SIMPLISIELLE METODER

John Rognes

October 26, 2020

1. Simplisial-komplekser

Vi begynner med en innledende diskusjon omkring ulike definisjoner av polyedre og simplisial-komplekser, som skal lede frem til den moderne definisjonen av en simplisiell mengde.

1.1 Affine simplekser.

I et reelt vektorrom V kan vi danne lineærkombinasjoner ∑_{i} t_{i}v_{i} av vektorer, der v_{i} ∈ V og t_{i} ∈ ℝ for alle i. Vektorrom er spesielt affine rom, der vi kan danne affine lineærkombinasjoner ∑_{i=0}^{q} t_{i}v_{i} med ∑_{i} t_{i} = 1. Disse er igjen spesielt konvekse rom, der vi kan danne konvekse lineærkombinasjoner ∑_{i=0}^{q} t_{i}v_{i} med ∑_{i} t_{i} = 1 og t_{i} ≥ 0 for alle i. Det minimale konvekse underrommet som inneholder en mengde U ⊂ V kalles den konvekse innhyllningen av U i V. Den består av alle konvekse lineærkombinasjoner ∑_{i=0}^{q} t_{i}v_{i} med v_{i} ∈ U, t_{i} ∈ ℝ, ∑_{i} t_{i} = 1 og t_{i} ≥ 0 for alle i.

La

Δ^{q} = {(t_{0}, …, t_{q}) | ∑_{i=0}^{q} t_{i} = 1, t_{i} ≥ 0 for alle i}

være standard q-simplekset i ℝ^{q+1}. Dette er den konvekse innhyllningen av de (q + 1) hjørnene e_{0}, …, e_{q}, der e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) har t_{i} = 1.

Gitt (q + 1) affint uavhengige punkter v_{0}, …, v_{q} i et vektorrom ℝ^{n} utspenner de et affint q-simpleks:

σ = Δ{v_{0}, …, v_{q}} = {∑_{i=0}^{q} t_{i}v_{i} | ∑_{i=0}^{q} t_{i} = 1, t_{i} ≥ 0 for alle i}

Det er en affin isomorfi Δ^{q} → σ som sender e_{i} til v_{i} for alle i, og tar (t_{0}, …, t_{q}) i Δ^{q} til ∑_{i=0}^{q} t_{v}v_{i}. Tallene (t_{0}, …, t_{q}) kalles de barysentriske koordinatene til punktet ∑_{i=0}^{q} t_{v}v_{i} i σ.

Den konvekse innhyllningen τ av en delmengde av hjørnene v_{0}, …, v_{q} er igjen et affint simpleks, og kalles en fasett (eng. face) av σ. Dette er underrom av σ hvor noen av de barysentriske koordinatene t_{i} er identisk lik null.

Punktet b = \frac{1}{q+1} ∑_{i=0}^{q} v_{i} ligger i det indre av σ, og har barysentriske koordinater (\frac{1}{q+1}, …, \frac{1}{q+1}). Dette kalles barysenteret (massemiddelpunktet) til σ.

1.2 Simplisial-komplekser.

En union av simplekser kalles et kompleks. Vi bruker følgende definisjon:

Typeset by AMS-TEX

Definisjon. Et endelig simplisial-kompleks K er en endelig mengde av affine simplekser inneholdt i et vektorrom V, slik at

(1) alle fasettene til et simpleks σ i K igjen er med i K, og

(2) snittet mellom to simplekser σ og τ er en fasett både av σ og av τ.

Et endelig simplisial-kompleks K har et underliggende topologisk rom |K|, som er unionen av simpleksene i K oppfattet som et underrom av V. Et rom på formen |K| for K et endelig simplisial-kompleks K kalles et kompakt polyeder. Gitt et topologisk rom X kalles et valg av et simplisial-kompleks K og en homeomorfi t: |K| ≅ X en triangulering av X.

La K og L være endelige simplisial-komplekser. En avbildning f: |K| → |L| er simplisiell dersom bildet av hvert simpleks σ i K er et simpleks f(σ) i L, og f er affint lineær på hvert simpleks. En simplisiell homeomorfi er en simplisiell avbildning med en simplisiell invers.

En simplisiell avbildning f er bestemt av hvordan den tar hjørner i K til hjørner i L, og må ta en mengde hjørner {v_{0}, …, v_{q}} som utspenner et simpleks i K til hjørnene {f(v_{0}), …, f(v_{q})} i et simpleks i L.

Gitt et punkt a i det indre av et simpleks σ, finnes det et simplisialkompleks L med simplekser de ekte fasettene τ av σ, samt hver kjegle aτ, dvs. den konvekse innhyllningen av a og τ. L kalles en oppdeling av σ. Det er en homeomorfi |L| ≅ σ som er affint lineær på hvert simpleks i L. Dersom a = b er barysenteret i σ kalles L den barysentriske oppdelingen av σ.

Gitt et simplisial-kompleks K kan vi erstatte hvert simpleks i K med en oppdeling. Resultatet er et simplisial-kompleks L, som kalles en oppdeling av K. Vi skriver L = K^{(1)}. Det er en homeomorfi |L| ≅ |K|, som er lineær på hvert simpleks i L. Dersom hvert simpleks er erstattet med den barysentriske oppdelingen, kaller vi L den barysentriske oppdelingen av K. Denne oppdelingsprosessen kan gjentas, så induktivt setter vi K^{(r+1)} = (K^{(r)})^{(1)}.

Definisjon. La K og L være simplisial-komplekser. En avbildning f: |K| → |L| kalles stykkevis lineær eller PL (eng. piecewise linear) dersom det finnes en iterert oppdeling K^{(r)} av K slik at sammensetningen

|K^{(r)}| ≅ |K| ⟶^{f} |L|

er affint lineær på hvert simpleks i K^{(r)}. Da finnes det et oppdeling L^{(s)} av L slik at f′: |K^{(r)}| → |L^{(s)}| er simplisiell.

En PL-homeomorfi f: |K| → |L| er en PL-avbildning som har en invers PLavbildning g: |K| → |L|. To trianguleringer t: |K| ≅ X og u: |L| ≅ X av et rom X er ekvivalente dersom u^{−1}t: |K| ≅ |L| er en PL-homeomorfi. En slik ekvivalensklasse av trianguleringer av et rom X kalles en PL-struktur på X.

((Men PL-strukturer på mangfoldigheter er noe sterkere.))

Kontinuerlige avbildninger kan approksimeres av PL-avbildninger. Her er en enkel variant av dette:

Teorem (PL approksimasjon). La K og L være endelige simplisial-komplekser, med |L| inneholdt i ℝ^{n}. Gitt en kontinuerlig avbildning f: |K| → |L| og ϵ > 0 finnes det en PL-avbildning g: |K| → |L| slik at |g(x) − f(x)| < ϵ for alle x ∈ |K|.

1.3 Abstrakte simplisial-komplekser.

For å beskrive et simplisial-kompleks K opp til simplisiell homeomorfi er det tilstrekkelig å kjenne mengden av hjørner (0-simpleksene), og å vite hvilke delmengder av hjørner som utspenner et simpleks i K.

Et abstrakt simplisial-kompleks K er en mengde H, og en mengde S av endelige delmengder av H, slik at

(1) singleton-mengden {v} er i S for hver v ∈ H, og

(2) hvis σ ⊆ H er i S, så er også alle delmengder av σ med i S. Elementene i H kalles hjørner i K, og elementene i S kalles simplekser i K. Vi tenker på et simpleks σ ⊆ H i S som simplekset utspent av hjørnene v ∈ σ.

La K = (H, S) og K′ = (H′, S′) være abstrakte simplisial-komplekser. En simplisiell avbildning f: K → K′ er en funksjon f: H → H′ slik at for hvert simpleks σ ⊆ H i K (dvs. et element i S) er f(σ) ⊆ H′ et simpleks i K′ (dvs. et element i S′).

Et abstrakt simplisial-kompleks K = (H, S) kan realiseres som et simplisialkompleks L ⊂ V i et vektorrom V ved å velge en imbedding i: H → V som tar hjørnene i H til affint uavhengige punkter i V. For hvert simpleks σ ∈ S har L et simpleks som er den konvekse innhyllningen av billedpunktene i(v) for v ∈ σ.

1.4 Semi-simplisielle mengder.

For et abstrakt simplisial-kompleks K = (H, S) kan vi la K_{q} ⊆ S være mengden av q-simplekser i K, for hvert hele tall q ≥ 0. Da er elementene i K_{q} de delmengdene σ = {v_{0}, …, v_{q}} av H som er elementer i S, slik at v_{i} ≠ v_{j} for i ≠ j.

Det underliggende polyederet til K har et q-simpleks isomorft med Δ^{q} for hvert slikt element {v_{0}, …, v_{q}} i K_{q}. Det er derfor en identifikasjonsavbildning

∐_{q≥0} K_{q} × Δ^{q} ⟶ |K|

som tar et simpleks σ × Δ^{q} på det tilsvarende simplekset i |K|. Hvis p-simplekset τ er en fasett av σ, dvs. τ ⊆ σ, identifiserer denne avbildningen τ × Δ^{p} med σ × Δ^{q} i |K|.

For å presisere dette, la oss velge en ordning < på hjørnene H i K. Enten kan vi velge en lineær ordning av H, eller eventuelt bare en partiell ordning av H som restrikterer til en lineær ordning på hvert simpleks σ ⊆ H. Da kan hvert q-simpleks σ ∈ S i K skrives på en entydig måte som σ = (v_{0}, …, v_{q}) der v_{0} < v_{1} < ⋯ < v_{q} er lineært ordnet.

La K_{q} være mengden av slike q-simplekser i K. Randen ∂σ til hvert q-simpleks σ er unionen av (q + 1) maksimale fasetter d_{i}(σ) ⊂ σ, der d_{i}(σ fås fra σ ved å utelate det i-te hjørnet v_{i}, for 0 ≤ i ≤ q. Dette definerer (q + 1) funksjoner

d_{i}: K_{q} → K_{q−1}

fra q-simpleksene til (q −1)-simpleksene i K, slik at randen til et q-simpleks σ ∈ K_{q} består av de (q + 1) ulike (q − 1)-simpleksene d_{0}(σ), …, d_{q}(σ) ∈ K_{q−1}. Vi kaller d_{i} den ite fasett-avbildningen, for 0 ≤ i ≤ q.

La δ_{i}: Δ^{q−1} → Δ^{q} være den affint lineære avbildningen som tar hjørnene i Δ^{q−1} til hjørnene i Δ^{q} unntagen e_{i}, i voksende rekkefølge. Så

δ_{i}(e_{j}) = \{ \begin{matrix}e_{j} & for j < i, \\ e_{j+1} & for j ≥ i. \end{matrix}

I barysentriske koordinater tar δ_{i} et punkt (t_{0}, …, t_{q−1}) til

(t_{0}, …, t_{i−1}, 0, t_{i}, …, t_{q−1}).

Vi kaller δ_{i} inklusjonen på den i-te fasetten i Δ^{q}.

Da er det abstrakte simplisial-komplekset K = (H, S) bestemt av de abstrakte mengdene av q-simplekser K_{q} for alle q ≥ 0, og fasett-avbildningene d_{i} for alle 0 ≤ i ≤ q. Polyederet |K| er homeomorft med identifikasjonsrommet

∐_{q≥0}(K_{q} × Δ^{q})/ ∼

der (σ, δ_{i}(ξ)) ∈ K_{q}×Δ^{q} identifiseres med (d_{i}(σ), ξ) ∈ K_{q−1}×Δ^{q−1} for alle 0 ≤ i ≤ q. Fasett-avbildningene d_{i}: K_{q} → K_{q−1} oppfyller identitetene

d_{i} ∘ d_{j} = d_{j−1} ∘ d_{i}

for i < j. Vi abstraherer denne strukturen:

Definisjon. En semi-simplisiell mengde K_{∗} er en følge mengder K_{q} for q ≥ 0 og funksjoner d_{i}: K_{q} → K_{q−1} for 0 ≤ i ≤ q, slik at d_{i} ∘ d_{j} = d_{j−1} ∘ d_{i} for alle i < j. Elementene i K_{q} kalles q-simpleksene i K_{∗}, og funksjonen d_{i} kalles den i-te fasett-avbildningen.

Dette er ikke standard terminologi ! Det vi skal kalle simplisielle mengder het en tid ‘complete semi-simplicial complexes’, deretter ‘c.s.s. complexes’, ‘FD complexes’ og ‘semi-simpliciall complexes’ før det ble hetende ‘simplicial sets’. Mens det jeg har definert ovenfor som en semi-simplisiell mengde har blitt kalt ‘Δ-sets’ og ‘pre-simplicial sets’. Men fasett-avbildningene er halve strukturen til en simplisiell mengde, og semi betyr halv.

1.5 Degenererte simplekser.

Svakheten med denne definisjonen gjelder produkter av rom. Hvis |K| og |L| er polyedre er igjen |K| × |L| et polyeder, men det er flere mulige valg av trianguleringer. (Et kvadrat I × I kan skrives som en union av to triangler på to måter.) Videre vil q-simpleksene i en slik triangulering ved et simplisial-kompleks K×L ikke bare kunne uttrykkes ved hjelp av q-simpleksene i K og i L. For å bøte på dette er det hensiktsmessig å tillate også degenererte simplekser som en del av strukturen.

Husk at i et abstrakt simplisial-kompleks K = (H, S) med en ordning < på hjørnene kunne q-simpleksene skrives på formen v_{0} < v_{1} < ⋯ < v_{q}. La v ≤ w hvis v < w eller v = w. Vi utvider nå definisjonen av q-simplekser til å omfatte alle kjeder på formen

v_{0} ≤ v_{1} ≤ ⋯ ≤ v_{q}.

Dersom v_{j} = v_{j+1} for noen j sier vi at simplekset er degenerert. Likevel har vi en affint lineær avbildning Δ^{q} → |K| som tar hvert hjørne e_{i} til v_{i}. Vi kan derfor tenke på slike simplekser som spesielle singulære simplekser i rommet |K|. Simplekser som ikke er degenererte kalles ikke-degenererte. Dette er de simpleksene vi brukte i den semi-simplisielle strukturen.

Til et muligens degenerert simpleks med hjørner v_{0} ≤ ⋯ ≤ v_{q} kan vi tilordne et ikke-degenerert simpleks med det samme bildet i |K|, ved å utelate alle gjentatte hjørner. Omvendt kan alle degenererte simplekser dannes fra de ikke-degenererte ved å gjenta noen av hjørnene.

For 0 ≤ j ≤ q la den j-te degenerasjons-avbildningen σ_{j}: Δ^{q+1} → Δ^{q} være den affint lineære avbildningen som tar hjørnene i Δ^{q+1} til hjørnene i Δ^{q} i voksende rekkefølge, slik at to hjørner avbildes til e_{j} i Δ^{q}. Da er

σ_{j}(e_{i}) = \{ \begin{matrix}e_{i} & for i ≤ j, \\ e_{i−1} & for i > j. \end{matrix}

I barysentriske koordinater tar σ_{j} et punkt (t_{0}, …, t_{q+1}) til

(t_{0}, …, t_{j} + t_{j+1}, …, t_{q+1}).

Gitt et affint q-simpleks σ i |K| er det en affin embedding f: Δ^{q} → |K| med bilde σ. Da er sammensetningen f ∘ σ_{j} et degenerert (q + 1)-simpleks i |K|. Omdefiner nå K_{q} som mengden av alle q-simplekser v_{0} ≤ ⋯ ≤ v_{q}, degenererte eller ei. Prekomposisjon med σ_{j} definerer da en funksjon

s_{j}: K_{q} → K_{q+1}

for hver 0 ≤ j ≤ q. Vi kaller s_{j} den j-te degenerasjons-avbildningen.

Funksjonene d_{i} og s_{j} oppfyller en rekke formelle identiteter, som kalles de simplisielle identitetene. Se May’s bok for en liste. Disse er duale til relasjonene mellom δ_{i} og σ_{j} som affine avbildninger mellom standard-simpleksene.

Definisjon. En simplisiell mengde X_{•} er en følge mengder X_{q} for alle q ≥ 0, avbildninger d_{i}: X_{q} → X_{q−1} for alle 0 ≤ i ≤ q, og avbildninger s_{j}: X_{q} → X_{q+1} for alle 0 ≤ j ≤ q, som oppfyller de simplisielle identitetene.

Elementene i X_{q} kalles q-simplekser, d_{i} kalles den i-te fasett-avbildningen, s_{j} kalles den j-te degenerasjons-avbildningen, et simpleks som er i bildet av en s_{j} kalles degenerert, og et simpleks som ikke er i bildet av noen s_{j} kalles ikke-degenerert.

En simplisiell mengde X_{•} har en geometrisk realisering |X|, som er identifikasjonsrommet

|X| = ∐_{q≥0}(X_{q} × Δ^{q})/ ∼

der (x, δ_{i}(ξ)) ∼ (d_{i}(x), ξ) for alle x ∈ X_{q}, ξ ∈ Δ^{q−1} og 0 ≤ i ≤ q, samt videre (x, σ_{j}(ξ)) ∼ (s_{j}(x), ξ) for alle x ∈ X_{q}, ξ ∈ Δ^{q+1} og 0 ≤ j ≤ q.

Ved å sette sammen fasett- og degenerasjons-avbildningene δ_{i} og σ_{j} kan man danne alle affint lineære avbildninger ϕ: Δ^{p} → Δ^{q} som tar hjørner til hjørner, og som bevarer den lineære ordningen av hjørnene. De simplisielle identitetene er nettopp relasjonene i kategorien av slike avbildninger. Og slike avbildninger er bestemt ved hvordan hjørnene e_{0}, …, e_{p} sendes til hjørnene e_{0}, …, e_{q}.

Vi abstraherer dette ved bare å huske hjørnenes indeks, som leder oss til det neste kapittelet.

2. Simplisielle mengder

2.1 Simplisielle mengder.

Definisjon. For hele tall q ≥ 0 la

[q] = {0 < 1 < ⋯ < q}

være en lineært ordnet mengde med (q + 1) elementer. La Δ være kategorien med objekter [q] for q ≥ 0, og med de ordningsbevarende funksjonene ϕ: [p] → [q] som morfismene fra [p] til [q].

La δ_{i}: [q − 1] → [q] være den injektive morfismen slik at i ∈ [q] ikke er i bildet. La σ_{j}: [q + 1] → [q] være den surjektive morfismen slik at j ∈ [q] er bildet av to elementer. Da genererer δ_{i}’ene og σ_{j}’ene alle morfismene i Δ, og oppfyller de simplisielle identitetene.

Gitt en morfisme ϕ: [p] → [q] lar vi ϕ_{∗}: Δ^{p} → Δ^{q} være den affint lineære avbildningen gitt ved ϕ_{∗}(e_{i}) = e_{ϕ(i)} for alle 0 ≤ i ≤ p.

Vi skriver Δ^{op} for den motsatte kategorien til Δ. En kontravariant funktor Δ → C er det samme som en (kovariant) funktor Δ^{op} → C.

Definisjon. En simplisiell mengde X_{•} er en funktor X: Δ^{op} → Ens til katgorien av mengder og funksjoner.

Vi skriver X_{q} = X([q]) for mengden av q-simplekser, for alle q ≥ 0, og ϕ^{∗}: X_{q} → X_{p} for funksjonen ϕ^{∗} = X(ϕ) indusert av en ordningsbevarende funksjon ϕ: [p] → [q]. Spesielt skriver vi

d_{i} = δ_{i}^{∗} = X(δ_{i}): X_{q} → X_{q−1}

for 0 ≤ i ≤ q for den ite fasett-avbildningen, og

s_{j} = σ_{j}^{∗} = X(σ_{j}): X_{q} → X_{q+1}

for 0 ≤ j ≤ q for den jte degenerasjonsavbildningen.

En simplisiell avbildning f_{•}: X_{•} → Y_{•} av simplisielle mengder er en naturlig transformasjon f: X → Y mellom funktorer Δ^{op} → Ens.

Vi skriver f_{q} = f([q]): X_{q} → Y_{q} for funksjonen fra q-simpleksene i X til qsimpleksene i Y. Da kommuterer f_{•} med fasett- og degenerasjonsavbildningene, så d_{i} ∘ f_{q} = f_{q−1} ∘ d_{i} og s_{j} ∘ f_{q} = f_{q+1} ∘ s_{j}. Mer generelt er ϕ^{∗} ∘ f_{q} = f_{p} ∘ ϕ^{∗} for alle morfismer ϕ: [p] → [q] i Δ.

La S være kategorien av simplisielle mengder og simplisielle avbildninger mellom dem. La tilsvarende T være kategorien av topologiske rom og kontinuerlige avbildninger mellom dem.

Definisjon. Geometrisk realisering er en funktor | − |: S → T , gitt ved

|X_{•}| = ∐_{q≥0}(X_{q} × Δ^{q})/ ∼

der (x, ϕ_{∗}(ξ)) ∼ (ϕ^{∗}(x), ξ) for alle x ∈ X_{q}, ξ ∈ Δ^{p}, ϕ: [p] → [q].

Proposisjon. La X_{•} være en simplisiell mengde. Da er den geometriske realiseringen |X_{•}| et CW-kompleks, med en q-celle for hvert ikke-degenerert q-simpleks i X_{•}.

Omvendt kan vi til et topologisk rom Y tilordne en simplisiell mengde.

Definisjon. De singulære simpleksene definerer en funktor S_{•}: T → S gitt ved

S_{q}(Y) = {kont. avb. σ: Δ^{q} → Y }

mens ϕ^{∗}: S_{q}(Y) → S_{p}(Y) er gitt ved prekomposisjon med ϕ_{∗}: Δ^{p} → Δ^{q}, dvs. ϕ^{∗}(σ) = σ ∘ ϕ_{∗}.

Proposition. Det er en naturlig bijeksjon

T (|X_{•}|, Y) ≅ S(X_{•}, S_{•}(Y))

for X_{•} ∈ S og Y ∈ T .

Vi uttrykker dette ved å si at | − | og S_{•} er adjungerte funktorer. (Eksempler: ordnede simplekser i et polyeder, nerven N_{•}C til en kategori C.)) ((La K være et simplisial-kompleks. La K være kategorien av simplekser i K,

og inklusjoner av fasetter. Da er nerven til K den barysentriske oppdelingen K^{(1)} av K.))

((Produktformel |X × Y | ≅ |X| × |Y | i den kompakt genererte topologien.)) ((Funktorer, naturlige transformasjoner, avbildninger, homotopier.)) ((Grupper, gruppoider, klassifiserende rom og bunter, bar-konstruksjonen.)) ((Kan-komplekser, simplisiell homotopi-teori.)) ((Funksjonsrom, kartesisk lukket kategori.)) ((Simplisielle objekter i en kategori.)) ((Bisimplisielle mengder, diagonalisering.)) ((Simplisielle grupper.))