SPEKTRA

John Rognes

Februar 1997

1. Stabile problemer.

Et vanlig problem i homotopiteori er å bestemme når en avbildning f: A → Y kan utvides over en avbildning i: A → X. Her kan f. eks. A være et underrom av X og i inklusjonen. Ved hjelp av en homologiteori, f. eks. singulær homologi, får man som et nødvendig krav at den induserte homomorfien f_{∗}: H_{∗}(A) → H_{∗}(Y) kan utvides over homomorfien i_{∗}: H_{∗}(A) → H_{∗}(X).

Man kan også stabilisere utvidelsesproblemet. Et nødvendig krav for å utvide f er at suspensjonen Σf: ΣA → ΣY lar seg utvide over Σi: ΣA → ΣX. Mer generelt må den nte suspensjonen Σ^{n}f: Σ^{n}A → Σ^{n}Y la seg utvide over Σ^{n}i: Σ^{n}A → Σ^{n}X. Som additiv teori, med suspensjonsisomorfier, kan ikke homologiteorien skille mellom det opprinnelige utvidelsesproblemet og de a priori svakere suspenderte problemene, for n = 1 eller vilkårlig n. Dette er fordi det algebraiske spørsmålet om f_{∗}: H_{∗}(A) → H_{∗}(Y) kan utvides over i_{∗}: H_{∗}(A) → H_{∗}(X) er ekvivalent med spørsmålet om (Σ^{n}f)_{∗}: H_{∗}(Σ^{n}A) → H_{∗}(Σ^{n}Y) kan utvides over (Σ^{n}i)_{∗}: H_{∗}(Σ^{n}A) → H_{∗}(Σ^{n}X), for alle n ≥ 0.

Det homologi gir oss informasjon om er altså det stabile utvidelsesproblemet: Lar den nte suspensjonen Σ^{n}f: Σ^{n}A → Σ^{n}Y seg utvide over Σ^{n}i: Σ^{n}A → Σ^{n}X, for n tilstrekkelig stor ? Slike spørsmål, om rom og avbildninger som kanskje bare er definert etter et visst antall suspensjoner, kalles stabile spørsmål. For å besvare det opprinnelige ustabile spørsmålet må man bruke andre metoder enn de stabile egenskapene til homologiteorier.

Et eksempel på en ustabil metode er bruk av cup-produktene i kohomologi. Vi har også Freudenthals suspensjonsteorem, som gir informasjon om når de stabile og ustabile problemene er ekvivalente. Her skal vi i stedet fokusere på den riktige kategorien av generaliserte rom hvor man kan formulere og arbeide med de stabile spørsmålene. Resultatet vil bli en definisjon av den stabile kategorien.

2. Prespektra.

Vi arbeider i kategorien U av kompakt genererte svake Hausdorff rom, og i kategorien T av de baserte rom i U for hvilke inklusjonen av basispunktet er en (nødvendigvis lukket) kofibrering.

Gitt baserte rom X og Y er wedgesummen underrommet X ∨ Y = (X × ∗) ∪ (∗ × Y) ⊆ X × Y, og smashproduktet er kvotientrommet X ∧ Y = (X × Y)/(X ∨ Y). Funksjonsrommet F (X, Y) er rommet av basispunkt-bevarende avbildninger f: X → Y med den kompakt–åpne topologien gjort kompakt generert.

Typeset by AMS-TEX

Vi definerer S^{1} = [0, 1]/(0 ∼ 1), og S^{n} = S^{1} ∧ ⋯ ∧ S^{1} (n faktorer). Videre lar vi ΣX = X ∧ S^{1} være suspensjonen, og ΩX = F (S^{1}, X) er løkkerommet.

I ekstensjonsproblemet ovenfor stabiliserte vi et diagram ved å sammenligne med de gjentatt suspenderte rommene. Et prespektrum generaliserer sekvensen av rom Σ^{n}X.

Definisjon. Et prespektrum X er en følge baserte rom {X_{n}}_{n} for n ≥ 0, og en følge baserte strukturavbildninger ξ_{n}: ΣX_{n} → X_{n+1}. Vi kaller X_{n} det nte rommet i X, og ξ_{n} den nte strukturavbildningen.

En avbildning f: X → Y mellom prespektra X = (X_{n}, ξ_{n})_{n} og Y = (Y_{n}, ζ_{n})_{n} er en følge baserte avbildninger f_{n}: X_{n} → Y_{n} som kommuterer med strukturavbildningene:

\xymatrix{ΣX_{n} \ar[r]^{Σf_{n}} \ar[d]^{ξ_{n}} & ΣY_{n} \ar[d]^{ζ_{n}} \\ X_{n+1} \ar[r]^{f_{n+1}} & Y_{n+1}}

Vi lar P være kategorien av prespektra. Vi skriver P(X, Y) for morfisme-mengden av avbildninger mellom prespektra X og Y.

Grovt sett tenker vi på X_{0} som det underliggende rommet til X, eller snarere på X_{n} som en approksimasjon til den nte suspensjonen eller deloopingen til et underliggende rom. Approksimasjonen forventes å bli bedre ettersom n vokser.

Suspensjonene av et rom X gir eksempler på prespektra.

Definisjon. La X være et basert rom. Suspensjonsprespekteret til X er prespekteret Σ^{∞}X, med nte rom X_{n} = Σ^{n}X og nte strukturavbildning lik identiteten ξ_{n}: Σ(Σ^{n}X) = Σ^{n+1}X. Tilordningen X ↦ Σ^{∞}X er en funktor Σ^{∞}: T → P fra rom til prespektra.

Eksempler. Sfæreprespekteret S = Σ^{∞}S^{0} er suspensjonsprespekteret til topunktsmengden S^{0}. Så S = (S^{n}, σ_{n})_{n} der σ_{n}: Σ(S^{n}) ≅ S^{n+1} er identiteten.

La i være et helt tall. Vi skriver S^{i} for prespekteret med nte rom ∗ for i + n < 0 og S^{i+n} for i+n ≥ 0. Den nte strukturavbildningen er inklusjonen av basispunktet for i + n < 0, og identiteten for i + n ≥ 0. For i ≥ 0 er S^{i} = Σ^{∞}S^{i}.

Definisjon. Til strukturavbildningene ξ_{n}: ΣX_{n} → X_{n+1} kan vi assosiere adjungerte strukturavbildninger ξ′_{n}: X_{n} → ΩX_{n+1}, gitt ved ξ′_{n}(x): s ↦ ξ_{n}(x ∧ s), for x ∈ X_{n}, s ∈ S^{1}. Hver strukturavbildning ξ_{n} bestemmer den adjungerte strukturavbildningen ξ′_{n}, og omvendt. En følge avbildninger f_{n}: X_{n} → Y_{n} kommuterer med strukturavbildningene ξ_{n} og ζ_{n} hvis og bare hvis den kommuterer med de adjungerte strukturavbildningene ξ′_{n} og ζ′_{n}. Vi kan derfor like godt spesifisere et prespektrum ved å gi de adjungerte strukturavbildningene.

I et suspensjonsspektrum er den adjungerte strukturavbildningen ξ′_{0} : X → ΩΣX gitt ved at x ∈ X går til løkken i ΣX som følger meridianen s ↦ x ∧ s, og mer generelt er ξ′_{n} gitt ved å anvende Ω^{n} på denne avbildningen for X_{n}.

Eksempler. La U = colim_{n} U(n) være unionen av de unitære gruppene U(n) for alle n, der vi tenker på U(n) som en undergruppe av U(n + 1) ved imbeddingen som tar en matrise A til matrisen [ \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]. Den uendelige unitære gruppen U har et klassifiserende rom BU, som kan konstrueres ved bar-konstruksjonen, eller som en union av komplekse Grassmann-mangfoldigheter G_{m}(ℂ^{m+n}) der m og n vokser mot uendelig. Her er G_{m}(ℂ^{m+n}) rommet av komplekse m-dimensjonale underrom i ℂ^{m+n}. Det er en homotopiekvivalens U ⟶^{≃} ΩBU. La ℤ×BU være produktet av de hele tall med BU. Da er også Ω(ℤ × BU) ≅ ΩBU ≃ U. Botts periodisitetsteorem sier at det finnes en homotopiekvivalens

ΩU ⟶ ℤ × BU.

Dermed er Ω^{2}(ℤ × BU) ≅ Ω^{2}BU ≃ ℤ × BU, og Ω^{2}U ≃ U.

Det komplekse topologiske K-teori (pre-)spekteret K = KU har nte rom ℤ × BU for n jevn, og U for n odde. De adjungerte strukturavbildningene er homotopiekvivalensene κ′_{n}: ℤ × BU → ΩU for n jevn, og κ′_{n}: U → Ω(ℤ × BU) for n odde. De tilsvarende strukturavbildningene er κ_{n}: Σ(ℤ × BU) → U for n jevn, og κ_{n}: ΣU → ℤ × BU for n odde.

La tilsvarende O = colim_{n} O(n) være den uendelige ortogonale gruppen, og la Sp = colim_{n} Sp(n) være den uendelige symplektiske gruppen. Det finnes klassifiserende rom BO og BSp med ΩBO ≃ O og ΩBSp ≃ Sp. Botts periodisitetsteorem sier at Ω^{4}(ℤ × BO) ≅ Ω^{4}BO ≃ ℤ × BSp og Ω^{4}(ℤ × BSp) ≅ Ω^{4}BSp ≃ ℤ × BO. Så Ω^{8}(ℤ × BO) ≃ ℤ × BO og Ω^{8}(ℤ × BSp) ≃ ℤ × BSp.

Det reelle topologiske K-teori (pre-)spekteret KO har nte rom ℤ × BO når n er delelig med 8. Mer generelt har det nte rom Ω^{j}(ℤ × BO) for n = 8i − j, der 0 ≤ j < 8. De adjungerte strukturavbildningene er Botts homotopiekvivalens ℤ × BO → Ω^{8}(ℤ × BO) for n delelig med 8, og identiteten for alle andre n.

De 8 første rommene i (pre-)spekteret KO har homotopitypen til følgende rom:

ℤ × BO, U/O, Sp/U, Sp, ℤ × BSp, U/Sp, O/U og O

Deretter gjentas disse med periode 8. Kvotientrommene her er de homogene rommene bestemt av imbeddinger O → U, U → Sp, Sp → U og U → O, gitt ved henholdsvis kompleksifikasjon, kvaternionifikasjon, kompleksifikasjon og realifikasjon.

Det kvaterioniske topologiske K-teori (pre-)spekteret KSp har nte rom ℤ × BSp når n er delelig med 8. Mer generelt har det nte rom Ω^{j}(ℤ × BSp) for n = 8i − j, der 0 ≤ j < 8. De adjungerte strukturavbildningene er Botts homotopiekvivalens ℤ × BSp → Ω^{8}(ℤ × BSp) for n delelig med 8, og identiteten for alle andre n. Rommene i KSp er de samme som i KO, men forrykket 4 grader.

La A være en abelsk gruppe. La K(A, n) være Eilenberg–Mac Lane rommet, med homotopigrupper π_{i}(K(A, n)) = A for i = n og 0 ellers. Denne egenskapen bestemmer K(A, n) opp til svak homotopiekvivalens. Ved å velge K(A, n) som et CW-kompleks bestemmes K(A, n) opp til homotopiekvivalens. Løkkerommmet ΩK(A, n + 1) har samme homotopigrupper som K(A, n), så det finnes homotopiekvivalenser h′_{n}: K(A, n) ⟶^{≃} ΩK(A, n + 1) og tilhørende strukturavbildninger h_{n}: ΣK(A, n) → K(A, n+1). Eilenberg–Mac Lane (pre-)spekteret HA har nte rom K(A, n), og disse strukturavbildningene. For A = ℤ skriver vi H = Hℤ.

Eilenberg–Mac Lane rommene kan konstrueres induktivt ved hjelp av bar-kon-struksjonen. Vi lar K(A, 0) = A som diskret rom, og lar induktivt K(A, n + 1) = BK(A, n). Dette gir mening fordi hver K(A, n) da blir en abelsk topologisk gruppe.

Eksempel. La Ẽ være en generalisert redusert kohomologiteori, med funktorer X ↦ Ẽ^{n}(X) og naturlige suspensjonsisomorfier Ẽ^{n}(X) ≅ Ẽ^{n+1}(ΣX). Ved Browns representasjonsteorem (se Spanier, s. 410), finnes det for hver n et CW-kompleks E_{n} og en naturlig isomorfi Ẽ^{n}(X) ≅ [X, E_{n}] for hvert CW-kompleks X. Da er det naturlige isomorfier

[X, E_{n}] ≅ Ẽ^{n}(X) ≅ Ẽ^{n+1}(ΣX) ≅ [ΣX, E_{n+1}] ≅ [X, ΩE_{n+1}],

så det finnes en homotopiekvivalens ϵ′_{n}: E_{n} → ΩE_{n+1}, med adjungert avbildning ϵ_{n}: ΣE_{n} → E_{n+1}. Da danner sekvensen E = (E_{n}, ϵ_{n}) et (pre-)spektrum.

3. Konstruksjoner.

Vi kan lage produkter og avbildningsrom mellom rom og prespektra.

Definisjon. La Z være et basert rom og X et prespektrum.

La X ∧ Z være smashprodukt-prespekteret med nte rom (X ∧ Z)_{n} = X_{n} ∧ Z, og nte strukturavbildning lik sammensetningen

Σ(X_{n} ∧ Z) ≅ (ΣX_{n}) ∧ Z ⟶^{ξ_{n}∧id_{Z}} X_{n+1} ∧ Z.

La F (Z, X) være funksjons-prespekteret med nte rom F (Z, X)_{n} = F (Z, X_{n}), og nte adjungerte strukturavbildning lik sammensetningen

F (Z, X_{n}) ⟶^{F (id_{Z},ξ′_{n})} F (Z, ΩX_{n+1}) ≅ ΩF (Z, X_{n+1}).

Det er verd å merke seg at homeomorfien Σ(X_{n} ∧ Z) ≅ (ΣX_{n}) ∧ Z involverer en transposisjon av to faktorer, og tilsvarende for homeomorfien F (Z, ΩX_{n+1}) ≅ ΩF (Z, X_{n+1}).

Eksempler. Med Z = I = [0, 1] basert i 0 er CX = X ∧ I kjeglen på X. Med Z = I_{+} = [0, 1] ∪ {∗} basert i ∗ er X ∧ I_{+} sylinderen på X. Med Z = S^{1} er ΣX = X ∧ S^{1} suspensjonen av X, og ΩX = F (S^{1}, X) er løkkeprespekteret av X.

Definisjon. La A = (A_{n}, α_{n}) og X = (X_{n}, ξ_{n}) være prespektra slik at A_{n} er et underrom av X_{n}, og α_{n} er restriksjonen av ξ_{n} til A_{n}, for alle n. Da er A et underprespektrum av X, og inklusjonene i_{n}: A_{n} → X_{n} definerer en avbildning i: A → X. La X/A være kvotientprespekteret, med nte rom X_{n}/A_{n}, og strukturavbildninger indusert av de til X.

Videre gitt en avbildning f: A → Y av prespektra lar vi adjungsjonsprespekteret Y ∪_{f} X ha nte rom Y_{n} ∪_{f_{n}} X_{n}, og strukturavbildninger indusert av de til X og Y.

Gitt en avbildning f: X → Y lar vi avbildningskjeglen være adjungsjonsprespekteret C_{f} = Y ∪_{f} CX, der X oppfattes som et underprespektrum av kjeglen CX.

(Følgende definisjon er nok litt for kortfattet.)

Definisjon. Et CW-prespektrum X er et prespektrum konstruert som en voksende union av underprespektra X_{n} ⊆ X, hvor (i) hver X_{n+1} er avbildningskjeglen for en avbildning f_{n}: W_{n} → X_{n}, der W_{n} er en wedgesum av sfæreprespektra, og (ii) hver summand S^{q} → X av f_{n} faktoriserer gjennom et underprespektrum som bare har celler i dimensjon ≤ q.

4. En homotopikategori.

Definisjon. En avbildning

H: X ∧ I_{+} → Y

kalles en homotopi fra f = H_{0} : X → Y til g = H_{1} : X → Y. Her er H_{t}: X → Y prespektrumsavbildningen gitt ved H_{t}(x) = H(x ∧ t) for x ∈ X_{n}, med t ∈ I. Vi skriver H : f ≃ g, eller bare f ≃ g.

Homotopi er en ekvivalensrelasjon, og vi lar hP være homotopikategorien av prespektra. Objektene er prespektra, og morfismene er homotopiklasser av avbildninger av prespektra. Vi skriver hP(X, Y) for mengden av homotopiklasser av avbildninger fra X til Y.

En avbildning f: X → Y av prespektra kalles en homotopiekvivalens dersom det finnes en homotopiinvers til f, dvs. en avbildning g: Y → X slik at gf ≃ id_{X} og fg ≃ id_{Y}. Vi skriver da X ≃ Y.

((Når er den itererte avbildningskjeglen C_{i} til imbeddingen i: Y → C_{f} homotopiekvivalent med ΣX ? Holder det for CW-(pre-)spektra ?))

Lemma. Homotopikategorien hP er en lokalisering av P med hensyn på homotopiekvivalensene, dvs. den naturlige funktoren P → hP er initiell blant funktorer P → C som tar homotopiekvivalenser til isomorfier i C, der C er en vilkårlig kategori.

Funktoren P → hP tar altså homotopiekvivalenser til isomorfier, og gitt en funktor F : P → C med denne egenskapen, så finnes det en entydig funktor hP → C som faktoriserer F.

Bevis. Funktoren P → hP er identiteten på objektene, og tar en avbildning f av prespektra til sin homotopiklasse [f]. Det er klart at denne funktoren tar homotopiekvivalenser til isomorfier i hP. Gitt en funktor F som i lemmaet definerer vi G: hP → C ved G(X) = F (X) og G([f]) = F (f). Vi må vise at hvis f ≃ g er F (f) = F (g), slik at G er veldefinert.

Imbeddingene i_{t}: X → X ∧ I_{+} tar x ∈ X_{n} til (x, t) ∈ X_{n} ∧ I_{+}. Projeksjonen p: X ∧ I_{+} → X tar (x, t) til x. Da er p ∘ i_{0} = p ∘ i_{1} = id_{X} og p er en homotopiekvivalens. Derfor er F (i_{0}) og F (i_{1}) høyreinverser til F (p) i C, og F (p) er en isomorfi. Derfor er F (i_{0}) = F (i_{1}) ved entydighet av inverser. Gitt en homotopi H: f ≃ g følger så at F (f) = F (H) ∘ F (i_{0}) = F (H) ∘ F (i_{1}) = F (g). □

Det samme lemmaet gjelder i en vilkårlig kategori hvor homotopi defineres ved hjelp av sylinderobjekter, og projeksjonen p er en homotopiekvivalens. For eksempel i U og T .

Lemma. Det er naturlige bijeksjoner

P(X ∧ Z, Y) ≅ P(X, F (Z, Y))

og

hP(X ∧ Z, Y) ≅ hP(X, F (Z, Y)).

Spesielt er hP(ΣX, Y) ≅ hP(X, ΩY).

5. Kolimes.

Vi innfører nå litt kategorisk språk og noen konstruksjoner for å kunne presisere hva vi mener med hva som skjer med en følge rom X_{n} når n vokser mot uendelig.

La C være en kategori, f.eks. kategorien av abelske grupper og homomorfier, eller kategorien av baserte rom og kontinuerlige baserte avbildninger.

La I være en liten kategori, f.eks. de naturlige tallene ℕ_{0} = {0, 1, 2, … } med en entydig morfisme fra m til n hvis og bare hvis m ≤ n. (At en kategori er liten betyr at klassen av objekter danner en mengde.)

En funktor F: I → C er da et diagram i C. (Slike funktorer danner objektene i en ny kategori C^{I}, hvor morfismene er naturlige transformasjoner av funktorer I → C.) I de to eksemplene er en slik funktor en kortfattet måte å beskrive et diagram

(3.1)  A_{0} ⟶^{ϕ_{0}} A_{1} ⟶^{ϕ_{1}} … ⟶^{ϕ_{n−1}} A_{n} ⟶^{ϕ_{n}} A_{n+1} ⟶^{ϕ_{n+1}} …

av henholdsvis abelske grupper og homomorfier, eller av baserte rom og avbildninger. Her er A_{n} = F (n) og ϕ_{n} = F (n → n + 1). Et slikt diagram er altså en sekvens av abelske grupper og homomorfier.

La Z ∈ C og se på den konstante funktoren ΔZ: I → C, dvs. diagrammet som har Z i hver posisjon og bare identitetsmorfismer. (Δ er en funktor C → C^{I}, som tar Z til den konstante funktoren i ↦ ΔZ(i) = Z for alle objekter i ∈ I, ΔZ(i → j) = id_{Z} for alle morfismer i → j i I.) En naturlig transformasjon ψ: F → ΔZ er da en familie avbildninger ψ_{i}: F (i) → Z for hver i ∈ I, som er kompatible med hensyn på alle morfismene i → j i I.

I eksemplene ovenfor er dette en følge morfismer ψ_{n}: A_{n} → Z, slik at ψ_{n} = ψ_{n+1} ∘ϕ_{n}: Dvs. Z er en abelsk gruppe eller et basert rom, og vi har gitt kompatible gruppehomomorfier eller baserte avbildninger fra hver A_{n} til Z.

Et object K ∈ C kalles kolimes av diagrammet beskrevet av funktoren F dersom det er gitt en slik naturlig transformasjon ι: F → ΔK som er initiell, i betydningen at for enhver Z og naturlig transformasjon ψ: F → ΔZ finnes det en entydig bestemt morfisme f: K → Z i kategorien C slik at ψ = Δf ∘ ι.

En slik kolimes K er entydig bestemt opp til isomorfi i C, hvis den eksisterer. Vi skriver da K = colim_{i∈I} F (i). Andre navn for kolimes er kategorisk kolimes, induktiv grense eller direkte grense. Kolimes for diagrammer som i (3.1), dvs. indeksert over de naturlige tall, kalles også sekvensiell kolimes.

I eksemplene er K = colim_{n} A_{n} en abelsk gruppe (eller et basert topologisk rom), utstyrt med homomorfier (eller avbildninger) ι_{n}: A_{n} → K for hver n, som er kompatible med ϕ_{n}’ene i den forstand at ι_{n} = ι_{n+1} ∘ ϕ_{n} for alle n. Dessuten er det slik at for enhver abelsk gruppe (eller basert rom) Z utstyrt med kompatible morfismer ψ_{n}: A_{n} → Z for alle n, så finnes det en entydig morfisme f: K → Z slik at hver ψ_{n} faktoriserer som f ∘ ι_{n}, for alle n.

\xymatrix{A_{0} \ar[r]^{ϕ_{0}} & … \ar[r] & A_{n} \ar[dr]_{ι_{n}} \ar[drr]^{ψ_{n}} \ar[r]^{ϕ_{n}} & A_{n+1} \ar[d]_{ι_{n+1}} \ar[dr]^{ψ^{n+1}} \ar[r] & … \\  &  &  & colim_{n} A_{n} \ar[r]_{∃!f} & Z}

I de to eksemplene finnes kolimes alltid. I tilfellet abelske grupper er K = colim_{n} A_{n} gitt som den direkte summen av abelske grupper

K = ⨁_{n} A_{n}/ ∼

modulo relasjonen additivt generert av at a_{n} ∈ A_{n} identifiseres med ϕ_{n}(a_{n}) ∈ A_{n+1}. Her har vi identifisert A_{n} med en summand i summen ⨁_{n} A_{n}. Sammensetningen av denne inklusjonen av A_{n} inn i den direkte summen, etterfulgt av identifikasjonen ∼ gir strukturavbildningen ι_{n}: A_{n} → K = colim_{n} A_{n}.

I tilfellet baserte rom er K = colim_{n} A_{n} gitt som ettpunktsunionen av topologiske rom

K = ⋁_{n} A_{n}/ ∼

modulo relasjonen at a_{n} ∈ A_{n} identifiseres med ϕ_{n}(a_{n}) ∈ A_{n+1}. Strukturavbildningen ι_{n}: A_{n} → K = colim_{n} A_{n} sender a_{n} ∈ A_{n} til ekvivalensklassen til a_{n} i summanden A_{n} ⊂ ⋁_{n} A_{n}.

Siden punkter i A_{n} for n ≤ N identifiseres under ∼ med punkter i A_{N}, for en fast N, så vil ikke colim_{n} A_{n} forandres om vi endrer på A_{n} eller ϕ_{n} for n ≤ N. Verdien til colim_{n} A_{n} avhenger altså bare av rommene A_{n} og avbildningene ϕ_{n} for store verdier av n. Hvis hver ϕ_{n} er en isomorfi for alle n ≥ N, for noen N, så er ι_{n}: A_{n} → colim_{n} A_{n} en isomorfi for alle n ≥ N. Vi tenker derfor på colim_{n} A_{n} som en grenseverdi som objektene A_{n} nærmer seg mens n vokser mot uendelig.

I eksemplene gjelder videre at hvis hver ϕ_{n} er en inklusjon av en undergruppe (eller et underrom), så er den sekvensielle kolimes colim_{n} A_{n} lik unionen av de abelske gruppene (eller de baserte rommene), opp til isomorfi.

6. Homotopigrupper.

La X = (X_{n}, ξ_{n}) være et prespektrum. De adjungerte strukturavbildningene ξ′_{n}: X_{n} → ΩX_{n+1} induserer homomorfier av abelske grupper

ϕ_{n}: π_{k+n}(X_{n}) → π_{k+n}(ΩX_{n+1}) ≅ π_{k+n+1}(X_{n+1})

for alle k + n ≥ 2. La A_{n} = π_{k+n}(X_{n}). Da danner gruppene og homomorfiene (A_{n}, ϕ_{n})_{n} et diagram som (3.1). Eksplisitt kan vi beskrive ϕ_{n} som følger: La f: S^{k+n} → X_{n} representere en homotopiklasse [f] ∈ π_{k+n}(X_{n}). Da er ϕ_{n}([f]) = [ξ_{n} ∘ Σf] homotopiklassen til sammensetningen

S^{k+n+1} = ΣS^{k+n} ⟶^{Σf} ΣX_{n} ⟶^{ξ_{n}} X_{n+1}.

Definisjon. Den kte homotopigruppen π_{k}(X) til et prespektrum X er lik den direkte grensen av abelske grupper

π_{k}(X) = colim_{n} π_{k+n}(X_{n})

der grensen løper over naturlige tall n med k + n ≥ 2, med strukturavbildninger ϕ_{n} gitt som ovenfor.

Merk at π_{k}(X) er definert også for negative hele tall k, og er en abelsk gruppe for alle k.

Vi kan tenke på π_{k+n}(X_{n}) som homotopiklassene av baserte avbildninger fra det nte rommet i det suspenderte sfæreprespekteret Σ^{∞}S^{k} til det nte rommet i X. Dette er i tråd med at vi tenker på det nte rommet i et prespektrum som en tilnærmelse til det som prespekteret representerer, og at vi fokuserer på hva som skjer når n vokser mot uendelig.

Definisjon. La n være et helt tall. Prespekteret X er n-sammenhengende dersom π_{k}(X) = 0 for alle k ≤ n. Et (−1)-sammenhengende prespektrum kalles også konnektivt.

Eksempel. Homotopigruppene til det komplekse topologiske K-teori (pre-)spek-teret er 2-periodiske:

π_{k}(K) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & for k jevn, \\ 0 & for k odde. \end{matrix}

Homotopigruppene til de reelle og kvaternioniske topologiske K-teori (pre-)spek-trene er 8-periodiske, gitt ved følgene tabell:

k (mod 8)  0  1  2  3  4  5  6  7
π_{k}(KO)  ℤ  ℤ/2  ℤ/2  0  ℤ  0  0  0
π_{k}(KSp)  ℤ  0  0  0  ℤ  ℤ/2  ℤ/2  0

Homotopigruppene til Eilenberg–Mac Lane spekteret HA er gitt ved

π_{k}(HA) ≅ \{ \begin{matrix}A & for k = 0, \\ 0 & for k ≠ 0. \end{matrix}

De topologiske K-teori spektrene er ikke konnektive, mens Eilenberg–Mac Lane spekteret er konnektivt.

For et suspensjonsprespektrum X = Σ^{∞}X stabiliserer den direkte grensen i definisjonen av π_{k}(X) på et endelig stadium, dvs. strukturavbildningene i grensen blir etter hvert isomorfier. Hvor i grensen dette skjer er avhengig av k — det er derfor vi ikke nøyer oss med å studere X_{n} for én tilstrekkelig stor n, men tar med alle X_{n} i hele diskusjonen. Hvor store n vi må ta med vil nemlig variere med hvor store k vi er interessert i. Den nøyaktige sammenhengen kan utledes fra følgende teorem:

Teorem (Freudenthals suspensjonsteorem). La X og Y være baserte rom, og la

E: [X, Y] ⟶ [ΣX, ΣY]

ta homotopiklassen til f: X → Y til homomotopiklassen til Σf: ΣX → ΣY. Anta X er homotopi-ekvivalent med et m-dimensjonalt CW-kompleks, og at Y er nsammenhengende. Da er E en bijeksjon dersom m ≤ 2n, og surjektiv dersom m = 2n + 1.

(Suspensjon heter “Einhängung” på tysk, derav bokstaven E.)

For et bevis, se Spanier, s. 458.

Eksempel. Som en anvendelse av suspensjonsteoremet kan man studere når et gitt rom X kan desuspenderes, dvs. når det finnes et rom Y og en homotopiekvivalens X ≃ ΣY. Hvis X er n-sammenhengende, og homotopiekvivalent med et m-dimensjonalt CW-kompleks, så kan X desuspenderes dersom m ≤ 2n + 1. (Oppgave: Vis dette ved å se på pålimingsavbildningene i et CW-kompleks homotopiekvivalent med X.) For eksempel kan ℂP^{2} ikke desuspenderes, mens ΣℂP^{2} er 2-sammenhengende og 5-dimensjonalt, og kan desuspenderes.

Suspensjonsteoremet viser at når X er homotopiekvivalent med et m-dimensjo-nalt CW-kompleks, Y er n-sammenhengende og m ≤ 2n, så er et ustabilt problem om homotopiklasser [X, Y] av avbildninger mellom baserte rom logisk ekvivalent med et stabilt problem om grenser av homotopiklasser colim_{n}[Σ^{n}X, Σ^{n}Y] av avbildninger mellom suspenderte rom. For hvis X og Y oppfyller ulikhetene i teoremet, så vil også ΣX og ΣY gjøre det, med bedre margin. Påstanden følger så ved induksjon på antall suspensjoner.

Definisjon. Hvis X = Σ^{∞}X er et suspensjonsprespektrum, så er X_{n} = Σ^{n}X minst (n − 1)-sammenhengende, og E = ϕ_{n}: [S^{k+n}, X_{n}] → [S^{k+n+1}, X_{n+1}] er en isomorfi hvis k+n ≤ 2(n−1), dvs. hvis n ≥ k+2, og en surjeksjon hvis n = k+1. Så gitt k er π_{k}(Σ^{∞}X) ≅ π_{k+n}(Σ^{n}X) for alle tilstrekkelig store n, nemlig for n ≥ k +2.

Denne felles verdien kalles den kte stabile homotopigruppen til rommet X, og skrives også π_{k}^{S}(X). Det er en naturlig transformasjon

ι_{0} : π_{k}(X) → colim_{n} π_{k+n}(X_{n}) = π_{k}(Σ^{∞}X) = π_{k}^{S}(X)

fra homotopigruppene til de stabile homotopigruppene til X.

Spesielt, for X = S^{0} er homotopigruppene til sfæreprespekteret π_{k}(S) lik

colim_{n} π_{k+n}(S^{n}) = π_{k}^{S}(S^{0}),

som kalles de stabile homotopigruppene til sfærene. Gruppen π_{k}^{S} = π_{k}^{S}(S^{0}) kalles den stabile k-stilken. Ved Freudenthals suspensjonsteorem er den naturlige avbildningen π_{k+n}(S^{n}) → π_{k}(S) = π_{k}^{S} en isomorfi for n ≥ k + 2, og en surjeksjon for n = k + 1.

Eksempel. Fra Hurewicz-teoremet er Σ^{n}X minst (n − 1)-sammenhengende når X er et rom, så π_{k}(Σ^{∞}X) = 0 for k < 0, dvs. suspensjonsspektra er konnektive. Spesielt er π_{k}^{S} = 0 for k < 0.

For k = 0 er π_{n}(S^{n}) ≅ H_{n}(S^{n}) ≅ ℤ for n ≥ 1, så π_{0}^{S} ≅ ℤ. Homotopiklassen til en avbildning f: S^{n} → S^{n} svarer her til graden deg(f) ∈ ℤ.

For k = 1 er π_{n+1}(S^{n}) ≅ π_{1}^{S} for alle n ≥ 3, mens π_{3}(S^{2}) → π_{1}^{S} er surjektiv, ved suspensjonsteoremet. Det viser seg at π_{3}(S^{2}) ≅ ℤ, generert av Hopf avbildningen η: S^{3} → S^{2}, mens π_{1}^{S} ≅ ℤ/2 er generert av suspensjonene Σ^{n}η for n ≥ 1. Spesielt er 2Ση ≃ ∗ som avbildninger S^{4} → S^{3}.

De stabile homotopigruppene til sfærene begynner som følger.

k  0  1  2  3  4  5  6  7
π_{k}^{S}  ℤ  ℤ/2  ℤ/2  ℤ/24  0  0  ℤ/2  ℤ/240
gen.  1  η  η^{2}  ν  ν^{2}  σ

Inntil grad 8 er hver gruppe syklisk, med den navngitte klassen som generator.

Identiteten S^{n} → S^{n} definerer generatoren 1 ∈ π_{0}^{S}. Hopf-fibreringene η: S^{3} → S^{2}, ν: S^{7} → S^{4} og σ: S^{15} → S^{8} definerer klasser η ∈ π_{1}^{S}, ν ∈ π_{3}^{S} og σ ∈ π_{7}^{S}. Komposisjon av avbildninger gir π_{∗}^{S} en gradert ringstruktur. Så sammensetningen η ∘ Ση: S^{4} → S^{3} → S^{2} definerer en klasse η^{2} ∈ π_{2}^{S}. Tilsvarende for ν^{2} ∈ π_{6}^{S}. Produktet η^{3} ∈ π_{3}^{S} er elementet av orden 2, dvs. η^{3} = 12ν.

Definisjon. En avbildning f: X → Y av prespektra er en svak homotopiekvivalens hvis f_{∗}: π_{k}(X) → π_{k}(Y) er en isomorfi for alle k. Vi skriver da f: X ≃_{w} Y.

Vi skriver også X ≃_{w} Y for ekvivalensrelasjonen generert av avbildninger som er svake homotopiekvivalenser. En homotopiekvivalens er en svak homotopiekvivalens, siden homotope avbildninger induserer samme homomorfi på homotopigruppene.

Proposisjon. La X = (X_{n}, ξ_{n})_{n} være et prespektrum. Den naturlige avbildningen

σ: X → ΩΣX,

som er adjungert til identiteten på ΣX, er en svak homotopiekvivalens. Spesielt er det naturlige isomorfier

π_{i+1}(X) ≅ π_{i}(ΩX)

og

π_{i}(X) ≅ π_{i+1}(ΣX).

Bevis. La σ_{n}: X_{n} → ΩΣX_{n} være adjungert til identiteten på ΣX_{n}, og la (Σξ_{n−1})′ være den (n − 1)te adjungerte strukturavbildningen i ΣX. Det er et kommutativt diagram

\xymatrix{ΣX_{n−1} \ar[r]^{ξ_{n−1}} \ar[dr]_{(Σξ_{n−1})′} & X_{n} \ar[d]^{σ_{n}} \ar[dr]^{ξ′_{n}} \\  & ΩΣX_{n} \ar[r]_{Ωξ_{n}} & ΩX_{n+1}}

Avbildningene σ_{n} induserer en naturlig homomorfi

σ_{∗}: π_{i}(X) = colim_{n} π_{i+n}(X_{n})
⟶ colim_{n} π_{i+n}(ΩΣX_{n}) = π_{i}(ΩΣX).

Omvendt induserer avbildningene ξ_{n} en homomorfi

ξ_{∗}: π_{i}(ΩΣX) = colim_{n} π_{i+n}(ΩΣX_{n})

⟶ colim_{n} π_{i+n}(ΩX_{n+1})

≅ colim_{n} π_{i+n+1}(X_{n+1}) = π_{i}(X).

Siden Ωξ_{n} ∘ σ_{n} = ξ′_{n} er en morfisme i diagrammet som definerer π_{∗}(X) som en kolimes, og tilsvarende for σ_{n} ∘ ξ_{n−1}, så er ξ_{∗} ∘ σ_{∗} = id og σ_{∗} ∘ ξ_{∗} = id. Derfor er σ_{∗} en isomorfi, og σ er en svak homotopiekvivalens av prespektra. □

Denne proposisjonen viser essensielt at prespektra er stabile objekter, opp til svak homotopiekvivalens. Funktorene X ↦ ΣX og Y ↦ ΩY er gjensidige inverser opp til naturlig svak homotopiekvivalens. Altså kan prespektra formelt desuspenderes (ved Ω), og formelt deloopes (ved Σ).

Vi kan også definere generaliserte homologi- og kohomologi-grupper for et prespektrum X.

Definisjon. La Ẽ være en generalisert kohomologiteori, med tilhørende (pre-)spektrum E. Da er:

E_{k}(X) = colim_{m,n} π_{k+m+n}(E_{m} ∧ X_{n})
E^{k}(X) = colim_{n}[Σ^{n−k}X, E_{n}]

7. Spektra.

Homotopigruppene til X = (X_{n}, ξ_{n}) er den direkte grensen av homomorfiene indusert av de adjungerte strukturavbildningene

ξ′_{n}: X_{n} ⟶ ΩX_{n+1}.

Hvis disse er svake homotopiekvivalenser (av baserte rom) så er de naturlige avbildningene π_{k+n}(X_{n}) → π_{k}(X) isomorfier. Vi vil fokusere på denne situasjonen for å karakterisere de spesielle prespektrene vi kaller spektra. Det viser seg at vi like godt kan anta noe litt sterkere enn at de adjungerte strukturavbildningene er svake homotopiekvivalenser, nemlig at de er homotopiekvivalenser:

Definisjon. Et spektrum X er et prespektrum X = (X_{n}, ξ_{n})_{n} slik at hver adjungert strukturavbildning ξ′_{n}: X_{n} → ΩX_{n+1} er en homotopiekvivalens.

Vi lar S være kategorien av spektra, gitt som en full underkategori av kategorien P av prespektra. Dvs., for spektra X og Y er morfismene X → Y som spektra de samme som morfismene fra X til Y oppfattet som prespektra.

Vi skriver S(X, Y) for morfisme-mengden av avbildninger mellom spektra X og Y. La ℓ: S → P være den glemsomme funktoren.

Vi definerer homotopigruppene π_{∗}(X) til et spektrum som homotopigruppene til det underliggende prespekteret.

Eksempel. De topologiske K-teori prespektrene K, KO og KSp, og Eilenberg– Mac Lane prespekteret HA, er alle spektra. Et suspensjonsprespektrum Σ^{∞}X er aldri et spektrum, unntatt for X kontraktibel.

Definisjon. Et løkkerom er et rom X_{0} med et gitt rom X_{1} og en homotopiekvivalens X_{0} ≃ ΩX_{1}. En løkkeromsavbildning f_{0} : X_{0} → Y_{0} mellom løkkerom er en avbildning på formen Ωf_{1} der f_{1} : X_{1} → Y_{1}.

For n ≥ 0 er et nte løkkerom et rom X_{0} med gitte rom X_{1}, X_{2}, …, X_{n} og homotopiekvivalenser X_{i−1} ≃ ΩX_{i} for alle i = 1, 2, …, n. Da er spesielt X_{0} ≃ Ω^{n}X_{n}. En nte løkkeromsavbildning f_{0} : X_{0} → Y_{0} er en avbildning på formen Ω^{n}f_{n}, der f_{n}: X_{n} → Y_{n}.

Et uendelig løkkerom er et rom X_{0} med gitte rom (X_{n})_{n=1}^{∞} og homotopiekvivalenser X_{n−1} ≃ ΩX_{n} for alle n > 0. Da er X_{0} ≃ Ω^{n}X_{n} for alle n. En uendelig løkkeromsavbildning f_{0} : X_{0} → Y_{0} er en avbildning slik at det finnes avbildninger f_{n}: X_{n} → Y_{n} for alle n, slik at f_{n−1} og Ωf_{n} er kompatible under de gitte homotopiekvivalensene for alle n > 0.

Det underliggende rommet av et spektrum er et uendelig løkkerom, og omvendt er et uendelig løkkerom det underliggende rommet til et spektrum.

((Spektra representerer (ko-)homologiteorier.))

8. Homotopikolimes.

Kategorisk kolimes i kategorien av baserte rom og avbildninger er ikke en homotopiinvariant konstruksjon. Dvs., to homotopiekvivalente diagrammer behøver ikke ha homotopiekvivalente kolimesrom. I stedet finnes det en forstørret utgave av kolimes, som kalles homotopikolimes, som er homotopiinvariant.

Vi får bare bruk for denne konstruksjonen i et enkelt tilfelle, med sekvensielle direkte grenser. Da finnes det en modell for homotopikolimes som er relativt enkel å forestille seg, nemlig avbildningsteleskopet.

Definisjon. La

A_{0} ⟶^{ϕ_{0}} A_{1} ⟶^{ϕ_{1}} … ⟶^{ϕ_{n−1}} A_{n} ⟶^{ϕ_{n}} A_{n+1} ⟶^{ϕ_{n+1}} …

være et diagram av baserte rom og avbildninger. Avbildningsteleskopet til dette diagrammet er

T = ⋁_{n} A_{n} ∧ [n, n + 1]_{+}/ ∼

der (a_{n}, n + 1) ∼ (ϕ_{n}(a_{n}), n + 1) for a_{n} ∈ A_{n} og alle hele tall n ≥ 0.

Det er en naturlig homotopiekvivalens T ≃ hocolim_{n} A_{n}, og inntil videre kaller vi avbildningsteleskopet T definert som ovenfor for homotopikolimes av diagrammet, og skriver T = hocolim_{n} A_{n}. (Den virkelige homotopikolimes har de samme homotopiske egenskapene, og litt bedre funktorialitetsegenskaper.)

La Z være et vilkårlig basert rom. En følge avbildninger ψ_{n}: A_{n} → Z og homotopier H_{n}: ψ_{n} ≃ ψ_{n+1} ∘ ϕ_{n} definerer en avbildning ψ: hocolim_{n} A_{n} → Z, ved ψ(a_{n}, n + t) = H_{n}(a_{n}, t), for a_{n} ∈ A_{n}, n ≥ 0 et helt tall, og t ∈ [0, 1]. Denne egenskapen bør sammenlignes med den universelle egenskapen til colim_{n} A_{n}.

Lemma. Det er en naturlig avbildning

h: hocolim_{n} A_{n} → colim_{n} A,

som projiserer på første faktor, dvs. tar et punkt (a, t) ∈ A_{n} ∧[n, n+1]_{+} til a ∈ A_{n}. Hvis hver avbildning ϕ_{n}: A_{n} → A_{n+1} er en kofibrering, så er h en homotopiekvivalens.

Bevis. (Utelates.)

Lemma. Det er en naturlig isomorfi

colim_{n} π_{i}(A_{n}) ⟶^{≅} π_{i}(hocolim_{n} A_{n})

for alle i.

Bevis. La T = hocolim_{n} A_{n} være avbildningsteleskopet. For hver n ≥ 0 la T_{n} ⊂ T være underrommet av punkter (a, t) med t ≤ n. Det er da en imbedding A_{n} ≅ A_{n} × {n} → T_{n} og en deformasjonsretraksjon T_{n} → A_{n}. Imbeddingene induserer homomorfier π_{i}(A_{n}) ≅ π_{i}(T_{n}) → π_{i}(T), som er kompatible med hensyn til homomorfiene π_{i}(ϕ_{n}). Sammen induserer de homomorfien i lemmaet.

For å vise at dette er en isomorfi, er det nok å vise at colim_{n} π_{i}(T_{n}) ≅ π_{i}(T). Men T har den svake topologien fra den voksende unionen {T_{n}}_{n}, så dette følger fra at enhver avbildning S^{i} → T (eller homotopi mellom slike avbildninger) har bilde inneholdt i en T_{n}. □

Mer generelt gjelder følgende:

Lemma. La Z være et endelig basert CW-kompleks. Det er en naturlig homotopiekvivalens

Ψ: hocolim_{n} F (Z, A_{n}) ⟶^{≃} F (Z, hocolim_{n} A_{n}).

Bevis. La T = hocolim_{n} A_{n} være avbildningsteleskopet. For hver n er det en imbedding i_{n}: A_{n} → T, som induserer avbildninger ψ_{n}: F (Z, A_{n}) → F (Z, T). Det er en åpenbar homotopi i_{n} ≃ i_{n+1} ∘ ϕ_{n}, som induserer en homotopi H_{n}: ψ_{n} ≃ ψ_{n+1} ∘ ϕ_{n}. Avbildningene ψ_{n} og homotopiene H_{n} passer sammen, og definerer en avbildning Ψ som i lemmaet.

At dette er en homotopiekvivalens vises omtrent som i forrige lemma. □

Lemma. La (A_{n}, ϕ_{n}) være en sekvens av baserte rom. Det er en naturlig homotopiekvivalens

Φ: hocolim_{n} A_{n} ⟶^{≃} hocolim_{n} A_{n+1}

som sender (a_{n}, t) til (ϕ_{n}(a_{n}), t), for a_{n} ∈ A_{n}, n ≥ 0 og t ∈ [n, n + 1].

Bevis. En homotopiinvers til Φ er gitt ved å sende (a_{n+1}, t) til (a_{n+1}, t + 1), for a_{n+1} ∈ A_{n+1}, n ≥ 0 og t ∈ [n, n + 1]. □

9. Spektrifisering.

Den glemsomme funktoren ℓ: S → P fra spektra til prespektra har en venstre adjungert, opp til svak homotopiekvivalens, som omgjør prespektra til svakt homotopiekvivalente spektra.

Definisjon. Spektrifiseringsfunktoren L: P → S tar et gitt prespektrum X til spekteret L(X) med nte rom

L(X)_{n} = hocolim_{m} Ω^{m}X_{n+m}

hvor kolimes dannes over avbildningene

Ω^{m}X_{n+m} ⟶^{Ω^{m}ξ′_{n+m}} Ω^{m}ΩX_{n+m+1} = Ω^{m+1}X_{n+m+1}.

Spekteret L(X)_{n} har adjungerte strukturavbildninger lik sammensetningen

L(X)_{n} = hocolim_{m} Ω^{m}X_{n+m}

⟶^{Φ} hocolim_{m} Ω^{1+m}X_{n+1+m}

= hocolim_{m} ΩΩ^{m}X_{n+1+m}

⟶^{Ψ} Ω hocolim_{m} Ω^{m}X_{n+1+m}

= ΩL(X)_{n+1}.

Her er Φ og Ψ homotopiekvivalensene fra lemmaene i forrige avsnitt.

Lemma. L(X) er et spektrum.

Bevis. Dette er klart, siden Φ og Ψ er homotopiekvivalenser. □

Proposisjon. Det er en naturlig svak homotopiekvivalens av prespektra η: X → L(X).

Bevis. Avbildningen er gitt ved imbeddingen

η_{n}: X_{n} = Ω^{0}X_{n+0} → hocolim_{m} Ω^{m}X_{n+m} = L(X)_{n}.

Vi beregner

π_{i}(L(X)) = colim_{n} π_{i+n}(L(X)_{n})

= colim_{n} π_{i+n}(hocolim_{m} Ω^{m}X_{n+m})

≅ colim_{n} colim_{m} π_{i+n}(Ω^{m}X_{n+m})

= colim_{n} colim_{m} π_{i+n+m}(X_{n+m})

≅ colim_{m} colim_{n} π_{i+n+m}(X_{n+m}).

Den siste isomorfien uttrykker at to kolimes-konstruksjoner alltid kommuterer. For hver m er den naturlige avbildningen

colim_{n} π_{i+n+m}(X_{n+m}) ⟶ colim_{n} π_{i+n+m+1}(X_{n+m+1})

en isomorfi (sammenlign med beviset for at Φ er en homotopiekvivalens), så strukturavbildningene i den siste kolimes over m er alle isomorfier. Spesielt er avbildningen fra gruppen for m = 0 til kolimes over m en isomorfi. Men dette er nettopp avbildningen

π_{i}(X) = colim_{n} π_{i+n}(X_{n}) ⟶^{≅} colim_{m} colim_{n} π_{i+n+m}(X_{n+m}) ≅ π_{i}(L(X))

indusert av η. Altså er η: X → L(X) en svak homotopiekvivalens. □

Lemma. Funktorene L og ℓ bevarer homotopigrupper, og dermed også svake homotopiekvivalenser.

Bevis. La X være et spektrum og Y et prespektrum. Det er innlysende fra π_{∗}(X) = π_{∗}(ℓ(X)) at ℓ bevarer homotopigrupper. Siden η_{Y} : Y → ℓL(Y) er en svak homotopiekvivalens vil også L bevare homotpigrupper. □

En ulempe med de kategoriene av spektra og prespektra vi her definerer, er at spektrifiseringsfunktoren anvendt på et spektrum ikke gir det samme spekteret tilbake, men bare et svakt homotopiekvivalent spektrum. Funktoren L er altså ikke en ekte høyreinvers til ℓ — bare opp til svak homotopiekvivalens.

En måte å lempe på dette, som ble utviklet av J. P. May et. al., er å forsøke å definere spektrifiseringsfunktoren L ved å bruke colim i stedet for hocolim. Da vil L bevare spektra som er slik at de adjungerte strukturavbildningene er homeomorfier. Man omdefinerer så spektra til å være de prespektra hvor de adjungerte strukturavbildningene er homeomorfier, i stedet for bare homotopiekvivalenser. For å spektrifisere et prespektrum X kan man danne prespekteret X′ med nte rom

X′_{m} = colim_{m} Ω^{m}X_{n+m}.

Problemet er at X′ ikke nødvendigvis blir et spektrum. Hvis avbildningene i denne kolimes er kofibreringer blir ΩX′_{m+1} ≅ X′_{m}, men generelt holder ikke denne hypotesen. Derimot kan tilordningen X ↦ X′ repeteres transfinitt mange ganger, og i grensen vil dette gi et spektrum L(X), i den strenge betydningen. Det nye problemet, som er uunngåelig, er nå at spektrifiseringen L ikke er en homotopifunktor, dvs. homotopiekvivalente prespektra X og Y behøver ikke gi homotopiekvivalente spektra L(X) og L(Y). Dette gjør at med denne definisjonen av spektra har man en god kategorisk situasjon, med en spektrifiseringsfunktor som er venstreadjungert til den glemsomme funktoren, men man har mistet mye homotopiteoretisk kontroll over hvordan spektra egentlig ser ut.

10. Konstruksjoner.

Definisjon. Det underliggende rommet Ω^{∞}X til et prespektrum X er det underliggende rommet til dets spektrifisering L(X). Det er dermed et uendelig løkkerom, gitt eksplisitt ved

Ω^{∞}X = hocolim_{m} Ω^{m}X_{m}.

Suspensjonsspekteret Σ^{∞}X til et basert rom X er spektrifiseringen av suspensjonsprespekteret til X. Det har nte rom

(Σ^{∞}X)_{n} = hocolim_{m} Ω^{m}Σ^{n+m}X.

Her dannes kolimes over avbildningene Ω^{m}Y → Ω^{m+1}ΣY for Y = Σ^{n+m}X, som oppstår ved å anvende Ω^{m} på inklusjonen

Y ⟶ ΩΣY

som tar y ∈ Y til den lukkede kurven t ↦ (y, t) ∈ Y ∧ S^{1} = ΣY.

Det underliggende rommet til suspensjons(pre-)spekteret til et rom X kalles Q(X), og er eksplisitt gitt ved

Q(X) = Ω^{∞}Σ^{∞}X = hocolim_{m} Ω^{m}Σ^{m}X.

Q(X) er et uendelig løkkerom, og de adjungerte strukturavbildningene i suspensjonsspekteret til X er homotopiekvivalenser Q(X) ⟶^{≃} ΩQ(ΣX) for alle X.

Homotopigruppene π_{i}(Σ^{∞}X) = π_{i}(Q(X)) = colim_{n} π_{i+n}Σ^{n}X er de stabile homotopigruppene til X.

Definisjon. Sfærespekteret S = L(Σ^{∞}S^{0}) er suspensjonsspekteret til S^{0}, dvs. spektrifiseringen av suspensjonsprespekteret til S^{0}. Dette spekteret har nte rom Q(S^{n}) = hocolim_{m} Ω^{m}S^{m} og strukturavbildninger

σ_{n}: ΣQ(S^{n}) ⟶ Q(S^{n+1}).

De adjungerte strukturavbildningene

σ′_{n}: Q(S^{n}) ⟶^{≃} ΩQ(S^{n+1})

er homotopiekvivalenser.

Tilsvarende er S^{i} definert for alle hele tall som spekteret med nte rom Q(S^{i+n}) for i + n ≥ 0, og Ω^{−i−n}Q(S^{0}) for i + n < 0. Da er S^{i} lik suspensjonsspekteret på S^{i} for alle i ≥ 0.

Definisjon. La X være et spektrum, og Z et basert rom.

Vi definerer smashprodukt-spekteret X∧Z som spektrifiseringen av smashprodukt prespekteret ℓ(X) ∧ Z, der X oppfattes som et prespektrum.

Tilsvarende defineres funksjons-spekteret F (Z, X) som spektrifiseringen av funksjons-prespekteret F (Z, ℓ(X)), der X oppfattes som et prespektrum.

Eksempler. Med Z = I er X ∧ I kjeglespekteret på X. Med Z = I_{+} er X ∧ I_{+} sylinderspekteret på X. Med Z = S^{1} er ΣX = X ∧ S^{1} suspensjonsspekteret på X. Med Z = S^{1} er ΩX = F (S^{1}, X) løkkeromsspekteret på X.

Vi kan definere underspektra, kvotientspektra, adjungsjonsspektra og avbildningskjeglespektra som for prespektra, ved å følge på med spektrifiseringsfunktoren L. Tilsvarende er CW-spektra bygget opp ved å adjungere kjegler på sfærspektra:

Definisjon. Et CW-spektrum X er et spektrum konstruert som en voksende union av underspektra X_{n} ⊆ X, hvor (i) hver X_{n+1} er avbildningskjeglen for en avbildning f_{n}: W_{n} → X_{n}, der W_{n} er en wedgesum av sfærespektra, og (ii) hver summand S^{q} → X av f_{n} faktoriserer gjennom et underspektrum som bare har celler i dimensjon ≤ q.

11. Den stabile kategorien.

Definisjon. For t ∈ I induserer inklusjonene {t} → I spektrumsavbildninger i_{t}: X → X ∧ I_{+}. En homotopi av spektrumsavbildninger f, g: X → Y er en spektrumsavbildning H: X ∧ I_{+} → Y fra sylinderspekteret, slik at f = H ∘ i_{0} og g = H ∘ i_{1} for alle x ∈ X_{n} og alle n. Vi definerer homotopiinvers og homotopiekvivalens som før.

Vi lar hS være homotopikategorien av spektra. Objektene er spektra, og morfismene er homotopiklasser av spektrumsavbildninger. Dette er lokaliseringen av S med hensyn på homotopiekvivalensene.

Vi vil bruke følgende tekniske resultat:

Lemma. La K være et CW-kompleks. Den naturlige avbildningen

ΣQ(K) ⟶ Q(ΣK)

en en kofibrering.

((Er dette riktig ? Referanse ?))

For spektra er homotopigruppene internt representert i homotopikategorien.

Proposisjon. La X være et spektrum. Det er en naturlig isomorfi

ϕ: hS(S^{i}, X) ⟶^{≅} π_{i}(X)

som tar [f] til f_{∗}(ι_{i}).

Bevis. La X = (X_{n}, ξ_{n})_{n} som vanlig, og velg en homotopiinvers ζ_{n} til hver adjungert strukturavbildning ξ′_{n}. Velg også homotopier ζ_{n} ∘ ξ′_{n} ≃ id og ξ′_{n} ∘ ζ_{n} ≃ id. Anta for enkelhets skyld at i ≥ 0. (I det generelle tilfellet reindekseres en del uttrykk.)

La g: S^{i} → X_{0} representere en klasse i π_{i}(X_{0}) ≅ π_{i}(X). La g_{0} = g, og definer induktivt

g′_{n} = ξ′_{n−1} ∘ g_{n−1} : Σ^{n−1}S^{i} ⟶ X_{n−1} ⟶ ΩX_{n},

og la g_{n}: Σ^{n}S^{i} → X_{n} være adjungert til g′_{n}. Vi får avbildninger

ζ ∘ Ω^{m}g_{n+m}: Ω^{m}Σ^{n+m}S^{i} ⟶ Ω^{m}X_{n+m} ⟶ X_{n},

der ζ = ζ_{n} ∘ ⋯ ∘ ζ_{n+m−1}. Disse er kompatible (for forskjellige m) opp til valgt homotopi, og definerer avbildninger

e_{n}: Q(Σ^{n}S^{i}) ⟶ X_{n}

for alle n. Da kommuterer diagrammet

\xymatrix{Q(Σ^{n}S^{i}) \ar[r]^{e_{n}} \ar[d]_{≃} & X_{n} \ar[d]^{ξ′_{n}} \\ ΩQ(Σ^{n+1}S^{i}) \ar[r]_{Ωe_{n+1}} & ΩX_{n+1}}

opp til homotopi, for hver n. Sekvensen (e_{n})_{n} er derfor nesten en spektrumsavbildning S^{i} → X som representerer klassen til g i π_{i}(X).

For å få en spektrumsavbildning må hver e_{n+1} deformeres slik at diagrammet virkelig kommuterer. Dette gjørest induktivt over n, ved å bruke homotopiutvidelses-egenskapen på det adjungerte, homotopikommutative diagrammet:

\xymatrix{ΣQ(Σ^{n}S^{i}) \ar[r]^{Σe_{n}} \ar[d]_{kofib.} & ΣX_{n} \ar[d]^{ξ_{n}} \\ Q(Σ^{n+1}S^{i}) \ar[r]_{e_{n+1}} & X_{n+1}}

(Den venste avbildningen er en kofibrering ved lemmaet ovenfor.) La f_{0} = e_{0} og la f_{n+1} induktivt være definert ved å utvide ξ_{n} ∘Σf_{n} til Q(Σ^{n+1}S^{i}) i homotopiklassen til e_{n+1}. Da er f = (f_{n})_{n}: S^{i} → X en spektrumsavbildning. Tilordningen ψ: g ↦ f induserer en veldefinert invers til ϕ, på homotopinivået. □

Tilsvarende kan man vise:

Lemma. La K være et CW-spektrum, og la f: X → Y være en svak homotopiekvivalens av spektra. Da er den induserte avbildningen

f_{∗}: hS(K, X) ⟶ hS(K, Y)

en bijeksjon.

Lemma. La X og Y være CW-spektra. En avbildning f: X → Y er en svak homotopiekvivalens hvis og bare hvis den er en homotopiekvivalens.

Bevis. Dette følger av forrige lemma, ved Yonedas lemma. Med K = Y bestemmes en homotopiinvers g til f ved f_{∗}(g) = id_{Y}. Da er f ∘ g ≃ id, og f_{∗}(g ∘ f) = f_{∗}(id), så også g ∘ f ≃ id. □

Vi har CW-approksimasjon for spektra:

Proposisjon. Det er en funktor Γ fra S til underkategorien av CW-spektra, og en naturlig svak homotopiekvivalens γ: X → ΓX.

(Beviset utelates.)

Vi kan anta ΓX = X og γ_{X} = id når X er et CW-spektrum.

Definisjon. La h̄S være den svake homotopikategorien av spektra. Objektene er spektra, og morfismene fra X til Y er definert som

h̄S(X, Y) = hS(ΓX, ΓY).

Identiteten og komposisjon er definert som i hS, ved hjelp av funktoren Γ. Vi kaller også h̄S den stabile kategorien, og skriver

[X, Y] = h̄S(X, Y).

Spesielt er π_{i}(X) = [S^{i}, X] for alle hele tall i og spektra X.

Lemma. Den stabile kategorien er lokaliseringen av S med hensyn på de svake homotopiekvivalensene.

Den stabile kategorien er stabil, i den forstand at suspensjon induserer en isomorfi:

Proposisjon. La X, Y være spektra, og la

E: [X, Y] ⟶ [ΣX, ΣY]

ta en klasse [f] til suspensjonen [Σf]. Da er E en bijeksjon.

Bevis. Det er en svak homotopiekvivalens Y → ΩΣY og homotopiekvivalenser ΣΓ(X) → Γ(ΣX) og tilsvarende for Y, som lar oss faktorisere E som en serie bijeksjoner:

[X, Y] = hS(ΓX, ΓY)
≅ hS(ΓX, ΩΣΓY)
≅ hS(ΣΓX, ΣΓY)
≅ hS(Γ(ΣX), Γ(ΣY))
= [ΣX, ΣY]

□

Definisjon. Hver morfismemengde [X, Y] er en abelsk gruppe, med sum indusert av bijeksjonen E og avbildningene Δ: S^{1} → S^{1} ∨ S^{1} og ∇: S^{1} ∨ S^{1} → S^{1}. Vi lar

[X, Y]_{k} = \{ \begin{matrix}[Σ^{k}X, Y] & for k ≥ 0, \\ [X, Σ^{−k}Y] & for k < 0. \end{matrix}

Da er [S, S]_{i} = π_{i}^{S}, og komposisjon av selvavbildninger av S induserer den graderte ringstrukturen på π_{∗}^{S}.

Proposition. La

X ⟶^{i} Y ⟶^{j} Z ⟶^{∂} ΣX

være en kofibersekvens av spektra, og la W være et spektrum. Da er det lange eksakte sekvenser:

⟶ [W, X]_{k} ⟶^{i_{∗}} [W, Y]_{k} ⟶^{j_{∗}} [W, Z]_{k} ⟶^{∂_{∗}} [W, X]_{k−1} ⟶

og

⟶ [X, W]_{k+1} ⟶^{∂^{∗}} [Z, W]_{k} ⟶^{j^{∗}} [Y, W]_{k} ⟶^{i^{∗}} [X, W]_{k} ⟶

Bevis. (Skisse: Den første eksakte sekvensen bruker suspensjonisomorfien E. Den andre er mye enklere.)

Så fiber- og kofiber-sekvenser av spektra er ekvivalente i den stabile kategorien. Altså er denne en lineær kategori, i betydningen at (kategorisk) sum og produkt stemmer overens.

Definisjon. La E være et spektrum, og X et basert rom. Da er

Ẽ_{k}(X) = π_{k}(E ∧ X) = [S, E ∧ X]_{k}

den kte E-homologigruppen til X, og

Ẽ^{k}(X) = [Σ^{∞}X, E]_{−k}

den kte E-kohomologigruppen til X, for alle hele tall k.

Når Ẽ er en generalisert redusert kohomologiteori med tilhørende spektrum E, som i §2, så er Ẽ^{k}(X) = [X, E_{k}] = [Σ^{∞}X, E]_{−k}. Definisjonen ovenfor uttrykker derfor hvordan spektra representerer generaliserte reduserte kohomologiteorier.