ALGEBRAISK K-TEORI OG

SYMMETRIER AV MANGFOLDIGHETER

John Rognes

4. Januar 1998

Hva handler klassisk algebraisk K-teori om ?

La R være en ring, f.eks. ringen ℝ av reelle tall, R = C(X) ringen av kontinuerlige reelle funksjoner på et rom X, eller kanskje R = S, sfærespekteret.

I lineær algebra løser vi n × n ligningssystemer som Ax = b ved Gauss-Jordan eliminasjon, dvs. ved radoperasjoner, dvs. ved å multiplisere fra venstre med ulike typer elementære matriser til vi har funnet x = A^{−1}b. Vi faktoriserer altså A som et produkt av elementære matriser. Her tenker jeg på A som en n × n matrise med elementer fra R.

La oss først se på den viktigste typen elementære matriser; e_{ij}(r) som bare skiller seg fra identitetsmatrisen ved at elementet i posisjon (i, j) er lik r ∈ R. Her er i ≠ j. Vi får e_{ij}(r) · A fra A ved å legge til r ganger den jte raden til den ite raden i A.

Det fine med elementære matriser er at det er lett å invertere dem:

e_{ij}(r)^{−1} = e_{ij}(−r)

Så hvis vi kan skrive

A = e_{ij}(r) · . . . · e_{kl}(s)

finner vi

A^{−1} = e_{kl}(−s) · . . . · e_{ij}(−r).

Men hvilke matriser kan faktoriseres som et produkt av slike elementære matriser ?

La GL_{n}(R) være gruppen av invertible n × n matriser med elementer i R, og la E_{n}(R) ⊂ GL_{n}(R) være undergruppen generert av de elementære matrisene. Kvosientmengden

GL_{n}(R)/E_{n}(R)

måler hindringene mot at en invertibel matrise kan skrives som et produkt av elementære matriser, dvs. at hvis A er slik at Ax = b alltid har en entydig løsning, så kan vi finne denne løsningen ved den restrikterte Gauss-Jordan eliminasjon, hvis og bare hvis restklassen [A] til A er lik elementet [I] i GL_{n}(R)/E_{n}(R).

E_{n}(R) inneholder nære slektninger av permutasjonsmatrisene, så de radoperasjonene som bytter om på to rader er egentlig overflødige. Vi skal ta med radoperasjonen som ganger en rad med et invertibelt element i R litt senere.

Generelt er ikke E_{n}(R) normal i GL_{n}(R), så mengden ovenfor behøver ikke være en gruppe. Men hvis vi er villige til å stabilisere problemet, dvs. la n vokse på en kontrollert måte, så ordner dette seg.

Typeset by AMS-TEX

Definisjon. Vi inkluderer GL_{n}(R) inn i GL_{n+1}(R) ved

A ↦ [ \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

og definerer:

GL(R) = ⋃_{n} GL_{n}(R)  og  E(R) = ⋃_{n} E_{n}(R)

Dette er grupper av uendelig store matriser, som bare skiller seg fra identitetsmatrisen i endelig mange elementer.

J.H.C. Whitehead’s lemma.

E(R) = [GL(R), GL(R)]

er kommutatorundergruppen i GL(R), som er normal i GL(R).

Definisjon.

K_{1}(R) = GL(R)/E(R) = GL(R)/[GL(R), GL(R)]

er den maksimale Abelske kvosientgruppen av GL(R). Vi oppfatter K_{1}(R) som en additiv gruppe.

Gitt A ∈ GL_{n}(R) ⊂ GL(R) har den en restklasse [A] ∈ K_{1}(R). Hvis vi er villige til å føye til ekstra trivielle ligninger på formen 1 · x_{m} = b_{m} for m > n, blir altså spørsmålet om koeffisientmatrisen A kan skrives som et produkt av elementære matriser ekvivalent med spørsmålet om [A] ∈ K_{1}(R) er null eller ikke.

La oss nå ta med radoperasjonen som ganger en rad med en enhet r ∈ R^{×}. Da kan vi i tillegg løse ligningssystemene med koeffisientmatrise A som er slik at [A] ligger i bildet av sammensetningen

R^{×} = GL_{1}(R) → GL(R) → K_{1}(R).

Hvis vi antar at R er kommutativ, så definerer determinanten det: GL(R) → R^{×} en surjeksjon det: K_{1}(R) → R^{×}, som splittes av sammensetningen ovenfor. Så den virkelige obstruksjonen mot Gauss-Jordan eliminasjon ligger i kjernen

SK_{1}(R) = ker(det: K_{1}(R) → R^{×}) = SL(R)/E(R).

Hvis R er en kropp, så som ℝ, eller et Euklidisk område, så som ℤ, eller (Bass-Milnor-Serre) en heltallsring i en tallkropp, så er SK_{1}(R) = 0. Da fører Gauss-Jordan eliminasjon alltid frem.

Men for generelle ringer kan SK_{1}(R) godt være ikketriviell.

Eksempel. La R = C(X) være ringen av kontinuerlige reelle funksjoner på et topologisk rom X. Da er SK_{1}(C(X)) lik gruppen av homotopiklasser av avbildninger fra X til den uendelige rotasjonsgruppen

SO = ⋃_{n} SO(n).

Så for X = S^{1} er SK_{1}(C(S^{1})) = ℤ/2, siden det er to homotopiklasser av lukkede kurver i SO(n) for n ≥ 3. Det finnes altså invertible matriser over C(S^{1}) som ikke kan inverteres ved Gauss-Jordan eliminasjon.

Det finnes også “klassiske” grupper K_{0}(R) og K_{2}(R) definert for alle ringer R. K_{0}(R) har med isomorfiklasser av projektive moduler å gjøre, og K_{2}(R) er et universelt objekt for såkalte symboler definert over R, som f.eks. Hilbert-symbolet. Når R = O_{F} er ringen av algebraiske heltall i en tallkropp F/ℚ, så forenkler K_{0} til

K_{0}(R) = ℤ ⊕ Cl(F)

der Cl(F) er idealklassegruppen til F. Dette er en endelig gruppe, som omtrent måler i hvilken grad Kummers ideale tall, dvs. idealer i R, er virkelige tall, dvs. hovedidealer i R.

For F = ℚ er R = ℤ og Cl(ℚ) = 0, mens for F = ℚ(ζ_{37}) er R = ℤ[ζ_{37}] og Cl(ℚ(ζ_{37})) ≅ ℤ/37 ≠ 0. Her er ζ_{37} en primitiv 37te rot av enheten. Så det er flere ideelle enn vanlige tall i ℤ(ζ_{37}), entydig faktorisering i primfaktorer slår feil i denne ringen, og argumentet til Lamé og Cauchy fra 1848 for å vise Fermats siste teorem, bryter sammen.

Gruppene K_{0}(R), K_{1}(R) og K_{2}(R) oppfanger altså sentrale algebraiske og tallteoretiske egenskaper ved ringen R. Noe mer overraskende er kanskje at disse tre gruppene er knyttet til hverandre. For eksempel finnes det en eksakt sekvens

⨁_{p} K_{2}(𝔽_{p}) ⟶ K_{2}(ℤ) ⟶ K_{2}(ℚ) ⟶^{∂}

⨁_{p} K_{1}(𝔽_{p}) ⟶ K_{1}(ℤ) ⟶ K_{1}(ℚ) ⟶^{∂}

⨁_{p} K_{0}(𝔽_{p}) ⟶ K_{0}(ℤ) ⟶ K_{0}(ℚ) → 0.

Her er 𝔽_{p} primkroppen med p elementer, og i summene løper p over alle primtall. At sekvensen er eksakt, betyr at bildet av en homomorfi alltid er lik kjernen til den neste homomorfien.

Quillen K-teori.

Omkring 1969 innså D. Quillen at de tre gruppene var tre sider av samme sak, eller snarere, tre homotopigrupper av samme topologiske rom. Det finnes altså et naturlig definert rom K(R), slik at

K_{i}(R) = π_{i}(K(R))

for i = 0, 1, 2. Her består den ite homotopigruppen π_{i}(X) av homotopiklassene av (baserte) avbildninger

f: S^{i} → X

fra enhetssfæren S^{i} ⊂ ℝ^{i+1} til rommet X. Dermed ble høyere algebraisk K-teori født, ved å definere K_{i}(R) for i ≥ 3 ved formelen ovenfor. Men egentlig er det rommet K(R), eller dets homotopitype, som koder den informasjonen om R vi er interessert i, og som bør studeres.

Jeg vil bare skissere definisjonen av K(R): Man starter med kategorien av endelig-genererte projektive R-moduler, forer den til en såkalt uendelig løkkeromsmaskin, og ut kommer rommet K(R). Så bærer man den uendelige løkkeromsmaskinen opp på loftet, inntil til man trenger den igjen.

Ulike slags ringer.

Klassisk K-teori tar altså som input en assosiativ ring, gjerne med enhet. Geometrisk sett kan slike ringer tenkes på som ringen av funksjoner på et eller annet slags rom. For ikke-kommutative ringer (C^{∗}-algebraer) blir dette ikke rom i noen topologisk forstand, mens i det kommutative tilfellet er det interessant å globalisere ringene i retning skjemateori (algebraisk geometri), med ulike valg av Grothendieck topologier. For heltallsringer i tallkropper er det primidealene som oppfører seg som punkter på en slags kurve (tallteori), mens de K-teoretiske invariantene i geometrisk topologi gjerne er tilknyttet grupperingen til en fundamentalgruppe. De nyere anvendelsene til geometrisk topologi bruker en videre klasse av ringer opp til homotopi, der f.eks. en gruppering ℤ[π_{1}(M)] fetes opp til et ring opp til homotopi Q(ΩM_{+}).

\xymatrix{ & tallkropper \\ C^{∗}-algebraer & ringer \ar[l] \ar[u] \ar[r] \ar[d] & grupperinger \ar[r] & ringer opp til homotopi \\  & skjemaer}

Homotopigrupper.

Minner om at to avbildninger f, g: S^{i} → X er homotope hvis f kan deformeres kontinuerlig over i g. Gruppene π_{0}(X), π_{1}(X), π_{2}(X), … måler gradvis hvor høyt sammenhengende rommet X er, eller omvendt, hva slags essensielle hull som finnes i X.

Spesielt er X veisammenhengende hvis og bare hvis π_{0}(X) = 0. Da kan et punkt A i X alltid forbindes med en vei til et vilkårlig annet punkt B i X. Og X er enkelt-sammenhengende hvis og bare hvis også π_{1}(X) = 0. Da kan en vei fra A til B alltid deformeres over i en vilkårlig annen vei fra A til B.

De forskjellige homotopigruppene π_{i}(X) gir en følge invarianter av X. I en forstand er π_{0}(X) den mest dominerende invarianten, så følger π_{1}(X), og så videre. Vi kan tenke på dette som at π_{i}(X) svarer til den ite desimalplassen etter komma i et reellt tall. Så gitt to rom X og Y og en avbildning f: X → Y slik at f_{∗}: π_{i}(X) ≅ π_{i}(Y) for alle i ≤ n kan vi tenke på det som at X og Y stemmer overens til n desimaler. Vi sier at avbildningen f er n-sammenhengende, og at X og Y stemmer overens opp til grad n. Hvis n vokser, stemmer X og Y overens i flere homotopigrupper, og vi vil tenke på dette som at X og Y er mer like hverandre.

Hvis f_{∗}: π_{i}(X) ≅ π_{i}(Y) er en isomorfi for alle i sier vi at f er en (svak) homotopiekvivalens fra X til Y.

Hva så med symmetrier av mangfoldigheter ?

I Abel og Galois’ ligningsteori studeres algebraiske symmetrier, eller substitusjoner, gjennom gruppen av isomorfier F → F av en tallkropp F over ℚ. De endelige gruppene som oppstår minner om gruppene av geometriske symmetrier, alias kongruenser eller isometrier, av geometriske figurer. Et regulært n-gon har 2n isometrier, nemlig n rotasjoner og n refleksjoner. Til sammen danner de dihedergruppen D_{n} av orden 2n.

Lar vi n vokse mot uendelig, nærmer polygonet seg en sirkel, S^{1} ⊂ ℝ^{2}. Denne har uendelig mange geometriske symmetrier, nemlig den ortogonale gruppen O(2). Denne mengden har en naturlig topologi, og vi kan tenke på om to kongruenser ligger nært eller fjernt fra hverandre. Gruppen av isometrier av sirkelen danner igjen to sirkler: en sirkel av rotasjoner og en sirkel av refleksjoner. Vi har en Lie-gruppe.

La så M være en Riemannsk mangfoldighet. Dette betyr at M er en topologisk mangfoldighet, dvs. et lokalt Euklidisk Hausdorff rom. Videre er M utstyrt med et glatt atlas av kartomegner, dvs. vi vet hvilke funksjoner f: M → ℝ som er (uendelig) differensiable. Da har M et tangentrom T_{p}M i hvert punkt p ∈ M. Og til sist har vi valgt et positivt definitt indreprodukt g_{p} på hvert tangentrom T_{p}M, som varierer glatt i p. Dette er den Riemannske metrikken g.

Enkle eksempler på slike Riemannske mangfoldigheter er enhetsdisken D^{n} ⊂ ℝ^{n}, og dens rand, enhetssfæren S^{n−1}.

På en Riemannsk mangfoldighet kan man snakke om lengden av en tangentvektor, og ved å integrere langs en kurve kan man definere lengden til en kurve. Avstanden mellom to punkter er typisk lengden til den korteste kurven. Så M er et metrisk rom. En isometri av M er en glatt avbildning f: M → M som bevarer alle avstander. Den er da spesielt en diffeomorfi, og dermed en homeomorfi av M med seg selv.

Theorem (Myers-Steenrod, 1939). Gruppen av isometrier av en Riemannsk mangfoldighet er en Lie-gruppe.

Så Lie-teori handler på en måte om differensial-geometriske symmetrier, dvs. isometrier. Symmetrigruppene blir i dette tilfellet endelig-dimensjonale mangfoldigheter, og det er fruktbart å studere deres topologi.

Men hva med de rent differensiable symmetriene, dvs. diffeomorfiene, eller de topologiske symmetriene, dvs. homeomorfiene ? La Diff(M) være gruppen av diffeomorfier M → M, og la Homeo(M) være gruppen av homeomorfier M → M. Disse avhenger ikke av den Riemannske metrikken, og Homeo(M) er uavhengig av det glatte atlaset. Vi kan også gi disse gruppene en topologi. Videre kan vi se på den topologiske monoiden G(M) av homotopi-ekvivalenser M → M. Vi får kontinuerlige homomorfier

Isom(M) → Diff(M) → Homeo(M) → G(M)

av topologiske grupper/monoider, som svarer til å glemme mer og mer struktur.

Mens Isom(M) er en Lie-gruppe, er gruppene Diff(M) og Homeo(M) typisk uendelig-dimensjonale. Det er derfor ikke så lett å studere deres lokale struktur, og stort sett håpløst å bestemme deres topologiske type, dvs. deres homeomorfi-klasse. Men et interessant, og noe mer tilgjengelig problem, er å beskrive homotopi-typen til disse automorfisme-rommene.

Problemet med å generalisere Galois- og Lie-teori fra studiet av algebraiske eller geometriske symmetrier til differensiable eller topologiske symmetrier lyder derfor: Finn homotopi-typen til rommene Diff(M) og Homeo(M) for en mangfoldighet M.

Kirurgi-teori og konkordans.

La meg fokusere på det differensiable tilfellet, dvs. Diff(M). Mye blir analogt for Homeo(M).

Algebraisk topologi og homotopiteori gir en god del informasjon om homotopiekvivalensene G(M) av en mangfoldighet. Og kirurgi-teorien utviklet rundt 1970 av Browder, Novikov, Sullivan og Wall ledet til et maskineri for å klassifisere mangfoldigheter i dimensjon n ≥ 5, samt følgende fibersekvens

G(M)/D̃iff(M) ⟶ Map(M, G/O) ⟶ L^{s}(M).

Jeg skal ikke forklare hva disse symbolene betyr, men at det er en fibersekvens gjør at fordi man vet mye om Map(M, G/O) og L^{s}(M) så vet man også mye om det venstre leddet G(M)/D̃iff(M). Tilsvarende er det en fibersekvens

D̃iff(M) ⟶ G(M) ⟶ G(M)/D̃iff(M)

så fordi man vet mye om G(M) vet man også mye om D̃iff(M).

Men hva betyr denne slangen over Diff ? Jo, det er ikke den virkelige topologiske gruppen av diffeomorfier av M som kirurgi-teorien uttaler seg om, men bare en beslektet variant, de såkalte blokk-diffeomorfismene av M. Dette er en større gruppe enn Diff(M), og vi har en fibersekvens

Diff(M) ⟶ D̃iff(M) ⟶ D̃iff(M)/ Diff(M)

som viser at det vi mangler for å forstå Diff(M) er det “homogene rommet”

D̃iff(M)/ Diff(M)

som måler forskjellen mellom diffeomorfier og blokk-diffeomorfier.

Eksempel. En kurve ϕ: I → Diff(M) er en isotopi, dvs. en familie av diffeomorfier ϕ_{t}: M → M for i ∈ I = [0, 1]. Disse kan limes sammen til en diffeomorfi

Φ: M × I → M × I

med Φ(p, t) = (ϕ_{t}(p), t) som bevarer I-koordinaten t.

Men en kurve ψ: I → D̃iff(M) er essensielt en konkordans, som er en diffeomorfi

Ψ: M × I → M × I

som bevarer endene M × 0 og M × 1, men ikke nødvendigvis bevarer I-koordinaten i det indre av I.

A. Hatcher viste i 1974 hvordan et rom av h-kobordismer på M interpolerer mellom Diff(M) og D̃iff(M). I en nyere formulering har vi:

Teorem (M. Weiss og B. Williams, 1988). Det er et (uendelig løkke-)rom Wh(M) med en involusjon, og en avbildning

D̃iff(M)/ Diff(M) ⟶ ΩΩ^{∞} Wh(M)_{hC_{2}}

som er (n/3 − c)-sammenhengende, der n = dim(M) og c er en konstant.

Det som er forbløffende er at Wh(M) bare avhenger av homotopitypen til mangfoldigheten M, altså ikke at det er en mangfoldighet, og ikke hvilken differensiabel struktur som er valgt. Videre er involusjonen på Wh(M) bare avhengig av den stabile tangensielle typen til M, som også er en svak opplysning.

Waldhausen A-teori.

Nå skal vi se på hvordan disse geometrisk-topologiske problemstillingene har en tilknytning til algebraisk K-teori.

Whitehead-rommet Wh(M) ble definert av F. Waldhausen omkring 1974, og i flere trinn frem til 1984 viste han at det er en faktorisering

A(M) ≃ Q(M_{+}) × Wh(M).

Her er Q(M_{+}) = ⋃_{n} Ω^{n}Σ^{n}(M_{+}) et rom hvis homotopigrupper er de stabile homotopigruppene til M. Man vet mye om dette. Forbindelsen til algebraisk K-teori går gjennom Waldhausens definisjon av rommet A(M), som representerer Waldhausens algebraiske K-teori av rommet M, på samme måte som K(R) representerer Quillens algebraiske K-teori av ringen R.

Poenget er at A(M) er K-teoretisk definert. Det vil si, man starter med en passende kategori av rom knyttet til M, så henter man den uendelige løkkeromsmaskinen ned fra loftet, forer den med denne nye kategorien, og ut kommer rommet A(M). Kategorien av rom knyttet til M kan oppfattes som endelig genererte projektive moduler over ringen opp til homotopi Q(ΩM_{+}), men det er teknisk komplisert å gi en god mening til dette.

Det er så et håp om at man skal kunne bruke det man vet om algebraisk Kteori til å forstå Waldhausens rom A(M). Da vet man om Wh(M), og dermed om D̃iff(M)/ Diff(M). Fra kirurgiteorien vet man om D̃iff(M), og settes alt dette sammen finner man Diff(M). I teorien.

Problemet er hvor mye man vet om algebraisk K-teori. På 70-tallet hadde man A. Borels beregning av f.eks. K_{i}(ℤ)⊗ℚ, og det var nok til å beskrive π_{i}(A(D^{n}))⊗ℚ for en disk M = D^{n}. Fra dette fant Farrell-Hsiang informasjon om π_{i}(Diff(D^{n}))⊗ℚ for i < n/3 − c. Og Hsiang-Jahren kunne beskrive π_{i}(Diff(L)) ⊗ ℚ for linserom L.

Det er kjent at gruppene π_{i}(A(M)) er endelig-genererte Abelske grupper når π_{1}(M) er endelig. De rasjonale resultatene ovenfor ignorerer fullstendig torsjonsundergruppene, og ser bare rangen til π_{i}(A(M)) og π_{i}(Diff(M)). Fra et algebraisk topologisk synspunkt sier den rasjonale informasjonen bare en del om hvordan rommet Diff(M) er bygget opp. Vi mangler torsjonsinformasjonen, og k-invariantene som knytter de forskjellige homotopigruppene sammen. Uten mer kunnskap om K-teori kom ikke prosjektet skissert ovenfor særlig mye videre.

Sporinvarianter.

På 90-tallet har vi lært en god del mer om torsjonsinformasjonen i algebraisk K-teori, dvs. om p-Sylow undergruppene i K_{i}(R) og π_{i}(A(M)) for de forskjellige primtallene p. Det er derfor nytt håp om å kunne beskrive torsjonen i π_{i}(Diff(M)) for enkle mangfoldigheter M.

Som vi har sett er innfallsporten til dette prosjektet at vi kan si noe om Waldhausens algebraiske K-teori av mangfoldigheten M, kodet i rommet A(M).

La nå R = ℤ[π_{1}(M)] være grupperingen til fundamentalgruppen til M. Hvis M = D^{n} er R = ℤ. Det er da en lineariseringsavbildning

L: A(M) ⟶ K(R).

Her kan vi tenke på A(M) som K-teorien til ringen opp til homotopi Q(ΩM_{+}). Men π_{0}(Q(ΩM_{+})) = ℤ[π_{1}(M)], så avbildningen Q(ΩM_{+}) → ℤ[π_{1}(M)] som tar hvert punkt til sin veisammenhengskomponent induserer lineariseringsavbildningen L.

Hvis vi kan beskrive K(R), og samtidig beskrive forskjellen mellom A(M) og K(R), så har vi et grep på A(M).

Allerede Waldhausens første artikkel om A-teori viste at forskjellen mellom A(M) og K(R) hadde noe med Hochschild homologi å gjøre. Senere ble dette raffinert til topologisk Hochschild homologi, og etter inntredenen av Connes’ sykliske homology innførte Bökstedt, Hsiang og Madsen i 1989 en såkalt syklotomisk sporavbildning fra K-teori til topologisk syklisk homologi, betegnet T C.

Det er derfor et kommutativt diagram

\xymatrix{A(M) \ar[r]^{L} \ar[d]^{trc} & K(R) \ar[d]^{trc} \\ T C(M) \ar[r]^{L} & T C(R)}

Her er de to nederste hjørnene, T C(M) og T C(R), tilgjengelige ved hjelp av algebraisk topologi. I hvert fall når M er enkelt-sammenhengende så R = ℤ. Bökstedt-Hsiang-Madsen beskrev T C(M) generelt i 1989, mens Bökstedt-Madsen beskrev p-Sylow undergruppene i π_{i}(T C(ℤ)) for p odde i 1994, og Rognes beskrev 2-Sylow undergruppene i 1996. Vi vet derfor mye om forskjellen mellom T C(M) og T C(R).

Teorem (B. Dundas, 1995). Diagrammet ovenfor er homotopi Kartesisk, så forskjellen mellom A(M) og K(R) er lik forskjellen mellom T C(M) og T C(R).

Ved å samle disse resultatene vet vi altså mye om forskjellen mellom A(M) og K(R) for enkelt-sammenhengende mangfoldigheter M, når R = ℤ.

Problemet som gjenstår er hva vi vet om torsjonen i K(ℤ).

I 1996 annonserte V. Voevodsky at han hadde vist Milnor-formodningen om Witt-ringen av kvadratiske former og étale kohomologi. Sammen med en spektralsekvens konstruert av Bloch og Lichtenbaum leder dette til et bevis av den 2primære delen av Lichtenbaum-Quillen formodningen, som sier hva gruppene K_{i}(ℤ) bør være for alle i. I Rognes-Weibel kytter vi opp denne forbindelsen.

Gitt disse resultatene vet vi nå alt om 2-torsjonen i K_{i}(ℤ). Siden vi kjenner 2torsionen i homotopigruppene til T C(D^{n}) og T C(ℤ), og forskjellen mellom disse er som forskjellen mellom A(D^{n}) og K(ℤ), så kjenner vi 2-torsjonen i A(D^{n}). Dette gir igjen 2-torsjonen i Whitehead-rommet Wh(D^{n}), som beskriver forskjellen mellom 2-torsjonen i homotopien til D̃iff(D^{n}) og Diff(D^{n}) (opp til grad n/3 − c).

Her gjenstår det å bestemme involusjonen på Wh(D^{n}) før jeg kan gi eksplisitte formler for hvordan rommet av diffeomorfier av disker ser ut, men dette bør være relativt enkelt.

Tilsvarende resultater kan fås for andre enkeltsammenhengende mangfoldigheter M ved å dechiffrere Bökstedt-Hsiang-Madsens beskrivelse av T C(M).

Konklusjon. Bökstedt, Hsiang og Madsens konstruksjon av topologisk syklisk homologi og syklotomsporet, Dundas’ teorem som viser at relativ K-teori er lik relativ T C, og utregninger av Bökstedt, Madsen og Rognes har gitt oss skarp homotopiteoretisk informasjon om forskjellen mellom Waldhausens A(M) og Quillens K(R) for R = ℤ[π_{1}(M)] når M er enkeltsammenhengende. Ved primtallet 2, hvor vi har kunnskap om K(ℤ), gir dette 2-primær informasjon om rommet av diffeomorfier av disker D^{n}. For odde primtall p vil tilsvarende informasjon on K(ℤ) gi tilsvarende p-primær informasjon om Diff(D^{n}) (opp til grad n/3 − c).