ADAMS FORMODNINGEN

John Rognes

Adams formodningen.

Sfæriske fibreringer er definert som Dold fibreringer, og har følgende egenskap :

Teorem (Dold). En fibervis avbildning f: E → F av sfærebunter over et CW kompleks X er en fiber homotopi ekvivalens hvis og bare hvis restriksjonen til hver fiber er en homotopi ekvivalens, dvs. f har fibervis grad ±1.

J. F. Adams viste i [Ad1] følgende mod k analog av Dold’s teorem. La k være et positivt heltall, og X et endelig CW kompleks.

Teorem 1.1. Hvis f: E → F er en fibervis avbildning av grad ±k i hver fiber, så finnes et ikke–negativt heltall e slik at Whitney summene (fibervis join eller smash) k^{e}E og k^{e}F er fiber homotopi ekvivalente.

Dette følger formelt av følgende lemma. La E → X × S^{n} være en fibervis avbildning av grad ±k i hver fiber.

Lemma 3.1. Det finnes et ikke–negativt heltall t, en fibervis homotopi ekvivalens g: k^{t}E → X × S^{N} med N = k^{t}n, og en avbildning h: S^{N} → S^{N}, slik at

k^{t}E  \overline{k^{t}f}  \overline{}X × S^{N}

[figure: g; 1 × h]

X × S^{N}

er fiber homotopi kommutativt. h har grad k^{(k^{t})}.

Adams viser så :

Teorem 1.3. La E være en linear kombinasjon av O(1)- og O(2)-bunter. Da finnes en e = e(k, E) slik at k^{e}(ψ^{k} − 1)E er stabilt fiber homotopi triviell.

Adams formodningen er at dette holder for en vilkårlig vektorbunt E, og kan formuleres som at sammensetningen

[figure: KO(X); \overline{ψ^{k} − 1}; KO(X); \overline{J}; KF (X)[\frac{1}{k}]]

er null.

Typeset by AMS-TEX

Vi beviser Teorem 1.3 for odde k. I anvendelsene vil vi lokalisere ved et primtall p og la k være en generator for (ℤ/p^{2})^{×} for p odde, eller k = 3 for p = 2, så vi kan alltid velge k odde.

Beviset for Teorem 1.3 for like k bruker Adams’ utregning fra [Ad0] av KO(ℝP^{n}); reell K-teori av reelle projektive rom. Den reduserte gruppen er syklisk av orden 2^{e} der e er antall heltall kongruente med 0, 1, 2, eller 4 modulo 8, mellom 1 og n. Ved å multiplisere med potenser av det like tallet k er det klart at man kan drepe denne torsjonen.

Bevis av Teorem 1.3. Vi viser at k^{e}J(ψ^{k} − 1)E = 0 for store e når E er en O(1)- eller SO(2)-bunt. En O(2)-bunt er et tensor produkt av slike, så teoremet følger fordi Adams operasjonene er ring homomorfier.

Hvis E er en O(1)-bunt og k er odde er ψ^{k}E = E^{⊗k} ≅ E, så (ψ^{k} − 1)E = 0. Anta så at E er en SO(2)-bunt. La μ_{k}: SO(2) → SO(2) være k-te potens

avbildningen. Dette er en representasjon av SO(2) på ℝ^{2}. Vi påstår at ψ^{k}E er den assosierte bunten til prinsipal bunten P til E, med hensyn til representajonen μ_{k}.

Etter kompleksifisering kan vi sjekke dette ved å bruke E = r(L) for L en U(1)- bunt

c(ψ^{k}E) = ψ^{k}(cr(L)) = ψ^{k}(L + L̄) = L^{k} + L̄^{k},
c(μ_{k}(E)) = cr(L^{k}) = L^{k} + L̄^{k},

eller man kan sjekke med en karakter utregning.

Da er k-te potens avbildningen f: S^{1} → S^{1} ekvivariant med hensyn på homomorfien μ_{k} av grupper som virker på S^{1}, og definerer en buntavbildning av sfærebuntene

f: S(E) ⟶ S(μ_{k}(E)) ≅ S(ψ^{k}E)

med fibervis grad ±k på sfærebuntene. Fra Teorem 1.1 følger at k^{e}E og k^{e}ψ^{k}E er fiber homotopi ekvivalente for e stor. □

Transfer i homologi.

Gitt en endelig overdekning p: E → B med n flak er det en homomorfi i homologi p_{∗}: H_{q}(E) → H_{q}(B) indusert på kjedenivå ved p_{∗}[σ] = [pσ] der σ: Δ^{q} → E er et singulært simpleks.

Det finnes også en homomorfi den andre veien, kalt transfer τ_{∗}: H_{q}(B) → H_{q}(E) gitt ved τ_{∗}[σ] = ∑_{i=1}^{n}[σ̃_{i}]. Her er {σ̃_{i}}_{i} de n ulike løftningene av σ over p: E → B.

Da er p_{∗} ∘ τ_{∗}(x) = nx: H_{q}(B) → H_{q}(B). Så hvis n er invertibel i koeffisient ringen er τ_{∗} en splitt injeksjon.

Dersom overdekningen er regulær, så gruppen G av dekk transformasjoner er av orden n og virker transitivt på flakene, så er τ_{∗} ∘ p_{∗}(x) = ∑_{g∈G} g · x.

Merk at τ_{∗}[σ] er veldefinert fordi summen i kjedekomplekset til H_{q}(E) er kommutativt, så det spiller ingen rolle om vi ikke kjenner noen ordning av løftningene {σ̃_{i}}_{i}.

Becker og Gottlieb [BG] konstruerer en tilsvarende avbildning τ på romnivået, omtrent fra B til E, som induserer τ_{∗} i homologi. De gjør det når p: E → B er en fibrering med fiber et endelig dimensjonalt CW kompleks, f. eks. en kompakt mangfoldighet. τ blir en stabil avbildning fra B_{+} til E_{+}, dvs. den er definert etter et antall suspensjoner som en virkelig avbildning Σ^{n}(B_{+}) → Σ^{n}(E_{+}), og er vel definert opp til homotopi etter eventuelt flere suspensjoner.

τ ∈ {B_{+}, E_{+}} = colim_{n}[Σ^{n}(B_{+}), Σ^{n}(E_{+})]

eller ekvivalent τ: B_{+} → Q(E_{+}).

Vi skal bruke transfer til å bevise Adams formodningen.

Pretransfer.

La G være en kompakt Lie gruppe, og F en G-mangfoldighet, eventuelt med rand ∂F.

Ved et teorem av Mostow finnes det en G-representasjon V (et endelig dimensjonalt vektorrom med indreprodukt og en ortogonal G-virkning), og en glatt ekvivariant embedding F ⊂ V. La ν være normalbunten til F i V, og la D(ν) ⊂ V være en ekvivariant embedding av disk bunten til ν som en tubulær omegn av F i V.

Dersom F bare er et endelig CW kompleks kan vi finne en lignende ekvivariant embedding, og så fortykke F til en G-mangfoldighet med rand som ovenfor.

Vi vil gjøre konstruksjonene nedenfor når ∂F = ∅. Resultatene holder også generelt.

Pontrjagin–Thom konstruksjonen definerer en G-avbildning c: S^{V} → T (ν) der S^{V} er ettpunkts kompaktifiseringen av V. Dette er sammensetningen

V ⟶ V/(V − (D(ν) − S(ν)) ≅ D(ν)/S(ν) = T (ν),

utvidet til ettpunkts kompaktifiseringen.

La t være tangentbunten til F, slik at t ⊕ ν ≅ F × V. La i: ν → t ⊕ ν være inklusjonen. Pretransfer avbildningen γ: S^{V} → F_{+} ∧ S^{V} er da sammensetningen

[figure: S^{V}; \overline{c}; T (ν); \overline{T (i)}; T (t ⊕ ν) ≅ F_{+} ∧ S^{V} .]

Teorem 2.4. Sammensetningen av pretransfer og projeksjonen S^{V} → F_{+} ∧ S^{V} → S^{V} har grad χ(F); Euler karakteristikken til F.

For et bevis, se Milnor og Stasheff, Korollar 11.12, eller bruk Hopf’s teorem om indeks av vektorfelter. Vi har allerede sett dette i tilfellet F er diskret.

Becker–Gottlieb transfer.

La p: E → B være en (F, G)-fiber bunt med prinsipalbunt P → B, der B er et endelig CW kompleks.

Teorem. Det finnes en stabil transfer avbildning τ: B_{+} → E_{+}, entydig definert opp til homotopi, som er naturlig opp til homotopi for avbildninger av fiber bunter.

Dersom B = ∗ så p: F → ∗, har sammensetningen p ∘ τ: S^{0} → F_{+} → S^{0} grad χ(F).

Bevis. Vi har en vektor bunt U = P ×_{G} V over B. La W være en komplementær bunt, med trivialisering U ⊕ W ≅ B × R^{n}.

Vi kan danne

id ×_{G}γ: P ×_{G} S^{V} ⟶ P ×_{G} (F_{+} ∧ S^{V})

ved å stikke inn pretransfer avbildningen fibervis i sfærebunten J(U).

Så tar vi fibervis smash produkt med den komplementære sfærebunten J(W)

(id ×_{G}γ) ∧_{B} id: P ×_{G} S^{V} ∧_{B} J(W) ⟶ P ×_{G} (F_{+} ∧ S^{V}) ∧_{B} J(W)

og kollapser seksjonen over B til et punkt :

B_{+} ∧ S^{n} ≅ (P ×_{G} S^{V} ∧_{B} J(W))/B ⟶
(P ×_{G} (F_{+} ∧ S^{V}) ∧_{B} J(W))/B ≅ (P ×_{G} F)_{+} ∧ S^{n}.

Sammensetningen er transfer avbildningen τ: Σ^{n}(B_{+}) → Σ^{n}(E_{+}), for P ×_{G} F ≅ E. Alle valgene gir homotope avbildninger hvis man bare stabiliserer ytterligere. □

Transfer og K-teori.

Vi rekapitulerer noen resultater fra Quillen’s bevis av Adams formodningen [Qu].

La p: Y → X være en endelig overdekning. Den stabile transfer avbildningen τ: X_{+} → Y_{+} induserer da transfer homomorfien τ_{∗}: H_{∗}(X) → H_{∗}(Y), ved å anvende redusert homologi og suspensjonsisomorfien. (τ er jo typisk bare definert som en avbildning Σ^{n}(X_{+}) → Σ^{n}(Y_{+}) for en stor n.)

Tilsvarende for en generalisert (ko–)homologi teori som K-teori :

τ^{∗} = KO(τ): KO(Y) ⟶ KO(X)

er gitt ved

τ^{∗}(E)_{x} = ⨁_{y∈p^{−1}(x)} E_{y}

der E → Y er en vektor bunt.

Siden transfer er definert ved en avbildning, og Adams operasjonene er naturlige, følger lemmaene nedenfor. Vi må lokalisere vekk fra k for å realisere Adams operasjonene som stabile operasjoner.

Lemma 2.2. For E ∈ KO(Y) er ψ^{k}τ^{∗}(E) = τ^{∗}ψ^{k}(E) i KO(X)[\frac{1}{k}].

Lemma 2.3. Hvis E er en sum av O(1)- eller O(2)-bunter over Y, så holder Adams formodningen for τ^{∗}E.

Becker og Gottlieb’s bevis av Adams formodningen.

En kompakt Lie gruppe G har en maksimal torus T. La N = N(T) være normalisatoren til T i G. Hvis G er sammenhengende er χ(G/N) = 1 i følge et teorem av Hopf og Samelson.

La G = O(2n) og T = \overbrace{SO(2) × ⋯ × SO(2)}^{n ganger}. Da er N = Σ_{n} ⋉ T = Σ_{n} ⋉ SO(n)^{n}

og χ(O(2n)/N) = 1. (O(2n) er ikke sammenhengende, men SO(2n) ⊂ O(2n) er det, og har indeks to, og normalisatoren til T i SO(2n) har indeks to i N.)

Vi vil også bruke Boardman og Vogt’s resultat at BF er et uendelig løkkerom, så KF^{∗} er en generalisert kohomologi teori, med KF^{−n}(X) definert ved hjelp av en suspensjons isomorfi. Spesielt induserer den stabile transfer avbildningen en homomorfi i KF -teori.

La ℝ^{2n} → E⟶^{p}B være en O(2n)-bunt med prinsipal bunt P. Da er P en Nbunt. La X = P/N, så vi har en fiber bunt O(n)/N → X⟶^{q_{1}}B, med fiber F = O(2n)/N med χ(F) = 1. La τ_{1} være den stabile transfer avbildningen B_{+} → X_{+}. Da er τ_{1}^{∗} ∘ q_{1}^{∗} multiplikasjon med χ(F) = 1 i enhver generalisert kohomologi teori.

[figure: KO(B); \overline{ψ^{k} − 1}; KO(B); \overline{J}; KF (B)[\frac{1}{k}]]

[figure: q_{1}^{∗}; q_{1}^{∗}; q_{1}^{∗}]

[figure: KO(X); \overline{ψ^{k} − 1}; KO(X); \overline{J}; KF (X)[\frac{1}{k}]]

[figure: τ_{1}^{∗}; τ_{1}^{∗}; τ_{1}^{∗}]

[figure: KO(B); \overline{ψ^{k} − 1}; KO(B); \overline{J}; KF (B)[\frac{1}{k}]]

De vertikale sammensetningene er identiteten, så for å vise at J(ψ^{k} − 1)E = 0 i KF (B)[\frac{1}{k}] er det nok å vise at J(ψ^{k} − 1)(q_{1}^{∗}E) = 0 i KF (X)[\frac{1}{k}]. q_{1}^{∗}E har en reduksjon av strukturgruppen til N.

La så H ⊂ N være undergruppen H = (1 × Σ_{n−1}) ⋉ SO(2)^{n}, av indeks n. La W = ℝ^{2n} som N-representasjon, og la V = ℝ^{2} som H-representasjon igjennom homomorfien H → SO(2)^{n}⟶^{π_{1}}SO(2). Da er W = ℝN ⊗_{H} V = ind_{H}^{N}(V) ≅ ⊕_{N/H}V.

[figure: SO(2)^{n} = T; N; G = O(2n)]

[figure: (1 × Σ_{n−1}) ⋉ SO(2)^{n}; =; = = = =; H; SO(2)^{n}; \overline{π_{1}}; SO(2)]

Så

E = P ×_{G} ℝ^{2n} ⟶ P/G = B,
q_{1}^{∗}E = P ×_{N} ℝ^{2n} ⟶ P/N = X
= P ×_{N} W = P ×_{N} (ℝN ⊗_{H} V)
= τ_{2}^{∗}(P ×_{H} V),

der τ_{2} er transfer avbildningen for q_{2} : P/H → P/N. Hvis vi lar Y = P/H har vi diagrammet

[figure: H; N; O(2n)]

[figure]

P = = = = = = = P = = = = = = = P

[figure]

[figure: Y; \overline{q_{2}}; X; \overline{q_{1}}; B]

Siden V → P ×_{H} V → Y er en SO(2)-bunt holder Adams formodningen for P ×_{H} V, og dermed for τ_{2}^{∗}(P ×_{H} V) = q_{1}^{∗}E, og dermed for E. Dette viser Adams formodningen for vilkårlige O(2n)-bunter, og dermed også generelt. □

Referanser

[Ad0] J. F. Adams, Vector fields on spheres, Annals of Maths..

[Ad1] J. F. Adams, On the groups J(X) — I, Topology 2 (1963), 181–195.

[BG] J. C. Becker and D. H. Gottlieb, The transfer map and fiber bundles, Topology 14 (1975), 1–12.

[Qu] D. Quillen, The Adams conjecture, Topology 10 (1971), 67–80.