KANNIBAL KLASSENE

John Rognes

Mars 1993

K-teori av projektive bunter.

Gitt en kompleks vektorbunt ℂ^{n} → E → X har vi en tilhørende projektiv bunt π: P (E) → X, og en kort eksakt sekvens av bunter over P (E) :

[figure: E; H_{E}^{∗}; π^{∗}E; Q_{E}]

[figure]

X ^{π}  P (E)

der H_{E}^{∗} er den kanoniske linjebunten, og dens dual H_{E} er Hopf bunten. K-teorien til P (E) er gitt som modul over K(X) ved

K^{∗}(P (E)) ≅ K^{∗}(X)[H_{E}]/(λ_{−H_{E}}π^{∗}E = 0).

Relasjonen følger av at 0 = λ_{−H_{E}}H_{E}^{∗} deler λ_{−H_{E}}π^{∗}E. Det er en kort eksakt sekvens, indusert av P (E) → P (E + 1) → T (E) :

[figure: K̃(T (E)); \overline{j^{∗}}; K(P (E + 1)); \overline{i^{∗}}; K(P (E))]

som tar K̃(T (E)) isomorft til idealet generert av λ_{−H_{E+1}}π^{∗}E :

j^{∗}U_{K}(E) = λ_{−H_{E+1}}π^{∗}E

der U_{K}(E) ∈ K̃(T (E)) er den K-teoretiske Thom klassen. Tensor produkt med U_{K}(E) definerer Thom isomorfien Φ_{K}(E): K(X) → K̃(T (E)).

Kannibal klassene.

Bott’s karakteristiske klasse θ^{k}(E) ∈ K(X) er definert ved

ψ^{k}(U_{K}(E)) = θ^{k}(E) · U_{K}(E),

og i K(X)[\frac{1}{k}] er kannibal klassen ρ^{k}(E) definert ved

ρ^{k}(E) = k^{−n}θ^{k}(E) ∈ K(X)[\frac{1}{k}].

Typeset by AMS-TEX

Fra U_{K}(E ⊕ F) = U_{K}(E) · U_{K}(F) følger at ρ^{k} er eksponensiell, dvs. ρ^{k}(E ⊕ F) = ρ^{k}(E) · ρ^{k}(F).

Når E er en linjebunt ℂ^{1} → L → X er spesielt

K(P (L + 1)) ≅ K(X)[H_{L+1}]/(λ_{−H_{L+1}}π^{∗}(L + 1) = 0)
≅ K(X)[H]/((1 − H · π^{∗}L)(1 − H) = 0)

der H = H_{L+1} og π^{∗}L er linjebunter over P (L + 1).

Så U_{K}(L) identifiseres under j^{∗} med λ_{−H}π^{∗}L = 1 − H · π^{∗}L, og

j^{∗}ψ^{k}(U_{K}(L)) = 1 − H^{k} · π^{∗}L^{k}
= (1 + π^{∗}L + ⋯ + π^{∗}L^{k−1})(1 − H · π^{∗}L)
= (1 + L + ⋯ + L^{k−1})j^{∗}U_{K}(L)

fordi (1 − H · π^{∗}L)(1 − H) = 0 og K(X)-modul virkningen på K̃(T (L)) er gitt via løftningen over π og tensor produktet i K(P (L + 1)).

Følgelig er

θ^{k}(L) = 1 + L + ⋯ + L^{k−1}

når L er en linjebunt. Så ρ^{k}(E) har virtuell dimensjon én når E er en linjebunt, og dermed også generelt. Vi får en representerende H-roms avbildning

ρ^{k}: BU_{⊕} → BU_{⊗}[\frac{1}{k}]

etter å ha invertert k.

Fiber homotopi trivielle bunter.

Anta gitt en kompleks vektor bunt ℂ^{n} → E → X med en fiber homotopi trivialisering av den tilhørende sfærebunten J(E) gitt ved fibervis ettpunkts–kompaktifisering; t: J(E) → X × S^{2n}.

t induserer en homotopi ekvivalens t: T (E) → T (X × S^{2n} → X) ≅ X_{+} ∧ S^{2n}. La b^{n} ∈ K̃(S^{2n}) være Bott generatoren, og la t^{∗}(b^{n}) ∈ K̃(T (E)) være tilbake-

trekket av b^{n} under sammensetningen T (E) → X_{+} ∧ S^{2n} → S^{2n}.

Vi definerer en Sullivan invariant f(E, t) ∈ K(X) ved

f^{−1}(E, t) · U_{K}(E) = t^{∗}(b^{n}).

f^{−1}(E, t) er av virtuell dimensjon én

[figure: K̃(T (E_{x})); K̃(T (E)); t^{∗}; K̃(S^{2n})] [figure]
Φ_{K}(E_{x})  ∘  Φ_{K}(E)  Φ_{K}(ℂ^{n})

[figure: K({x}); K(X); K(∗)]

fordi restriksjonen av f^{−1}(E, t) til et punkt x ∈ X svarer under Thom isomorfien til generatoren i K̃(T (E_{x})), siden sammensetningen T (E_{x}) → T (E) → S^{2n} er en homeomorfi.

f^{−1}(E, t) er derfor invertibel i K(X) når X er et endelig dimensjonalt CW kompleks. Dette bruker at multiplikasjonen der er nilpotent. Vi lar f(E, t) ∈ K(X) være inversen, og får en representerende H-roms avbildning

f: F/U → BU_{⊗}

der F/U er homotopi fiberen av den komplekse J-homomorfien BU → BF. Vi kan regne ut

ψ^{k}f^{−1}(E, t) · θ^{k}(E) · U_{K}(E) = t^{∗}(ψ^{k}b^{n})
= k^{n}t^{∗}(b^{n}) = k^{n}f^{−1}(E, t) · U_{K}(E)

dvs. ψ^{k}/1 ∘ f(E, t) = k^{−n}θ^{k}(E), og diagrammet nedenfor kommuterer opp til homotopi av H-roms avbildninger :

[figure: F/U; BU; \overline{j}; BF]

[figure: f; ≃; ρ^{k}]

BU_{⊗} \overline{ψ^{k}/1}\overline{}BU_{⊗}[\frac{1}{k}]

Adams’ e-invariant.

Den induserte avbildningen F → JU_{⊗} = hofib(ψ^{k}/1) på de horisontale fibrene i diagrammet ovenfor er den komplekse utgaven av Adams’ e-invariant.

Mer presist, lokaliser ved et (odde) primtall p, og la k generere (ℤ/p^{2})^{×}. Husk at F = Q(S^{0})_{±1}, så π_{n}F ≅ π_{n}^{S} for n > 0, og π_{2n−1}(JU_{⊗p}) = ℤ/(k^{n} − 1) for n ≥ 1. e induserer en homomorfi π_{∗}(e): π_{2n−1}^{S} → ℤ/(k^{n} − 1) for n ≥ 1 som oppdager summanden im(j_{∗}) i gradene kongruent med 3 mod 4.