ALGEBRAISK K-TEORI OG BILLEDET AV J

John Rognes

April 1993

Gruppekomplettering.

La først G være en topologisk gruppe. Da er G → E → BG en fibrering, så vi har en naturlig homotopiekvivalens G ≃ ΩBG. Barkonstruksjonen BG viser at G er homotopiekvivalent til et løkkerom, dvs. gir en delooping av G.

La så G være en topologisk semigruppe. Vi kan fortsatt lage BG ved barkonstruksjonen, som realiseringen av det simplisielle rommet

[q] ⟼ G^{q}

og de vanlige simplisielle strukturavbildningene. 1-skjelettet til BG er naturlig homeomorft med suspensjonen ΣG, og vi kan beskrive avbildningen G → ΩBG som den adjungerte til inklusjonen ΣG → BG.

Hva er G → ΩBG i dette tilfellet ? Merk at π_{1}G → π_{1}ΩBG = π_{2}BG avbilder til en abelsk gruppe, og derfor faktoriserer igjennom abelianiseringen (π_{1}G)^{ab}. G → ΩBG avbilder H-rommet G til en H-gruppe, og ligner derfor en gruppekomplettering.

Fra [May1] henter vi :

Definisjon. Et H-rom X kalles admissibelt dersom X er homotopi assosiativt, og semigruppen π_{0}(X) er i senteret av H_{∗}(X). En gruppekomplettering g: X → Y av X er en H-roms avbildning mellom admissible H-rom slik at Y er gruppeaktig (π_{0}(Y) er en gruppe), og den induserte algebrahomomorfien

g_{∗}: H_{∗}(X; R)[π_{0}^{−1}(X)] ⟶ H_{∗}(Y; R)

er en isomorfi for alle kommutative koeffisientringer R.

Her betegner H_{∗}(X; R)[π_{0}^{−1}(X)] algebraen H_{∗}(X; R) lokalisert vekk fra π_{0}(X). Det er nok å sjekke at g_{∗} er en isomorfi for R = ℚ og R = 𝔽_{p} for alle primtall p.

Teorem. (Quillen) La G være en topologisk semigruppe slik at π_{0}(G) er i senteret av H_{∗}(G). Da er den naturlige inklusjonen G → ΩBG en gruppekomplettering.

Se [McD–S] for et bevis.

Typeset by AMS-TEX

Nerven til en kategori.

La C være en liten kategori, dvs. klassen av objekter er en mengde. Vi tillater at C er en topologisk kategori, dvs. vi har rom Ob C og Mor_{C} = ∐_{A,B∈Ob C} Mor_{C}(A, B), kontinuerlige avbildninger

id: Ob C ⟶ Mor_{C}
s: Mor_{C} ⟶ Ob C
t: Mor_{C} ⟶ Ob C
∘: Mor_{C} ×_{Ob C} Mor_{C} ⟶ Mor_{C}

der id: A ↦ (id : A → A) er en kofibrering, s(A → B) = A, t(A → B) = B, og ∘ er sammensetningen.

Da er nerven til C realiseringen av det simplisielle rommet N_{•}C gitt ved

[q] ⟼ N_{q}C = {A_{0}⟶^{f_{1}}A_{1} ⟶ … ⟶^{f_{q}}A_{q}}

dvs. q-tupler av sammensettbare morfismer i C. Fasettavbildningene er gitt ved sammensetning av morfismer, og degenerasjonene ved innskyting av identitetsmorfismer.

Med [q] = {0 → 1 → ⋯ → q} kan vi tenke på N_{q}C som Fun([q], C). Nerven av kategorien I = [1] = {0 → 1} er intervallet I = [0, 1] = Δ^{1}. Nerven tar produkt av kategorier til produkt av rom.

Dersom F: C → D er en (kontinuerlig) funktor induseres en avbildning av simplisielle rom N_{•}F: N_{•}C → N_{•}D, og av realiseringene |N_{•}F |: |N_{•}C| → |N_{•}D|.

Dersom η: F → G er en (kontinuerlig) naturlig transformasjon av funktorer F, G: C → D finnes en assosiert funktor η̄: C×I → D, som induserer en (simplisiell) homotopi fra |N_{•}F | til |N_{•}G|.

Spesielt induserer en ekvivalens av kategorier en homotopiekvivalens av nervene.

Eksempel. Hvis Ob C = ∗ og Mor_{C}(∗, ∗) = G for en topologisk semigruppe G, så er NG = BG.

Projektive moduler.

La R være en (topologisk) ring. La P(R) være kategorien av endeliggenererte projektive R-moduler, og la iP(R) være isomorfisme–underkategorien. iP(R) har en ekvivalent liten full underkategori med ett objekt for hver isomorfi klasse av projektive moduler. Da er

|NiP(R)| ≃ ∐_{P} B Aut(P)

der P gjennomløper isomorfiklassene av endeliggenererte projektive R-moduler, og Aut(P) er semigruppen av R-isomorfier P → P.

Dette rommet har en sum som gjør det til en topologisk semigruppe, indusert fra ⊕-operasjonen på R-moduler :

B Aut(P_{1}) × B Aut(P_{2}) ≅ B(Aut(P_{1}) × Aut(P_{2})) ⟶ B Aut(P_{1} ⊕ P_{2})

I tilfellet R = ℤ får vi

|NiP(ℤ)| ≃ ∐_{n≥0} BGL_{n}(ℤ)

og tilsvarende for R = ℝ eller R = ℂ. Sammenlign med

Vect^{ℝ}(X) ≅ [X_{+}, ∐_{n≥0} BGL_{n}(R)] ≅ [X_{+}, ∐_{n≥0} BO(n)]
Vect^{ℂ}(X) ≅ [X_{+}, ∐_{n≥0} BU(n)]

Så |NiP(ℝ)| representerer X ↦ Vect^{ℝ}(X) når vi tar hensyn til topologien på Aut(P) for P = ℝ^{n}.

Når R = C(X) er ringen av kontinuerlige funksjoner på et kompakt Hausdorff rom X er kategorien av endeliggenererte projektive R-moduler ekvivalent med kategorien av endeligdimensjonale vektorbunter over X, se [Sw]. Sammenhengen er gitt ved at til en vektorbunt E → X tilordnes R-modulen av kontinuerlige seksjoner, Γ(E). Siden E kan legges inn i en triviell vektorbunt over X, er Γ(E) en direkte summand i en fri R-modul, dvs. projektiv.

Algebraisk K-teori.

G = |NiP(R)| oppfyller hypotesen i Quillen’s teorem. Analogt med definisjonen av topologisk K-teori definerer vi det algebraiske K-teori rommet til ring R ved

K(R) = ΩB(∐_{P} B Aut(P)),

og de (høyere) algebraiske K-gruppene til R er dets homotopigrupper :

K_{i}(R) = π_{i}(K(R))

Spesielt er K_{0}(R) = π_{1}B(∐_{P} B Aut(P)) en abelsk gruppe med generatorer en klasse [P] for hver isomorfiklasse av endeliggenererte projektive R-moduler, og en relasjon [P_{1} ⊕ P_{2}] = [P_{1}] + [P_{2}] for hvert par av slike moduler P_{1} og P_{2}.

Siden dette er en gruppekomplettering har vi en algebraisomorfi på homologi– nivå :

H_{∗}(K(R)) ≅ ⨁_{P} H_{∗}(B Aut(P))[P^{−1}]
≅ colim_{P} H_{∗}(B Aut(P)) ⊗ ℤ[K_{0}(R)]

eller enklere, hvis vi restrikterer til basispunkt–komponenten K(R)_{0} ⊂ K(R) :

H_{∗}(K(R)_{0}) ≅ H_{∗}(BGL(R))

med GL(R) = colim_{n} GL_{n}(R).

Med den metriske topologien på ℝ og ℂ er K(ℝ) ≃ ℤ × BO og K(ℂ) ≃ ℤ × BU. Det er et teorem av Suslin [Sus] at dette også holder med de diskrete topologiene, etter en passende profinitt komplettering.

For R diskret er π_{1}(BGL_{n}(R)) ≅ GL_{n}(R) ikke kommutativ for n ≥ 2, mens K_{1}(R) alltid vil være en abelsk gruppe. Så gruppekompletteringen BGL(R) → K(R)_{0} abelianiserer fundamentalgruppen, uten å forandre homologien.

Idealklassegruppen.

La R = O_{F} være heltallsringen i en tallkropp F. Det vil si at ℚ ⊆ F ⊂ ℂ der F er en endelig kroppsutvidelse av ℚ, og O_{F} er ringen av algebraiske heltall i F, dvs. røttene i moniske polynomer med koeffisienter i ℤ. Et bruddent ideal i F er en O_{F} -undermodul på formen a^{−1}J der a ∈ O_{F} og J er et ideal i O_{F}. En prinsipal divisor er et bruddent ideal på formen bO_{F}, der b ∈ F.

Da er K_{0}(O_{F}) ≅ ℤ⊕Cl(F), der Cl(F) er idealklassegruppen til F, som er gruppen generert (under tensor produkt) av de brudne idealene i F, modulo de prinsipale divisorene.

Kvotientgruppen Cl(F) er alltid endelig, og dens orden kalles klassetallet til F, skrevet h = h_{F}.

Teorem. O_{F} er et entydig faktoriseringsområde hvis og bare hvis det er et hovedideal område, som igjen holder hvis og bare hvis Cl(F) = 0, eller ekvivalent K(O_{F}) ≅ ℤ.

De syklotomiske tallene gir viktige eksempler på tallkropper. La ζ_{n} = exp(2πi/n) være en primitiv nte rot av enheten. Da er kroppsutvidelsen ℚ(ζ_{n}) den nte syklotomiske tallkroppen, som er av grad ϕ(n) over ℚ, der ϕ er Euler’s ϕ-funksjon. Heltallsringen i ℚ(ζ_{n}) er ℤ(ζ_{n}). La h_{n} være klassetallet til ℚ(ζ_{n}).

Et primtall p slik at p |̸h_{p} kalles et regulært primtall. De øvrige kalles irregulære. De minste irregulære primtallene er 37, 59 og 67. Fermat’s siste teorem om at det ikke finnes positive hele tall x, y og z slik at x^{n} + y^{n} = z^{n} for hele n ≥ 3 ble bevist av Kummer når n er et odde regulært primtall. Det er ikke kjent om det finnes uendelig mange regulære primtall, men statistisk forventes ca. 61% av alle primtall å være regulære.

K-teori av endelige mengder.

La E være kategorien av endelige mengder og funksjoner, og la iE være isomorfisme–underkategorien. iE har en ekvivalent liten full underkategori med ett objekt {1, …, n} for hvert naturlig tall n. Dens nerve er ∐_{n≥0} BΣ_{n}, som blir en topologisk semigruppe med hensyn på multiplikasjonen indusert av disjunkt union.

Gruppekompletteringen

K(E) = ΩB(∐_{n≥0} BΣ_{n})

kan oppfattes som K-teorien til kategorien av endelige mengder med hensyn på disjunkt union.

Teorem. (Barratt–Priddy–Quillen) K(E) ≃ Q(S^{0}).

Her er Q(S^{0}) = colim_{n} Ω^{n}S^{n}. Dette er en homotopiekvivalens av E_{∞}–ringspektra.

Vi beskriver en kjede av avbildninger fra K(E) til Q(S^{0}) som induserer homotopiekvivalensen. Vi bruker Boardman og Vogt’s “little cubes operad,” i May’s språkbruk.

La C_{k}(n) være rommet av n-tupler av små disjunkte k-kuber i I^{k}. En liten k-kube i I^{k} er en lineær imbedding c: I^{k} → I^{k} som er et produkt av k voksende lineær avbildninger I → I. Et n-tuppel av små k-kuber kalles disjunkt hvis det indre av billedene er disjunkte i I^{k}.

Vi har en avbildning C_{k}(n) → Ω^{k}S^{k} som tar et n-tuppel (c_{1}, …, c_{n}) til følgende avbildning S^{k} → S^{k}: Vi oppfatter S^{k} som kvotienten I^{k}/∂I^{k}. Bildet av hver liten k-kube c_{i} avbildes via c_{i}^{−1} : c_{i}(I^{k}) → I^{k} → S^{k}, mens komplementet av billedene avbildes til basispunktet i S^{k}.

Det er klart at nummereringen av de små kubene ikke har noen innvirkning på resultatet i Ω^{k}S^{k}, så vi får en avbildning C_{k}(n)/Σ_{n} → Ω^{k}S^{k}.

De vanlige inklusjonene I^{k} → I^{k+1} induserer avbildninger C_{k}(n) → C_{k+1}(n) som tar en liten k-kube c til c × id. La C(n) = colim_{k} C_{k}(n). C_{k}(n) er homotopiekvivalent med konfigurasjonsrommet av n punkter i ℝ^{k}, som er (k−2)-sammenhengende, og Σ_{n} virker fritt. Så C(n)/Σ_{n} er en modell for BΣ_{n}.

I grensen får vi indusert en avbildning ∐_{n} C(n)/Σ_{n} → Q(S^{0}), og homotopiekvivalenser C(n)/Σ_{n} → BΣ_{n}. Siden Q(S^{0}) er en H-gruppe får vi ved den universelle egenskapen til gruppekomplettering indusert en avbildning

ΩB(∐_{n≥0} BΣ_{n}) → Q(S^{0}).

Teoremet er at dette er en homotopiekvivalens.

K-teori av endelige kropper.

Quillen beregnet den algebraiske K-teorien av endelige kropper i [Qu1].

La k være en primtallspotens, og la 𝔽_{k} være den endelige kroppen med k elementer. La F ψ^{k} være homotopifiberen av ψ^{k} − 1 :

[figure: F ψ^{k}; \overline{ϕ}; BU; \overline{ψ^{k} − 1}; BU]

Merk at hvis p er et odde primtall, og k genererer (ℤ/p^{2})^{×}, så er F ψ^{k} = JU_{p} ≃ J_{p} lokalisert ved p.

Ved Brauerløftning konstruerer Quillen avbildninger BGL_{n}(𝔽_{k}) → F ψ^{k} for alle n, som induserer en homologiisomorfi

⨁_{n≥0} H_{∗}(BGL_{n}(𝔽_{k}))[ϵ^{−1}] ⟶ H_{∗}(ℤ × F ψ^{k})

der ϵ ∈ H_{0}(BGL_{1}(𝔽_{k})) genererer π_{0}(∐_{n} BGL_{n}(𝔽_{k})). Konklusjonen er at

∐_{n} BGL_{n}(𝔽_{k}) → ℤ × F ψ^{k}

er en gruppekomplettering.

Teorem. (Quillen) K(𝔽_{k}) ≃ ℤ × F ψ^{k}, så K_{2i}(𝔽_{k}) = 0 og K_{2i−1}(𝔽_{k}) ≅ ℤ/(k^{i} − 1) for alle i ≥ 1.

Vi gir et kort sammendrag av Quillen’s artikkel.

For en kompakt Lie gruppe G gir en kompleks G-representasjon V en homomorfi G → U opp til konjugasjon, og dermed en avbildning BG → BU opp til homotopi.

V ∈ R(G) ⟼ (EG ×_{G} V → BG) ∈ K(BG)

Dette gir en avbildning fra representasjonsringen R(G) → [BG_{+}, ℤ × BU] som er en ekvivalens etter I(G)-adisk komplettering [Atiyah], hvor I(G) er augmentasjonsidealet i R(G).

Her avbildes en representasjon V i R(G) til vektorbunten V → EG ×_{G} V → BG i K(BG). Atiyah’s teorem sier at den induserte avbildningen R(G)_{I(G)}^{∧} → K^{0}(BG) er en isomorfi, mens K^{1}(BG) = 0.

La nå G være en endelig gruppe. Hvis G er en p-gruppe er I(G)-adisk komplettering nesten det samme som p-adisk komplettering. Hvis V er invariant under ψ^{k} fås en entydig løftninG

R(G)^{ψ^{k}} ⟶ [BG, BU]^{ψ^{k}} = [BG, F ψ^{k}].

Velg en imbedding ρ: \overline{𝔽}_{k}^{×} → ℂ^{×} av enhetene i den algebraisk tillukningen av 𝔽_{k}. For en representasjon E definert over \overline{𝔽}_{k} er Brauer karakteren χ_{E}(g) = ∑_{i} ρ(λ_{i}) hvor {λ_{i}} er egenverdiene til g·: E → E med multiplisitet. Det finnes en entydig løftning [Brauer, Green] ρE ∈ R(G), dvs. en virtuell representasjon med samme karakter som E, som gir en ringhomomorfi

ρ: R_{\overline{𝔽}_{k}}(G) ⟶ R(G).

Hvis E er en representasjon definert over 𝔽_{k} vil \overline{E} = E ⊗_{𝔽_{k}} \overline{𝔽}_{k} ha ψ^{k}\overline{E} = \overline{E}, siden (ψ^{k}χ)(g) = χ(g^{k}) og mengden av egenverdier \{λ_{i}\} til \overline{E} bevares under Frobenius automorfien z ↦ z^{k} i Gal(\overline{𝔽}_{k}/𝔽_{k}). Så ρ løfter til :

[figure: R_{𝔽_{k}}(G); \overline{≅}; R(G)^{ψ^{k}}; [BG, F ψ^{k}]]

Standard representasjonene (𝔽_{k})^{n} av GL_{n}(𝔽_{k}) induserer så en entydig bestemt homotopiklasse av avbildninger

∐_{n} BGL_{n}(𝔽_{k}) ⟶ ℤ × F ψ^{k},

som induserer ekvivalensen etter gruppekomplettering.

For å vise homologiisomorfien beregner Quillen kohomologien til F ψ^{k} ved en Eilenberg–Moore spektral sekvens :

Teorem. La p være et primtall og k en primtallspotens primisk til k. La r være ordenen til k i (ℤ/p)^{×}. Hvis p er odde eller k = 3 (mod 4) er

H^{∗}(F ψ^{k}; ℤ/p) ≅ ℤ/p[c_{r}, c_{2r}, …] ⊗ Λ[e_{r}, e_{2r}, …]

der |c_{jr}| = 2jr og e_{jr} = 2jr − 1. (Hvis p = 2 og k = 1 (mod 4) har vi en relasjon e_{jr}^{2} = ∑_{a=0}^{j−1} c_{ar} · c_{(2j−1−a)r}.)

Lokalisert ved kroppens karakteristik (k en potens av p) er kohomologien til både F ψ^{k} og BGL(𝔽_{k}) triviell i positive grader.

Diskrete modeller og Adams’ e-invariant.

Vi har nå modeller for Q(S^{0}) og J lokalisert ved et primtall p, beskrevet som K-teori av diskrete kategorier. La k være en primtallspotens som genererer (ℤ/p^{2})^{×} når p er odde, eller la k = 3 når p = 2.

Q(S^{0}) = colim_{n} Ω^{n}S^{n} er K-teorien av kategorien E av endelige mengder, med H-romsstruktur indusert av disjunkt union.

Q(S^{0}) ≃ K(E, ⊔) = ΩB(∐_{n} BΣ_{n}).

Lokalisert ved et odde primtall p er J_{p} = hofib(ψ^{k} − 1: ℤ × BU → BU) gitt av K(𝔽_{k}). Dette er K-teorien av kategorien P(𝔽_{k}) av endeliggenererte 𝔽_{k}-moduler, med H-romsstruktur indusert av direkte sum.

J_{p} ≃_{p} K(𝔽_{k}, ⊕) = ΩB(∐_{n} BGL_{n}(𝔽_{k})).

Ved primtallet to kan vi lage K-teorien av kategorien N O(𝔽_{3}) av endeliggenererte ortogonale 𝔽_{3}-moduler, med morfismer med sammenfallende spinornorm og determinant. J_{2} = hofib(ψ^{3} − 1: ℤ × BO → BSpin).

J_{2} ≃_{2} KNO(𝔽_{3}, ⊕) = ΩB(∐_{n} BNO_{n}(𝔽_{3})).

La E_{k} være kategorien av endelige mengder med kardinalitet en potens av k. Nerven til isomorfisme–underkategorien iE_{k} har en H-romsstruktur indusert av kartesisk produkt, hvis gruppekomplettering p-lokalt oppfattes som K-teorien av endelige mengder under kartesisk produkt. Enhetskomponenten er en diskret modell for SF = Q(S^{0})_{1} som H-rom.

SF ≃_{p} K(E_{k}, ×) = ΩB_{×}(∐_{n} BΣ_{k^{n}}).

Tilsvarende kan vi lage K-teorien av endeliggenererte 𝔽_{k}-moduler under tensorprodukt, som en modell for multiplikativ J. J_{⊗p} = hofib(ψ^{k}/1: BU_{⊗} → BU_{⊗}) for p odde, og J_{⊗2} = hofib(ψ^{3}/1: BO_{⊗} → BSpin_{⊗}).

J_{⊗p} ≃_{p} K(𝔽_{k}, ⊗) = ΩB_{⊗}(∐_{n} BGL_{k^{n}}(𝔽_{k}))
J_{⊗2} ≃_{2} KNO(𝔽_{3}, ⊗) = ΩB_{⊗}(∐_{n} BNO_{3^{n}}(𝔽_{3}))

Vi kan realisere Adams’ e-invariant e: SF → J_{⊗} og en løsning α: J_{⊕} → SF til Adamsformodningen på K-teori–nivået ved hjelp av disse diskrete modellene :

Q(S^{0})_{0} ⟶ J_{⊕} ⟶^{α} SF ⟶^{e} J_{⊗}

Vi har en “fri” funktor F: E → P(𝔽_{k}) som tar en endelig mengde til den fri 𝔽_{k}- modulen den genererer. Den tar disjunkt union til direkte sum, og kartesisk produkt til tensorprodukt. Funktoren induserer avbildninger av gruppekompleteringene av isomorfismekategoriene, dvs. på K-teori :

Q(S^{0})_{0} ≃ K(E, ⊔)_{0} ⟶ K(P(𝔽_{k}), ⊕)_{0} ≃_{p} J_{⊕p}
SF ≃_{p} K(E_{k}, ×)_{1} ⟶ K(P(𝔽_{k}), ⊗)_{1} ≃_{p} J_{⊗p}

for odde p, og tilsvarende med KNO for p = 2.

Tilsvarende har vi en “glemsom” funktor G : P(𝔽_{k}) → E_{k}, som tar en endelig generert 𝔽_{k}-modul til sin underliggende endelige punktmengde. G induserer :

J_{⊕p} ≃_{p} K(P(𝔽_{k}), ⊕) ⟶ K(E_{k}, ×)_{1} ≃_{p} SF

Ved en karakterutregning av Tornehave, eller en homologioperasjonutregning av May, er sammensetningen eα: J_{⊕p} → J_{⊗p} en p-lokal ekvivalens for p odde. Se [May2].

Algebraisk K-teori i J-teori diagrammet.

Vi vil nå studere billedet av den naturlige avbildningen Q(S^{0}) → K(ℤ) fra stabil homotopi inn i algebraisk K-teori av de hele tall, indusert av funktoren som tar en endelig mengde til den fri abelske gruppen den genererer, på homotopigruppe– nivået. Denne avbildningen kan også tenkes på som sammensetningen Q(S^{0}) → Q(K(ℤ)) → K(ℤ), der den føerste avbildningen fås ved å anvende Q på inklusjonen S^{0} → K(ℤ) som tar basispunktet til 0-komponenten, og det andre punktet til 1-komponenten. Den andre avbildningen eksisterer fordi K(ℤ) er et uendelig løkkerom. Disse resultatene stammer hovedsaklig fra Quillens brev til Milnor, citeQu2, og vår presentasjon følger [May2].

Med litt arbeid kan det vises at avbildningen e: SF → J_{⊗p} er homotopiekvivalent med Adams e-invarianten i J-teori diagrammet, lokalisert ved både odde og like primtall [May2].

Så vi har et kommutativt diagram av K-teori rom :

SF  \overline{}SF/Spin

[figure]

[figure: e; K(ℤ)_{1}; f]

[figure]

J_{⊗p}  \overline{}BO_{⊗}

hvor triangelet nede til venstre kan beskrives som en sammenhengskomponent av :

K(E)  \overline{}K(ℤ)

[figure]

K(𝔽_{k}) \overline{λ} \overline{}K(ℝ)

enten med hensyn på de additive eller multiplikative H-roms strukturene. Lokalisert ved to må vi bytte ut K(𝔽_{3}) med KNO(𝔽_{3}).

Her er λ Brauer løftningen som gjenkjenner K(𝔽_{k}) som homotopifiberen av Adamsoperasjonen ψ^{k} − 1. Den øvre horisontale avbildningen er den vanlige enheten i det algebraiske K-teori rommet til ℤ, gitt ved å ta en endelig mengde til den fri ℤ-modulen den genererer. Den venstre vertikale avbildningen er tilsvarende gitt ved å danne en fri 𝔽_{k}-modul, alias et vektorrom. Den høyre vertikale avbildningen er indusert av inklusjonen ℤ → ℝ, som utvider skalarer, dvs. tensoriserer en ℤ-modul over ℤ med ℝ for å gi en ℝ-modul.

Ved odde primtall p har vi da en faktorisering

Q(S^{0})  \overline{}K(ℤ)

[figure: e]

K(𝔽_{k}) ≃ ℤ × J_{p}

hvor e er en splitt surjeksjon. Avbildningen K(ℤ) → K(𝔽_{k}) er indusert av ringhomomorfien ℤ → 𝔽_{k}. Følgelig er den odde p-torsjonen i π_{∗}(J) en direkte summand i K_{∗}(ℤ).

Teorem. Lokalisert ved et odde primtall p induserer den naturlige enheten

Q(S^{0}) → K(ℤ)

en splitt surjeksjon i homotopi på en direkte summand isomorf med billedet av Jhomomorfien, π_{∗}(J_{p}), dvs. en syklisk p-gruppe av orden lik p-komponenten i k^{2i} − 1 i grad ∗ = 4i − 1, når p − 1|2i. □

Lokalisert ved to må man jobbe litt mer. Vi ønsker å oppdage billedet av Q(S^{0}) → K(ℤ) ved to i J_{⊕2} ≃ KNO(𝔽_{3})_{0}, men det er ingen reduksjonshomomorfi GL_{n}(ℤ) → NO_{n}(𝔽_{3}). I stedet bruker vi Chernkarakteren og et resultat fra Chern–Weyl teori om Chern klasser til flate bunter.

Studer diagrammet :

[figure: J_{⊕2}; fib(ch); fib(ch)]

[figure: e; ≃]

[figure: Q(S^{0})_{0}; \overline{e}; J_{⊕2}; BO; \overline{ψ^{3} − 1}; BSpin]

[figure: ch; ch]

[figure: ∗; ∏_{i>0} K(ℚ, 4i); \overline{ψ_{H}^{3} − 1}; ∏_{i>0} K(ℚ, 4i)]

Chernkarakteren ch: BO → ∏_{i>0} K(ℚ, 4i) er en rasjonal ekvivalens og en ringhomomorfi opp til homotopi, så homotopigruppene til homotopifiberen fib(ch) er alle torsjonsgrupper, på formen ℚ/ℤ eller ℤ/2.

Adamsoperasjonen ψ^{3} − 1 kommuterer under Chernkarakteren med en homologisk Adamsoperasjon på rasjonal kohomologi, gitt i grad 4i ved multiplikasjon med 3^{2i} −1. Dette er en rasjonal ekvivalens, som viser at fiberen av den horisontale avbildningen fib(ch) → fib(ch) er homotopiekvivalent med J_{⊕2}.

På homotopi er den øvre horisontale inklusjonen J_{⊕2} → fib(ch) inklusjonen av en syklisk gruppe inn i ℚ/ℤ, i grad 4i − 1.

Vi har også et diagram :

J_{⊕2}  \overline{}fib(ch)

[figure: e]

[figure: Q(S^{0})_{0}; K(ℤ)_{0}; BO]

[figure: ≃ ∗; ch]

∏_{i>0} K(ℚ, 4i)

som overlapper med det foregående. Poenget er at sammensetningen K(ℤ)_{0} → BO → ∏_{i>0} K(ℚ, 4i) representerer Chernkarakteren til vektorbunter med strukturgruppe i en diskret gruppe GL_{n}(ℤ), dvs. flate bunter. Fra Chern–Weyl teori kan denne Chernkarakteren skrives som et polynom i Chernklasser til denne bunten, som hver seg igjen kan beskrives som et integral av krumningstensoren for denne bunten. Siden strukturgruppen GL_{n}(ℤ) er diskret et denne bunten flat, og krumningen er null, så alle Chernklassene er trivielle.

Derfor faktoriserer K(ℤ)_{0} → BO igjennom fib(ch), og det tilsvarende argumentet for bunter med Σ_{n}-strukturgruppe gir den øvre venstre delen av diagrammet.

Over det kommutative kvadratet :

[figure: Q(S^{0})_{0}; K(ℤ)_{0}; e; J_{⊕2}; BO]

har vi så :

[figure: Q(S^{0})_{0}; K(ℤ)_{0}; e; J_{⊕2}; fib(ch)]

hvor to–torsjonen i billedet av J i π_{4i−1}^{S} avbilder isomorft på π_{4i−1}(J_{⊕2}), og videre injektivt inn i π_{4i−1}(fib(ch)) ≅ ℚ/ℤ. Spesielt avbilder denne summanden injektivt inn i K_{4i−1}(ℤ), men ikke nødvendigvis splitt injektivt.

Teorem. På homotopigrupper lokalisert ved to, i grader kongruent med tre modulo fire, induserer den naturlige enheten

Q(S^{0}) → K(ℤ)

en injeksjon på billedet av J-homomorfien π_{∗}(J_{2}), dvs. en syklisk to–gruppe av orden lik to–komponenten i 3^{2i} − 1 i grad ∗ = 4i − 1. Bildet er en direkte summand i grader kongruent med 7 modulo 8, men ikke i grader kongruent med 3 modulo 8.

Konklusjonen om splitting i grader kongruent med 7 modulo 8 f olger av at vi kan bruke K(𝔽_{3})_{0} ≃ JU_{⊕2} til å oppdage det to–primære billedet av J i disse gradene, men ikke i grader kongruent med 3 modulo 8. Det at billedet ikke er en splitt summand følger av Lee og Sczcarba’s resultat K_{3}(ℤ) ≅ ℤ/48 i grad tre, og ved hjelp av reell Bott periodisitet generelt [Browder]. □

Referanser

[Atiyah] M. F. Atiyah and G. Segal, Equivariant K-theory and the completion theorem ?, J. Differential Geometry 3 (1969), 1–18.

[Gab] O. Gabber, K-theory of Henselian local rings and Henselian pairs, Algebraic K-Theory, Commutative Algebra, and Algebraic Geometry, Contemporary Math., vol. 126, AMS, 1992.

[May1] J. P. May, E_{∞} spaces, group completions, and permutative categories, New Developments in Topology (G. Segal, ed.), London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 11, Cambridge University Press, 1974, pp. 61–94.

[May2] , E_{∞} Ring Spaces and E_{∞} Ring Spectra, Lecture Notes in Math, vol. 577, Springer Verlag, 1977.

[McD–S] D. McDuff and G. Segal, Homology fibrations and the “group–completion” theorem,

Inventiones math. 31 (1976), 279–284.

[Qu1] D. Quillen, On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field, Annals of Math. (2) 96 (1972), 552–586.

[Qu2] , Letter from Quillen to Milnor on Im(π_{i}O → π_{i}^{S} → K_{i}ℤ), Algebraic K-theory. (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976), Lecture Notes in Math., vol. 551, Springer Verlag, 1976, pp. 182–188.

[Sus] A. A. Suslin, On the K-theory of local fields, Journal of Pure and Applied Algebra 34 (1984), 301–318.

[Sw] R. G. Swan, Vector bundles, projective modules and the K-theory of spheres, Algebraic Topology and Algebraic K-Theory (W. Browder, ed.), Annals of Mathematics Studies, vol. 113, Princeton University Press, 1987, pp. 432–522.