Sammensatte funksjoner

La f : A  B og g : B  C være funksjoner, slik at kodomenet (B) til f er lik domenet (B) til g. Da er den sammensatte funksjonen gf = g o f : A  C definert, ved

(g o f)(x) = g(f(x))

for x  A. Domenet til g o f er lik domenet (A) til f, og kodomenet til g o f er lik kodomenet til g.

Selv om g o f er definert, så behøver ikke f o g være definert, for da må også A = C. Selv om både g o f og f o g er definert, så behøver de ikke være like.

Hvis h : C  D er en tredje funksjon, med domene ( C) lik kodomenet til ( C) til g, så er den sammensatte funksjonen h o g : B  D definert. Videre er de dobbelt sammensatte funksjonene

h o (g o f) = (h o g) o f

begge definert som funksjoner A  D, og de er like. For begge avbilder x  A til

h(g(f(x))).

For hver mengde A definerer vi identitetsfunksjonen på A, i = iA : A  A, ved

i(x) = x

for x  A.

For hver funksjon f : A  B har vi da at

f o i = f : A  B

der i = iA, og

i o f = f : A  B

der i =iB.

2005-02-28T09:48:31