet vil π = (π, a) dele a, og vi er fremme. I det andre tilfellet kan vi skrive 1 = xπ+ya, med x, y ∈ R. Da er b = xπb + yab, og siden π | xπb og π | yab vil π | b, og vi er igjen fremme. □

I hovedidealområder er det altså ingen forskjell mellom primelementer og irredusible elementer.

Teorem. I et hovedidealområde R kan hvert element a ≠ 0 essensielt entydig faktoriseres som et produkt

a = u · π_{1} · . . . · π_{n}

der u er en enhet, n ≥ 0 og π_{1}, …, π_{n} er irredusible elementer. Dersom

a = u′ · π′_{1} · . . . · π′_{m}

er en annen slik faktorisering, så er m = n og det finnes en permutasjon σ ∈ Σ_{n} og enheter u_{1}, …, u_{n} slik at π′_{i} = u_{i} · π_{σ(i)} for hver i = 1, …, n.

Bevis. Hovedidealområder er noetherske, så eksistensen av en slik faktorisering er allerede kjent. Når det gjelder entydighet så vil π′_{m} | a = u · π_{1} · . . . · π_{n} medføre at π′_{m} | π_{j} for en j = σ(m), siden det irredusible elementet π′_{m} er et primelement. Siden π_{j} er irredusibel, og π′_{m} ikke er en enhet, må det finnes en enhet u_{m} slik at π′_{m} = u_{m} · π_{j}. La b = a/π′_{m}, og gjenta argumentet med de kortere faktoriseringene

b = (u/u_{m}) · π_{1} · . . . · π_{j−1} · π_{j+1} · . . . · π_{n}

og

b = u′ · π′_{1} · . . . · π′_{m−1} .

Prosessen stopper ved m = 0, og har definert en injektiv funksjon σ fra {1, …, m} til {1, …, n}, så n ≥ m. Argumentet er symmetrisk i de to faktoriseringene, og spesielt i n og m, så vi får at n = m og σ er bijektiv, dvs. en permutasjon. □

Et integritetsområde R der elementene har en slik essensielt entydig faktorisering kalles et entydig faktoriseringsområde (unique factorization domain, UFD). Faktoriseringen kan altså bare endres ved å omnumrere de irredusible faktorene, og å multiplisere dem med enheter.

La S ⊂ R være en mengde irredusible elementer i R, slik at hvert irredusibelt element π′ i R kan skrives på formen π′ = u · π for en enhet u i R^{∗} og et entydig element π ∈ S. La ℕ_{0} = ℕ ∪ {0} være de ikke-negative heltallene. Dersom R er et entydig faktoriseringsområde er den multiplikative monoiden R \ {0} isomorf med produktet av undergruppen R^{∗} av enheter og den fri abelske monoiden på mengden S

R \ {0} ≅ R^{∗} × ⨁_{S} ℕ_{0} .

Et element a ≠ 0 i R svarer til u ∈ R^{∗} og følgen (v_{π}(a) | π ∈ S) i ⨁_{S} ℕ_{0} der a = u·∏_{π∈S} π^{v_{π}(a)} med hver eksponent v_{π}(a) ≥ 0 og bare endelig mange v_{π}(a) ≠ 0. Her er v_{π}(a) lik antallet ganger det irredusible elementet π forekommer i en slik faktorisering av a.

Et Euklidisk område er et integritetsområde R utstyrt med en funksjon

d: R \ {0} → ℕ ∪ {0}

fra elementene a ≠ 0 i R til de ikke-negative heltallene, slik at for hvert par av elementer a, b ∈ R med b ≠ 0 finnes det elementer q, r ∈ R (quotient, remainder) med

a = qb + r

og enten r = 0 eller d(r) < d(b).

For eksempel er R = ℤ et Euklidisk område med d(a) = |a| lik absoluttverdien til det hele tallet a ≠ 0. Ringen R = k[x] av polynomer i en variabel x over en kropp k er et Euklidisk område med d(f(x)) lik graden til polynomet f(x) ∈ k[x]. Vi skal snart se at ringen

ℤ[i] = {x + yi | x, y ∈ ℤ}

av Gaussiske heltall er et Euklidisk område, med d(x + yi) = x^{2} + y^{2}.

Proposisjon. Et Euklidisk område er et hovedidealområde.

Bevis. La I ⊂ R være et ideal ulik {0} = (0). Da finnes elementer a ≠ 0 i I, slik at d(a) er et ikke-negativt heltall. Velg b ∈ I slik at d(b) tar den minst mulige verdien; dette er mulig siden en ikke-tom mengde av ikke-negative heltall har et minste element. Da er I = (b). For (b) ⊂ I er klart, og hvis a ∈ I finnes q, r ∈ R med a = qb + r og r = 0 eller d(r) < d(b). Men r = a − qb ∈ I siden a, b ∈ I, så d(r) < d(b) er umulig slik som b ble valgt. Derfor er a = qb ∈ (b). Og a ∈ I var vilkårlig, så I ⊂ (b). Dermed er I = (b) et hovedideal. □

§2. Kongruensregning

Definisjon (Eulers ϕ-funksjon). For hvert naturlig tall m, la ϕ(m) være antallet heltall mellom 1 og m som er relativt primiske til m:

ϕ(m) = #{k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ m, (k, m) = 1} .

Restklassen til k er en enhet i ℤ/m hvis og bare hvis den genererer hele ℤ/m, som er ekvivalent med at (k, m) = 1. Så ϕ(m) = #(ℤ/m)^{∗} er lik antallet enheter i ℤ/m.

Lemma 1. La m = p_{1}^{e_{1}} · . . . · p_{r}^{e_{r}} med hver e_{i} ≥ 1. Da er

ϕ(m) = (p_{1}^{e_{1}} − p_{1}^{e_{1}−1}) · . . . · (p_{r}^{e_{r}} − p_{r}^{e_{r}−1}) = m ∏_{i=1}^{r}(1 − p_{i}^{−1}) .

Bevis. Ved det kinesiske restteoremet er (ℤ/m)^{∗} ≅ ⨁_{i=1}^{r}(ℤ/p_{i}^{e_{i}})^{∗}, så

ϕ(m) = ϕ(p_{1}^{e_{1}}) · . . . · ϕ(p_{r}^{e_{r}}) .

Videre er ϕ(p^{e}) = p^{e} − p^{e−1} siden et heltall k = 1, …, p^{e} er relativt primisk til p^{e} hvis og bare hvis k ikke er ett av de p^{e−1} multiplene av p. □

Proposisjon 2. ∑_{d|m} ϕ(d) = m.

Bevis. Vi samler restklassene til k = 1, …, m i ekvivalensklasser etter hvilken undergruppe av ℤ/m de genererer. Det er en entydig slik undergruppe for hver divisor d | m, som er syklisk av orden d. Ekvivalensklassen av restklasser som genererer denne undergruppen har derfor ϕ(d) elementer. Ved å summere antall elementer over de ulike ekvivalensklassene følger formelen. □

Lemma 3. La k være en kropp og f(x) ∈ k[x] et polynom av grad n. Da har f(x) høyst n ulike røtter i k.

Bevis. Dette er klart ved induksjon på graden til f(x). □

Proposisjon 4. Hvis d | p − 1 har likningen x^{d} ≡ 1 (mod p) nøyaktig d ulike løsninger i ℤ/p.

Bevis. La p − 1 = dq. Da er

(x^{p−1} − 1) = (x^{d} − 1)g(x)

med g(x) = x^{d(q−1)} + ⋯ + x^{d} + 1. Polynomet

x^{p−1} − 1 ≡ (x − 1)(x − 2) · . . . · (x − (p − 1)) (mod p)

har (p − 1) ulike røtter i ℤ/p ved Fermats lille teorem, og g(x) har høyst d(q − 1) ulike røtter ved Lemma 3, så x^{d} − 1 har minst (p − 1) − d(q − 1) = d ulike røtter. Ved Lemma 3 igjen har x^{d} − 1 nøyaktig d ulike røtter. □

Teorem 1 (Gauss). La p være et primtall. Enhetsgruppen (ℤ/p)^{∗} er en syklisk gruppe.

Bevis. For m | p − 1 la ψ(m) være antall elementer i (ℤ/p)^{∗} av orden lik m. Ved Proposisjon 4 er det m elementer i (ℤ/p)^{∗} som oppfyller x^{m} ≡ 1 (mod p), og hver av disse har en orden d som deler m. Ved å telle opp får vi

∑_{d|m} ψ(d) = m .

Viser ved induksjon at ψ(m) = ϕ(m) for alle m | p − 1. For m = 1 er ψ(1) = 1 = ϕ(1). Anta ved induksjon at ψ(d) = ϕ(d) for alle d | m med d ≠ m. Da er

ψ(m) = m − ∑_{{d|m \atop d≠m}} ψ(d) = m − ∑_{{d|m \atop d≠m}} ϕ(d) = ϕ(m) .

Her har vi brukt Proposisjon 2.

Altså er ψ(p − 1) = ϕ(p − 1) ≥ 1, ved Lemma 1. Så det finnes et element i (ℤ/p)^{∗} av orden lik (p−1), som også er ordenen til denne gruppen. Altså er (ℤ/p)^{∗} syklisk. □

Siden (ℤ/p)^{∗} har orden ϕ(p) = p − 1 kan vi skrive (ℤ/p)^{∗} ≅ ℤ/(p − 1). Et valg av en slik isomorfi svarer til et valg av en generator for (ℤ/p)^{∗}. Det er ϕ(p−1) slike valg, siden ℤ/(p − 1) har ϕ(p − 1) ulike generatorer.

Definisjon. Et heltall a kalles en primitiv rot modulo p dersom ā genererer gruppen (ℤ/p)^{∗}. Så a er en primitiv rot modulo p dersom p − 1 er det minste naturlige tall n slik at a^{n} ≡ 1 (mod p).

Eksempel. 2 er en primitiv rot modulo p for p = 3, 5, 11, 13 og 19, men ikke for p = 7 eller 17.

8 JOHN ROGNES

§3. Fermats siste teorem

Vi viser det første tilfellet av Fermats siste teorem for regulære primtallseksponenter. Beviset er hentet fra L. C. Washingtons bok “Introduction to Cyclotomic Fields,” Graduate Texts in Mathematics 83, Springer Verlag (1982).

La ℓ være et odde primtall. Teorem (Kummer). La ζ_{ℓ} = exp(2πi/ℓ) være en primitiv ℓte–rot av enheten, og la h_{ℓ} være klassetallet til den ℓte syklotomiske tallkroppen ℚ(ζ_{ℓ}). Anta at ℓ er et regulært primtall, dvs. at ℓ ikke deler h_{ℓ}. Da har likningen

x^{ℓ} + y^{ℓ} = z^{ℓ}

ingen løsninger x, y, z ∈ ℤ med x, y og z relativt primiske til ℓ.

Vi viser dette ved en serie lemmaer. La ζ = ζ_{ℓ}. Lemma 1. Likningen x^{ℓ} + y^{ℓ} = z^{ℓ} har følgende faktorisering i ℤ[ζ]

∏_{i=0}^{ℓ−1}(x + ζ^{i}y) = z^{ℓ}.

Bevis. Polynomet X^{ℓ} + 1 har røttene −1, −ζ, …, −ζ^{ℓ−1}, så kan faktoriseres som ∏_{i=0}^{ℓ−1}(X + ζ^{i}). La så X = x/y. □

Følgende resultater er kjent. Proposisjon 2. Heltallsringen D = O_{ℚ(ζ)} i ℚ(ζ) er ℤ[ζ]. Lemma 3. La r, s være hele tall primiske til ℓ. Da er (ζ^{r} − 1)/(ζ^{s} − 1) en enhet i ℤ[ζ].

Disse enhetene kalles syklotomiske enheter, og genererer sammen med ±ζ^{i} en undergruppe av enhetene i ℤ[ζ] av endelig indeks. Lemma 4. Idealet (1 − ζ) er et primideal i ℤ[ζ], med (1 − ζ)^{ℓ−1} = (ℓ).

Vi sier at (1 − ζ) er totalt ramifisert i ℚ(ζ). Lemma 5. Hvis α er et algebraisk heltall slik at alle dets Galoiskonjugerte har absoluttverdi 1, så er α en enhetsrot. Bevis. La α ha grad n over ℚ. Hver potens α^{i} av α har da Galoiskonjugerte med absoluttverdi 1, og grad m ≤ n. Så koeffisientene i dets irredusible polynom

f(x) = x^{m} + a_{m−1}x^{m−1} + ⋯ + a_{0}

er de elementære symmetriske polynomene i komplekse tall med absoluttverdi 1, og oppfyller derfor |a_{k}| ≤ \binom{m}{k} ≤ \binom{n}{k}. Derfor er det bare endelig mange slike polynomer, med tilsammen endelig mange røtter. Når i varierer gjennomløper α^{i} bare endelig mange verdier, dvs. for en i > 0 er α^{i} = 1. □

Lemma 6. Enhetsrøttene i ℚ(ζ) er på formen ±ζ^{a}, med a = 0, 1, …, ℓ − 1.

Bevis. En enhetsrot α er på formen exp(2πi · r) med r = u/v rasjonal. Antar at (u, v) = 1. La ζ_{v} = exp(2πi/v). Hvis v|2ℓ er α = ±ζ^{a} som ønsket. Hvis ikke, la m være det minste felles multiplum av ℓ og v. Da vil ϕ(m) > ϕ(ℓ). Men samtidig er ℚ(ζ_{m}) = ℚ(ζ, α) ⊆ ℚ(ζ), som gir selvmotsigelsen ϕ(m) ≤ ϕ(ℓ). □

Lemma 7. La ϵ være en enhet i ℤ[ζ]. Da finnes det en reell ϵ^{+} ∈ ℚ(ζ)^{+} = ℚ(ζ) ∩ ℝ = ℚ(ζ + ζ^{−1}) og r ∈ ℤ, slik at ϵ = ζ^{r}ϵ^{+}.

ℚ(ζ)^{+} = ℚ(ζ) ∩ ℝ = ℚ(ζ + ζ^{−1}) er den maksimale reelle underkroppen av ℚ(ζ).

Bevis. ϵ/ϵ̄ er en enhetsrot ved Lemma 5, så ϵ/ϵ̄ = ±ζ^{a} for en a ∈ ℤ ved Lemma 6.

Anta ϵ/ϵ̄ = −ζ^{a} for å få en selvmotsigelse. La ϵ = b_{0} + b_{1}ζ + ⋯ + b_{ℓ−2}ζ^{ℓ−2}. Da er ϵ ≡ b_{0} + b_{1} + ⋯ + b_{ℓ−2} mod (1 − ζ) og ϵ̄ = b_{0} + b_{1}ζ^{−1} + ⋯ + b_{ℓ−2}ζ^{−ℓ+2} ≡ b_{0} + b_{1} + ⋯ + b_{ℓ−2} ≡ ϵ = −ζ^{a}ϵ̄ ≡ −ϵ̄ mod (1 − ζ). Så 2ϵ̄ ≡ 0 mod (1 − ζ). Men 2 ∉ (1 − ζ) siden (1 − ζ) ∩ ℤ = (ℓ) og ℓ er odde. Siden (1 − ζ) er et primideal må ϵ̄ ∈ (1 − ζ), som er umulig fordi ϵ̄ er en enhet.

Derfor er ϵ/ϵ̄ = +ζ^{a}. La 2r ≡ a mod ℓ, og sett ϵ^{+} = ζ^{−r}ϵ. Da er ϵ̄^{+} = ζ^{r}ϵ̄ = ζ^{r−a}ϵ = ϵ^{+} reell. □

Bevis av teoremet. Anta x^{ℓ} + y^{ℓ} = z^{ℓ} med x, y og z relativt primiske til ℓ.

Hvis ℓ = 3 kan vi regne modulo 9, og finner at x^{3} ≡ ±1 mod 9 og tilsvarende for y og z. Så x^{3} + y^{3} ≡ −2, 0 eller +2 kan ikke være ikke kongruent med z^{3}. Dette viser teoremet i tilfellet ℓ = 3.

Anta heretter at ℓ ≥ 5. Vi kan anta at x, y og z er relativt primiske. Ellers deler vi ut med den største felles faktoren. Hvis x ≡ y mod ℓ omskriver vi likningen som

x^{ℓ} + (−z)^{ℓ} = (−y)^{ℓ}.

Dersom også x ≡ −z mod ℓ vil (−z)^{ℓ} + (−z)^{ℓ} ≡ z^{ℓ} mod ℓ, eller ℓ|3z^{ℓ}, som er umulig siden ℓ ≥ 5. Derfor kan vi anta at x ≢ y mod ℓ.

Vi trenger ytterligere tre lemmaer.

Lemma 8. Idealene (x + ζ^{i}y) for i = 0, 1, …, ℓ − 1 er parvis relativt primiske.

Bevis. La P være et primideal i ℤ[ζ] med P|(x + ζ^{i}y) og P|(x + ζ^{j}y), hvor i ≠ j. Da vil P|(ζ^{i}y − ζ^{j}y) = (enhet)(1 − ζ)y ved Lemma 3. Så P = (1 − ζ) eller P|y. Tilsvarende vil P|ζ^{j}(x + ζ^{i}y) − ζ^{i}(x + ζ^{j}y) = (enhet)(1 − ζ)x så P = (1 − ζ) eller P|x. Hvis P ≠ (1 − ζ) er P|x og P|y, som er umulig siden (x, y) = 1. For P ligger over et rasjonalt primtall, som må dele både x og y. Derfor er P = (1 − ζ).

Men da er x + y ≡ x + ζ^{i}y ≡ 0 mod P, slik P er valgt. Og P = (1 − ζ) ligger over ℓ, så x + y ≡ 0 mod ℓ. Men z^{ℓ} = x^{ℓ} + y^{ℓ} ≡ x + y = 0 mod ℓ gir ℓ|z, mot vår antagelse. □

Lemma 9. La α ∈ ℤ[ζ]. Da er α^{ℓ} kongruent modulo ℓ med et rasjonalt heltall.

Bevis. La α = b_{0} + b_{1}ζ + ⋯ + b_{ℓ−2}ζ^{ℓ−2}. Da er α^{ℓ} ≡ b_{0}^{ℓ} + (b_{1}^{ζ})^{ℓ} + ⋯ + (b_{ℓ−2}ζ^{p−2})^{ℓ} = b_{0}^{ℓ} + b_{1}^{ℓ} ⋯ + b_{ℓ−2}^{ℓ} mod ℓ. □

Lemma 10. La α = a_{0} + a_{1}ζ + ⋯ + a_{ℓ−1}ζ^{ℓ−1} med a_{i} ∈ ℤ, og anta at minst en a_{i} = 0. Hvis n ∈ ℤ og n|α så deler n hver a_{j}.

Bevis. Siden 1 + ζ + ⋯ + ζ^{ℓ−1} = 0 danner {1, ζ, …, ζ^{i−1}, ζ^{i+1}, …, ζ^{ℓ−1}} en basis for ℤ-modulen ℤ[ζ]. Så a_{j}ene med j ≠ i danner koeffisienter for α med hensyn på en heltallsbasis, og hvis n|α må n|a_{j} for alle j. □

Vi kan nå avslutte beviset for teoremet. Vi har en likhet av idealer

∏_{i=0}^{ℓ−1}(x + ζ^{i}y) = (z)^{ℓ}.

Siden idealene (x+ζ^{i}y) for i = 0, 1, …, ℓ−1 er parvis relativt primiske ved Lemma 8, må hvert av dem være ℓte potens av et ideal:

(x + ζ^{i}y) = 𝔄_{i}^{ℓ}.

Her bruker vi at ringen av syklotomiske heltall er et Dedekindområde, med entydig faktorisering av idealer i primidealer.

Merk at 𝔄_{i}^{ℓ} er et hovedideal. Fordi klassetallet h_{ℓ} er antatt å være primisk til ℓ må også 𝔄_{i} være et hovedideal. For multiplikasjon med ℓ virker invertibelt på idealklassegruppen, siden dette er en endelig abelsk gruppe med orden primisk til ℓ. La 𝔄_{i} = (α_{i}). Så (x + ζ^{i}y) = (α_{i}^{ℓ}) og x + ζ^{i}y = (enhet) · α_{i}^{ℓ}.

La i = 1 og skriv α = α_{1}, så x + ζy = ϵα^{ℓ} for en enhet ϵ = ζ^{r}ϵ^{+}, hvor r ∈ ℤ og ϵ^{+} er reell, ved Lemma 7.

Ved Lemma 9 finnes a ∈ ℤ med α^{ℓ} ≡ a mod ℓ, så x + ζy = ζ^{r}ϵ^{+}α^{ℓ} ≡ ζ^{r}ϵ^{+}a mod ℓ. Videre er x + ζ^{−1}y = ζ^{−r}ϵ^{+}ᾱ^{ℓ} ≡ ζ^{−r}ϵ^{+}ā = ζ^{−r}ϵ^{+}a mod ℓ. Vi får

ζ^{−r}(x + ζy) ≡ ζ^{r}(x + ζ^{−1}y) mod ℓ

eller

(∗)  x + ζy − ζ^{2r}x − ζ^{2r−1}y ≡ 0 mod ℓ

Hvis 1, ζ, ζ^{2r} og ζ^{2r−1} er forskjellige sier Lemma 10 at ℓ|x og ℓ|y, siden ℓ ≥ 5, mot vår antagelse. Derfor er de ikke forskjellige. Det er tre muligheter:

(1) 1 = ζ^{2r}. Fra (∗) er x + ζy − x − ζ^{−1}y ≡ 0 mod ℓ, så ζy − ζ^{ℓ−1}y ≡ 0 mod ℓ, og ved Lemma 10 vil ℓ|y. Selvmotsigelse.

(2) 1 = ζ^{2r−1} eller ekvivalent ζ = ζ^{2r}. Fra (∗) er (x − y) − (x − y)ζ ≡ 0 mod ℓ, så ℓ|x − y fra Lemma 10. Men vi har antatt x ≢ y mod ℓ. Selvmotsigelse.

(3) ζ = ζ^{2r−1}. Likningen (∗) gir x − ζ^{2}x ≡ 0 mod ℓ, så ℓ|x ved Lemma 10 igjen. Selvmotsigelse.

Hypotesen om en løsning til Fermats likning gir derfor i alle tilfeller en selvmotsigelse, og beviset er fullstendig. □