Åpne utsagn, kvantorer

La x være en variabel som tar verdier i en mengde M.

La P(x) være et åpent utsagn i variabelen x, definert for hver xM.

Allkvantor

Utsagnet

xM : P(x)

lest “for alle x i M er P(x) sann”, påstår at for hvert valg av x i M er P(x) sann. Symbolet  kalles “allkvantor”.

Dersom M = {x1, x2, ..., xn} er en endelig mengde, kan utsagnet xM : P(x) skrives som

P(x1)  P(x2)  ...  P(xn)

ved hjelp av den logiske operatoren “og”.

Eksistenskvantor

Utsagnet

xM : P(x)

lest “det eksisterer en x i M slik at P(x) sann”, påstår at det finnes (minst) ett valg av x i M slik at P(x) er sann. Symbolet  kalles “eksistenskvantor”.

Dersom M = {x1, x2, ..., xn} er en endelig mengde, kan utsagnet xM : P(x) skrives som

P(x1)  P(x2)  ...  P(xn)

ved hjelp av den logiske operatoren “eller”.

Eksempel:

Hvis M er mengden av alle sauer, og P(x) er det åpne utsagnet “sau x er hvit”, så er xM : P(x) utsagnet “alle sauer er hvite”.

Dersom det er n sauer til sammen, nummerert x1, x2, ..., xn, så kan dette også sies som at “sau x1 er hvit, og sau x2 er hvit, og ..., og sau xn er hvit”.

Utsagnet xM : P(x) sier at “det finnes (minst) en sau som er hvit”, eller ekvivalent, “sau x1 er hvit, eller sau x2 er hvit, eller ..., eller sau xn er hvit”.

Negasjon av kvantorer

Hva er negasjonen av utsagnet “alle sauer er hvite”? Ved de Morgans lov (brukt n-1 ganger):

(xM : P(x))

 (P(x1)  P(x2)  ...  P(xn))

 P(x1)  P(x2)  ...  P(xn)

 xM : P(x)

med ord: “det finnes (minst) en sau som ikke er hvit”.

For en vilkårlig mengde M og etåpent utsagn P(x) for x i M gjelder generelt at

xM : P(x)

er usann hvis og bare hvis det finnes en x i M slik at P(x) er usann, dvs. det eksisterer en x slik at P(x) er sann, som skrives

xM : P(x).

Vi har følgende logiske lov:

(xM : P(x))  xM : P(x)

Dualt holder:

(xM : P(x))  xM : P(x)

Dersom det ikke eksisterer noen x i M slik at P(x) er sann, så kan vi si at for alle x i M er P(x) usann, dvs. P(x) er sann.

Hva betyr utsagnet “alle sauer er ikke hvite”? Det kan tolkes som (1) at for hver sau x er det ikke sant at x er hvit, eller (2) at det ikke er sant at alle sauer er hvite. I normalprosa avhenger tolkningen av intonasjonen. Betydningene er ikke logisk ekvivalente:

(1) xM : P(x)

(2) (xM : P(x))

2005-02-10T09:28:11