BILDET AV J-HOMOMORFIEN I STABIL

HOMOTOPI OG ALGEBRAISK K-TEORI

John Rognes

Januar 1993

Introduksjon

Omkring J-homomorfien, J-teori diagrammet, stabil homotopiteori av sfærer, topologisk K-teori, algebraisk K-teori av de hele tall, Lichtenbaum–Quillen formodningene.

Vi vil bruke en geometrisk konstruksjon for å studere stabile homotopigrupper av sfærer, og høyere algebraisk K-teori av de hele tall.

La O(n) være den ortogonale gruppen av isometrier ℝ^{n} → ℝ^{n}, og la Ω^{n}S^{n} være rommet av basispunkt bevarende kontinuerlige avbildninger S^{n} → S^{n}. Ettpunkts kompaktifisering definerer en avbildning av rom

j: O(n) → Ω^{n}S^{n}.

Den induserte avbildningen på høyere homotopigrupper kalles J-homomorfien. Den avbilder fra noe kjent

π_{∗}(O(n)) = (ℤ/2, ℤ/2, 0, ℤ, 0, 0, 0, ℤ, ℤ/2, ℤ/2, 0, ℤ, …)

for n stor, til noe fundamentalt men komplisert

π_{∗}(Ω^{n}S^{n}) = (ℤ, ℤ/2, ℤ/2, ℤ/24, 0, 0, ℤ/2, ℤ/240, (ℤ/2)^{2}, (ℤ/2)^{3}, ℤ/6, ℤ/504, …)

for n stor. Dette er de stabile homotopigrupper av sfærer.

I kurset vil vi bruke topologisk K-teori som til et rom tilordner en gruppe av ekvivalensklasser av vektorbunter over rommet, omtrent som homologi tilordner en gruppe av singulære sykler modulo render i rommet. Ved hjelp av operasjoner på K-teori avledet av å danne ytre produkter på vektorrom, kan vi konstruere et rom J hvis homotopi grupper π_{∗}(J) er lik billedet av J-homomorfien i π_{∗}(Ω^{n}S^{n}) for n stor.

Vi vil også regne ut dette billedet, som gir ikke–trivielle elementer i stabil homotopi, ved hjelp av Bernoulli tallene

B_{∗} = (−, 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, …).

Typeset by AMS-TEX

En del av svaret er at π_{4k−1}(J) er syklisk av orden lik nevneren i B_{k}/4k :

\frac{1}{6 · 4}, \frac{1}{30 · 8}, \frac{1}{42 · 12}, \frac{1}{30 · 16}, \frac{5}{66 · 20}, \frac{691}{2730 · 24}, …

Deretter vil vi beskrive “diskrete modeller” for J som kan sammenlignes med algebraisk K-teori, og vise hvordan π_{∗}(J) stort sett avbilder injektivt inn i den algebraiske K-teorien til de hele tall, K_{∗}(ℤ).

Telleren 691 i B_{6} er et irregulært primtall, og det finnes et element av orden 691 i K_{22}(ℤ), som gir et hint om hvordan algebraisk K-teori er forbundet med tallteori.

Til sist vil vi se hvordan Lichtenbaum–Quillen formodningene kan formuleres ved å gi en modell for K(ℤ) bygget opp fra topologisk K-teori :

K(ℤ) ≃ JK(ℤ) × Ω fib(ρ)

Bidraget Ω fib(ρ) beskriver torsjons grupper av orden delelig med bare irregulære primtall, og et mål for kurset er å lede frem til forskningsarbeide om hvordan disse irreguære primtallene antageligvis fremkommer gjennom Galois virkningen på Kteorien til passende tallkropper mellom ℚ og ℂ.

Underveis vil vi berøre arbeider av blant andre Whitehead, Adams, Quillen, Atiyah, Hirzebruch, Bott, Madsen, Tornehave, May, Soulé og Bökstedt.

J-teori diagrammet.

Vi vil bruke det følgende J-teori diagrammet som et samlende motiv eller rammeverk. Det har forekommet i ulike presentasjoner gitt av Tornehave, May, og Madsen–Milgram. Egentlig er det et diagram for hvert primtall — diagrammet nedenfor svarer til primtallet to, hvor en del ekstra detaljer som forskjellen på vektorrom, orienterte vektorrom, og vektorrom med Spin-struktur, fremkommer.

[figure: Spin; \overline{ζ}; J_{2}; BO; \overline{ψ^{3} − 1}; BSpin] ∥  ∥
∥  ∨α_{2}  ∨γ_{2}  ∥

[figure: Spin; \overline{j}; SF; SF/Spin; BSpin; \overline{Bj}; BSF] ∥  ∥
[figure: ∥; f; g; ∥]

[figure: (SF; kO); SF; BO_{⊗}; B(SF; kO); BSF] ∥
[figure: e; ∥; c(ψ^{3})]

[figure: Spin_{⊗}; \overline{ζ_{⊗}}; J_{⊗2}; BO_{⊗}; \overline{ψ^{3}/1}; BSpin_{⊗}]

BILDET AV J 3

Hvert av rommene J, BO, BSF etc. representerer en teori, eller en funktor fra rom til abelske grupper, gitt ved at et rom X tilordnes gruppen av homotopi klasser av avbildninger fra X til J, BO, BSF, etc. Dette er på tilsvarende måte som den nte kohomotopi gruppen til et rom, altså homotopiklassene av avbildninger X → S^{n}, er representert av S^{n}. Det finnes også Eilenberg–MacLane rom K(ℤ, n) som representerer (singulær) kohomologi i grad n, slik at homotopiklassene av avbildninger X → K(ℤ, n) er lik gruppen H^{n}(X; ℤ).

I tilfellene ovenfor representerer BO topologisk K-teori, dvs. isomorfiklasser av familier av vektorrom over X, mens BSF representerer sfærisk fibrasjonsteori, dvs. homotopiklasser av familier av sfærer over X. Vi kommer til å bygge opp og beskrive de forskjellige rommene i diagrammet, og de geometriske teoriene de representerer, i løpet av kurset.

Avbildningene i diagrammet, som j: Spin → SF, representerer operasjoner eller naturlige transformasjoner mellom teoriene. Vi vil også definere og tolke disse transformasjonene geometrisk, dvs. uttrykt som konstruksjoner på familier av vektorrom og sfærer, eller andre topologiske representasjoner.

Lesere som kjenner til karakteristiske klasser av vektorbunter kan sammenligne situasjonen med den nte Stiefel–Whitney klassen w_{n}(ξ) ∈ H^{n}(X; ℤ/2) til en vektorbunt ξ. Den er en naturlig transformasjon fra isomorfiklasser av vektorbunter over X til den nte kohomologigruppen til X med ℤ/2-koeffisienter, og er i dette språket representert ved en passende avbildning BO → K(ℤ/2, n).

Innhold.

Kurset begynner med noe bakgrunnsmateriale som gjerne kalles homotopiteori. Vi bygger videre på Ma 362, og formulerer en del verktøy som Hurewicz, Künneth og Freudenthal’s teoremer, forklarer hva stabilisering går ut på, introduserer fibreringer og kofibreringer, og konstruerer Serre spektral sekvensen.

Så vil vi se på fiberbunter og vektorbunter, som er familier av rom som varierer over et parameterrom. For eksempel er et Möbius bånd naturlig en familie av intervaller parametrisert over midtsirkelen. Det samme kan sies om en sylinderflate, men de to familiene er essensielt forskjellige, ved at én er vridd mens den andre er et trivielt produkt.

Topologisk K-teori blir definert i denne sammenhengen, og vi viser eller formulerer teoremer som splittningsprinsippet, Thom isomorfien, og Bott periodisitet. Da har vi oversikt over alle rommene Spin, BO og BSpin, og tilsvarende rom Spin_{⊗}, BO_{⊗} og BSpin_{⊗} i J-teori diagrammet.

Tilsvarende har SF og BSF med sfærisk fibrasjonsteori å gjøre, som er nært knyttet til de stabile homotopi gruppene til sfærer, mens SF/Spin oppfattes som en relativ teori.

Så kommer vi til orienteringsteori av vektor– og sfærebunter. Et vektorrom kan være orientert, og orienteringene i en familie av vektorrom kan variere kontinuerlig over parameterrommet. I den vanligste forstand kan et valg av orientering oppdages som et fortegn i singulær (ko–)homologi, men vi vil også se på K-teoretiske orienteringer, som oppdages i topologisk K-teori. På denne måten oppstår rommene (SF; kO) og B(SF; kO).

Videre vil vi studere operasjoner i K-teori, som Adams operasjonene ψ^{k} som tar et vektorrom til en lineær kombinasjon av ytre produkter på vektorrommet; J-homomorfien Bj som tar en vektorbunt til en sfærebunt ved fibervis kompaktifisering; løftningene α og γ som finnes som en følge av beviset for Adams formodningen; Atiyah–Bott–Shapiro’s kO-teoretiske orientering g av vektorbunter med en Spin-struktur, og den såkalte kannibal klassen c(ψ^{k}) som oppstår ved å fore en topologisk K-teoretisk klasse inn i seg selv.

Gitt disse operasjonene kan vi fullføre J-teori diagrammet.

Ved å analysere dette diagrammet kan vi regne ut homotopigruppene til rommet J, og vise at de er lik billedet av J-homomorfien π_{∗}(j) i π_{∗}(SF) ≅ π_{∗}(Ω^{n}S^{n}) for n stor. Faktisk vil sammensetningen J → SF → J_{⊗} være en homotopi ekvivalens.

Senere i kurset vil vi forbinde stabil homotopi teori med algebraisk K-teori. Topologisk K-teori til et rom X, KO(X), kan tenkes på som konstruert fra kategorien av reelle vektorbunter over X, som algebraisk kan oppfattes som projektive moduler over ringen av kontinuerlige reelle funksjoner på X. Algebraisk K-teori konstrueres på en analog måte ved å se på projektive moduler over en vilkårlig ring R, og skrives K(R).

Ved å utvide skalarer fra ℤ til ℝ fås en naturlig transformasjon fra K(ℤ) til K(ℝ), som omtrent forekommer som BO_{⊗} i J-teori diagrammet. Så vi kan innpasse algebraisk K-teori av de hele tall sammen med stabil homotopi av sfærer representert ved SF, og topologisk K-teori representert ved BO_{⊗}. Vi får en faktorisering SF → K(ℤ)_{1} → BO_{⊗}, og kan vise ved hjelp av diskrete modeller for J at π_{∗}(J) → π_{∗}(SF) → π_{∗}(K(ℤ)) = K_{∗}(ℤ) er injektiv i de fleste grader, og dermed gir opphav til de fleste kjente elementer i høyere algebraisk K-teori av de hele tall.

Til sist vil vi beskrive modellen JK(ℤ) for K(ℤ) som er gitt som homotopi fiberen av en sammensetning

[figure: kO; \overline{ψ^{k} − 1}; bspin; \overline{c}; bsu]

som uttrykker JK(ℤ) ved hjelp av reell og kompleks topologisk K-teori. Homotopi gruppene til JK(ℤ) er kjent, og stemmer overens med de høyere algebraiske K-gruppene til ℤ i følge Lichtenbaum–Quillen formodningene, untatt noen torsjonsgrupper ved irregulære primtall. Numerisk passer det at dette er homotopigruppene til fiberen av sammensetningen ρ^{k} = c(ψ^{k}) ∘ g, forskjøvet ned én grad, men dette er bare formodninger i øyeblikket.

Homotopiteori

Homotopigrupper av sfærer, J-homomorfien. Fibrering SO(n − 1) → SO(n) → S^{n−1}, Freudenthal’s suspensjonsteorem, X → ΩΣX, Q(X), stabil homotopiteori, π_{k}^{S} for små k, J-homomorfien SO → SF → Q(S^{0}). Hurewicz’ teorem, CW komplekser, Whitehead’s teorem, kompakt genererte rom, eksponensial loven.

Homotopigrupper av sfærer.

Vi minner først om de høyere homotopigruppene til et rom [Spanier, Algebraic topology].

La X være et rom med basispunkt ∗, og S^{n} n-sfæren, f.eks. modellert som ettpunkts kompaktifiseringen av ℝ^{n}, med punktet i uendelig som basispunkt. Da er π_{n}(X) = [S^{n}, X] mengden av homotopiklasser av avbildninger S^{n} → X som tar basispunktet til basispunktet. Denne nte homotopigruppen til X er en mengde for n = 0, en gruppe for n = 1, og en abelsk gruppe for n ≥ 2.

Summen i gruppen kommer fra en koprodukt–avbildning ∇: S^{n} → S^{n} ∨ S^{n} som kollapser ekvator til et punkt. Skriver X ∨ Y for ettpunkts union (wedge) (X∨Y = X×∗∪∗×Y ⊂ X×Y), og X∧Y for smash produkt (X∧Y = X×Y/X∨Y). Gitt to avbildninger f, g: S^{n} → X er deres sum f + g = (f ∨ g) ∘ ∇: S^{n} → X. Denne konstruksjonen respekterer homotopiklasser av avbildninger.

Alternativt kan vi definere π_{n}(X) = π_{0}(Ω^{n}X), der Ω^{n}X er rommet av avbildninger S^{n} → X som respekterer basispunktene, med den kompakt–åpne topologien. π_{0}(−) er mengden av veisammenhengskomponenter.

Summen i gruppen er igjen definert ved konstruksjonen ovenfor, som gir en avbildning μ: Ω^{n}X × Ω^{n}X → Ω^{n}X. Restriktert til ettpunkts unionen i: Ω^{n}X ∨ Ω^{n}X ⊂ Ω^{n}X × Ω^{n}X er produktet μ ∘ i: Ω^{n}X ∨ Ω^{n}X → Ω^{n}X homotopt til foldeavbildningen (eng. fold map) som er identiteten på hver summand. Dette viser at den konstante avbildningen S^{n} → X fungerer som enhet (nøytralt element) i gruppen. Tilsvarende følger assosiativitet fra en homotopi ∇ ∘ (1 ∨ ∇) ≃ ∇ ∘ (∇ ∨ 1).

For vilkårlige rom X og Y (med basispunkt) finnes det en naturlig homeomorfi (“Σ and Ω form an adjoint pair.”)

Map(ΣX, Y) ≅ Map(X, ΩY)

som tar f: ΣX → Y til g: X → ΩY med g(x) den lukkede kurven i Y gitt ved t ↦ f(x ∧ t), der x ∧ t ∈ ΣX ≅ X ∧ S^{1}. Vi bruker Map(−, −) om rommet av avbildninger som bevarer basispunkter.

Ved å bruke S^{1} ∧ X ≅ ΣX og S^{n} ∧ S^{m} ≅ S^{n+m} følger så Ω^{n}Ω^{m}X ≅ Ω^{n+m}X.

For et par (X, A) av rom med basispunkt ∗ ∈ A kan vi også definere relative homotopigrupper

π_{n}(X, A) = [(D^{n}, S^{n−1}), (X, A)]
= π_{0} Map((D^{n}, S^{n−1}), (X, A))

π_{n}(X, A) er en gruppe for n ≥ 2, og abelsk for n ≥ 3. Det finnes en lang eksakt sekvens

[figure: ⋯; π_{n}(A); π_{n}(X); π_{n}(X, A); \overline{∂}; π_{n−1}(A); ⋯]

Ringstruktur på homotopi gruppene.

Homotopigruppene til sfærer, π_{k}(S^{n}), er ikke bare (bigraderte) grupper, men har også multiplikasjoner som kommer fra smash produktet, eller komposisjon av avbildninger, som nesten gjør dem til (bigraderte) ringer.

For gitt to avbildninger f: S^{k} → S^{m} og g: S^{m} → S^{n} kan vi danne sammensetningen g ∘ f: S^{k} → S^{n}, som definerer et produkt ∘: π_{k}(S^{m}) × π_{m}(S^{n}) → π_{k}(S^{n}).

Eller vi kan danne smash produktet f ∧g: S^{k} ∧S^{m} ≅ S^{k+m} → S^{m} ∧S^{n} ≅ S^{m+n}. Dette er definert ved (f∧g)(x∧y) = f(x)∧g(y), der x∧y står for restklassen til (x, y) under kollapsavbildningen X × Y → X ∧ Y. Vi får et produkt π_{k}(S^{m}) × π_{m}(S^{n}) → π_{k+m}(S^{m+n}).

Ett problem er at disse produktene ikke er helt distributive over addisjonen. Generelt er ikke (f + g) ∘ h ≃ (f ∘ h) + (g ∘ h), og en kan ikke konsekvent velge ∇: S^{n} → S^{n} ∨ S^{n} slik at smash produktet er både høyre og venstre distributivt.

Disse to produktene vil generelt være forskjellige, men merk at de begge er additive i den relative graden til avbildningene mellom sfærer, dvs. differansen mellom dimensjonen til sfæren vi avbilder fra, og den vi avbilder til ((k − m) + (m − n) = (k − n) = (k + m) − (m + n).)

Faktisk er de to produktene stabilt like, i en forstand vi snart kommer til, og da distributive over gruppeaddisjonen. Vi skal se at gruppen av homotopiklasser av avbildninger av relativ grad k, π_{k+n}(S^{n}), blir uavhengig av n for store n (faktisk for n > k + 1), og den konstante verdien kalles den kte stabile homotopigruppe av sfærer, π_{k}^{S}. Etter som k varierer blir dette en ekte gradert anti–kommutativ ring.

I lave grader begynner de stabile homotopigruppene til sfærer slik [Toda, Composition methods, s. 186–187] :

\begin{matrix}k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ π_{k}^{S} & ℤ & ℤ/2 & ℤ/2 & ℤ/24 & 0 & 0 & ℤ/2 & ℤ/240 \end{matrix}

Identitetsavbildningen 1: S^{0} → S^{0} genererer π_{0}^{S}. Den komplekse Hopf avbildningen η: S^{3} → S^{2}, gitt ved S^{3} ⊂ ℂ^{2} − {0} → ℂP^{1} ≅ S^{2}, genererer π_{1}^{S}. Produktet η^{2} = η · η genererer π_{2}^{S}, og kan realiseres som η ∧ η: S^{6} → S^{4}, eller som η ∘ Ση: S^{4} → S^{2} der Ση: S^{4} → S^{3} er suspensjonen av η: S^{3} → S^{2}. Kvaternione Hopf avbildningen ν: S^{7} → S^{4}, gitt ved S^{7} ⊂ ℍ^{2} − {0} → ℍP^{1} ≅ S^{4}, har orden åtte i π_{3}^{S}, og η^{3} = 4ν. Produktet ν^{2} genererer π_{6}^{S}, og Cayley–tall Hopf avbildningen σ: S^{15} → S^{8} har orden 16 i π_{7}^{S}. Generatorer for π_{3}^{S} og π_{7}^{S} er gitt ved J-homomorfien, som vi nå kommer til.

J-homomorfien.

Homotopigruppen π_{n+k}(S^{n}) kan oppfattes som den kte homotopigruppen til Ω^{n}S^{n}. Vi vil konstruere elementer i denne homotopigruppen ved å avbilde den ortogonale gruppen O(n) ⊂ GL_{n}(ℝ) til Ω^{n}S^{n}.

La O(n) ⊂ GL_{n}(ℝ) være undergruppen bestående av ortogonale matriser (A slik at A^{T} = A^{−1}), som er en kompakt topologisk gruppe. La SO(n) ⊂ O(n) være enhets komponenten bestående av de spesielle ortogonale matriser, med determinant én.

Vi definerer nå en avbildning j fra SO(n) til Ω^{n}S^{n}. La A ∈ SO(n) være en ortogonal matrise, som vi tenker på som en lineær isometri A: ℝ^{n} → ℝ^{n}. Dette er en proper avbildning, og kan utvides til ettpunkts kompaktifiseringene j(A): S^{n} → S^{n}, som gir et element i Ω^{n}S^{n}. Dette definerer j: SO(n) → Ω^{n}S^{n}. Den induserte avbildningen på homotopigrupper er den ustabile J-homomorfien :

j: π_{k}(SO(n)) ⟶ π_{k}(Ω^{n}S^{n}) = π_{n+k}(S^{n})

Siden SO(n) er sammenhengende avbilder j inn i komponenten til identitetsavbildningen i Ω^{n}S^{n}, som vi skriver SF (n) ⊂ Ω^{n}S^{n} og som består av de orienterings– bevarende homotopi ekvivalensene S^{n} → S^{n}. Det er altså mer presist å tenke på j som en avbildning j: SO(n) → SF (n), men den induserte avbildningen i homotopi er den samme, siden π_{k}(SF (n)) ≅ π_{k}(Ω^{n}S^{n}) for k > 0.

Hurewicz’ teorem.

Vi får nå bruk for :

Definisjon. Et rom X med basispunkt er k-sammenhengende hvis π_{i}(X) = 0 for alle i ≤ k. En avbildning f: X → Y av rom med basispunkt er k-sammenhengende hvis π_{i}(f) er en isomorfi for alle i < k og π_{k}(f) er surjektiv (på). Hvis X er k-sammenhengende med ikke (k + 1)-sammenhengende skriver vi conn(X) = k.

La ι_{n} ∈ H_{n}(S^{n}) være fundamentalklassen, dvs. en generator. Vi definerer Hurewicz homomorfien h_{n}: π_{n}(X) → H_{n}(X) ved [f] ↦ f_{∗}(ι_{n}), for f: S^{n} → X.

Teorem (Hurewicz). La X være et (k − 1)-sammenhengende rom. Da er Hurewicz homomorfien h_{k}: π_{k}(X) → H_{k}(X) en isomorfi om k > 1, og lik abelianiseringsavbildningen π_{1}(X) → π_{1}(X)^{ab} ≅ H_{1}(X) hvis k = 1.

Vi vil bevise dette ved hjelp av Serre spektral sekvensen. Det finnes også et relativt utsagn, om par (X, A) av enkelt–sammenhengende rom [Spanier, s. 397].

Stabilisering.

Like som π_{n+k}(S^{n}) stabiliserer til en konstant verdi når n blir stor, konvergerer også π_{k}(SO(n)) for store n. Vi kan se dette ved å bruke en fibrering :

SO(n − 1) ⟶ SO(n) ⟶ S^{n−1}

La e_{n} ∈ ℝ^{n} være den siste enhetsvektoren (0, …, 0, 1), og definer en projeksjon p: SO(n) → S^{n−1} ved A ↦ Ae_{n} ∈ S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} ved å ta en ortogonal transformasjon til hvor den sender e_{n}. Siden A bevarer lengder blir dette et punkt på enhetssfæren i ℝ^{n}.

Fiberen til projeksjonen, dvs. inversbilledet til punktet e_{n} i S^{n−1}, er undergruppen av SO(n) som lar e_{n} i ro, som vi kan identifisere med gruppen av orienteringsbevarende ortogonaltransformasjoner av underrommet R^{n−1} perpendikulært på e_{n} ∈ ℝ^{n}, dvs. SO(n − 1).

Hvis vi aksepterer at dette er en fibrering, kan vi bruke den lange eksakte sekvensen i homotopi tilordnet en fibrering (som vi skal komme tilbake til i kapitlet om Puppe sekvenser) :

→ π_{i+1}(S^{n−1}) → π_{i}(SO(n − 1)) → π_{i}(SO(n)) → π_{i}(S^{n−1}) →

der π_{i}(S^{n}) = 0 for i < n ved Hurewicz teoremet. Da ser vi at π_{i}(SO(n − 1)) ≅ π_{i}(SO(n)) for i + 1 < n − 1, eller at π_{k}(SO(n)) er uavhengig av n for n > k + 1. Homotopigruppene til de ortogonal gruppene stabiliserer altså på samme måte som homotopigruppene til sfærer.

Dette kan vi uttrykke på rom–nivået ved å lage et rom, den uendelige ortogonale gruppe, hvis homotopi grupper er lik de som homotopi gruppene til de endelig dimensjonale ortogonale gruppene konvergerer mot.

Vi ser på O(n − 1) som et underrom av O(n) ved inklusjonen av fiberen ovenfor, som tar en ortogonal (n − 1) × (n − 1) matrise A til n × n matrisen på blokk form :

( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

La O = ∪_{n}O(n) være unionen av alle disse rommene, dvs. rommet av vilkårlig store, men endelig dimensjonale, ortogonale matriser, og la SO ⊂ O være enhetskomponenten. O vil ha den såkalt kompakt genererte topologien indusert av underrommene O(n). Vi kommer tilbake til beskrivelsen av denne topologien til en uendelig union av rom, i slutten av dette kapitlet.

Da vil inklusjonen O(n) → O indusere en isomorfi på π_{k} for n > k + 1, og vi sier at spørsmål om elementer i O(n) stabiliseres ved at vi overfører dem ved hjelp av denne inklusjonen til spørsmål om elementer i O. Så lenge vi begrenser oss til spørsmål om O(n) i dimensjoner som er små i forhold til n (f. eks. om π_{k} for k < n − 1), kan vi like gjerne løse det stabile problemet, om O. Spennet av dimensjoner hvor vi ikke taper noen informasjon ved å stabilisere kalles gjerne det stabile området.

Vi vil se senere (i kapitlet om Bott periodisitet), at det stabile rommet O er lettere å beskrive enn de enkelte O(n). For eksempel er

π_{k}(O) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & for k ≡ 3, 7 (mod 8) \\ ℤ/2 & for k ≡ 0, 1 (mod 8) \\ 0 & ellers, \end{matrix}

litt komplisert, men overkommelig å beskrive.

Freudenthal’s suspensjonsteorem.

Homotopigruppene av sfærer stabiliseres ved en avbildning analog til inklusjonen SO(n − 1) → SO(n) vi brukte for å konstruere SO.

I én formulering kan vi bruke en suspensjons avbildning σ: π_{k}(S^{n}) → π_{k+1}(S^{n+1}) gitt ved at f: S^{k} → S^{n} går til σ(f): ΣS^{k} ≅ S^{k+1} → ΣS^{n} ≅ S^{n+1}. Her er (σ(f))(x ∧ t) = f(x) ∧ t den suspenderte avbildningen, som alternativt kan oppfattes som smash produktet med identitetsavbildningen på S^{1}. Resultatet σ(f) er i π_{k+1}(S^{n+1}), og oppfattes som en delvis stabilisering av f. Den stabile homotopiklassen til f nås i grensen ved å gjenta suspensjonsavbildningen vilkårlig mange ganger.

Alternativt kan vi bruke en inklusjon i = i_{X}: X → ΩΣX som korresponderer til identiteten 1: ΣX → ΣX under den naturlige homeomorfien. Denne inklusjonen tar x ∈ X til den lukkede kurven i(x) i ΣX, gitt ved t ↦ (x ∧ t) ∈ ΣX. Sammensetningen

π_{k}(X) ⟶^{i_{∗}} π_{k}(ΩΣX) ≅ π_{k+1}(ΣX)

stemmer overens med suspensjonsavbildningen ovenfor, i tilfellet X = S^{n}.

Teorem (Freudenthal). La X være et k-sammenhengende rom. Da er inklusjonen X → ΩΣX (2k + 1)-sammenhengende.

Vi vil bevise suspensjonsteoremet når vi har innført Serre spektral sekvensen. Se også [Spanier, s. 458].

Korollar. Suspensjonsavbildningen σ: π_{k}(S^{n}) → π_{k+1}(S^{n+1}) er en isomorfi for k < 2n − 1 og surjektiv for k = 2n − 1.

Definisjon. Den kte stabile homotopigruppen til et rom X med basispunkt, π_{k}^{S}(X), er den felles gruppen π_{k+n}(Σ^{n}X) for n tilstrekkelig stor (n ≥ k − 2 conn(X)).

Merk at vi alltid har en stabiliseringsavbildning fra de ustabile homotopigruppene til de stabile π_{k+n}(S^{n}) → π_{k}^{S} indusert av tilstrekkelig mange sammensetninger

X → ΩΣX → Ω^{2}Σ^{2}X → ⋯ → Ω^{k}Σ^{k}X → …

analogt til inklusjonene

SO(n) → SO(n + 1) → SO(n + 2) → ⋯ → SO(n + k) → ⋯ → SO.

Tilsvarende som vi kunne realisere de etter hvert konstante homotopi gruppene til SO(n) som homotopi gruppene til den uendelige spesielle ortogonal gruppen SO, så kan vi konstruere et rom Q(X) hvis homotopi grupper er de stabile homotopi gruppene til X.

Definisjon. Q(X) = ∪_{n}Ω^{n}Σ^{n}X med den kompakt genererte topologien, der

Ω^{n}Σ^{n}X ⟶ Ω^{n+1}Σ^{n+1}X

er inkludert ved avbildningen i_{Σ^{n}X}: Σ^{n}X → ΩΣ^{n+1}X “loopet ned” n ganger.

Q(X) skrives også ofte Ω^{∞}Σ^{∞}X. Vi har en naturlig inklusjon i: X → Q(X).

Lemma. π_{k}^{S}(X) ≅ π_{k}(Q(X)) og π_{k}^{S} = π_{k}^{S}(S^{0}) = π_{k}(Q(S^{0})).

Vi lar SF ⊂ Q(S^{0}) være enhetskomponenten, dvs. rommet av orienteringsbevarende homotopiekvivalenser f: S^{n} → S^{n} for vilkårlig store n, der f er identifisert med σ(f): S^{n+1} → S^{n+1}. Ettpunkts kompaktifisering definerer fortsatt en avbildning

j: SO ⟶ SF

som på homotopigrupper induserer den stabile J-homomorfien

j: π_{k}(SO) ⟶ π_{k}(SF) ≅ π_{k}^{S}

for k > 0. Gruppene π_{k}(SO) er sykliske for alle k, og vi kan spørre hvilken orden deres billede har i π_{k}^{S}. Dette vil vi få svar på i kapitlet om Bernoulli tall.

CW komplekser.

Vi tar med litt bakgrunn om en kategori av topologiske rom som er velegnet til å arbeide med innen homotopi teori. Ved å arbeide med rom av homotopitypen til CW komplekser, og bruke den kompakt genererte topologien på alle produktrom og avbildningsrom vi studerer, unngår man de fleste patologiske punkttopologiske vanskeligheter. Etter én gang å ha skissert hvordan disse tingene gjøres, kommer vi senere til å undertrykke slike betraktninger.

Definisjon. Vi sier at et Hausdorff rom X har kompakt generert topologi dersom en delmengde A ⊆ X er lukket hvis og bare hvis dens snitt med alle kompakte underrom K ⊆ X er lukket i underromstopologien.

Et lokal kompakt Hausdorff rom har kompakt generert topologi.

Gitt et Hausdorff rom X kan man gi den samme underliggende mengden en kompakt generert topologi på en kanonisk måte, og vi kaller det resulterende rommet κ(X). En delmengde A i κ(X) er per definisjon lukket hvis og bare hvis dens snitt A ∩ K med ethvert kompakt underrom i X er lukket i underromstopologien fra X. Det er en naturlig kontinuerlig avbildning κ(X) → X.

Det viser seg at κ(X) har kompakt generert topologi, og hvis X allerede var kompakt generert, så er κ(X) → X en homeomorfi.

Når vi senere danner produktrom, X × Y, vil vi implisitt bruke den kompakt genererte topologien avledet av produkttopologien, altså κ(X × Y). Tilsvarende, når vi senere danner avbildningsrom, Map(X, Y), vil vi implisitt bruke den kompakt genererte topologien avledet av den kompakt–åpne topologien, altså κ(Map(X, Y)).

Dette påvirker også definisjonen av topologien på smash produkter, løkkerom, etc. Fordelen er den følgende proposisjonen, hvor vi har påpekt tilfellet Y = S^{1} tidligere :

Proposisjon (Eksponensial formelen). Det er en naturlig homeomorfi

Map(X ∧ Y, Z) ≅ Map(X, Map(Y, Z))

som til f: X ∧ Y → Z tilordner g: X → Map(Y, Z) der g(x): y ↦ f(x ∧ y) for x ∈ X og y ∈ Y.

See [Steenrod, A convenient category] for mer om kompakt genererte rom.

Vilkårlige kompakt genererte rom er fortsatt en for stor kategori til å regne effektivt i.

Definisjon. Et CW kompleks X er et Hausdorff rom med en disjunkt partisjon i åpne celler {e_{α}}, slik at

(1) For hver celle e_{α} finnes en karakteristisk avbildning f: D^{n} → X som er en homeomorfi fra det indre av disken D^{n} til e_{α}, der n = n(α) er dimensjonen til cellen e_{α}.

(2) Hvert enkelt punkt i randen ē_{α} − e_{α} til en celle e_{α} må ligge i en celle e_{β} av lavere dimensjon.

(3) (Closure finite) Hvert punkt i X er inneholdt i et underkompleks med endelig mange celler (dvs. et endelig underkompleks).

(4) (J. H. C. Whitehead topology) X har kompakt generert topologi. (Tatt fra [Milnor og Stasheff, Characteristic classes, s. 73–74].)

Underrommet av et CW kompleks bestående av alle celler av dimensjon mindre enn eller lik en gitt dimensjon k danner et underkompleks som kalles k-skjelettet til X, ofte skrevet X^{(k)}.

Vi lar W betegne kategorien av topologiske rom av homotopi typen til et CW kompleks, dvs. rom X slik at det finnes et CW kompleks K og en homotopi ekvivalens X ≃ K. Morfismene i kategorien er de kontinuerlige avbildningene.

Teorem (Milnor). Rommet av avbildninger fra et kompakt metrisk rom (f. eks. et endelig CW kompleks) til et CW kompleks har samme homotopi type som et CW kompleks.

Så vi kan danne løkkerom uten å forlate kategorien W. Homotopiteori fungerer effektivt i denne kategorien, i den forstand at homotopigrupper er nok til å oppdage homotopiekvivalenser.

Teorem (J. H. C. Whitehead). En avbildning f: X → Y med X og Y i W er en homotopi ekvivalens hvis og bare hvis π_{k}(f) er en isomorfi for alle k.

Se [G. W. Whitehead, Elements] for et bevis. Fra det relative Hurewicz teoremet følger det at hvis X og Y er enkelt–sammenhengende og H_{k}(f) er en isomorfi for alle k, så er π_{k}(f) er en isomorfi for alle k. Hvis X og Y også ligger i W gir dette et effektivt kriterium for å avgjøre om f er en homotopi ekvivalens.

Spektral sekvenser

Filtrerte komplekser, spektral sekvenser, konvergens.

Spektral sekvensen til et filtrert rom.

Vi gir en skisse av hvordan den lange eksakte sekvensen i homologi til et par kan oppfattes som det enkleste tilfellet av en spektral sekvens, og hvordan spektral sekvensen til et filtrert rom kan bygges opp fra lange eksakte sekvenser, og spesielt forbindelses homomorfiene derfra. I neste avsnitt vil vi gi en presis konstruksjon.

Gitt et rom X med basispunkt kaller vi en sekvens av underrom

∗ = X_{−1} ⊆ X_{0} ⊆ X_{1} ⊆ ⋯ ⊆ X_{n} ⊆ ⋯ ⊆ X

en (voksende) filtrasjon av X. Dersom X_{n} = X har filtrasjonen lengde n. Kvotientrommene X_{i}/X_{i−1} kalles subkvotientene i filtrasjonen. Tilsvarende kan vi ha en (voksende) filtrasjon av abelske grupper, og subkvotient gruppene kalles da en komposisjons rekke for den største gruppen.

En spektral sekvens er et algebraisk virkemiddel for f. eks. å rekonstruere homologien til X fra homologien av subkvotientene, og noe ekstra informasjon. La oss se på det enkleste tilfellet A ⊂ X. Her er X_{−1} = ∗, X_{0} = A, og X_{1} = X. Vi antar gitt homologien til subkvotientene A/∗ ≅ A og X/A, og ønsker å finne homologien til X. Vi kunne håpe på en kort eksakt sekvens

0 ⟶ H_{∗}(A) ⟶ H_{∗}(X) ⟶ H_{∗}(X/A) ⟶ 0,

men som kjent er denne generelt bare eksakt i midten, og det finnes en forbindelseshomomorfi (av grad −1) ∂: H_{∗}(X/A) → H_{∗}(A), slik at vi istedet har en eksakt sekvens

0 ⟶ coker(∂) ⟶ H_{∗}(X) ⟶ ker(∂) ⟶ 0.

Vi har altså en filtrasjon av H_{∗}(X) med subkvotienter coker(∂) og ker(∂), som ikke generelt er homologien til subkvotientene i filtrasjonen A ⊂ X, men snarere er homologigruppene til det algebraiske komplekset

0 ⟶ H_{∗}(X/A) ⟶^{∂} H_{∗}(A) ⟶ 0.

Så vi kan (1) skrive opp homologien til subkvotientene A = X_{0}/X_{−1} og X/A = X_{1}/X_{0}, (2) finne forbindelseshomomorfien ∂: H_{∗}(X/A) → H_{∗}(A), og (3) bytte ut gruppene H_{∗}(A) og H_{∗}(X/A) med de tilhørende “homologiene” coker(∂) og ker(∂). Det gjenstående danner en komposisjonsrekke for H_{∗}(X).

Prosessen (1)–(3) kan visualiseres i et diagram

H_{∗}(A) ⟵^{∂} H_{∗}(X/A)
coker(∂)  ker(∂)

hvor vi begynner med homologien til subkvotientene til filtrasjonen av X, og slutter med subkvotientene av en filtrasjon av H_{∗}(X).

Gitt en lengre filtrasjon kan vi forsøke å fortsette prosedyren, men nå vil den måtte gå igjennom flere generasjoner, eller stadier. Anta gitt A ⊂ B ⊂ X (X_{−1} = ∗, X_{0} = A, X_{1} = B, X_{2} = X), og la oss forsøke å finne homologien til X fra homologien til subkvotientene A = X_{0}/X_{−1}, B/A = X_{1}/X_{0}, og X/B = X_{2}/X_{1}. Vi gjør dette i to trinn. Først finner vi H_{∗}(B), eller i hvert fall en komposisjonsrekke for H_{∗}(B), som før :

H_{∗}(A) ⟵^{d^{1}} H_{∗}(B/A)
coker(d^{1})  ker(d^{1})

Vi skriver nå d^{1} for forbindelseshomomorfien. Så vil vi finne H_{∗}(X) fra H_{∗}(X/B) og komposisjonsrekken for H_{∗}(B), på samme måte som før, ved hjelp av kjernen og kokjernen til ∂: H_{∗}(X/B) → H_{∗}(B). Denne forbindelseshomomorfien må nå deles opp i to avbildninger. En fås ved å fortsette H_{∗}(X/B) → H_{∗}(B) → H_{∗}(B/A), og kalles også d^{1}. Kjernen til denne d^{1} løfter ved eksakthet i H_{∗}(B) til H_{∗}(A). For å finne kjernen til ∂: H_{∗}(X/B) → H_{∗}(B) danner vi altså først kjernen til d^{1} : H_{∗}(X/B) → H_{∗}(B/A), og deretter restrikterer vi videre ned til kjernen av løftningen d^{2} : ker(d^{1}) → H_{∗}(A). Tilsvarende vil coker(∂) ha en komposisjonsrekke som fås fra ker(d^{1}) ⊂ H_{∗}(B/A) og coker(d^{1}) ved respektivt å dele ut med bildene av d^{1} : H_{∗}(X/B) → ker(∂) og d^{2} : ker(d^{1}) → coker(d^{1}).

Diagrammatisk har vi

H_{∗}(A)  ⟵^{d^{1}}  H_{∗}(B/A)  ⟵^{d^{1}}  H_{∗}(X/B)
coker(d^{1})  ker(d^{1})  ⟵^{d^{1}}  H_{∗}(X/B)
coker(d^{1})  ker(d^{1})/ im(d^{1})  ker(d^{1})
coker(d^{1})/ im(d^{2}) ker(d^{1})/ im(d^{1})  ker(d^{2}) ⊂ ker(d^{1})

hvor de tre nederste gruppene utgjør en komposisjonsrekke for H_{∗}(X), og d^{2} avbilder fra høyre til venstre i rad tre.

Nå har vi (1) begynt med homologien til subkvotientene A, B/A, og X/B, (2) funnet to generasjoner av differensialer d^{1} : H_{∗}(B/A) → H_{∗}(A), d^{1} : H_{∗}(X/B) → H_{∗}(B/A), og d^{2} : ker(d^{1}) → coker(d^{1}), og (3) i to trinn byttet ut H_{∗}(A), H_{∗}(B/A), H_{∗}(X/B) med den algebraiske homologien av komplekset med disse gruppene og differensialer d^{1}, og dernest gått videre til homologien med hensyn til differensialet d^{2}. Resultatet er en komposisjonsrekke for H_{∗}(X).

Denne prosessen kan fortsettes til vilkårlig lange filtrasjoner.

Gitt en filtrasjon {X_{i}}_{i} av et rom X lar vi E_{∗}^{1} = ⊕_{i}H_{∗}(X_{i}/X_{i−1}) og d^{1} : E_{∗}^{1} → E_{∗}^{1} er summen av de sammensatte homomorfiene

H_{∗}(X_{i}/X_{i−1}) ⟶ H_{∗}(X_{i−1}) ⟶ H_{∗}(X_{i−1}/X_{i−2}).

Da er d^{1} ∘ d^{1} = 0, og vi lar E_{∗}^{2} = H_{∗}(E_{∗}^{1}, d^{1}) = ker(d^{1})/ im(d^{1}). Man kan så definere høyere differensialer d^{2} : E_{∗}^{2} → E_{∗}^{2}, med d^{2} ∘ d^{2} = 0, og lar induktivt E_{∗}^{r+1} = H_{∗}(E^{r}, d^{r}) = ker(d^{r})/ im(d^{r}) være det rte stadiet av spektral sekvensen. Hvis filtrasjonen har lengde n stopper denne prosessen ved E_{∗}^{n+1}, som vi skriver E_{∗}^{∞}, og som gir en komposisjonsrekke for H_{∗}(X).

En spektral sekvens for “noe” består altså av en gradert gruppe E_{∗}^{1} som kan være utgangspunktet for utregningen, og så en sekvens av senere stadier E_{∗}^{r} med differensialer d^{r}: E_{∗}^{r} → E_{∗}^{r}. Hvis man kjenner differensialene kan man beregne E_{∗}^{r+1} som H_{∗}(E_{∗}^{r}, d^{r}). Sluttproduktet av denne prosessen kalles E_{∗}^{∞}, og er subkvotientene i en filtrasjon av dette “noe”.

Konstruksjon.

Vi gir nå en generell metode for å konstruere spektral sekvenser, og så å beskrive hva de konvergerer mot, etter [Boardman, Conditional convergence].

Utgangspunktet vil være et utrullet eksakt par (eng. unraveled exact couple), som er et diagram av abelske grupper og homomorfier på formen

[figure: ⋯; A_{s−1}; \overline{i}; A_{s}; \overline{i}; A_{s+1}; ⋯]

[figure: ∂; j; ∂; j]

E_{s}  E_{s+1}

hvor hver triangulær sekvens

[figure: ⋯; A_{s−1}; \overline{i}; A_{s}; \overline{j}; E_{s}; \overline{∂}; …]

er eksakt. Hver A_{s} og E_{s} kan være en gradert abelsk gruppe, og da antar vi at i og j har grad null, og ∂ grad −1.

Definisjon. Spektral sekvensen (E_{∗}^{r}, d^{r}) tilhørende det utrullede eksakte paret ovenfor er gitt som følger. For 1 ≤ r < ∞ og alle s lar vi

Z_{s}^{r} = ∂^{−1} im(i^{r−1} : A_{s−r} → A_{s−1})
B_{s}^{r} = j ker(i^{r−1} : A_{s} → A_{s+r−1})

være undergrupper av E_{s} = E_{s}^{1}, og

E_{s}^{r} = Z_{s}^{r}/B_{s}^{r}

utgjør E^{r}-leddet. For r = 1 er E_{∗}^{1} = E^{1} begynnelsen av spektral sekvensen, gjerne kalt E^{1}-leddet.

Det rte differensialet d^{r}: E_{s}^{r} → E_{s−r}^{r} har grad −1 og er indusert ved å løfte ∂Z_{s}^{r} ⊂ A_{s−1} til A_{s−r} og anvende j: A_{s−r} → E_{s−r}, dvs. d^{r} = j ∘ (i^{r−1})^{−1} ∘ ∂.

Differensialet er veldefinert, fordi valget av en løftning over i^{r−1} ligger i ker(i^{r−1}) som sendes til B_{s−r}^{r} under j, og B_{s−r}^{r} identifiseres til 0 i E_{s−r}^{r}.

Vi kommer fra E^{r}-leddet til E^{r+1}-leddet ved å danne homologi med hensyn på d^{r}-differensialene. Grovt sagt fjernes alle summander som ikke ligger i kjernen til et differensial, altså som understøtter et differensial, eller som ligger i billedet av et differensial, altså treffes av et d^{r}.

Lemma. Det er kanoniske isomorfier

E_{s}^{r+1} ≅ H_{s}(E_{∗}^{r}, d^{r}) = ker(d^{r})/ im(d^{r})

= H(H_{s+r}^{r}⟶^{d^{r}}H_{s}^{r}⟶^{d^{r}}H_{s−r}^{r}).

Bevis.

ker(d^{r})_{s} = ∂^{−1} im(i^{r}: A_{s−r−1} → A_{s−1}) = Z_{s}^{r+1}
im(d^{r})_{s} = j ker(i^{r}: A_{s} → A_{s+r}) = B_{s}^{r+1},

fra eksakthet i A_{s−r} respektivt A_{s+r−1}. Så H_{s}(E^{r}, d^{r}) = Z_{s}^{r+1}/B_{s}^{r+1} = E_{s}^{r+1}. □

Vi definerer så

Z_{s}^{∞} = ⋂_{r} Z_{s}^{r}
B_{s}^{∞} = ⋃_{r} B_{s}^{r}

som undergrupper av E_{s}, og

E_{s}^{∞} = Z_{s}^{∞}/B_{s}^{∞}

som slutten, eller E^{∞}-leddet, til spektral sekvensen.

Hva uttrykker så E^{∞}-leddet ? Vi vil tenke på gruppene {E_{s}^{∞}}_{s} som subkvotientene i en filtrasjon av en mål gruppe (eng. target group, abutment), som spektral sekvensen så sies å konvergere til.

Definisjon. Gitt en abelsk gruppe G med en voksende filtrasjon av undergrupper {F_{s} = F_{s}G}_{s} sier vi at spektral sekvensen ovenfor konvergerer mot G hvis ∩_{s}F_{s} = 0, ∪_{s}F_{s} = G, og vi har isomorfier F_{s}/F_{s−1} ≅ E_{s}^{∞}.

Teorem. Anta A_{s} = 0 for s < 0. Da konvergerer spektral sekvensen (E_{∗}^{r}, d^{r}) mot G = colim_{s} A_{s} = \underrightarrow{lim}_{s} A_{s}.

Eksempel. Hvis alle i: A_{s−1} → A_{s} er inklusjoner så er colim_{s} A_{s} = ∪_{s}A_{s}. Hvis alle A_{s} = A_{s_{0}} for s ≥ s_{0}, dvs. filtrasjonen har endelig lengde, så er colim_{s} A_{s} = A_{s_{0}}. Vi vil komme tilbake til direkte og inverse grenser av grupper og rom i et senere kapittel.

Bevis av teoremet. Vi har en filtrasjon F_{s} = F_{s}G = im(A_{s} → G) av G. Fra definisjonene er

Z_{s}^{∞} = ker(∂) = im(j: A_{s} → E_{s})
B_{s}^{∞} = j ker(A_{s} → G).

La im(i) = im(i: A_{s−1} → A_{s}) og bruk diagrammet nedenfor, hvor alle rekkene og kolonnene er korte eksakte sekvenser (dette er en formulering av Nöther isomorfi teoremet) :

[figure: im(i) ∩ ker(A_{s} → G); im(i); im(A_{s−1} → G)]

[figure]

[figure: ker(A_{s} → G); A_{s}; im(A_{s} → G)]

[figure]

[figure: B_{s}^{∞}; Z_{s}^{∞}; E_{s}^{∞}]

De to første kolonnene er eksakte fra ker(j) = im(i), og im(j) = A_{s}/ ker(j), j ker(A_{s} → G) = ker(A_{s} → G)/(ker(j) ∩ ker(A_{s} → G)). Den høyre kolonnen viser at F_{s}/F_{s−1} ≅ E_{s}^{∞}. □

Når gruppene A_{s} og E_{s} er graderte grupper betegner vi gjerne deres indre grad (eng. internal degree) med t, og filtrasjons graden med s. Det er vanlig å skrive E_{s,t}^{r} for komponenten av E_{s}^{r} i total grad s + t, og å tegne E^{r}-leddet til en spektral sekvens i planet med gruppen E_{s,t}^{r} i punktet (s, t). Et d^{r}-differensial avbilder da

d^{r}: E_{s,t}^{r} ⟶ E_{s−r,t+r−1}^{r};

til venstre og opp.

Vi beskriver en spektral sekvens som liggende i høyre halvplan, i første kvadrant, etc. avhengig av hvor i planet det forekommer grupper E_{s,t}^{1} forskjellig fra null. Teoremet ovenfor sier essensielt at spektral sekvenser i høyre halvplan konvergerer.

Merk at for en spektral sekvens som ligger i første kvadrant må E_{s,t}^{r} = E_{s,t}^{∞} for hver gitt (s, t) og r tilstrekkelig stor (f. eks. r > max{s, t + 1}.) Så vi kan virkelig finne E^{∞}-leddet, og dermed subkvotientene av en filtrasjon på G i et slikt tilfelle.

Eksempel. La X være et CW kompleks med en filtrasjon av underkomplekser

∅ = X_{−1} ⊂ X_{0} ⊂ X_{1} ⊂ ⋯ ⊂ X_{n} ⊂ ⋯ ⊂ X

med ∪X_{s} = X. Da har vi et utrullet eksakt par med A_{s} = H_{∗}(X_{s}), E_{s} = H_{∗}(X_{s}, X_{s−1}), i og j indusert av inklusjonene, og ∂ forbindelseshomomorfien. E^{1}- leddet er

E_{s,t}^{1} = H_{s+t}(X_{s}, X_{s−1}),

og d^{1}-differensialene er gitt ved sammensetningen

d^{1} = j ∘ ∂: H_{s+t}(X_{s}, X_{s−1}) → H_{s+t−1}(X_{s−1}) → H_{s+t−1}(X_{s−1}, X_{s−2}).

Spektral sekvensen konvergerer mot colim_{s} H_{∗}(X_{s}) ≅ H_{∗}(∪_{s}X_{s}) = H_{∗}(X), dvs. det finnes i hver grad n en voksende filtrasjon av H_{n}(X) med subkvotienter E_{s,n−s}^{∞} for voksende s. Ser man nærmere på beviset av teoremet ovenfor finner man at filtrasjonen er nettopp {im(H_{∗}(X_{s}) → H_{∗}(X))}_{s}.

Dualt kan man konstruere kohomologiske spektral sekvenser. Det er da vanlig å innføre notasjonen A^{s} = A_{−s}, E_{r}^{s,t} = E_{−s,−t}^{r}, etc. I tilfellet Serre spektral sekvensen har den kohomologiske spektral sekvensen et cup produkt, som ikke er synlig homologisk, og som er en viktig del av strukturen, og et nyttig hjelpemiddel i utregninger.

Fibreringer og kofibreringer

Fibreringer, kofibreringer, Puppe sekvenser, Q(−) tar kofibreringer til (kvasi–)- fibreringer.

Vi definerer to klasser av avbildninger; kofibreringer som er gode inklusjoner av underrom, og fibreringer som er gode projeksjoner ned på parameterrom.

Definisjon. En avbildning i: A → X har homotopi utvidelses egenskapen (eng. homotopy extension property) for et rom Y hvis, for enhver avbildning f: X → Y og homotopi G: A × I → Y som begynner i f ∘ i, så finnes det en homotopi F: X × I → Y som begynner i f og utvider G, dvs. gitt det ytre kommuterende diagrammet nedenfor finnes en avbildning F som får hele diagrammet til å kommutere.

A  \overline{i} \overline{}X

[figure: i_{0}; i_{0}; f]

A × I \overline{i × id} \overline{}X × I

[figure: G] [figure: F]

Y

Vi sier at en avbildning i: A → X er en kofibrering hvis den har homotopi utvidelses egenskapen for alle rom Y.

En avbildning p: E → B har homotopi løftnings egenskapen (eng. homotopy lifting property) for et rom Y hvis, for enhver avbildning f: Y → E og homotopi G: Y × I → B som begynner i p ∘ f, så finnes det en homotopi F: Y × I → E som begynner i f og løfter G, dvs. gitt det ytre kommuterende diagrammet nedenfor finnes en avbildning F som får hele diagrammet til å kommutere.

[figure: Y; \overline{f}; E; i_{0}; F; p; Y × I; \overline{G}; B]

Vi sier at en avbildning p: E → B er en fibrering hvis den har homotopi løftnings egenskapen for alle rom Y.

Inklusjonen av et underkompleks inn i et CW kompleks er et eksempel på en kofibrering, mens overdekningsrom og projeksjonen i vektorbunter gir eksempler på fibreringer.

Vi minner om noen fundamentale konstruksjoner på rom.

La X være et rom med basispunkt ∗, og I = [0, 1] enhetsintervallet. La X_{+} = X/∅ være X med et ekstra disjunkt basispunkt.

X ∧ I_{+} ≅ X × I/ ∗ ×I er den reduserte sylinderen på X, og har inklusjoner i_{t}: X → X ∧ I_{+} gitt ved x ↦ x ∧ t. Disse er alle kofibreringer og homotopi ekvivalenser.

CX = X ∧ I ≅ (X ∧ I_{+})/i_{0}(X) er den reduserte kjeglen på X, og inklusjonen i_{1} : X → CX er fortsatt en kofibrering. CX er kontraktibel.

ΣX = X ∧ S^{1} ≅ CX/i_{1}(X) er den reduserte suspensjonen på X.

Map(I_{+}, X) er rommet av frie veier i X, og har projeksjoner e_{t}: Map(I_{+}, X) → X gitt ved evaluering i tidspunktet t, dvs. (f: I_{+} → X) ↦ f(t). Disse er alle fibreringer og homotopi ekvivalenser.

P X = Map(I, X) ≅ e_{0}^{−1}(∗) er veirommet til X, av veier som begynner i basispunktet. Projeksjonen på sluttpunktet, e_{1} : P X → X er fortsatt en fibrering, og P X er kontraktibel.

ΩX = Map(S^{1}, X) ≅ e_{1}^{−1}(∗) er løkkerommet til X, av lukkede kurver som begynner og slutter i basispunktet. Her refererer vi til evaluasjonen e_{1} : P X → X.

Gitt en kofibrering i: A → X og en avbildning f: A → Y kan vi danne en pushout, Y ∪_{f} X = Y ∨ X/ ∼ hvor f(a) ∼ i(a) for a ∈ A. Det er naturlige avbildninger X → Y ∪_{f} X ← Y, som uttrykker Y ∪_{f} X som en pushout i en viss universell forstand, a la definisjonen av å være en kofibrering eller fibrering.

Gitt en fibrering p: E → B og en avbildning f: Y → B kan vi danne en pullback (no. tilbaketrekk), E ×_{B} Y = {(e, y) ∈ E × Y | p(e) = f(y)}. Det er naturlige projeksjoner E ×_{B} Y → Y og E ×_{B} Y → E, som uttrykker E ×_{B} Y som en pullback i universell forstand.

Proposisjon. Inklusjonen Y → Y ∪_{f} X er en kofibrering, dvs. en pushout av en kofibrering er en kofibrering. Projeksjonen E ×_{B} Y → Y er en fibrering, dvs. en pullback av en fibrering er en fibrering.

Bevis. Dette er formelt fra den universelle egenskapen til en pushout, respektivt en pullback. □

Proposisjon. En vilkårlig avbildning f: X → Y kan faktoriseres som en kofibrering og en homotopi ekvivalens, eller som en homotopi ekvivalens og en fibrering.

Dette gjør at vi ofte kan anta at vi har med kofibreringer eller fibreringer å gjøre, etter behov.

Bevis–skisse. Gitt f: X → Y kan vi danne avbildnings sylinderen M_{f} som en pushout Y ∪_{f} (X ∧ I_{+}) der i_{1} : X → X ∧ I_{+} er en kofibrering, og både sammensetningen i_{0} : X → X ∧ I_{+} → M_{f}, og Y → M_{f} er kofibreringer. Videre induserer projeksjonen X ∧ I_{+} → X (x ∧ t ↦ x) en deformasjons retraksjon M_{f} → Y. Så f kan faktoriseres X → M_{f} → Y hvor i: X → M_{f} er en kofibrering, og M_{f} → Y en homotopi ekvivalens.

Dualt kan vi danne et veirom I^{f} som en pullback Map(I_{+}, Y) ×_{Y} X, dvs. som rommet {(ω, x) ∈ Map(I_{+}, Y) × X | ω(0) = f(x)}. Inklusjonen X → I^{f} som tar x ∈ X til (ω_{f(x)}, x), der ω_{f(x)} er den konstante veien i f(x), er en homotopi ekvivalens, mens projeksjonen p: I^{f} → Y er en fibrering. Dermed er f faktorisert X → I^{f} → Y, som ønsket. □

Kofibreringer er gode inklusjoner i den forstand at kvotientdannelse oppfører seg pent med hensyn til homologi. For en kofibrering i: A → X vil vi ha en naturlig isomorfi H_{∗}(X, A) → H̃_{∗}(X/A).

For en vilkårlig avbildning f: X → Y kan vi lage en homotopi teoretisk bedre kandidat for kvotientrommet ved først å omgjøre f til en kofibrering. Vi bytter ut Y med den homotopi ekvivalente avbildnings sylinderen M_{f}, og danner i stedet kvotienten for kofibreringen i_{0} : X → M_{f}. Resultatet kalles avbildnings kjeglen, eller homotopi kofiberen til f :

Cf = M_{f}/i_{0}(X) = Y ∪_{f} CX = Y ∨ CX/(x, 1) ∼ f(x)

Diagrammet av avbildninger

[figure: X; \overline{f}; Y; Cf]

kalles en kofibrerings sekvens. Vi kaller også en sekvens X → Y → Z homotopi ekvivalent med denne en kofibrerings sekvens. Noen ganger skriver vi hocofib(f) for avbildnings kjeglen Cf.

Fibreringer er gode projeksjoner i den forstand at de oppfører seg pent med hensyn til homotopi. For en fibrering p: E → B der B har basispunkt ∗ kaller vi invers billedet F = p^{−1}(∗) ⊂ E for fiberen til B over ∗. Da er den naturlige avbildningen fra relativ homotopi π_{∗}(E, F) → π_{∗}(B) en isomorfi.

Dualt kan vi lage en homotopi teoretisk kandidat for fiberen til en avbildning f: X → Y som oppfører seg bedre enn inversbildet av et vilkårlig punkt i Y. Omgjør f til en fibrering ved å bytte ut X med det homotopi ekvivalente rommet I^{f}, som avbilder med en fibrering p: I^{f} → Y til Y. Fiberen over basispunktet i Y kalles da homotopi fiberen til f :

hofib(f) = p^{−1}(∗) = {(ω, x) ∈ P Y × X | ω(1) = f(x)}

Diagrammet av avbildninger

[figure: hofib(f); X; \overline{f}; Y]

kalles en fibrerings sekvens. Vi kaller også en sekvens W → X → Y homotopi ekvivalent med denne en fibrerings sekvens.

Puppe sekvenser.

Gitt en avbildning f: X → Y definerer kofibrerings sekvensen

[figure: X; \overline{f}; Y; \overline{i}; Cf]

en ny avbildning i: Y → Cf. Vi kan gjenta konstruksjonen med denne avbildningen, danne homotopi kofiberen til i,

[figure: X; \overline{f}; Y; \overline{i}; Cf; \overline{j}; Ci; \overline{k}; Cj; ⋯]

og iterere bortover. Her kan man observere :

Proposisjon. Med notasjonen ovenfor er det en naturlig homotopi ekvivalens Ci⟶^{≃}ΣX, og tilsvarende er Cj⟶^{≃}ΣY. Under disse ekvivalensene er k ≃ −σ(f).

Korollar (Puppe sekvensen). Gitt f: X → Y finnes en naturlig sekvens

[figure: X; \overline{f}; Y; \overline{i}; Cf; \overline{j}; ΣX; \overline{−σ(f)}; ΣY; \overline{−σ(i)}; ΣCf; \overline{−σ(j)}; Σ^{2}X; \overline{σ^{2}(f)}; Σ^{2}Y; ⋯]

hvor hvert par av etterfølgende avbildninger danner en kofibrerings sekvens.

Bevis av proposisjonen. Ci = (Y ∪_{f} CX) ∪_{i} CY avbilder til ΣX ved å kollapse det kontraktible rommet CY til et punkt. Dette er den naturlige homotopi ekvivalensen.

For hver x ∈ X har vi veien

ω: t ↦ \{ \begin{matrix}f(x) ∧ (1 − 2t) & t ≤ 1/2 \\ x ∧ 2t & t ≥ 1/2 \end{matrix}

i Ci som under Ci ≃ ΣX er homotop med x ↦ x ∧ t, og som under Ci → Cj ≃ ΣY avbilder til en vei homotop med x ↦ f(x) ∧ (1 − t). På denne måten er ΣX → ΣY homotop med −σ(f): x ∧ t ↦ f(x) ∧ (1 − t). □

La [X, Y] være homotopi klassene av avbildninger X → Y som bevarer basispunkter. Definisjonen av en kofibrering impliserer at for en kofibrerings sekvens f: X → Y → Cf og et rom Z er

[figure: [X, Z]; f^{∗}; [Y, Z]; i^{∗}; [Cf, Z]]

en eksakt sekvens av mengder med basispunkt, eventuelt av grupper hvis X, Y og f er suspensjoner, eller av abelske grupper hvis X, Y og f er doble suspensjoner. Så

[figure: [X, Z]; f^{∗}; [Y, Z]; [Cf, Z]; [ΣX, Z]; −f^{∗}; [ΣY, Z]; [ΣCf, Z]; [Σ^{2}X, Z]; f^{∗}; [Σ^{2}Y, Z]; ⋯]

er en lang eksakt sekvens for vilkårlige Z.

I kapitlet om spektra vil vi se at det finnes rom Z = K(ℤ, n) slik at [X, Z] ≅ H̃^{n}(X) for alle X. Da er sekvensen ovenfor en del av den lange eksakte sekvensen i kohomologi for paret (Y, X).

Med Z = S^{k} er [X, Z] = π^{k}(X) den kte kohomotopi gruppen til X. Med Z = Q(S^{k}) er

[X, Z] = colim_{n}[X, Ω^{n}Σ^{n}S^{k}] = colim_{n}[Σ^{n}X, Σ^{n}S^{k}] = π_{S}^{k}(X)

den kte stabile kohomotopi gruppen til X. I begge tilfeller gir Puppe sekvensen en lang eksakt sekvens, henholdsvis i kohomotopi og stabil kohomotopi.

Dualt definerer fibrerings sekvensen til f: X → Y

[figure: hofib(f); \overline{i}; X; \overline{f}; Y]

en ny avbildning i: hofib(f) → X, og vi kan iterere konstruksjonen av homotopi fiberen :

[figure: ⋯; hofib(j); \overline{k}; hofib(i); \overline{j}; hofib(f); \overline{i}; X; \overline{f}; Y]

Proposisjon. Det er naturlige homotopi ekvivalenser ΩY ⟶^{≃} hofib(i), og ΩX ≃ hofib(j). Under disse ekvivalensene er k ≃ −Ωf.

Korollar (Puppe sekvensen). Gitt f: X → Y finnes en naturlig sekvens

[figure: ⋯; Ω^{2}X; \overline{Ω^{2}f}; Ω^{2}Y; \overline{−Ωj}; ΩF; \overline{−Ωi}; ΩX]

[figure: \overline{−Ωf}; ΩY; \overline{j}; F; \overline{i}; X; \overline{f}; Y]

der F = hofib(f), hvor hvert par av etterfølgende avbildninger danner en fibrerings sekvens.

Bevisene er helt analoge til det foregående duale tilfellet. Videre er

[figure: [Z, hofib(f)]; \overline{i_{∗}}; [Z, X]; \overline{f_{∗}}; [Z, Y]]

igjen eksakt for vilkårlige Z, så

[figure: ⋯; [Z, Ω^{2}X]; \overline{f_{∗}}; [Z, Ω^{2}Y]; [Z, ΩF]; [Z, ΩX]; \overline{−f_{∗}}; [Z, ΩY]; [Z, F]; [Z, X]; \overline{f_{∗}}; [Z, Y]]

er en lang eksakt sekvens for alle Z. Med Z = S^{n} slik at [Z, X] ≅ π_{n}(X) gir sekvensen ovenfor den lange eksakte sekvensen i homotopi til paret (Y, X).

For en kofibrering i: A → X er kvotientrommet X/A veldefinert uten noen videre valg. For en fibrering p: E → B er fiberen derimot avhengig av valget av basispunkt i B. Men alle fibrene er homotopi ekvivalente :

Proposisjon. La p: E → B være en fibrering. For to punkter b_{0} og b_{1} i samme veisammenhengs komponent av B er fibrene F_{0} = p^{−1}(b_{0}) og F_{1} = p^{−1}(b_{1}) homotopi ekvivalente.

Bevis. La ω: I → B være en vei med ω(0) = b_{0} og ω(1) = b_{1}. En løftning

F_{0}  \overline{inkl.}  \overline{}E

[figure: i_{0}; p]

[figure: F_{0} × I; \overline{proj.}; I; \overline{ω}; B]

F_{0} × I → E tar F_{0} ≅ F_{0} × {1} → F_{1} som definerer en homotopi ekvivalens.

Beviset avsluttes med tilsvarende argumenter som viser at ω gjennomløpt i motsatt retning induserer en homotopi invers, mens homotope valg av veier ω gir homotope homotopi ekvivalenser. □

Definisjon. For fibreringer p_{1} : E_{1} → B og p_{2} : E_{2} → B over det samme basis rommet B er en fiber avbildning f: E_{1} → E_{2} en avbildning slik at p_{2} ∘ f = p_{1}, altså en avbildning som bevarer fibrene. En fiber homotopi er en homotopi igjennom fiber avbildninger. En fiber homotopi ekvivalens f: E_{1} → E_{2} er en fiber avbildning slik at det finnes en fiber avbildning g: E_{2} → E_{1} (en fiber homotopi invers) slik at g ∘ f og f ∘ g er fiber homotopi ekvivalente til id_{E_{1}} og id_{E_{2}} respektive. f induserer da en homotopi ekvivalens på hver fiber.

Lemma. La ξ være en fibrering p: E → D^{n} over D^{n}. La F = p^{−1}(0) være fiberen over origo. Da er ξ fiber homotopi ekvivalent til D^{n} × F → D^{n}.

Bevis. Velg en homotopi D^{n} × I → D^{n} fra 0 til id_{D^{n}}. En løftning

D^{n} × F  \overline{F ⊂ E}  \overline{}E

[figure: i_{0}; p]

[figure: D^{n} × I × F; D^{n} × I; D^{n}]

gir en fiber avbildning D^{n} × F ≅ D^{n} × {1} × F → E. I den andre retningen, løft

E  \overline{id}  \overline{}E

[figure: i_{1}; p]

[figure: E × I; D^{n} × I; D^{n}]

for å få en avbildning E ≅ E × {0} → E som faktoriserer igjennom θ: E → F = p^{−1}(0). Da er p×θ: E → D^{n} ×F en fiber homotopi invers til avbildningen ovenfor.

I samme retning observerer vi at en selv–fiber avbildning D^{n} × F → D^{n} × F som er identiteten på en fiber er fiber homotop til identiteten.

Dermed er både D^{n} × F → E → D^{n} × F og E → D^{n} × F → E fiber homotope til identiteten, for de er identiteten over origo. □

Tilsvarende for fibreringer over et vilkårlig kontraktibelt rom.

Det neste resultatet kan ses som en konsekvens av Blakers–Massey triad konnektivitets teoremet.

Teorem (Blakers–Massey). Hvis i: A → X er en kofibrering, så er

[figure: π_{k}(A); \overline{i_{∗}}; π_{k}(X); π_{k}(X/A)]

eksakt for k ≤ conn(A) + conn(i).

Korollar. Hvis i: A → X er en kofibrering, så er

[figure: ⋯; π_{k}^{S}(A); π_{k}^{S}(X); π_{k}^{S}(X/A); \overline{∂}; π_{k−1}^{S}(A); ⋯]

en lang eksakt sekvens.

Bevis. Det er nok å vise eksakthet i X for en gitt k. For tilstrekkelig store n er π_{k}^{S}(A) ≅ π_{k+n}(Σ^{n}A), π_{k}^{S}(X) ≅ π_{k+n}(Σ^{n}X) og π_{k}^{S}(X/A) ≅ π_{k+n}(Σ^{n}X/A), samtidig som k + n < conn(Σ^{n}A) + conn(Σ^{n}i). Så korollaret følger av teoremet. □

Vi formulerer gjerne dette som at Q: X ↦ Q(X) tar kofibrerings sekvenser til (kvasi–)fibrerings sekvenser. For Q(A) → Q(X) → Q(X/A) induserer en lang eksakt sekvens i homotopi.

Serre spektral sekvensen

Künneth teoremet, Serre spektral sekvensen, beregne H^{∗}(ℝP^{∞}; ℤ/2), H^{∗}(ℂP^{∞}) og ℤ/p først i π_{2p−3}^{S} via ℂP^{∞} → S^{<3>} → S^{3}, H_{∗}(ΩS^{n}) som Hopf algebra, James konstruksjonen.

Künneth teoremet.

Gitt to rom X og Y finnes et (ytre) kryss produkt i homologi

×: H_{i}(X) ⊗ H_{j}(Y) ⟶ H_{i+j}(X × Y)

gitt ved Eilenberg–Zilber formelen, som tar x ⊗ y til x × y.

Teorem (Künneth). Det er en naturlig kort eksakt sekvens

0 → ⨁_{i+j=n} H_{i}(X) ⊗ H_{j}(Y)⟶^{×}H_{n}(X × Y) ⟶ ⨁_{i+j=n−1} Tor(H_{i}(X), H_{j}(Y)) → 0

som er splitt.

Se [Spanier, s. 235] for et bevis. Her er ⊗ tensor produktet, og Tor(A, B) torsjons produktet A ∗ B. Hvis f. eks. H_{∗}(X) er fri i alle grader forsvinner Tor leddet helt.

Serre spektral sekvensen.

Nå kan vi konstruere Serre spektral sekvensen.

Vi antar gitt en fibrering p: E → B over et enkelt–sammenhengende CW kompleks B. Skjelettene til B gir en naturlig filtrering

∅ ⊂ B^{(0)} ⊂ B^{(1)} ⊂ ⋯ ⊂ B^{(n)} ⊂ ⋯ ⊂ B

som induserer en filtrering av E på inversbilledene under p :

∅ ⊂ p^{−1}B^{(0)} ⊂ p^{−1}B^{(1)} ⊂ ⋯ ⊂ p^{−1}B^{(n)} ⊂ ⋯ ⊂ p^{−1}B = E

Vi får et utrullet eksakt par av graderte grupper, med

A_{s} = H_{∗}(p^{−1}(B^{(s)}))
E_{s} = H_{∗}(p^{−1}(B^{(s)}), p^{−1}(B^{(s−1)}))

og de naturlige homomorfiene indusert av inklusjoner. Da er E^{1}-leddet

E_{s,t}^{1} = H_{s+t}(p^{−1}(B^{(s)}), p^{−1}(B^{(s−1)}))
≅ ⨁ {H_{s+t}(p^{−1}(e_{α}), p^{−1}(∂e_{α})) | s-cellene e_{α}^{s} i B}

ved eksisjon,

≅ ⨁ {H_{s+t}((e_{α}, ∂e_{α}) × F) | s-cellene e_{α} i B}

ved en trivialisering over hver e_{α} ≅ D^{s}, og

≅ ⨁ {H_{t}(F) | s-cellene e_{α} i B}

ved en relativ utgave av Künneth teoremet. Her er F en fiber til p, og isomorfiene ovenfor er kanoniske, untatt den nest siste, som for hver s-celle i B avhenger av et valg av trivialisering p^{−1}(e_{α}) ≃ e_{α} × F.

La C_{∗}(X) betegne det cellulære kjedekomplekset til et CW kompleks X. Da kan vi finne naturlige isomorfier

C_{∗}(B^{(0)}) ⊗ H_{∗}(F) ⟶ H_{∗}(p^{−1}(B^{(0)}))
C_{∗}(B^{(1)}, B^{(0)}) ⊗ H_{∗}(F) ⟶ H_{∗}(p^{−1}(B^{(1)}), p^{−1}(B^{(0)}))

som er kompatible med rand avbildningene. I det siste tilfellet bruker at π_{1}(B) = 0. Etter dette er det avbildninger

C_{∗}(B^{(s)}, B^{(s−1)}) ⊗ H_{∗}(F) \overline{≅}\overline{}H_{∗}(p^{−1}(B^{(s)}), p^{−1}(B^{(s−1)}))

som blir entydig definert av kompatibilitet med rand avbildningene. Vi får en kjedeisomorfi

C_{∗}(B) ⊗ H_{∗}(F) \overline{≅} \overline{}E_{∗∗}^{1}

som i homologi induserer en isomorfi H_{∗}(C_{∗}(B) ⊗ H_{∗}(F)) = H_{∗}(B; H_{∗}(F)) ≅ E_{∗∗}^{2}.

Konklusjon. For en fibrering p: E → B med fiber F over et enkelt sammenhengende CW kompleks B, finnes det en spektral sekvens med E_{s,t}^{2} = H_{s}(B; H_{t}(F)) som konvergerer mot H_{s+t}(E).

Mer generelt kan enhver fibrering sammenlignes med en fibrering av CW komplekser som har de samme homotopi– og homologi gruppene. Det at denne spektral sekvensen begynner ved E^{2}-leddet i stedet for E^{1} er bare en fordel — så behøver man ikke finne d^{1}-differensialene.

Videre, selv om B ikke er enkelt sammenhengende finnes det en spektral sekvens hvis E^{2}-ledd kan beskrives som homologi med vridde koeffisienter (eng. twisted coefficients), definert ved hjelp av det universelle overdekningsrommet B̃ til B :

H_{s}(B; H_{t}(F)) = H_{s}(C_{∗}(B̃) ⊗_{ℤπ_{1}(B)} H_{t}(F))

Teorem (Serre spektral sekvensen i homologi). Gitt en fibrering p: E → B med B veisammenhengende og med fiber F, finnes det en spektral sekvens med E_{s,t}^{2} = H_{s}(B; H_{t}(F)) som konvergerer mot H_{s+t}(E).

Tilsvarende er det en spektral sekvens i kohomologi, med E_{2}^{s,t} = H^{s}(B; H^{t}(F)) for π_{1}(B) = 0, eller

E_{2}^{∗∗} = H^{s}(B; H^{t}(F)) = H^{s}(Hom_{ℤπ_{1}(B)}(C_{∗}(B̃), H_{t}(F)))

i det generelle tilfellet.

Hvis vi har filtrerte komplekser A_{s}, B_{s} og C_{s}, og filtrasjons bevarende kjede avbildninger A ⊗ B → C (som tar A_{s} ⊗ B_{t} inn i C_{s+t}), så finnes det produkter E_{s}^{r}(A) ⊗ E_{t}^{r}(B) → E_{s+t}^{r}(C), og differensialene er derivasjoner med hensyn på dette produktet, dvs.

d^{r}(a ⊗ b) = d^{r}(a) ⊗ b + (−1)^{|a|}a ⊗ d^{r}(b).

For Serre spektral sekvensen i kohomologi er differensialene derivasjoner med hensyn på cup produkt algebra strukturen på E_{2}^{∗∗} = H^{∗}(B; H^{∗}(F)) som kommer fra cup produktene på kohomologien til F og B. Se [Spanier] for et bevis.

Teorem (Serre spektral sekvensen i kohomologi). Gitt en fibrering p: E → B med B veisammenhengende og med fiber F, finnes det en spektral sekvens av graderte algebraer under cup produktet, med E_{2}^{s,t} = H^{s}(B; H^{t}(F)) som konvergerer mot H^{s+t}(E). Differensialene i denne spektral sekvensen er derivasjoner med hensyn på algebra produktet, og produktet på E_{r+1}-leddet er indusert av produktet på E_{r}-leddet under isomorfien H^{∗}(E_{r}) ≅ E_{r+1}.

En nyttig anvendelse er :

Teorem (Serre’s eksakte sekvens). Gitt en fibrerings sekvens F → E → B med B k-sammenhengende og F l-sammenhengende, så finnes det en eksakt sekvens

[figure: H_{k+l+1}(F); \overline{i_{∗}}; H_{k+l+1}(E); \overline{p_{∗}}; H_{k+l+1}(B); \overline{d^{k+l+1}}; ⋯]

[figure: H_{r}(F); \overline{i_{∗}}; H_{r}(E); \overline{p_{∗}}; H_{r}(B); \overline{d^{r}}; ⋯]

[figure: H_{0}(F); \overline{i_{∗}}; H_{0}(E); \overline{p_{∗}}; H_{0}(B); 0]

der i: F → E og p: E → B er avbildningene i fibrerings sekvensen, og d^{r}: H_{r}(B) → H_{r−1}(F) er differensialet i Serre spektral sekvensen.

Merk at dette ikke er en lang eksakt sekvens. I spektral sekvensen er det flere (to) mulige differensialer som kan treffe H_{k+l+1}(F), så kjernen til i_{∗} der er ikke nødvendigvis lik billedet av d^{k+l+2}.

De lange differensialene d^{r} fra H_{r}(B) kalles transgresjonene, og elementene som avbildes fra H_{r}(B) til H_{r−1}(F) kalles transgressive.

Bevis av Hurewicz’ og Freudenthal’s teoremer.

Gitt et rom X med basis punkt er homotopi fiberen til inklusjonen ∗ → X lik fiberen til fibreringen P X → X, nemlig ΩX. Så vi har en naturlig fibrering ΩX → P X → X, og Serre spektral sekvensen

E_{s,t}^{2} = H_{s}(X; H_{t}(ΩX))

konvergerer mot H_{∗}(P X) = ℤ i grad null, og 0 i høyere grader.

Så transgresjonene d^{r}: H_{r}(X) → H_{r−1}(ΩX) er isomorfier for r ≤ 2 conn(X).

Bevis av Hurewicz’ teorem. La X være (k − 1)-sammenhengende. Vi antar det er kjent at π_{1}(X)^{ab} → H_{1}(X) er en isomorfi. La k ≥ 2. Anta induktivt at h_{k−1} : π_{k−1}(Y) → H_{k−1}(Y) er en isomorfi for Y (k − 2)-sammenhengende, der π_{1} må tolkes som π_{1}^{ab}.

Da er π_{k}(X) = π_{k−1}(ΩX) ≅ H_{k−1}(ΩX) siden ΩX er (k − 2)-sammenhengende, og fra Serre’s eksakte sekvens er H_{k−1}(ΩX) ≅ H_{k}(X) fordi k ≤ 2(k−1). (Se [Serre, Thesis] for et argument for at isomorfien π_{k}(X) ≅ H_{k}(X) virkelig er Hurewicz homomorfien.) □

Bevis av suspensjons teoremet. Anta at X er k-sammenhengende. Da er ΣX (k+1)- sammenhengende, og transgresjonene d^{r}: H_{r}(ΣX) → H_{r−1}(ΩΣX) isomorfier for r ≤ 2(k + 1). Så H_{n}(X) ≅ H_{n+1}(ΣX) → H_{n}(ΩΣX) er en isomorfi for n ≤ 2k + 1, så X → ΩΣX er (2k + 1)-sammenhengende. (Se [Serre] for et argument for at isomorfien H_{n}(X) ≅ H_{n}(ΩΣX) virkelig er indusert av X → ΩΣX.) □

Eilenberg–MacLane rom.

Definisjon. Et Eilenberg–MacLane rom av type K(π, n) er et rom X slik at π_{k}(X) ≅ 0 for n ≠ k, og π_{n}(X) ≅ π.

Lemma. La π være en gruppe, og n ≥ 1. Hvis n ≥ 2 anta at π er abelsk. Da finnes det et CW kompleks som er et Eilenberg–MacLane rom av type K(π, n), og to slike i kategorien W er homotopi ekvivalente.

Bevis. Vi viser dette for π = ℤ, med metoden “å drepe homotopi grupper.” Argumentet for vilkårlige π følger samme lest.

La X_{n} = S^{n} og la {f_{i}^{n+1} : S^{n+1} → S^{n}}_{i} være avbildninger som genererer π_{n+1}(S^{n}). La X_{n+1} = X_{n} ∪_{f_{1}} D^{n+2} ∪ ⋯ være CW komplekset gitt ved å adjungere en (n + 2)-celle til X_{n} for hver avbildning f_{i}^{n+1}. Da vil π_{k}(X_{n+1}) = 0 for k ≤ n + 1 og k ≠ n, mens π_{n}(X_{n+1}) ≅ ℤ, som en følge av Hurewicz’ teorem.

Vi sier at vi ved å lime på celler langs f_{i}^{n+1}-ene har drept homotopigruppen π_{n+1}(S^{n}).

Induktivt anta vi har konstruert X_{m} ved å lime på celler i dimensjon (n + 2) til (m + 1) slik at π_{k}(X_{m}) ≅ 0 for k ≤ m og k ≠ n, mens π_{n}(X_{m}) ≅ ℤ.

Da kan vi velge avbildninger {f_{i}^{m+1} : S^{m+1} → X_{m}}_{i} hvis homotopi klasser genererer π_{m+1}(X_{m}), og vi danner X_{m+1} ved å lime på (m + 2)-celler langs disse avbildningene. Da har X_{m+1} de induktive egenskapene én dimensjon høyere opp.

La så X = ∪_{m}X_{m} være unionen over inklusjonene X_{m} ⊂ X_{m+1}. Da er X et K(ℤ, n)-rom.

Videre, gitt et K(ℤ, n)-rom Y finnes det en avbildning g: S^{n} = X_{n} → Y som representerer generatoren i π_{n}(Y) ≅ ℤ.

Fra Puppe sekvensen for inklusjonen X_{n} → X_{n+1} er det en eksakt sekvens

[figure: [⋁_{i} ΣS^{n+1}, Y]; [X_{n+1}, Y]; [X_{n}, Y]; \overline{∨_{i}f_{i}^{∗}}; [⋁_{i} S^{n+1}, Y]]

der gruppene i endene er 0 siden Y er et K(ℤ, n)-rom. Tilsvarende er det isomorfier [X_{n}, Y] ≅ [X_{m}, Y] for alle m, og det følger at vi kan utvide g: X_{n} → Y til hele X på en entydig måte, opp til homotopi.

Da induserer en slik utvidelse h: X → Y en isomorfi på homotopi grupper, og er dermed en homotopi ekvivalens hvis X og Y er i W.

(Som et alternativt bevis, kan K(π, n) konstrueres for π abelsk som realiseringen av den simplisielle mengden [q] ↦ π{S_{q}^{n}}. Her er π{X} den fri π-modulen på X, og Sn_{•} er en modell for S^{n}. Vi kan bruke Sing_{•}(S^{n}), eller en simplisiell mengde med bare to ikkedegenererte simplekser, i grad henholdsvis null og n.) □

Fra Hurewicz’ teorem og det universelle koeffisient teoremet finnes det en kanonisk generator ι_{n} ∈ H^{n}(K(π, n); π) som korresponderer til identitetsavbildningen π ≅ H_{n}(K(π, n)) → π.

Teorem. For et rom X er det en naturlig bijeksjon

[X, K(π, n)] ≅ H^{n}(X; π).

indusert av [f] ↦ f^{∗}(ι_{n}).

Bevis. Vi viser dette for et endelig dimensjonalt CW kompleks X ved induksjon over skjelettene til X. Anta at X er sammenhengende, og bare har ett null– simpleks.

Først observer at teoremet holder når X er en ettpunkts union av sfærer, fra definisjonen av et K(π, n)-rom.

Anta så teoremet holder for (k − 1)-skjelettet til X. La k-skjelettet til X være gitt ved å lime på k-celler over en avbildning ∨_{α}S^{k−1} → X^{(k−1)}. Da har vi et kommutativt diagram

[figure: [ΣX^{(k−1)}, K(π, n)]; [Σ ⋁_{α} S^{k−1}, K(π, n)]]

[figure]

[figure: H^{n−1}(X^{(k−1)}; π); H^{n−1}(⋁_{α} S^{k−1}; π)]

[figure: [X^{(k)}, K(π, n)]; [X^{(k−1)}, K(π, n)]; [⋁_{α} S^{k−1}, K(π, n)]]

[figure]

[figure: H^{n}(X^{(k)}; π); H^{n}(X^{(k−1)}; π); H^{n}(⋁_{α} S^{k−1}; π)]

med eksakte rekker. Teoremet følger fra den induktive hypotesen og fem–lemmaet. □

Suspensjonsisomorfien i kohomologi kan oppfattes som den følgende egenskapen på romnivået.

Korollar.

ΩK(π, n + 1) ≃ K(π, n).

Bevis. For alle X er

[X, K(π, n)] ≅ H^{n}(X; π) ≅ H^{n+1}(ΣX; π) ≅ [ΣX, K(π, n + 1)] ≅ [X, ΩK(π, n + 1)].

□

Beregninger.

Proposisjon.

H^{∗}(ℝP^{∞}; ℤ/2) ≅ ℤ/2[w]

der w genererer H^{1}(ℝP^{∞}; ℤ/2), og er dual til S^{1} ≅ ℝP^{1} → ℝP^{∞}.

H^{∗}(ℂP^{∞}) ≅ ℤ[c]

der c genererer H^{2}(ℂP^{∞}; ℤ/2), og er dual til S^{2} ≅ ℂP^{1} → ℂP^{∞}.

Teorem. La p være et primtall. Den første p-torsjonen som forekommer i π_{∗}(S^{3}) er en kopi av ℤ/p i π_{2p}(S^{3}), og deretter en ℤ/p i π_{4p−3}(S^{3}). Summanden ℤ/p i π_{2p}(S^{3}) avbilder isomorft på den første p-torsjonen i π_{2p−3}^{S}.

Bevis. Vi viser ikke det siste utsagnet, og må enten bruke Serre’s klasse teori, eller Sullivan og Bousfield–Kan’s teori for lokalisering av rom, for å bevise de første to utsagnene. La oss ta for gitt at en utgave av Hurewicz’ teorem sier at den første (i lavest grad) p-torsjonen som forekommer i homotopi gruppene til et rom uten rasjonal homologi også forekommer som den første p-torsjonen i rommets stabile homotopi, og i rommets homologi.

Vi vet at det finnes et rom K(ℤ, 3) med eneste homotopi gruppe π_{3}(K(ℤ, 3)) ≅ ℤ, og en avbildning f: S^{3} → K(ℤ, 3) som induserer isomorfi på π_{3}. La S^{<3>} = hofib(f) være den tre–sammengende overdekningen av S^{3}. H_{∗}(S^{<3>}; ℚ) = 0. Fra Puppe sekvensen er det en fibrerings sekvens

ΩK(ℤ, 3) → S^{<3>} → S^{3}

og vi antar som kjent at ℂP^{∞} er en modell for ΩK(ℤ, 3) = K(ℤ, 2). Da har vi en Serre spektral sekvens i kohomologi

E_{2}^{s,t} = H^{s}(S^{3}; H^{t}(ℂP^{∞})) ≅ E[ι] ⊗ ℤ[c]

der ι ∈ H^{3}(S^{3}) og c ∈ H^{2}(ℂP^{∞}) er generatorer, og E[ι] = ℤ[ι]/(ι^{2} = 0) er ytre algebraen på en generator. Siden S^{<3>} er tre–sammenhengende er d_{3} : c ↦ ι en isomorfi, og siden differensialene i spektral sekvensen er derivasjoner med hensyn på cup produkt algebra strukturen er generelt d_{3}(c^{n}) = nc^{n−1}ι. Så E_{∞} leddet for H^{∗}(S^{<3>}) har som den første p-torsjonen en ℤ/p i E_{∞}^{3,2p−2}.

Ved det universelle koeffisient teoremet begynner p-torsjonen i H_{∗}(S^{<3>}) med ℤ/p i H_{2p}(S^{<3>}), og ved den nevnte klasse teorien begynner p-torsjonen i π_{∗}(S^{<3>}) med ℤ/p i π_{2p}(S^{<3>}) ≅ π_{2p}(S^{3}).

Tilsvarende er det en avbildning S^{<3>} → K(ℤ/p, 2p) som oppdager den nederste p-torsjonen i π_{∗}(S^{<3>}), og vi har en fibrering

K(ℤ/p, 2p − 1) → S^{<2p>} → S^{<3>}

der π_{k}(S^{<2p>}) ≅ π_{k}(S^{3}) for k > 2p. For å komme videre må vi kjenne kohomologien til K(ℤ/p, 2p − 1), som krever kjennskap til Steenrod algebraen av stabile mod p kohomologi operasjoner.

H^{k}(K(ℤ/p, 2p − 1); ℤ/p) = [K(ℤ/p, 2p − 1), K(ℤ/p, k)] er mengden av (ustabile) kohomologi operasjoner fra H^{2p−1}(−; ℤ/p) til H^{k}(−; ℤ/p), som fra Serre’s eksakte sekvens kan sees å være lik de stabile kohomologi operasjonene når k ≤ 4p − 3. Disse utgjør mod p Steenrod algebraen, som i disse gradene inneholder elementer 1, β_{p}, P^{1} og β_{p}P^{1}, og viser at H̃^{k}(K(ℤ/p, 2p − 1)) ≅ ℤ/p for k = 2p og k = 4p − 2, og 0 i alle lavere grader.

I Serre spektral sekvensen for fibreringen ovenfor dør klassene i total grad 2p og 2p + 1, og en summand ℤ/p overlever i E_{∞}^{0,4p−2}. Så H^{4p−2}(S^{<2p>}) ≅ ℤ/p er den første p-torsjonen. Ved det universelle koeffisient teoremet begynner p-torsjonen i π_{∗}(S^{<2p>}) med π_{4p−3}(S^{3}) ≅ ℤ/p. □

La (i, j) = (i + j)!/i!j! være binomial koeffisienten.

Teorem. La n være et partall. Da er H^{∗}(ΩΣS^{n}) en “divided power algebra”, med generatorer {x_{1}, x_{2}, … } med x_{k} ∈ H^{nk}(ΩΣS^{n}), og x_{i} · x_{j} = (i, j)x_{i+j}.

  Mer om EHP sekvensen, James konstruksjonen.

Bunt teori

Fiberbunter, sfærebunter, klassifiserende rom [Steenrod, Fibre bundles], BO, BU.

Vi følger [Steenrod] og [Madsen og Milgram, Classifying spaces] i presentasjonen om fiberbunter.

G-rom.

Vi samler noen definisjoner og observasjoner om rom med gruppevirkning.

La G være en topologisk gruppe, dvs. et topologisk rom med enhet e ∈ G, multiplikasjon m: G × G → G og invers i: G → G som er kontinuerlige avbildninger og gjør G til en gruppe.

Et G-rom X er et rom med en kontinuerlig avbildning μ: G × X → X som beskriver en virkning av G på X. Vi skriver μ: (g, x) ↦ g · x = gx.

Gitt et G-rom X kan vi danne fikspunkt underrommet

X^{G} = {x ∈ X | g · x = x for alle g ∈ G.},

og kvotient rommet X/G = X/ ∼ der x ∼ g · x for alle x ∈ X, g ∈ G.

For x ∈ X lar vi G_{x} = {g ∈ G | g · x = x} være stabilisator undergruppen av G i x, og G · x = {g · x | g ∈ G} er banen til x. Vi sier at G virker fritt på X dersom G_{x} = {e} for alle x ∈ X. Vi sier at G virker effektivt på X dersom g · x = x for alle x ∈ X bare hvis g = e, eller ekvivalent hvis ∩_{x}G_{x} = {e}. Vi sier at G virker transitivt på X dersom G · x = X for en (vilkårlig) x ∈ X. Da er X ≅ G/G_{x} som G-rom via bijeksjonen g · G_{x} ↦ g · x.

En G-avbildning, eller ekvivariant avbildning f: X → Y mellom to G-rom er en kontinuerlig avbildning som respekterer G-virkningen, dvs. f(g · x) = g · f(x).

Rommet Map(X, Y) av vilkårlige kontinuerlige (ikke nødvendigvis ekvivariante) avbildninger f: X → Y kan gis en G-virkning ved (g, f) ↦ g · f der (g · f)(x) = g^{−1} · f(g · x).

Fikspunkt underrommet Map(X, Y)^{G} er lik rommet av G-avbildninger f: X → Y, som gjerne skrives Map_{G}(X, Y).

Det er en naturlig homeomorfi Map(G × X, Y)^{G} ≅ Map(X, Y), som tar en Gavbildning f: G × X → Y til restriksjonen over X ≅ {e} × X ⊂ G × X.

Det er en tilsvarende kategori av G-rom med basispunkt, hvor man insisterer på at basispunktet er G-invariant, altså g · ∗ = ∗ for alle g.

Fiber bunter.

Definisjoner. En fiberbunt med fiber F og struktur gruppe G består av et total rom E, et basis rom B, og en kontinuerlig avbildning, projeksjonen p: E → B, som skal oppfylle følgende krav : (1) det er valgt en lokal trivialisering av p: E → B, dvs. en åpen overdekning {U_{i}}_{i} av B og homeomorfier ϕ_{i}: p^{−1}(U_{i}) → U_{i} × F som respekterer projeksjonene til U_{i}, for alle i, med (2) koordinat transformasjoner i G, dvs. for alle i, j er det en kontinuerlig funksjon g_{ij}: U_{i} ∩ U_{j} → G slik at for x ∈ U_{i} ∩ U_{j} og f ∈ F er ϕ_{j} ∘ ϕ_{i}^{−1}(x, f) = (x, g_{ij}(x) · f).

Vi kaller E_{x} = p^{−1}(x) ⊂ E fiberen i x ∈ X. En (F, G)-bunt er en fiberbunt med fiber F og strukturgruppe G. Vi skriver gjerne E for å referere til hele buntstrukturen, eller bruker en gresk bokstav som ξ, η, ζ, etc.

Vi skiller ikke mellom to fiberbunter med samme total rom, projeksjon, basis rom, fiber og strukturgruppe dersom deres lokale trivialiseringer er kompatible, dvs. unionen av overdekningene har koordinattransformasjoner i G.

Vi kan forutsette av G virker effektivt på F, dvs. g · f = f for alle f bare hvis g = e. Da er g_{ij}(x) entydig definert av virkningen ϕ_{j} ∘ ϕ_{i}^{−1} : F → E_{x} → F via fiberen over x, og g_{ij} · g_{jk} = g_{ik} over U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}.

Gitt to (F, G)-bunter p′: E′ → B′ og p: E → B og en avbildning a: B′ → B er en bunt avbildning ã: E′ → E over a en kontinuerlig avbildning som bevarer fibrene, dvs. a ∘ p′ = p ∘ ã, og som respekterer strukturgruppene, dvs. for trivialiseringer {U′_{i}, ϕ′_{i}} og {U_{i}, ϕ_{i}} og alle i og j finnes det en kontinuerlig avbildning h_{ij}: U′_{i} ∩ a^{−1}(U_{j}) → G slik at for alle x ∈ U′_{i} ∩ a^{−1}(U_{j}) og f ∈ F er ϕ′_{j} ∘ ã ∘ ϕ_{i}^{−1}(x, f) = (a(x), h_{ij}(x) · f).

En invertibel bunt avbildning kalles en bunt isomorfi.

Gitt en (F, G)-bunt p: E → B og en kontinuerlig avbildning a: X → B kan vi danne en pullback fiberbunt a^{∗}(p): a^{∗}(E) → X, med

a^{∗}(E) = E ×_{B} X = {(e, x) ∈ E × X | p(e) = a(x)}

som et underrom av E × X, og projeksjon (e, x) ↦ x. Det er en naturlig bunt avbildning a^{∗}(E) → E over a: X → B, og omvendt gitt en bunt avbildning ã: E′ → E som ovenfor, så er E′ ≅ a^{∗}(E).

Hvis a: X → B er inklusjonen av et underrom, oppfatter vi a^{∗}(E) som et underrom av E, og kaller a^{∗}(E) restriksjonen av E til X. Vi skriver E|X = a^{∗}(E). De lokale trivialiseringene kan skrives ϕ_{i}: E|U_{i} ≅ U_{i} × F.

Hvis F = G med G-virkning fra produktet i gruppen, så kalles en (F, G)-bunt også en prinsipal G-bunt. Til en (F, G)-bunt p: E → B kan det tilordnes en prinsipal bunt q: P → B hvor P er rommet av bunt avbildninger fra F → ∗ til E → B. P har de samme koordinat transformasjonene g_{ij}: U_{i} ∩ U_{j} → G som E.

Omvendt kan p: E → B gjenvinnes fra prinsipal bunten, ved E = P ×_{G} F. Da sier vi at p: E → B er den assosierte (F, G)-bunten til prinsipal bunten q: P → B.

Lemma. En prinsipal G-bunt E → B er triviell hvis og bare hvis den tillater en seksjon.

Bevis. En triviell bunt har klart en seksjon. Omvendt, gitt en seksjon s: B → E fås en bunt isomorfi θ: B × G → E ved θ(b, g) = s(b) · g. □

Klassifiserende bunter.

Definisjon. Et rom BG kalles et klassifiserende rom for (F, G)-bunter hvis det finnes en (F, G)-bunt p: EG → BG slik at for enhver (F, G)-bunt q: E → B over et endelig dimensjonalt CW kompleks B finnes det en unik homotopi klasse av avbildninger f: B → BG slik at f^{∗}(EG) er isomorf med E.

Siden en prinsipal G-bunt bestemmer en (F, G)-bunt, og omvendt, vil et rom BG klassifisere (F, G)-bunter hvis og bare hvis det klassifiserer prinsipale G-bunter. Vi sier da at BG klassifiserer G-bunter.

Teorem (Steenrod). La p: EG → BG være en prinsipal G-bunt. Da er BG et klassifiserende rom for G-bunter hvis og bare hvis π_{k}(EG) = 0 for alle k ≥ 0.

Bevis. Først viser vi generelt at pullback over homotope avbildninger gir isomorfe bunter. Så bruker vi hypotesen om at π_{∗}(EG) = 0 og et obstruksjons argument for å vise at enhver bunt har en buntavbildning til EG → BG over en klassifiserende avbildning, dvs. er en pullback. Det samme argumentet viser så at klassifiserende avbildninger for isomorfe bunter er homotope, som etablerer en avbildning fra isomorfiklasser av bunter til homotopiklasser av klassifiserende avbildninger. Dette gir en invers til tilordningen [f] ↦ f^{∗}(EG), og viser at hypotesen er tilstrekkelig for at BG skal være et klassifiserende rom.

Omvendt kan man gi moteksempler som også viser at hypotesen er nødvendig.

La B være et endelig dimensjonalt CW kompleks, og la H: B × I → BG være en homotopi fra h_{0} til h_{1}, der h_{t} = H ∘ i_{t}. La π: B × I → B være projeksjonen. Vi vil vise at h_{0}^{∗}(EG) er isomorf med h_{1}^{∗}(EG) ved å vise at π^{∗}h_{0}^{∗}(EG) = h_{0}^{∗}(EG) × I er isomorf med H^{∗}(EG) som bunter over B × I, og tilsvarende med h_{1} i stedet for h_{0}.

Vi konstruerer en isomorfi fra π^{∗}h_{0}^{∗}(EG) til H^{∗}(EG) ved induksjon over cellene i B. Disse to buntene er allerede isomorfe over B ×{0} ⊂ B ×I. Induktivt se på en n-celle e_{α}^{n} ⊂ B med karakteristisk avbildning f: D^{n} → B, og sammenlign pullback buntene over f × id

(f × id)^{∗}π^{∗}h_{0}^{∗}(EG) og (f × id)^{∗}H^{∗}(EG).

Ved induksjon har vi en isomorfi over (k − 1)-skjelettet til B, dvs. en isomorfi av buntene over D^{n} × {0} ∪ S^{n−1} × I i D^{n} × I.

Siden D^{n} × I er kontraktibel er alle disse buntene trivielle. Så isomorfien gir en avbildning fra D^{n}×{0}∪S^{n−1}×I til strukturgruppen G, og siden D^{n}×{0}∪S^{n−1}×I er en deformasjons retrakt av D^{n} ×I, finnes det en utvidelse av denne avbildningen til hele D^{n} × I, dvs. en utvidelse av isomorfien over hele cellen e_{α}^{n}.

For neste trinn antar vi gitt en prinsipal G-bunt E → B, og at π_{k}(EG) = 0 for alle k. Vi definerer så en buntavbildning ã: E → EG over a: B → BG, induktivt over cellene til B.

Anta at avbildningen er definert over (n − 1)-skjelettet til B, og la f: D^{n} → B være den karakteristiske avbildningen til en n-celle e_{α}^{n}. Da er tilbaketrekningen f^{∗}(E) over D^{n} triviell, siden D^{n} er kontraktibel, og ved induksjonshypotesen er sammensetningen ã ∘ (f|S^{n−1} × id) definert. Vi ønsker å utvide denne Gavbildningen S^{n−1} ×G → EG til en G-avbildning D^{n} ×G → EG, som skal definere ã over e_{α}^{n}. Men dette er ekvivalent med å utvide en avbildning S^{n−1} → EG til D^{n} → EG, som alltid er mulig fordi π_{n}(EG) = 0.

Til slutt, gitt to isomorfe bunter E → B og E′ → B med klassifiserende avbildninger a, a′: B → BG, kan vi danne bunten E×I over B×I, med en buntavbildning over B × {0, 1} som dekker a og a′ i de to endene. Et tilsvarende argument som det foregående viser at hvis π_{∗}(EG) = 0 finnes det en utvidelse av denne buntavbildningen til E × I → EG, som dekker en avbildning B × I → BG. Denne gir en homotopi fra a til a′.

For moteksemplene er det to tilfeller. Hvis S^{k} → E ikke er nullhomotop (essensiell), er enten S^{k} → E → B essensiell, eller det finnes en faktorisering S^{k} → G → E. I det første tilfellet har pullbackbunten over S^{k} → E → B en seksjon, og er dermed triviell, så den trivielle bunten S^{k} × G → G har minst to ikke– homotope klassifiserende avbildninger. I det andre tilfellet kan man lage en bunt over ΣS^{k} ≅ S^{k+1} med “clutching map” S^{k} → G (se kapitlet om vektorbunter), som ikke har noen bunt avbildning til E → B. □

Hvis det eksisterer, er et klassifiserende rom BG i W for G-bunter bestemt opp til homotopi ekvivalens. Vi skal se i kapitlet om simplisielle metoder se at BG eksisterer for vilkårlige grupper G, eller mer generelt for topologiske monoider M som er gruppeaktige, dvs. π_{0}(M) er en gruppe.

Eksempler. Vi har prinsipal bunter ℤ → ℝ → S^{1}, ℤ/2 → S^{∞} → ℝP^{∞} og S^{1} → S^{∞} → ℂP^{∞}. Her virker ℤ på ℝ ved addisjon, ℤ/2 på enhetssfæren i ℝ^{∞} ved antipodal avbildningen, og S^{1} på enhetssfæren i ℂ^{∞} ved skalar multiplikasjon. Alle totalrommene har π_{k}(E) = 0 for alle k, så dette er klassifiserende bunter, og vi kan skrive

Bℤ ≃ S^{1}  Bℤ/2 ≃ ℝP^{∞}  BS^{1} ≃ ℂP^{∞}

Proposition. En fiberbunt p: E → B med B i W er en fibrering, og induserer derfor en lang eksakt sekvens i homotopi grupper. Spesielt er ΩBG ≃ G, og π_{k}(BG) ≅ π_{k−1}(G) for alle k.

Bevis–skisse. Det er klart at en triviell fiberbunt er en fibrering, og så må man vise at en sammensetning av fibreringer over delmengdene i en lokal trivialiserings– overdekning igjen er en fibrering. Se [Spanier, s. 96]. □

Så S^{1} er et K(ℤ, 1)-rom, ℝP^{∞} er et K(ℤ/2, 1)-rom, og ℂP^{∞} er et K(ℤ, 2)-rom.

I kapitlet om vektorbunter vil vi studere (ℂ^{n}, GL_{n}(ℂ))-bunter. Vi kan konstruere en prinsipal GL_{n}(ℂ)-bunt som følger.

For n ≤ m la Stiefel mangfoldigheten V_{n}(ℂ^{m}) være rommet av n-tupler av lineært uavhengige vektorer i ℂ^{m}, dvs. tupler (v_{1}, …, v_{n}) ∈ (ℂ^{m})^{n} som utspenner et n-dimensjonalt underrom lin{v_{1}, …, v_{n}} ⊂ ℂ^{m}.

Tilsvarende la Grassmann mangfoldigheten G_{n}(ℂ^{m}) være rommet av n-dimen-sjonale underrom av ℂ^{m}. Vi har da en naturlig avbildning p: V_{n}(ℂ^{m}) → G_{n}(ℂ^{m}), som er en prinsipal GL_{n}(ℂ)-bunt.

Ved hjelp av fibreringer

V_{n−1}(ℂ^{m−1}) → V_{n}(ℂ^{m}) → S^{2m−1}

ser man at V_{n}(ℂ^{m}) er 2(m − n)-sammenhengende.

Vi bruker det vanlige systemet av inklusjoner

ℂ^{m} → ℂ^{m+1} → ⋯ → ℂ^{∞}

og får i grensen en prinsipal GL_{n}(ℂ)-bunt V_{n}(ℂ^{∞}) → G_{n}(ℂ^{∞}). Siden V_{n}(ℂ^{∞}) er ubegrenset høyt sammenhengende, er dette en klassifiserende GL_{n}(ℂ)-bunt, og vi kan skrive

BGL_{n}(ℂ) ≃ G_{n}(ℂ^{∞}).

På samme måte kan vi konstruere en unitær Stiefel mangfoldighet V U_{n}(ℂ^{m}), bestående av unitære basiser for n-dimensjonale underrom av ℂ^{m}, som gir en prinsipal U(n)-bunt V U_{n}(ℂ^{∞}) → G_{n}(ℂ^{∞}). Nå blir V U_{n}(ℂ^{∞}) → V_{n}(ℂ^{∞}) en homotopi ekvivalens, så Gram–Schmidt prosessen gir en isomorfi mellom ekvivalensklassene av GL_{n}(ℂ)-bunter og U(n)-bunter. Vi kan altså også skrive

BU(n) ≃ G_{n}(ℂ^{∞}).

Tilsvarende kan man konstruere reelle og ortogonale Stiefel og Grassmann mangfoldigheter, og får

BO(n) ≃ BGL_{n}(ℝ) ≃ G_{n}(ℝ^{∞}).

Reduksjon av struktur gruppen.

Hvis ϕ: H → G er en gruppe homomorfi og F er et G-rom vil F naturlig få en H-virkning gjennom ϕ, og vi skriver ϕ^{∗}(F) for dette H-rommet.

En (F, H)-bunt med koordinat transformasjoner i H kan igjennom ϕ naturlig tenkes på som en (F, G)-bunt. I detalj, hvis p: E → B har koordinat transformasjoner h_{ij}: U_{i}∩U_{j} → H som (F, H)-bunt, så er ϕ∘h_{ij} koordinat transformasjoner for p som (F, G)-bunt, som vi skriver ϕ^{∗}(p).

Definisjon. Hvis en (F, G)-bunt p: E → B er isomorf med ϕ^{∗}(q) for en (F, H)- bunt q sier vi at p tillater en reduksjon av strukturgruppen til H.

Eksempel. Gram–Schmidt prosessen viser at enhver GL_{n}(ℝ)-bunt tillater en reduksjon av strukturgruppen til O(n), og tilsvarende for U(n) ⊂ GL_{n}(ℂ). Dette svarer til at en kan velge en Riemannsk (respektivt Hermittisk) metrikk på hvert fibervektorrom i bunten, som varierer kontinuerlig over fibrene, slik at koordinattransformasjonene er isometrier.

En (ℝ^{n}, O(n))-bunt er orienterbar hvis og bare hvis den tillater en reduksjon av strukturgruppen til SO(n). Den kalles en Spin-bunt hvis den tillater en reduksjon (løftning) av strukturgruppen over den doble overdekningen Spin(n) → SO(n) (n ≥ 3).

En O(n)-bunt ℝ^{n} → E → B er orienterbar hvis og bare hvis dens klassifiserende avbildning B → O(n) har en løftning til BSO(n), dvs. hvis og bare hvis en naturlig klasse w_{1} ∈ H^{1}(B; ℤ/2) forsvinner.

B

[figure: w_{1}]

[figure: BSO(n); BO(n); K(ℤ/2, 1)]

Valg av orienteringer er i så fall klassifisert i H^{0}(B; ℤ/2).

En orienterbar bunt er spinbar hvis og bare hvis en klasse w_{2} ∈ H^{2}(B; ℤ/2) er

null. B

[figure: w_{2}]

[figure: BSpin(n); BSO(n); K(ℤ/2, 2)]

Valg av spin strukturer er da klassifisert av H^{1}(B; ℤ/2).

Disse klassene kalles de to første Stiefel–Whitney klassene til E → B.

Simplisielle metoder

Simplisiell teori, klassifiserende rom, (colim, lim, hocolim og holim, løkkerom, H-rom.)

Simplisielle objekter.

Vi skal vise at enhver topologisk gruppe G har et klassifiserende rom BG. Vi vil konstruere dette rommet som den geometriske realiseringen av en simplisiell mengde, og går derfor først gjennom grunnlaget om simplisielle objekter.

Vi kan tenke på en simplisiell mengde som et generalisert simplisial kompleks. Et simplisial kompleks K er en samling hjørner (eng. vertices) H, og en samling simplekser S (eng. simplices) som hver seg er endelige ikketomme delmengder av H. Vi tenker på hjørnene som plassert linært uavhengig av hverandre (i generell posisjon) i et tilstrekkelig stort affint rom, og hvert simpleks er den konvekse innhyllingen av den delmengden av hjørner det svarer til. Unionen av alle simpleksene er da det underliggende rommet til simplisial komplekset.

Et simpleks med (q + 1) hjørner kalles et q-simpleks. Vi kan godt tenke oss at hjørnene i et simplisial kompleks er lineært ordnet, slik at vi kan nummerere hjørnene i et q-simpleks (v_{0}, v_{1}, …, v_{q}), i voksende orden.

I en simplisiell mengde abstraherer vi ut mengden av q-simplekser for alle q, og hvorledes de forskjellige simpleksene sitter sammen i hele komplekset. Det siste gjøres ved å se på sideflatene til et simpleks som nye simplekser, og å registrere hvilke simplekser som har felles sideflater, etc. Et q-simpleks vil ha (q+1) sideflater, som er gitt ved simpleksene utspent av (v_{0}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{q}) der hjørnet v_{i} er utelatt, for 0 ≤ i ≤ q. Så en sideflate av et simpleks oppnås ved å utelate noen av hjørnene.

Tilsvarende vil det vise seg hensiktsmessig når vi vil danne produkter av simplisielle komplekser å tillate simplekser hvor hjørnene gjentas, f. eks. ved at v_{i} = v_{i+1}. Geometrisk tenker vi på slike simplekser som utspent av hjørner som ikke ligger lineært uavhengig i det store affine rommet, og som er degenererte. Et degenerert simpleks kan alltid oppnås fra den underliggende mengden av hjørner ved å gjenta noen av dem.

Definisjon. En simplisiell mengde X_{•} er en familie av mengder {X_{q}}_{q} for q ∈ ℕ, sammen med side avbildninger (eng. face maps)

d_{i}^{q}: X_{q} → X_{q−1}

for 0 ≤ i ≤ q, og degenerasjons avbildninger (eng. degeneracy maps)

s_{j}^{q}: X_{q} → X_{q+1}

for 0 ≤ j ≤ q, som tilfredsstiller visse simplisielle identiteter.

Her oppfattes X_{q} som mengden av q-simplekser i X, d_{i}^{q} som funksjonen som til et q-simpleks tilordner den sideflaten som oppnås ved å utelate det ite hjørnet, som er et (q − 1)-simpleks, og s_{j}^{q} som funksjonen som til et q-simpleks tilordner det degenererte (q + 1)-simplekset hvor det jte hjørnet er gjentatt én gang til.

Vi utelater å skrive opp de simplisielle identitetene, fordi de følger fra den alternative definisjonen nedenfor.

La Δ være kategorien av endelige lineært ordnede mengder

[q] = {0 < 1 < ⋯ < q}

for q ≥ 0, og ordningsbevarende funksjoner ϕ: [p] → [q] (dvs. ϕ(i) ≤ ϕ(j) dersom i ≤ j).

Enhver slik funksjon kan faktoriseres som en surjeksjon etterfulgt av en injeksjon, som igjen kan faktoriseres som en sammensetning av funksjonene

δ_{i}^{q}: [q − 1] → [q]
σ_{j}^{q}: [q + 1] → [q]

der δ_{i}^{q} er den injeksjonen som ikke har i i billedet, mens σ_{j}^{q} er den surjeksjonen som tar to elementer til j, dvs. δ_{i}^{q}(x) = x hvis x < i og δ_{i}^{q}(x) = x + 1 hvis x ≥ i, mens σ_{j}^{q}(x) = x hvis x ≤ j og σ_{j}^{q}(x) = x − 1 hvis x > j.

Da er en ekvivalent definisjon av en simplisiell mengde en kontravariant funktor X: Δ → Ens til kategorien av mengder, som tar [q] til X_{q}, δ_{i}^{q} til d_{i}^{q}, og σ_{j}^{q} til s_{j}^{q}. De simplisielle identitetene genererer da relasjonene mellom alle avbildningene δ_{i}^{q} og σ_{j}^{q} i Δ.

Generelt kan man definere et simplisielt objekt X_{•} i en kategori C som en kontravariant funktor X: Δ → C, eller som en (kovariant) funktor Δ^{op} → C fra den motsatte kategorien hvor morfismene går den andre veien. En avbildning mellom simplisielle objekter er en naturlig transformasjon av funktorer. Vi skriver gjerne s_{•}C for kategorien av simplisielle objekter i C.

Så et simplisielt rom har et rom av q-simplekser X_{q} i hver grad; en simplisiell gruppe har en gruppestruktur på q-simpleksene, og side– og degenerasjons–avbildningene er homomorfier.

Eksempel. Gitt et rom X la Sing_{•}(X) være den simplisielle mengden

[q] ⟼ Sing_{q}(X)

med q-simplekser lik mengden av kontinuerlige avbildninger Δ^{q} → X fra det q-dimensjonale standard simplekset, og side– og degenerasjons avbildninger indusert ved høyre sammensetning med de affine avbildningene δ_{i}^{q}: Δ^{q−1} → Δ^{q} og σ_{i}^{q}: Δ^{q+1} → Δ^{q} som sender henholdsvis null og to hjørner til det ite hjørnet i Δ^{q}.

Gitt en simplisiell mengde X_{•} kan vi tilordne et topologisk rom, som i tilfellet et simplisial kompleks gjenvinner det underliggende rommet.

Definisjon. Den (geometriske) realiseringen |X_{•}| av en simplisiell mengde X_{•} er kvotientrommet

|X_{•}| = ∐_{q≥0} Δ^{q} × X_{q}/ ∼

der (δ_{i}^{q}(ξ), x) ∼ (ξ, d_{i}^{q}(x)) og (σ_{i}^{q}(ξ), x) ∼ (ξ, s_{i}^{q}(x)) for alle i og q, der ξ ∈ Δ^{q±1} og x ∈ X_{q}.

Dette er et CW kompleks, med en q-celle for hvert ikke–degenerert simpleks, dvs. hvert simpleks x ∈ X_{q} som ikke kan skrives på formen s_{j}^{q}(y) for noen y ∈ X_{q−1}.

Tilsvarende kan man realisere simplisielle rom ved å bruke (den kompakt genererte) produkttopologien på Δ^{q} × X_{q} i hver grad.

Funktorene Sing_{•} og geometrisk realisering danner et par av adjungerte funktorer, dvs. gir en ekvivalens mellom kategoriene av topologiske rom og simplisielle mengder.

Teorem (Kan). Det finnes en naturlig bijeksjon for simplisielle mengder X_{•} og rom Y

Mor_{s_{•} Ens}(X_{•}, Sing_{•}(Y)) ≅ Mor_{T op}(|X_{•}|, Y)

Små kategorier trer inn i topologi gjennom den følgende konstruksjonen. En kategori er liten dersom klassen av objekter er en mengde.

Definisjon. Nerven til en liten kategori C er den simplisielle mengden N_{•}C med

[q] ↦ N_{q}C = {Diagrammer A_{0} → ⋯ → A_{q}},

sideavbildninger d_{i}^{q} som utelater A_{i} fra et diagram, og degenerasjonavbildninger s_{j}^{q} som substituerer identitetsavbildningen A_{j} → A_{j} for A_{j} i et diagram.

Ekvivalent er N_{q}(C) lik mengden av funktorer [q] → C, der vi tenker på den lineært ordnede mengden [q] = {0 < 1 < ⋯ < q} som en kategori med (q + 1) objekter og en morfisme fra i til j presis hvis i ≤ j, og de simplisielle avbildningene er gitt ved høyre sammensetning med standard avbildningene i Δ.

Eksempel. Kategorien [1] = {0 → 1} har to objekter og en morfisme, og dens nerve I_{•} = N_{•}[1] har (q + 1) ulike q-simplekser på formen

0 → ⋯ → 0 → 1 → ⋯ → 1.

Det er tre ikke–degenererte simplekser, og realiseringen |N_{•}[1]| ≅ I er homeomorf med enhetsintervallet.

Definisjon. Produktet av to simplisielle mengder X_{•} og Y_{•} er gitt ved

(X × Y)_{q} = X_{q} × Y_{q}

med sideavbildninger d_{i}^{q} × d_{i}^{q} og degenerasjonsavbildninger s_{j}^{q} × s_{j}^{q}.

Fordi vi tar med degenererte simplekser i de simplisielle mengdene har vi følgende teorem.

Teorem (Milnor). De naturlige projeksjonene induserer en homeomorfi

|(X × Y)_{•}| ≅ |X_{•}| × |Y_{•}|

Definisjon. Vi definerer en simplisiell homotopi som en simplisiell avbildning H: X_{•}×I_{•} → Y_{•}. Den induserer en homotopi på realiseringene. Dersom Y_{•} har Kan utvidelses egenskapen er simplisiell homotopi en ekvivalensrelasjon på simplisielle avbildninger X_{•} → Y_{•}. Dette gjelder f. eks. dersom Y_{•} er en simplisiell gruppe.

  Definer Kan utvidelses egenskapen.

Bijeksjonen i Kan’s teorem ovenfor respekterer homotopiklasser, hvis vi bruker simplisielle homotopier i s_{•} Ens, og vanlige homotopier i T op.

Teorem (Moore). Dersom X_{•} er en simplisiell gruppe, er det naturlige isomorfier π_{q}(|X_{•}|) ≅ H_{q}(X_{∗}, ∂) der ∂_{q} = ∑_{i}(−1)^{i}d_{i}^{q}.

  Sjekk dette.

Eksempel. Gitt en mengde X kan vi danne en simplisiell mengde EX_{•} med EX_{q} = X^{q+1} og

d_{i}^{q}(x_{0}, …, x_{q}) = (x_{0}, …, x_{i−1}, x_{i+1}, …, x_{q})
s_{j}^{q}(x_{0}, …, x_{q}) = (x_{0}, …, x_{j}, x_{j}, …, x_{q}).

Dersom X ≠ ∅ er EX = |EX_{•}| kontraktibel. For gitt ∗ ∈ X har vi en (simplisiell) homotopi EX × I → EX fra en konstant avbildning til identiteten gitt ved

(x_{0}, …, x_{q}), (0, …, 0, 1, …, 1) ⟼ (∗, …, ∗, x_{i+1}, …, x_{q})

der det første 1-tallet er i (i + 1)ste posisjon.

Dersom X = G er en gruppe virker G fritt på EG = |EG_{•}| ved diagonal virkningen

g · (g_{0}, …, g_{q}) ⟼ (gg_{0}, …, gg_{q}).

La BG = EG/G være kvotientrommet for gruppevirkningen. Fra Steenrod’s teorem er prinsipalbunten G → EG → BG en klassifiserende bunt, og BG et klassifiserende rom for G-bunter.

Definisjon. For G en topologisk monoide (assosiativ semigruppe med enhet) kan vi beskrive BG som et simplisielt rom. BG_{q} er banerommet av G^{q+1} under diagonal virkningen ovenfor, og banen til et punkt (g_{0}, …, g_{q}) kan skrives som punktene g_{0} · (1, h_{1}, h_{1}h_{2}, …, h_{1} ⋯ h_{q}) der h_{i} = g_{i−1}^{−1}g_{i} og g_{0} gjennomløper G. Denne banen skrives

[h_{1}|h_{2}| ⋯ |h_{q}]

som et punkt i BG_{q}. De vertikale strekene (eng. bars) gir navnet bar–konstruksjonen til dette objektet.

Så BG er realiseringen av det simplisielle rommet

[q] ⟼ G^{q}

med

d_{i}^{q}([h_{1}| ⋯ |h_{q}]) = \{ \begin{matrix}[h_{2}| ⋯ |h_{q}] & hvis i = 0 \\ [h_{1}| ⋯ |h_{i}h_{i+1}| ⋯ |h_{q}] & hvis 0 < i < q \\ [h_{1}| ⋯ |h_{q−1}] & hvis i = q \end{matrix}

og

s_{j}^{q}([h_{1}| ⋯ |h_{q}]) = [h_{1}| ⋯ |h_{j}|1|h_{j−1}| ⋯ |h_{q}].

BG kalles det klassifiserende rommet til G.

Alternativt la G være kategorien med ett objekt ∗, og en morfisme for hvert element i G, dvs. Mor_{G}(∗, ∗) = G. Sammensetningen i G er gitt av multiplikasjonen i G. Da er BG_{·} = N_{·}G.

Bar konstruksjonen er et spesial tilfelle av en mer genererell tosidig bar–konstruksjon [May]. La G være en topologisk monoide (med en god enhet, f. eks. kan G være et CW kompleks og e ∈ G en null–celle.) La Y være et høyre G– rom, og X et venstre G-rom. La B(Y, G, X)_{q} = Y × G^{q} × X, hvor elementene skrives y[g_{1}| ⋯ |g_{q}]x, med rand avbildninger som bruker multiplikasjonen i G og virkningene på Y og X, og degenerasjons avbildninger som setter inn enheten i gruppen.

La B(Y, G, X) = |B(Y, G, X)_{•}|. Vi kan da la BG = B(∗, G, ∗), og EG = B(∗, G, G) med den naturlige høyre gruppevirkningen på X = G-faktoren.

Proposisjon. Hvis G er gruppeaktig (π_{0}(G) er en gruppe), så er G → EG → BG en fibrering. Mer generelt er B(Y, G, X) → B(Y, G, ∗) en kvasifibrering, for et hvert G-rom Y. Spesielt er ΩBG ≃ G.

Bevis–skisse. Dette kan vises ved først å skifte ut G med en homotopi ekvivalent simplisiell gruppe G_{•}. For eksempel kan man finne en simplisiell fri monoide Ǧ_{•} med en homotopi ekvivalens til G, og inklusjonen Ǧ_{•} → Ĝ_{•} til den tilhørende simplisielle fri gruppen er også en homotopi ekvivalens (for Bℕ ≃ Bℤ ≅ S^{1}.)

Hvis så G_{•} er en simplisiell gruppe, er G_{q} → EG_{q} → BG_{q} en fibrering med sammenhengende basisrom for hver q, og ved f. eks. [Bousfield–Friedlander] er også realiseringene |G_{•}| → |EG_{•}| → |BG_{•}|, dvs. G → EG → BG en fibrering.

Så fra Puppe sekvensen er ΩBG → G en homotopi ekvivalens. □

Konstruksjonen G ↦ BG er funktoriell. Dersom G er en abelsk (topologisk) gruppe, så er multiplikasjonsavbildningen

μ: G × G ⟶ G

en gruppehomomorfi, og induserer et produkt

Bμ: BG × BG → BG

som gjør BG til en ny abelsk topologisk gruppe. I tilfellet hvor G er diskret gir dette en konstruksjon av Eilenberg–MacLane rommene, ved B^{n}G = B ⋯ BG ≃ K(G, n).

Konjugasjon i BG.

For g ∈ G definerer konjugasjonen c_{g}: h ↦ ghg^{−1} en homomofi c_{g}: G → G, og en indusert avbildning Bc_{g}: BG → BG.

Lemma. For g ∈ G er konjugasjonsavbildningen

(c_{g})_{∗}: H_{∗}(BG) ⟶ H_{∗}(BG)

lik identitetsavbildningen på homologi.

Bevis. Vi har en naturlig homotopi BG×I → BG fra id til c_{g}, indusert av funktoren G × [1] → G som tar

h: (∗, 0) → (∗, 0) ⟼ h: ∗ → ∗
id ×(0 → 1) ⟼ g: ∗ → ∗
h: (∗, 1) → (∗, 1) ⟼ ghg^{−1} : ∗ → ∗.

□

Korollar. La H være en normal undergruppe av G. Da virker g ∈ G ved konjugasjon som ytre automorfier på H_{∗}(BH), og den naturlige avbildningen H_{∗}(BH) → H_{∗}(BG) faktoriserer igjennom invariantene

H_{∗}(BH) ⟶ H_{∗}(BG)^{G/H} ⊆ H_{∗}(BG).

  Mer om løkkerom, H-rom, BO, BO_{⊗}.

Topologisk K-teori

Vektorbunter, Whitney sum og tensor produkt, K(X), π_{∗}(BO), π_{∗}(BU), Bott periodisitet.

Familier av vektorrom.

Vi følger [Atiyah, K-Theory], og definerer komplekse vektorbunter. Tilsvarende kan man jobbe med relle eller kvaternioniske vektorrom, og får da reelle eller kvaternioniske vektorbunter og K-teori.

Definisjoner. La X være et rom. En familie av vektorrom over X er et rom E med en projeksjonsavbildning p: E → X, slik at hver fiber E_{x} = p^{−1}(x) er et endelig dimensjonalt vektorrom, kompatibelt med underroms topologien fra E.

En seksjon i p: E → X er en avbildning s: X → E slik at p ∘ s = id_{X}.

En homomorfi fra en familie p: E → X til en annen familie q: F → X er en kontinuerlig avbildning ϕ: E → F slik at qϕ = p, og for hver x ∈ X er ϕ: E_{x} → F_{x} en vektorroms homomorfi.

Dette er morfismene i kategorien av familier av vektorrom over X. En invertibel homomorfi kalles en isomorfi.

Gitt et (endelig dimensjonalt) vektorrom V la E = X × V og la p: E → X være projeksjonen. Da er E en produkt familie. En familie som er isomorf med en produkt familie kalles en triviell familie. Et valg av isomorfi ϕ: F → X × V kalles en trivialisering av F.

Hvis f: Y → X er kontinuerlig, og E er en familie av vektorrom over X, kan vi danne en pullback familie over Y

f^{∗}(E) = {(e, y) ∈ E × Y | p(e) = f(y)}

med den naturlige projeksjonen f^{∗}(p): f^{∗}(E) → Y, og den åpenbare vektorroms strukturen på fibrene.

Hvis f: Y → X er inklusjonen av et underrom oppfatter vi f^{∗}(E) som et underrom av E, og kaller f^{∗}(p) restriksjonen av E til Y. Vi skriver E|Y = f^{∗}(E).

En familie av vektorrom over X kalles lokalt triviell hvis hver x ∈ X har en omegn U slik at E|U er triviell. En lokalt triviell familie kalles en vektorbunt over X.

Hvis alle fibrene i en vektorbunt E har samme dimensjon n, sier vi at E har dimensjon n. En linjebunt er en én–dimensjonal vektorbunt. En n-dimensjonal vektorbunt er det samme som en (ℂ^{n}, GL_{n}(ℂ))-fiberbunt.

Eksempel. La V være et vektorrom, og la X = P (V) være dets tilhørende projektive rom, av linjer igjennom origo. La

E = {(x, v) ∈ X × V | v ligger på linjen x}

Da er E ⊂ X × V → X en vektorbunt, den kanoniske linjebunten over X = P (V).

Definisjon. Gitt vektorbunter E og F over et rom X kan vi danne nye vektorbunter ved fibervis å anvende en kontinuerlig funktor fra (par av) endelig dimensjonale vektorrom til endelig dimensjonale vektorrom.

Spesielt kan vi danne vektorbunter E⊕F (Whitney sum), E⊗F (tensor produkt), Hom(E, F), E^{∗} (dual), Ē (kompleks konjugert), og Λ^{i}(E) (ytre produkt).

Da er (E ⊕ F)_{x} = E_{x} ⊕ F_{x}, (E ⊗ F)_{x} = E_{x} ⊗ F_{x}, Hom(E, F)_{x} = Hom(E_{x}, F_{x}), (E^{∗})_{x} = (E_{x})^{∗}, E^{∗} ≅ Ē og (Λ^{i}(E))_{x} = Λ^{i}(E_{x}) for hver x ∈ X.

Vi har naturlige isomorfier E ⊕ F ≅ F ⊕ E, E ⊗ F ≅ F ⊗ E, E ⊗ (F′ ⊕ F′′) ≅ (E ⊗F′)⊕(E ⊗F′′), Hom(E, F) ≅ E^{∗} ⊗F og Λ^{k}(E ⊕F) ≅ ⊕_{i+j=k}(Λ^{i}(E)⊗Λ^{j}(F)).

Definisjon. En underbunt av E → X er et underrom av E som er en vektorbunt i underroms topologien. En avbildning ϕ: E → F av vektorbunter kalles injektiv hvis alle fiber avbildningene ϕ: E_{x} → F_{x} er injeksjoner, og ϕ: E → F kalles surjektiv hvis alle ϕ: E_{x} → F_{x} er surjeksjoner. Inklusjonen av en underbunt er injektiv.

Hvis F er en underbunt av E kan vi danne en kvotientbunt E/F med fiber over x ∈ X kvotient vektorrommet E_{x}/F_{x}.

En projeksjons operator P: E → E er en homomorfi slik at P ∘ P = P. Den bestemmer en sum dekomposisjon E ≅ (P E) ⊕ ((id −P)E).

La oss nå anta at basisrommet X er et kompakt Hausdorff rom, f. eks. et endelig CW kompleks.

Proposisjon. La Y ⊂ X være et lukket underrom, og E en vektorbunt over X. Da har enhver seksjon s: Y → E|Y en utvidelse til X.

Bevis. Dette er vektorbunt utgaven av Tietze’s utvidelses teorem. □

Korollar. La Y ⊂ X være som ovenfor, og la E og F være vektorbunter over X. Gitt en isomorfi f: E|Y → F |Y finnes det en utvidelse g: E → F som er en isomorfi på en åpen omegn U ⊃ Y.

Bevis. Se på f som en seksjon i vektorbunten Hom(E, F), og bruk proposisjonen. Det å være en isomorfi er en åpen betingelse. □

Dette har flere anvendelser.

Proposition (Homotopi invarians av pullback). La Y være et kompakt Hausdorff rom, f, g: Y → X homotope avbildninger, og E → X en vektorbunt. Da er

f^{∗}(E) ≅ g^{∗}(E)

Bevis. La H: Y × I → X være en homotopi, med f = H ∘ i_{0}, g = H ∘ i_{1}. La π: Y × I → Y være projeksjonen. Se på vektorbuntene H^{∗}(E) og π^{∗}i_{t}^{∗}H^{∗}(E) over Y ×I, som er isomorfe langs Y ×{t}, og dermed i en åpen omegn U = Y ×(t−δ, t+δ). Så isomorfi klassen til i_{t}^{∗}H^{∗}(E) er en lokalt konstant funksjon av t, og proposisjonen følger. □

Klassifikasjon av vektorbunter.

Definisjon. La Vect(X) være mengden av isomorfi klasser av vektorbunter over X, og la Vect_{n}(X) være delmengden av isomorfi klasser av n-dimensjonale vektorbunter over X. Vect(X) er en abelsk monoide (semi–gruppe) under Whitney sum, med nøytralt element den null–dimensjonale vektorbunten.

Proposition. X ↦ Vect(X) er en kontravariant homotopi funktor. Hvis X er kontraktibel er hver vektorbunt over X triviell og Vect(X) ≅ ℕ. □

Definisjon. La p: E → X være en vektorbunt, la Y ⊂ X være et lukket underrom, og la α: E|Y → Y ×V være en trivialisering. La π: Y ×V → V være projeksjonen, og definer en ekvivalens relasjon på E ved e ∼ e′ dersom p(e), p(e′) ∈ Y, og πα(e) = πα(e′). Vi kaller kvotient rommet E/α.

Proposisjon. E/α er en vektorbunt over X/Y, og dens isomorfi klasse avhenger bare av homotopi klassen til trivialiseringen α: E|Y → Y × V.

Bevis. Ekvivalens relasjonen kollapser alle fibrene over Y ved hjelp av π til én fiber over ∗ = Y/Y ⊂ X/Y. Vi kan se at E/α er lokalt triviell også omkring ∗ ved å utvide trivialiseringen til en åpen omegn U av Y ⊂ X.

Resten følger av homotopi invarians av pullback. □

Teorem. Det er en naturlig isomorfi Vect_{n}(ΣX) ≅ [X_{+}, GL_{n}(ℂ)].

Bevis. Vi skriver ΣX = C^{+}X ∪_{X} C^{−}X. Hvis E → ΣX er en n-dimensjonal vektorbunt er restriksjonene E|C^{+}X og E|C^{−}X begge trivielle, og alle trivialiseringer

α^{+} : E|C^{+}X → C^{+}X × ℂ^{n} og α^{−}: E|C^{−}X → C^{−}X × ℂ^{n}

er homotope. Så (α^{+}|X)(α^{−}|X)^{−1} : X × ℂ^{n} → X × ℂ^{n} er en veldefinert isomorfi, opp til homotopi, og vi får en entydig homotopi klasse av avbildninger X → GL_{n}(ℂ), eller ekvivalent av basispunkt bevarende avbildninger X_{+} → GL_{n}(ℂ).

Omvendt kan to trivielle vektorbunter over C^{+}X og C^{−}X identifiseres over X = C^{+}X ∩ C^{−}X via et koordinatskifte X → GL_{n}(ℂ), som gir en vektorbunt på ΣX. Disse tilordningene er inverser. □

Avbildningen X → GL_{n}(ℂ) kalles gjerne “the clutching map” for den tilsvarende bunten over ΣX.

  Norsk ?

Merk at Gram–Schmidt prosessen viser at inklusjonen U(n) → GL_{n}(ℂ) er en homotopi ekvivalens. Tilsvarende i det reelle tilfellet er O(n) → GL_{n}(ℝ) en homotopi ekvivalens. Så Vect_{n}(ΣX) ≅ [X_{+}, U(n)], og Vect_{n}(ΣX) ≅ [X_{+}, O(n)] i det reelle tilfellet.

Proposisjon. Hvis E → X er en vektorbunt over et kompakt Hausdorff rom X, så finnes det en injeksjon E → X × ℂ^{m} for et heltall m. Spesielt finnes det en vektorbunt F over X slik at E ⊕ F ≅ X × ℂ^{m} er triviell.

Bevis–skisse. Velg en endelig overdekning av X av åpne omegner slik at E er triviell over hver av disse, og bruk en partisjon av enheten til å summere sammen en trivialisering for hver åpen omegn. Summen av alle disse trivielle vektorbuntene blir X × ℂ^{m}. F kan velges som kvotient bunten (X × ℂ^{m})/E. □

Definisjon. Hvis V er et vektorrom, la Grassmann mangfoldigheten G_{n}(V) være rommet av n-dimensjonale underrom av V. Så G_{1}(V) = P (V). Det er en kanonisk n-dimensjonal vektorbunt γ = γ_{n}(V): E_{n}(V) → G_{n}(V) med

E_{n}(V) = {(x, v) ∈ G_{n}(V) × V | v ligger i underrommet x}.

Hvis p: E → X er en n-dimensjonal vektorbunt og i: E → X ×ℂ^{m} en injeksjon inn i en triviell vektorbunt, så definerer i: E_{x} → ℂ^{m} i fiberen over x et punkt f(x) i G_{n}(ℂ^{m}). Vi kaller den induserte avbildningen f: X → G_{n}(ℂ^{m}) den klassifiserende avbildningen for p: E → X. Merk at p ≅ f^{∗}(γ).

Inklusjonene

ℂ^{n} ⊂ ℂ^{n+1} ⊂ ⋯ ℂ^{m} ⊂ ⋯

induserer inklusjoner

G_{n}(ℂ^{n}) ⊂ G_{n}(ℂ^{n+1}) ⊂ ⋯ G_{n}(ℂ^{m}) ⊂ ⋯

og vi lar G_{n}(ℂ^{∞}) være unionen av disse rommene.

I forrige kapittel beskrev vi G_{n}(ℂ^{∞}) som det klassifiserende rom for gruppen GL_{n}(ℂ), eller for U(n), og under korrespondansen mellom n-dimensjonale vektorbunter over et rom X og homotopi klasser av avbildninger X_{+} → BU(n) svarer en vektorbunt til den avbildningen vi ovenfor har kalt den klassifiserende avbildningen.

Teorem. For X et kompakt Hausdorff rom er det isomorfier

[X_{+}, BU(n)] ≅ colim_{m}[X_{+}, G_{n}(ℂ^{m})] ≅ Vect_{n}(X)

indusert av f ↦ f^{∗}(γ_{n}(ℂ^{m})) for f: X → G_{n}(ℂ^{m}).

Bevis–skisse. Man viser at for to injeksjoner E → X × ℂ^{m_{1}} og E → X × ℂ^{m_{2}} blir de klassifiserende avbildningene X → G_{n}(ℂ^{m_{1}}) og X → G_{n}(ℂ^{m_{2}}) homotope når de inkluderes videre inn i G_{n}(ℂ^{∞}). □

Topologisk K-teori av vektorbunter.

Grothendieck innførte den følgende konstruksjonen, hvorved en abelsk semi– gruppe eller semi–ring utvides på en universell måte til en abelsk gruppe eller ring.

Definisjon. Hvis A er en abelsk semi–gruppe (kommutativ, assosiativ monoide) med sum ⊕, la Grothendieck konstruksjonen, eller gruppe kompletteringen K(A) være den abelske gruppen generert av elementene i A, med relasjonene a+b = a⊕b. Tilsvarende hvis A er en semi–ring. Det er en naturlig semi–gruppe homomorfi A → K(A).

Et element i K(A) kan skrives som en formell differens a − b av elementer i A, og a − b = a′ − b′ nøyaktig hvis det finnes en c ∈ A, med a + b′ + c = a′ + b + c i A.

K(A) har den universelle egenskapen at for en vilkårlig gruppe G har en semi– gruppe homomorfi A → G en entydig faktorisering igjennom en gruppe homomorfi K(A) → G. Tilsvarende for ringer.

Definisjon. Hvis X er et rom, lar vi K(X) = K(Vect(X)) være gruppe kompletteringen av semi–ringen av isomorfiklasser av vektorbunter over X, med sum indusert av Whitney sum ((E, F) ↦ E ⊕ F), og produkt indusert av tensor produktet ((E, F) ↦ E ⊗ F.)

Hvis vi ønsker å presisere at vi mener komplekse (unitære) vektorbunter vil vi skrive KU(X), hvis vi bruker reelle (ortogonale) vektorbunter skriver vi KO(X), og for kvaternioniske (symplektiske) vektorbunter skriver vi KSp(X).

La m stå for den trivielle bunten X × ℂ^{m} → X over X. Da kan et element i K(X) skrives som en virtuell bunt E − F for to bunter E og F over X. Hvis X er kompakt Hausdorff finnes en bunt G og m slik at F ⊕ G ≅ m, så E − F kan skrives som H − m der H = E ⊕ G.

To bunter E og F representerer det samme elementet i K(X) hvis og bare hvis E + m ≅ F + m for tilstrekkelig store m. Vi sier at E of F er stabilt ekvivalente.

Vi avbilder Vect_{n}(X) → Vect_{n+1}(X) ved addisjon med den trivielle linjebunten 1. To vektorbunter er da stabilt ekvivalente hvis og bare hvis de blir ekvivalente etter et antall slike inklusjoner. Tilsvarende har vi inklusjoner av de uendelige Grassmann mangfoldighetene G_{n}(ℂ^{∞}) → G_{n+1}(ℂ^{∞}) → … og de homotopi ekvivalente klassifiserende rommene BU(n) → BU(n + 1) → ⋯ → BU. Dette viser :

Teorem. For et kompakt rom X er

K(X) ≅ ℤ × colim_{n} Vect_{n}(X) ≅ [X_{+}, ℤ × BU]. □

Definisjon. X ↦ K(X) er en kontravariant homotopi funktor, for f: Y → X tar E−F ∈ K(X) til f^{∗}(E)−f^{∗}(F) ∈ K(Y) og hvis f ≃ g er f^{∗} = g^{∗}: K(X) → K(Y). Vi kan utvide definisjonen av K til en gradert teori, med K(X) = K^{0}(X), som vil gi et eksempel på en generalisert kohomologi teori.

Hvis X er et rom med basispunkt la K̃(X) være kjernen av K(X) → K(∗) ≅ ℤ indusert av inklusjonen ∗ → X.

La K̃^{−n}(X) = K̃(Σ^{n}X). Hvis (X, Y) er et par av rom, la K^{−n}(X, Y) = K̃^{−n}(X/Y) = K̃(Σ^{n}(X/Y)), og K^{−n}(X) = K^{−n}(X, ∅) = K̃(Σ^{n}(X_{+})).

K^{−n}(∗) = K̃(S^{n}) = π_{n}(ℤ × BU), og KO^{−n}(∗) = K̃O(S^{n}) = π_{n}(ℤ × BO).

Vi kan tenke på K(X, Y) som K-teorien av vektorbunter over X med en trivialisering av restriksjonen til Y, eller par (differanser) av bunter E_{1} og E_{2} over X med en valgt isomorfi E_{1}|Y ≅ E_{2}|Y.

Lemma. For et par (X, Y) har vi en eksakt sekvens

[figure: K(X, Y); \overline{j^{∗}}; K(X); \overline{i^{∗}}; K(Y)]

der i: Y → X og j: (X, ∅) → (X, Y) er inklusjonene.

Bevis. En virtuell bunt E over X i kjernen av i^{∗} vil ha en stabilt trivialiserbar restriksjon i^{∗}(E) = E|Y over Y. Et valg av trivialisering α definerer en virtuell bunt E/α over X/Y, som avbilder til E under j^{∗}. □

Korollar. For et par (X, Y) er det en lang eksakt sekvens indusert av Puppe sekvensen :

[figure: ⋯; K^{−2}(Y); \overline{∂}; K^{−1}(X, Y); \overline{j^{∗}}; K^{−1}(X); \overline{i^{∗}}; K^{−1}(Y); \overline{∂}; K^{0}(X, Y); \overline{j^{∗}}; K^{0}(X); \overline{i^{∗}}; K^{0}(Y)]

Bott periodisitet vil vise at denne lange eksakte sekvensen også kan fortsettes uendelig mot høyre, så fort vi får definert K^{n}(X) for positive n.

Funktorene (X, Y) ↦ K^{n}(X, Y) og forbindelseshomomorfien ∂ oppfyller da alle Steenrod-Eilenberg aksiomene (homotopi invarians, lang eksakt sekvens, og eksisjon eller ekvivalent suspensjons isomorfien), unntatt dimensjonsaksiomet om verdiene K^{n}(∗), og vi sier at K^{∗} utgjør en generalisert kohomologi teori.

Bott periodisitet.

Vi kan definere et tensor produkt i K-teori

K^{−n}(X) ⊗ K^{−m}(Y) → K^{−n−m}(X × Y)

som når X = Y og vi fortsetter med restriksjonen over diagonalen Δ: X → X × X induserer en gradert ringstruktur på K^{−∗}(X).

Det vanlige tensor produktet K^{0}(X)⊗K^{0}(Y) → K^{0}(X ×Y) induserer K̃^{0}(X)⊗ K̃^{0}(Y) → K̃^{0}(X ∧ Y), og dermed K̃^{−n}(X) ⊗ K̃^{−m}(Y) → K̃^{−n−m}(X ∧ Y) ved å bytte ut X med Σ^{n}X og Y med Σ^{m}Y. Produktet ovenfor fremkommer ved å substituerer X_{+} for X og Y_{+} for Y.

Teorem (Bott periodisitet for K = KU). Tensor produktet definerer en isomorfi

K(S^{2}) ⊗ K(X) ⟶ K(S^{2} × X).

Dette er et dypt resultat, som vi ikke vil vise i dette kurset. Se [Bott], [Atiyah],

[Milnor] eller [Wood] for ulike bevis.

Vi vet allerede at K(∗) ≅ ℤ hvor isomorfien er gitt ved å ta et vektorrom (som er en vektorbunt over ∗), til dets dimensjon. Og K(S^{1}) = K(ΣS^{0}) ≅ [S_{+}^{0}, U] = 0 siden U er sammenhengende. Vi kan også regne ut K̃(S^{2}) = K̃(ΣS^{1}) ≅ [S^{1}, U] ≅ ℤ siden π_{1}(U(1)) ≅ ℤ, og U(1) → U er to–sammenhengende.

Ved å finne en generator for K̃(S^{2}) kan vi omformulere periodisitets teoremet. La H^{∗} = E_{1}(ℂ^{2}) → ℂP^{1} være den kanoniske linjebunten over ℂP^{1} ≅ S^{2}. Hvis

vi velger homogene koordinater [z_{1} : z_{2}] på ℂP^{1}, og dekker ℂP^{1} med de to diskene

D_{0} = {[z_{1} : z_{2}] | |z_{1}| ≤ |z_{2}|}
D_{∞} = {[z_{1} : z_{2}] | |z_{1}| ≥ |z_{2}|},

så har vi trivialiseringer

θ_{0} : D_{0} × ℂ^{1} ⟶ H^{∗}
([z_{1} : z_{2}], w) ⟼ (\frac{z_{1}}{z_{2}} · w, w)
θ_{∞}: D_{∞} × ℂ^{1} ⟶ H^{∗}
([z_{1} : z_{2}], w) ⟼ (w, \frac{z_{2}}{z_{1}} · w)

hvor (u, v) ∈ ℂ^{2} representerer punktet (u, v) på linjen igjennom (u, v), som et punkt i H. Langs S^{1} = D_{0} ∩ D_{∞} hvor |z_{1}| = |z_{2}| har vi koordinat transformasjonen

θ_{∞}^{−1}θ_{0} : S^{1} × ℂ^{1} ⟶ S^{1} × ℂ^{1}
([z_{1} : z_{2}], w) ⟼ ([z_{1} : z_{2}], \frac{z_{1}}{z_{2}} · w)

som er adjungert til den vanlige identifikasjonen S^{1} ≅ U(1) som tar [z_{1} : z_{2}] ↦ z_{1}/z_{2}, og sammensetningen S^{1} ≅ U(1) → U representerer en generator for [S^{1}, U] ≅ K̃(S^{2}).

Så H^{∗} og den trivielle linjebunten 1 genererer K(S^{2}) ≅ ℤ⊕ℤ, og H^{∗}−1 genererer K̃(S^{2}) = K^{−2}(∗). Det samme gjelder for H − 1, der H = Hom(H^{∗}, 1) er den duale bunten til den kanoniske linje bunten, som kalles Hopf bunten. Fordi H er en kompleks linjebunt med mange holomorfe seksjoner, mens H^{∗} ikke har noen, er det vanligere i algebraisk geometri å velge H − 1 som generator for K̃(S^{2}).

Definisjon. Bott elementet er generatoren b = b_{ℂ} = H − 1 i K^{−2}(∗).

Korollar. Multiplikasjon med Bott elementet

b·: K(X) → K^{−2}(X)

er en isomorfi.

Vi kan nå definere K^{n}(X) = K^{n−2}(X) for n > 0. Så K^{2n}(∗) ≅ ℤ, mens K^{2n−1}(∗) ≅ [S^{0}, U] ≅ 0.

Korollar. Tensor produktet definerer isomorfier

K^{−2}(∗) ⊗ K^{n}(X) → K^{n−2}(X) og K(S^{n}) ⊗ K(X) → K(S^{n} × X)

for alle X og n.

Videre er K(X) ≅ [X_{+}, ℤ × BU] isomorf med K^{−2}(X) ≅ [Σ^{2}(X_{+}), ℤ × BU] ≅ [X_{+}, Ω^{2}(ℤ×BU)] for endelige komplekser X. Ved å tilnærme BU med slike endelige X, og litt forsiktig bruk av inverse grenser, følger at

ΩU ≃ Ω^{2}(ℤ × BU) ≃ ℤ × BU og Ω^{2}U ≃ U.

Korollar.

π_{k}(ℤ × BU) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & når k = 0 (mod 2) og k ≥ 0 \\ 0 & ellers. \end{matrix}

Vi kan beskrive algebrastrukturen på K-teorien til et punkt som Laurent–polynomene

K^{∗}(∗) ≅ ℤ[b, b^{−1}].

Definisjon. Det finnes en kompleksifiserings avbildning c: KO(X) → KU(X) som tar en reell vektorbunt E → X til dens fibervise kompleksifisering E ⊗_{ℝ} ℂ → X, som er indusert av en avbildning c: ℤ × BO → ℤ × BU.

Omvendt er det en realifiserings avbildning r: KU(X) → KO(X) som tar er kompleks vektorbunt til dens underliggende reelle vektorbunt. Denne er også indusert av en avbildning r: ℤ × BU → ℤ × BO.

Det er også en avbildninger KU(X) → KSp(X) og KSp(X) → KU(X) som fibervis utvider skalarer eller glemmer den symplektiske strukturen.

Teorem (Bott periodisitet for KO). Tensor produktet definerer en isomorfi

KO(S^{8}) ⊗ KO(X) ⟶ KO(S^{8} × X).

Man kan vise at det finnes en (virtuell) reell vektorbunt b_{ℝ} i K̃O(S^{8}) hvis kompleksifisering c(b_{ℝ}) ∈ K̃(S^{8}) er stabilt ekvivalent med b_{ℂ}^{4}, der b = b_{ℂ} = H − 1 ∈ K̃(S^{2}) er det komplekse Bott elementet.

Korollar. Multiplikasjon med b_{ℝ} induserer en isomorfi

b_{ℝ}·: KO(X) ≅ KO^{−8}(X)

og generelt er

KSp^{−4}(∗) ⊗ KO^{−n}(X) ≅ KSp^{−n−4}(X)
KSp^{−4}(∗) ⊗ KSp^{−n}(X) ≅ KO^{−n−4}(X)
KO^{−8}(∗) ⊗ KO^{−n}(X) ≅ KO^{−n−8}(X)

så Ω^{4}BO ≃ ℤ × BSp, Ω^{4}BSp ≃ ℤ × BO, og Ω^{8}BO ≃ ℤ × BO.

Vi definerer KO^{n}(X) = KO^{n−8}(X) og KSp^{n}(X) = KSp^{n−8}(X) for n > 0. Gruppene KO^{n}(∗) og KSp^{n}(∗) er periodiske modulo åtte i n, og er gitt av den følgende proposisjonen.

Proposisjon.

π_{k}(O) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ/2 & for k = 0, 1 \\ 0 & for k = 2 \\ ℤ & for k = 3 \end{matrix}

π_{k}(Sp) ≅ \{ \begin{matrix}0 & for k = 0, 1, 2 \\ ℤ & for k = 3 \end{matrix}

så for k ≥ 0 er

π_{k}(ℤ × BO) ≅ KO^{−k}(∗) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & for k = 0, 4 (mod 8) \\ ℤ/2 & for k = 1, 2 (mod 8) \\ 0 & for k = 3, 5, 6, 7 (mod 8) \end{matrix}

og kompleksifisering c_{∗}: π_{k}(ℤ × BO) → π_{k}(ℤ × BU) er en isomorfi for k = 0 (mod 8), og multiplikasjon med to for k = 4 (mod 8).

rc = 2: ℤ × BO → ℤ × BO
cr = 1 + T : ℤ × BU → ℤ × BU

der T : ℤ × BU → ℤ × BU er kompleks konjugasjon, dvs. T (E) = Ē.

Bevis. Vi studerer SO(4) ≅ ℝP^{3} × S^{3} og den tre–sammenhengende avbildningen SO(4) → SO, sammen med Sp(1) ≅ S^{3} og den seks–sammenhengende avbildningen Sp(1) → Sp. Vi følger [Steenrod, §22].

Tenk på S^{3} som enhetssfæren i kvaternionene ℍ, og ℝ^{3} ≅ ℝ{i, j, k} ⊂ ℍ som det imaginære hyperplan i ℍ hvor realdelen forsvinner.

Da har vi en avbildning t: S^{3} → SO(3) gitt ved t(x): y ↦ xyx^{−1}. Her bruker vi multiplikasjonen i ℍ, og merker at t(x) er en isometri på ℍ som fikserer 1, og dermed avbilder det normale hyperplanet på seg selv.

Kjernen til t består av de kvaternioner som kommuterer med i, j, og k, som lett sees å være de reelle tall ℝ ≅ ℝ{1} ⊂ ℍ, som også har norm én, dvs. {±1}. Så t definerer en dobbel overdekning av t(S^{3}) ⊆ SO(3).

Men t er surjektiv. For eksempel er t(cos θ + i sin θ) gitt ved t(e^{iθ})j = e^{iθ}je^{−iθ} = e^{2iθ}j, dvs. en rotasjon i (jk)-planet med vinkelen 2θ. Tilsvarende rotasjoner i (ij)– og (ik)-planene genererer SO(3). Så

SO(3) ≅ ℝP^{3}.

For å studere SO(4) bruker vi prinsipal bunten SO(3) → SO(4) → S^{3}. Projeksjonen p: SO(4) → S^{3} er gitt ved evaluasjon i 1, dvs. p(A) = A · 1, der vi tenker på A ∈ SO(4) som en isometri på ℍ ≅ ℝ^{4}.

Vi har en seksjon s: S^{3} → SO(4) gitt ved s(x): y ↦ xy. Produktet av inklusjonen ℝP^{3} ≅ SO(3) → SO(4), og seksjonen s: S^{3} → SO(4) definerer da en homeomorfi

SO(4) ≅ ℝP^{3} × S^{3},

som viser SO(4) som totalrommet i en triviell bunt over S^{3}. Dermed begynner π_{∗}(SO(4)) med π_{1}(SO(4)) ≅ π_{1}(ℝP^{3}) ≅ ℤ/2, og π_{3}(SO(4) ≅ π_{3}(ℝP^{3}) × π_{3}(S^{3}) ≅ ℤ ⊕ ℤ.

For å beskrive inklusjonen SO(4) → SO(5) bruker vi prinsipal bunten SO(4) → SO(5) → S^{4} ≅ ΣS^{3}, og dens ‘clutching map” S^{3} → SO(4). Fra fibreringene SO(n) → SO(n + 1) → S^{n} følger at SO(5) → SO er fire–sammenhengende, så π_{3}(SO(5)) ≅ π_{3}(SO).

Vi tenker på S^{4} som enhetssfæren i ℝ^{5} ≅ ℍ ⊕ ℝ med basis {1, i, j, k, e = e_{5}}. La p: SO(5) → S^{4} evaluere en lineær isometri i e.

Vi kan trivialisere p over øvre og nedre halvkule D_{+}^{4} og D_{−}^{4} ved å gi seksjoner s_{+} og s_{−} over de respektive halvkulene. Ta x ∈ D_{+}^{4} til rotasjonen i planet utspent av e og x, som dreier e til x. Tilsvarende, ta x ∈ D_{−}^{4} til rotasjonen igjennom π radianer (refleksjon i origo) i planet utspent av e og 1, etterfulgt av rotasjonen i planet utspent av −e og x som dreier −e til x. Begge transformasjonene sender e til x.

Da er “the clutching map” f: S^{3} → SO(4) gitt ved f(x) = (s_{−}(x))^{−1}(s_{+}(x)) for x ∈ S^{3} = D_{+}^{4} ∩ D_{−}^{4}. Denne avbildningen reflekterer først igjennom origo i (ex)- planet, og deretter i (1e)-planet. Så f(x) er rotasjonen i SO(4) som dreier i (1x)- planet igjennom to ganger vinkelen fra 1 til x. Dette kan uttrykkes i kvaternione multiplikasjonen som f(x): y ↦ xyx.

Følgelig er [f] = 2[s] − [t] i π_{3}(SO(4)), og avbildningen π_{3}(SO(4)) → π_{3}(SO(5)) tar (−1, 2) ∈ ℤ ⊕ ℤ ≅ im(t_{∗}) ⊕ im(s_{∗}) til null. Vi har dermed vist at π_{3}(SO)) ≅ ℤ, sammensetningen S^{3} → SO(4) → SO av seksjonen s og inklusjonen representerer en generator, og sammensetningen S^{3} → SO(3) → SO av projeksjonen t og inklusjonen representerer to ganger generatoren.

Den symplektiske analysen er enklere, fordi Sp(1) ≅ S^{3} og fibreringene Sp(n) → Sp(n + 1) → S^{4n+3} viser at konnektiviteten til Sp(1) → Sp er høy.

For å sammenligne O med U viser vi at realifisering r: U(2) → O(4) → O gir en isomorfi på π_{3}, mens sammensetningen rc: O → U → O er multiplikasjon med to. Da induserer c: O → U multiplikasjon med to på π_{3}.

Som ovenfor kan vi se at U(1) ≅ S^{1} og U(2) ≅ S^{1} × S^{3}, og U(2) → U er fire–sammenhengende.

Vi velger å jobbe med SO i stedet for O. Seksjonen s: S^{3} → SO(4) er representert ved venstre kvaternione multiplikasjon, dvs. av sammensetningen

S^{3} ≅ Sp(1) → U(2) → SO(4)

som glemmer kvaternione strukturen, ved først å tenke på ℍ so ℂ^{2}, og deretter som ℝ^{4}. Så generatoren [s] løfter over π_{3}(r), som derfor må være en isomorfi.

Til sist er sammensetningen rc: SO(n) → U(n) → SO(2n) gitt på matriseform ved

A ↦ ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & A \end{matrix} )

som klart er summen av to ganger identitetsavbildningen, og dermed induserer multiplikasjon med to på alle homotopigrupper. □

Lemma. Sammensetningene rc: KO(X) → KO(X) og cr: K(X) → K(X) er gitt ved

rc(E) = 2E  og  cr(E) = E + Ē

der Ē er den kompleks konjugerte bunten til E.

Bevis. Vi har naturlige isomorfier r(V ⊗_{ℝ} ℂ) ≅ V ⊕ V og r(W) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ W ⊕ W̄, henholdsvis som reelle og komplekse vektorrom.

V ⊕ V ⟶ rc(V)
(v_{1}, v_{2}) ⟼ v_{1} ⊗ 1 + v_{2} ⊗ i
W ⊕ W̄ ⟶ cr(W)
(w_{1}, w_{2}) ⟼ iw_{1} ⊗ 1 + w_{1} ⊗ i + iw_{2} ⊗ 1 − w_{2} ⊗ i.

□

J-ekvivalens.

Definisjon. Gitt en reell vektorbunt ℝ^{n} → E → X med en Riemannsk metrikk på hver fiber (som vi oppfatter som en (ℝ^{n}, O(n))-bunt), kan vi danne de assosierte disk– og sfære–buntene til E, D^{n} → D(E) → X og S^{n−1} → S(E) → X.

Dette er (D^{n}, O(n))– og (S^{n−1}, O(n))-buntene assosiert til prinsipal O(n)-bunten til E, eller ekvivalent underbuntene av E → X bestående av vektorer av norm mindre enn eller lik én, respektivt av norm lik én.

Paret T (E) = (D(E), S(E)) eller eventuelt D(E)/S(E) kalles Thom–komplekset til E.

To vektorbunter E → X og E′ → X kalles J-ekvivalente dersom deres assosierte sfære bunter S(E) → X og S(E′) → X er fiber homotopi ekvivalente. E og E′ kalles stabilt J-ekvivalente dersom E ⊕ n og E′ ⊕ n er J-ekvivalente for en tilstrekkelig stor triviell bunt n.

Dette definerer en homomorfi j: K(X) → J(X) ⊆ KF (X) til gruppen av stabilt fiber homotopi ekvivalente sfæriske fibreringer over X. Bildet kalles J(X), og er lik de stabile J-ekvivalens klassene av virtuelle vektorbunter over X.

Se [Adams, Atiyah] for mer om dette. Adams viser at K(ℝP^{n}) ≅ J(ℝP^{n}) i sin artikkel om vektorfelter på sfærer.

  Mer om BO, BO_{⊗} ?

Sfæriske fibreringer

Homotopi bunter, sfæriske fibreringer, [Stasheff], BSF.

Definisjon. En homotopi F -bunt over X er en avbildning f: E → X slik at hofib(f) ≃ F, og to slike bunter f: E → X og f′: E′ → X er ekvivalente hvis det finnes en fiber homotopi ekvivalens h: E → E′.

En homotopi S^{n}-bunt kalles en sfærisk fibrering. Vi kan stabilisere en sfærisk fibrering ved å danne såkalt fibervis join.

Hvis X og Y er to rom, er deres join kvotientrommet

X ∗ Y = X × I × Y/ ∼
= X × CY ∪_{X×Y} CX × Y

der (x, 0, y) ∼ (x, 0, y′) og (x, 1, y) ∼ (x′, 1, y). Vi kan skrive [x, t, y] som (1−t)x+ty. Vi har S^{n} ∗ S^{m} ≅ S^{n+m+1}, og gitt to sfæriske fibreringer p: E → B, p′: E′ → X defineres deres fibervise join som

E ∗ E′ = {[x, t, y] ∈ E ∗ E′ | p(x) = p′(y)}

som igjen er en sfærisk fibrering.

To sfæriske fibreringer E og E′ kalles stabilt ekvivalente dersom E∗S^{m} og E′∗S^{m} er ekvivalente for en stor sfære S^{m}, der E ∗ S^{m} betegner det fibervise join med S^{m}, eller ekvivalent med den trivielle sfæriske fibreringen X × S^{m} → X over X.

La KF (X) være gruppen av stabile ekvivalensklasser av sfæriske fibreringer over et (endelig dimensjonalt) rom X. Gruppestrukturen er gitt ved fibervis join.

Teorem (Stasheff). La F være et endelig CW kompleks, la H(F) være monoiden av homotopi ekvivalenser f: F → F, og la X være et endelig dimensjonalt CW kompleks. Da er [X, BH(F)] lik mengden av ekvivalens klasser av homotopi F - bunter over X.

Bevis–skisse. Kan vises ved hjelp av representasjonsteoremet for halv–eksakte funktorer. □

I tilfellet F = S^{n} skriver vi F (n) = H(S^{n}), og grensen under stabilisering er F = ∪_{n}F (n).

Så KF (X) er klassifisert av ℤ × BF, og J-homomorfien KO(X) → J(X) ⊆ KF (X) som tar en reell vektorbunt til dens sfærebunt opp til fiber homotopi ekvivalens, er klassifisert av en avbildning

Bj: ℤ × BO ⟶ ℤ × BF.

Merk at det stabilt er likegyldig om vi tar vektorbunten E → X til dens fibervise ettpunktskompaktifisering, eller til dens fibervise enhetssfære. De skilles kun ad ved en enkelt suspensjon.

Spektra

Generaliserte ko– og homologiteorier, spektra, Atiyah–Hirzebruch spektral sekvensen, smash produkter, ring spektra.

Uendelige løkkerom.

Hvis vi tenker på funktorene X ↦ [X, K(π, n)] som kandidater til en kohomologi teori i Eilenberg–Steenrod’s forstand, så er homotopi invarians aksiomet formelt, og eksistensen av en lang eksakt sekvens følger fra Puppe sekvensen, mens for eksisjon, eller ekvivalent suspensjonsisomorfien, må vi vite at K(π, n) kan skrives som et løkkerom, dvs. som ΩK(π, n + 1). Dette er også tilstrekkelig.

Disse funktorene oppfyller også dimensjonsaksiomet (π_{n}(K(π, n)) ≅ π), men vi kjenner allerede andre familier av rom som representerer funktorer som oppfyller alle de andre aksiomene.

For eksempel representerer funktorene X ↦ [X, Q(S^{n})] = π_{S}^{n}(X) stabil kohomotopi, som er en homotopi funktor med lang eksakt sekvens, og som oppfyller suspensjonsisomorfien fordi Q(S^{n}) er et løkkerom, dvs. ΩQ(S^{n+1}).

Tilsvarende er topologisk K-teori X ↦ K^{n}(X) ≅ [X, ℤ × BU] for n jevn og K^{n}(X) ≅ [X, U] for n odde en slik generalisert kohomologiteori. Denne gang er suspensjonsisomorfien en følge av Bott periodisitet ℤ × BU ≃ ΩU.

Så det som behøves for å representere en generalisert kohomologi teori er en sekvens av rom {E_{n}}_{n}, hvor X ↦ [X, E_{n}] oppfattes som den generaliserte kohomologien i grad n, og hvor suspensjonsisomorfien oppnås ved at det er homotopi ekvivalenser E_{n} ≃ ΩE_{n+1}.

Det er klart at et rom E_{n} da bestemmer homotopitypen til hvert av de lavere rommene E_{i} for i < n, ved E_{i} ≃ Ω^{n−i}E_{n}, mens det kritiske er eksistensen av de høyere “deloopingene” E_{i} for i stor.

Vi merker oss at rom E_{0} som forekommer nederst i en slik familie av høyere og høyere deloopinger er spesielle.

Definisjon. Et rom E_{0} slik at det finnes at rom E_{1} med E_{0} ≃ ΩE_{1} kalles et løkkerom. Et rom E_{0} slik at det finnes rom E_{n} for alle 0 ≤ n ≤ k med E_{0} ≃ Ω^{n}E_{n} kalles et k–foldig løkkerom. Et rom E_{0} slik at det finnes rom E_{n} for alle n ≥ 0 med E_{0} ≃ Ω^{n}E_{n} kalles et uendelig løkkerom.

Et løkkerom er et eksempel på en H-gruppe, eller en “gruppe opp til homotopi.” Dette er et rom X med en multiplikasjons avbildning m: X × X → X, en enhet

e ∈ X, og en invers avbildning i: X → X slik at (1) multiplikasjonen er assosiativ opp til homotopi (m ∘ (m × id) ≃ m ∘ (id ×m)), (2) e virker som en enhet opp til homotopi (x ↦ m(e, x) og x ↦ m(x, e) er begge homotope til identiteten), og (3) i virker som en invers opp til homotopi (x ↦ m(i(x), x) og x ↦ m(x, i(x)) er begge homotope til den konstante avbildningen til e).

Hvis X = ΩY er multiplikasjonen m: ΩY ×ΩY → ΩY gitt ved sammensetning av veier. Den konstante vei fungerer som enhetsselement, og inversen i gjennomløper en vei i motsatt retning. Så et løkkerom en en gruppe opp til homotopi.

Tilsvarende er en topologisk gruppe en gruppe opp til homotopi.

Et uendelig løkkerom er enda bedre. Allerede doble, eller to–foldige løkkerom er kommutative opp til homotopi. Det vil si at det finnes en homotopi m ∘ T ≃ m der T: X × X → X × X ombytter faktorene.

I det algebraiske tilfellet er dette alt man kan be om, men i tilfellet grupper opp til homotopi kan man be om enda høyere former for kommutativitet. La oss si vi har valgt homotopier a: m ∘ (m × id) ≃ m ∘ (id ×m) og c: m ∘ T ≃ m.

I rommet av avbildninger X × X × X → X er hjørnene i diagrammet nedenfor punkter, og kantene gitt ved valgte homotopier mellom disse avbildningene er veier i dette rommet. Vi beskriver en avbildning med hvor den sender et trippel (x, y, z) ∈ X^{3}, og x(yz) står for m(x, m(y, z)) etc.

[figure: x(yz); \overline{a}; (xy)z; \overline{c}; (yx)z]

[figure: c; a]

[figure: x(zy); \overline{a}; (xz)y; \overline{c}; (zx)y]

Denne lukkede kurven er typisk ikke nullhomotop hvis X er et dobbelt løkkerom, men den vil være det hvis X er et trippelt løkkerom. Da kan man derimot danne videre høyere kommuteringsrelasjoner, som igjen bare forsvinner for enda høyere ordens løkkerom.

[Stasheff] har analysert disse høyere formene for assosiativitet og kommutativitet opp til homotopi. Uendelige løkkerom oppfyller dem alle sammen.

Vi tenker derfor på uendelige løkkerom som abelske grupper opp til homotopi.

Eksempler. Fra diskusjonen ovenfor er enhver abelsk gruppe et uendelig løkkerom, med deloopinger K(π, n)-rom. Q(S^{0}) er et uendelig løkkerom, med deloopinger Q(S^{n}), og ℤ × BU og ℤ × BO er uendelige løkkerom som er sine egne doble, respektivt åttende, deloopinger.

Ringer opp til homotopi, og moduler over ringer opp til homotopi er objekter med en enda mer komplisert struktur. En modell for denne strukuren er [May]’s operad virkninger, som i tilfellet tensor produkter av moduler over ringer opp til homotopi først ble gitt en tilfredsstillende definisjon i fjor høst.

Alle eksemplene ovenfor, når π er en ring, er også ringer opp til homotopi. Vi vil senere bruke den mest overfladiske delen av ringstrukturen på ℤ × BO for å konstruere de såkalte Bott kannibal klassene.

Spektra.

For et uendelig løkkerom E_{0} finnes det deloopinger E_{n} og homotopi ekvivalenser ΩE_{n+1} ≃ E_{n}, men disse ekstra strukturene er ikke valgt. Et uendelig løkkerom med et valg av disse deloopingene og ekvivalensene er det vi kaller et spektrum.

Først skal vi definere et prespektrum, hvor vi bare har valgt avbildninger

ϵ: ΣE_{n} → E_{n+1},

hvis adjungerte avbildning ϵ′: E_{n} → ΩE_{n+1} er en kandidat for å være en homotopi ekvivalens.

Vi bruker denne definisjonen fordi det er enklere å konstruere prespektra enn spektra, og fordi det finnes en spektrifiserings funktor som funktorielt omgjør et prespektrum til et spektrum. Dermed kan vi definere konstruksjoner på spektra ved først å arbeide i den utvidede kategorien av prespektra, og deretter spektrifisere tilbake til den gode underkategorien. Dette tilsvarer knippifisering i algebraisk geometri, eller komplettering av C^{∗}-algebraer.

Prespektra, spektra, spektrifisering, morfismer, smash produkt med rom, homotopi, stabil kategori, suspensjons–spektra, generalisert homologi og kohomologi, smash produkt av spektra.

Transfer

Becker–Gottlieb transfer, H^{∗}(BO; ℤ/2), H^{∗}(BU), karakteristiske klasser, splittnings prinsippet i generaliserte kohomologi teorier.

Adams formodningen

λ-operasjoner, Adams operasjoner, Hopf invariant én problemet, lokalisering og komplettering, Adams formodningen, bevis via O(1), O(2), og transfer.

Komplekse kannibal klasser

Etter [Bott, §1-§8], om Chern klasser, Thom isomorfi i kohomologi, Chern karakter, Thom isomorfi i topologisk K-teori, Todd klassen, splittningsprinsipp og komplekse kannibal klasser.

Steenrod operasjoner

Steenrod algebraen, dualet av Steenrod algebraen, Stiefel–Whitney karakteristiske klasser etter [Thom].

Orienterings teori

Ring spektra, orienteringer, Thom isomorfi i K-teori.

Kannibal klasser

Reelle kannibal klasser, J-teori diagrammet, Adams–Priddy teoremet.

Clifford teori

Clifford algebraer, [Atiyah–Bott–Shapiro] kO-orientering av Spin-bunter.

(Kvasi–fibreringer, Dold–Thom.) (Steenrod algebraen, Cartan og Serre’s teoremer.) (Postnikov dekomposisjon, k-invarianter.) (Adams spektral sekvensen, Adams–Novikov spektral sekvensen.) Adams’ utregning av ρ^{k} og σ^{k}, cf. Bott, Lectures on K(X), §8. Bernoulli tall, von Staudt’s teorem. Splittingen J_{⊕} → SF → J_{⊗}, kokjernen av J. Madsen: J_{⊕2} → SF delooper ikke. π_{∗}(J) via ψ^{q} − 1 eller Adams I–IV. Adams’ d- og e-invarianter, Chern karakteren. Hvordan π_{∗}J = im π_{∗}(j). Sullivan’s splittinger av F/O, BT op og T op/O. C_{⊕} ≃ C_{⊗} ? Mahowlad–Priddy formodningen om IBO. Algebraisk K-teori, K(ℤ). Gruppekomplettering, pluss konstruksjonen, Segal, May, Waldhausen. Quillen’s utregning av K(𝔽_{q}) som F ψ^{q}. J_{l} ≅ (K(𝔽_{q}))_{l} for l odde, q genererer (ℤ/l^{2})^{×}. (Chern–Weyl teori, Chern klasser null på flate bunter.) Diskrete modeller for J_{⊕}, SF og J_{⊗}, avbildningene, spinor norm. Barratt–Priddy–Quillen teoremet. π_{∗}(J) avbilder stort sett inn i K_{∗}(ℤ). J-teori som K-teoretisk lokalisering av S^{0}. Lichtenbaum–Quillen formodningene. JK(ℤ), Ω fib(ρ^{k}).

Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo