SPEKTRALSEKVENSER

John Rognes

La (C, ∂) være en differensiell abelsk gruppe. Så C er en abelsk gruppe og ∂: C → C er et differensial, dvs., ∂ ∘ ∂ = 0. Homologien til C er H(C, ∂) = ker(∂)/ im(∂).

La {F_{s}C}_{s} være en filtrasjon av (C, ∂) som differensiell abelsk gruppe, med s ∈ ℤ. Så ∂(F_{s}C) ⊆ F_{s}C for alle s. Vi kaller s filtrasjonsgraden. La ∂_{s} = ∂|_{F_{s}C} være restriksjonen av ∂ til F_{s}C. Da er (F_{s}C, ∂_{s}) igjen en differensiell abelsk gruppe.

La F̄_{s}C = F_{s}C/F_{s−1}C være filtrasjonssubkvotienten. Den graderte gruppen {F̄_{s}C}_{s} kalles den assosierte graderte gruppen til filtrasjonen på C. Siden differensialet ∂ respekterer filtrasjonen, induserer det et differensial ¯∂_{s} på hver F̄_{s}C. La H(F̄_{s}C, ¯∂_{s}) være homologien av dette differensialet.

Definisjon. En E^{a}-spektralsekvens (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r})_{r} er en sekvens graderte abelske grupper (E_{∗}^{r})_{r} definert for alle r ≥ a, og graderte derivasjoner d_{s}^{r}: E_{s}^{r} → E_{s−r}^{r} av grad −r, slik at E_{s}^{r+1} ≅ H_{s}(E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) for alle s og alle r ≥ a. Den graderte abelske gruppen E_{∗}^{r} kalles E^{r}-leddet i spektralsekvensen og differensialet d_{∗}^{r} kalles d^{r}-differensialet.

Vi definerer spektralsekvensen (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r})_{r} tilhørende den filtrerte differensielle abelske gruppen ({F_{s}C}_{s}, ∂) som følger.

Definisjon. La

Z_{s}^{r} = {x ∈ F_{s}C | ∂x ∈ F_{s−r}C}
B_{s}^{r} = ∂(Z_{s+r−1}^{r−1})

for r, s ∈ ℤ.

Lemma. Da er B_{s}^{r} ⊆ Z_{s}^{r} ⊆ F_{s}C, og Z_{s−1}^{r−1} ⊆ Z_{s}^{r}. Videre er ∂(B_{s}^{r}) = 0, og ∂(Z_{s−1}^{r−1}) ⊆ B_{s−r}^{r} ⊆ Z_{s−r}^{r}.

Definisjon. Definer for hver r en gradert gruppe E_{∗}^{r} ved

E_{s}^{r} = Z_{s}^{r}/(B_{s}^{r} + Z_{s−1}^{r−1})

og la

d_{s}^{r}: E_{s}^{r} ⟶ E_{s−r}^{r}

være homomorfien gitt ved d^{r}([x]) = [∂x], for x ∈ Z_{s}^{r}. Her betegner [x] ekvivalensklassen til x i E_{s}^{r}, og tilsvarende er [∂x] ekvivalensklassen til ∂x ∈ Z_{s−r}^{r}.

Lemma. Avbildningene d_{s}^{r} er veldefinert, og er differensialer, dvs., d_{r−s}^{r} ∘ d_{s}^{r} = 0.

Typeset by AMS-TEX

Definisjon. Sekvensen av graderte differensielle abelske grupper (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) kalles spektralsekvensen assosiert til den filtrerte differensielle abelske gruppen ({F_{s}C}_{s}, ∂).

Dette er en E^{0}-spektralsekvens.

Teorem. Det er naturlige isomorfier E_{s}^{r+1} ≅ H_{s}(E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) = ker(d_{s}^{r})/ im(d_{s+r}^{r}), for alle r ≥ 0.

Bevis. Se på følgende diagram av horisontale korte eksakte sekvenser

\xymatrix{B_{s}^{r} + Z_{s−1}^{r−1} \ar[r] \ar[d] & Z_{s}^{r} \ar[r] \ar[d]^{∂|_{Z^{r}_{s}}} & E_{s}^{r} \ar[d]^{d^{r}} \\ B_{s−r}^{r} + Z_{s−r−1}^{r−1} \ar[r] & Z_{s−r}^{r} \ar[r] & E_{s−r}^{r}.}

Vi bestemmer først ker(d_{s}^{r}). En klasse x ∈ Z_{s}^{r} har d^{r}([x]) = 0 bare hvis ∂x = b+z, der b = ∂y ∈ B_{s−r}^{r}, med y ∈ Z_{s−1}^{r−1} og z ∈ Z_{s−r−1}^{r−1}. Da er ∂(x − y) = z ∈ F_{s−r−1}C, så x − y ∈ Z_{s}^{r+1} og x er med i Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1}. Omvendt er d^{r}([x]) = 0 for alle slike x. Derfor er

ker(d_{s}^{r}) = (Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1})/(B_{s}^{r} + Z_{s−1}^{r−1}).

Vi bestemmer så im(d_{s}^{r}). En klasse x ∈ Z_{s−r}^{r} har [x] = d^{r}([w]) bare hvis ∂w = x + b + z med b = ∂y, der w ∈ Z_{s}^{r}, b ∈ B_{s−r}^{r}, y ∈ Z_{s−1}^{r−1} og z ∈ Z_{s−r−1}^{r−1}. Da er x = ∂(w − y) − z med i ∂(Z_{s}^{r}) + Z_{s−r−1}^{r−1} = B_{s−r}^{r+1} + Z_{s−r−1}^{r−1}. Omvendt er [x] ∈ im(d^{r}) for alle slike x. Derfor er

im(d_{s}^{r}) = (B_{s−r}^{r+1} + Z_{s−r−1}^{r−1})/(B_{s−r}^{r} + Z_{s−r−1}^{r−1}).

Vi beregner så

H_{s}(E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) = ker(d_{s}^{r})/ im(d_{s+r}^{r})

= \frac{(Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1})/(B_{s}^{r} + Z_{s−1}^{r−1})}{(B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1})/(B_{s}^{r} + Z_{s−1}^{r−1})}

≅ (Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1})/(B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1}).

Per definisjon er

E_{s}^{r+1} = Z_{s}^{r+1}/(B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r}).

Det er naturlige inklusjoner av nevnere og tellere i disse brøkene: B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r} ⊆ B_{s}^{r+1} +Z_{s−1}^{r−1} og Z_{s}^{r+1} ⊆ Z_{s}^{r+1} +Z_{s−1}^{r−1}, som gir oss følgende diagram med horisontale og vertikale korte eksakte sekvenser.

\xymatrix{B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r} \ar[r] \ar[d] & Z_{s}^{r+1} \ar[r] \ar[d] & E_{s}^{r+1} \ar[d]^{ϕ} \\ B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1} \ar[r] \ar[d] & Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1} \ar[r] \ar[d] & H_{s}(E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) \\ U \ar[r]^{ψ} & V}

For å vise at ϕ er en isomorfi er det nok å vise at ψ er en isomorfi. Her er ψ kompatibel med følgende to avbildninger:

U = \frac{B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1}}{B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r}} ⟵^{α} \frac{Z_{s−1}^{r−1}}{Z_{s−1}^{r}} ⟶^{β} \frac{Z_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r−1}}{Z_{s}^{r+1}} = V

Her er α en isomorfi fordi Z_{s−1}^{r−1} ∩ (B_{s}^{r+1} + Z_{s−1}^{r}) = Z_{s−1}^{r}, mens β er en isomorfi fordi Z_{s−1}^{r−1} ∩ Z_{s}^{r+1} = Z_{s−1}^{r}. Altså er ψ, og dermed ϕ, en isomorfi. □

Videre kan vi identifisere E^{1}-leddet i spektralsekvensen.

Teorem. Spektralsekvensen assosiert til ({F_{s}C}_{s}, ∂) har E^{1}-ledd

E_{s}^{1} = H(F̄_{s}C, ∂_{s})

lik homologien til filtrasjonssubkvotientene, og d^{1}-differensial

d_{s}^{1} : E_{s}^{1} ⟶ E_{s−1}^{1}

lik forbindelseshomomorfien i homologi tilhørende triplet (F_{s}C, F_{s−1}C, F_{s−2}C).

Bevis. Fra definisjonen er Z_{s}^{r} = F_{s}C og B_{s}^{r} = ∂(F_{s+r−1}C) ⊆ F_{s−1}C for alle r ≤ 0, så E^{0}-leddet

E_{s}^{0} = F_{s}C/F_{s−1}C

er den assosierte graderte gruppen til filtrasjonen.

d^{0}-differensialet d_{s}^{0} : E_{s}^{0} → E_{s}^{0} avbilder grad s av den assosierte graderte gruppen til seg selv. Siden differensialet ∂ respekterer filtrasjonen på C induserer det et differensial på den assosierte graderte gruppen, og dette er d^{0}-differensialet. Derfor er E^{1}-leddet lik homologien til den assosierte graderte differensielle abelske gruppen

E_{s}^{1} = H(F̄_{s}C, ¯∂_{s}).

Dette er, per definisjon, den relative homologien til paret (F_{s}C, F_{s−1}), så vi kan skrive

E_{s}^{1} = H(F_{s}C, F_{s−1}C, ∂).

d^{1}-differensialet d_{s}^{1} : E_{s}^{1} → E_{s−1}^{1} avbilder H(F̄_{s}C, ¯∂_{s}) til H(F̄_{s−1}C, ¯∂_{s−1}), og er lik forbindelseshomomorfien i homologi tilknyttet den korte eksakte sekvensen av differensielle abelske grupper:

0 → F̄_{s−1}C ⟶ F_{s}C/F_{s−2}C ⟶ F̄_{s}C → 0

For forbindelseshomomorfien tar en relativ sykel i F̄_{s}C, løfter den til F_{s}C/F_{s−2}C, anvender ∂, og oppfatter resultatet som en relativ sykel i F̄_{s−1}C. Dette er det samme som d_{s}^{1}, fra definisjonen. □

Definisjon. En filtrasjon {F_{s}A}_{s} av A kalles uttømmende hvis colim_{s} F_{s}A = ⋃_{s} F_{s}A = A. Den kalles Hausdorff hvis lim_{s} F_{s} = ⋂_{s} F_{s}A = 0. Den kalles komplett hvis den naturlige avbildningen

A ⟶ lim_{s} A/F_{s}A

er surjektiv. Hvis filtrasjonen er komplett og Hausdorff, så er denne avbildningen en isomorfi. Hvis filtrasjonen er nedad begrenset, dvs., hvis F_{s}A = 0 for noen s, så er den komplett Hausdorff.

Definisjon. La (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r})_{r} være en spektralsekvens. Anta at gruppene E_{s}^{r} konvergerer mot en gruppe E_{r}^{∞} når r → ∞. (Dette må presiseres i hvert enkelt tilfelle.)

Vi sier at spektralsekvensen (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r}) konvergerer svakt mot en abelsk gruppe A, hvis det finnes en uttømmende filtrasjon {F_{s}A}_{s} av A, og isomorfier

E_{s}^{∞} ≅ F_{s}A/F_{s−1}A = F̄_{s}A

for alle s. Hvis filtrasjonen er Hausdorff sier vi at spektralsekvensen konvergerer. Hvis filtrasjonen dessuten er komplett, sier vi at spektralsekvensen konvergerer strengt. I så fall bestemmer spektralsekvensen den abelske gruppen A, opp til additive ekstensjoner.

Vi vil nå identifisere når spektralsekvensen til en filtrert differensiell abelsk gruppe konvergerer mot homologien til den differensielle abelske gruppen.

Det er inklusjoner

B_{s}^{0} ⊆ ⋯ ⊆ B_{s}^{r} ⊆ B_{s}^{r+1} ⊆ ⋯ ⊆ Z_{s}^{r+1} ⊆ Z_{s}^{r} ⊆ ⋯ ⊆ Z_{s}^{0} = F_{s}C.

Definisjon–Lemma. La B_{s}^{∞} = ⋃_{r} B_{s}^{r}, og la Z_{s}^{∞} = ⋂_{r} Z_{s}^{r}. La

E_{s}^{∞} = Z_{s}^{∞}/(B_{s}^{∞} + Z_{s−1}^{∞}).

Hvis filtrasjonen {F_{s}C}_{s} er uttømmende, så er B_{s}^{∞} = im(∂) ∩ F_{s}C.

Videre, hvis filtrasjonen {F_{s}C}_{s} er Hausdorff, så er ker(∂_{s}) = Z_{s}^{∞}.

Definisjon. Filtrasjonen på (C, ∂) gir opphav til en filtrasjon på homologigruppen H(C, ∂). La

F_{s}H(C, ∂) = im(H(F_{s}C, ∂_{s}) ⟶ H(C, ∂)).

Merk at avbildningen H(F_{s}C, ∂_{s}) → F_{s}H(C, ∂) er surjektiv, men ikke nødvendigvis en isomorfi. La F̄_{s}H(C, ∂) = F_{s}H(C, ∂)/F_{s−1}H(C, ∂) være filtrasjonssubkvotientene til filtrasjonen {F_{s}H(C, ∂)}_{s} av H(C, ∂).

Teorem. Anta filtrasjonen {F_{s}C}_{s} er uttømmende og nedad begrenset. Da konvergerer spektralsekvensen (E_{∗}^{r}, d_{∗}^{r})_{r} sterkt mot H(C, ∂), dvs., det er naturlige isomorfier

E_{s}^{∞} ≅ F_{s}H(C, ∂)/F_{s−1}H(C, ∂) = F̄_{s}H(C, ∂)

for alle s, og filtrasjonen {F_{s}H(C, ∂)}_{s} av H(C, ∂) er uttømende og komplett Hausdorff.

Bevis. Vi har en avbildning av korte eksakte sekvenser:

\xymatrix{B_{s}^{∞} + Z_{s−1}^{∞} \ar[r] \ar[d] & Z_{s}^{∞} \ar[r] \ar[d] & E_{s}^{∞} \ar[d]^{π} \\ F_{s−1}H(C, ∂) \ar[r] & F_{s}H(C, ∂) \ar[r] & F̄_{s}H(C, ∂)}

Her sendes x ∈ Z_{s}^{∞} = ker(∂_{s}) = ker(∂) ∩ F_{s}C til bildet av homologiklassen [x] ∈ H(F_{s}C, ∂_{s}) under surjeksjonen til F_{s}H(C, ∂). Da går B_{s}^{∞} til 0, og Z_{s−1}^{∞} til F_{s−1}H(C, ∂) ⊆ H(C, ∂).

Det er da klart at π er surjektiv, og hvis x ∈ Z_{s}^{∞} er slik at π([x]) = 0, der nå [x] er restklassen til x i E_{s}^{∞}, så er x = ∂y + z med y ∈ C og z ∈ Z_{s−1}^{∞}. Da må ∂y ∈ im(∂) ∩ F_{s}C = B_{s}^{∞}, så x ∈ B_{s}^{∞} + Z_{s−1}^{∞}. Derfor er π en isomorfi.

Det er klart at filtrasjonen på H(C, ∂) er uttømmende og komplett Hausdorff. □