TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER

John Rognes

20.03.01

Gruppoider

Grafer, små kategorier og gruppoider. En graf, eller en liten pre-kategori, består av en mengde objekter O, en mengde morfismer M og to funksjoner t: M → O (target) og s: M → O (source).

Vi kan danne fiberproduktene M ×_{O} M = {(f, g) | s(f) = t(g)} ⊂ M × M og M ×_{O} M ×_{O} M = {(f, g, h) | s(f) = t(g), s(g) = t(h)} ⊂ M × M × M. Disse består av komposable par eller tripler av morfismer. Det er naturlige projeksjoner p_{1}, p_{2} : M ×_{O} M → M, med p_{1}(f, g) = f, p_{2}(f, g) = g. La Δ: M → M × M være diagonalen Δ(f) = (f, f).

En liten kategori består av en graf sammen med funksjoner id: O → M (identity) og c: M ×_{O} M → M (composition). Det forutsettes at t ∘ id = 1_{O} = s ∘ id er identiteten på O, og at t ∘ c = t ∘ pr_{1} og s ∘ c = s ∘ pr_{2}. Videre forutsettes at

c ∘ (id ∘ t × 1_{M}) ∘ Δ = 1_{M} = c ∘ (1_{M} × id ∘ s) ∘ Δ

er identiteten på M, og at

c ∘ (c ×_{O} 1_{M}) = c ∘ (1_{M} ×_{O} c)

som avbildninger M ×_{O} M ×_{O} M → M.

En gruppoide er en liten kategori hvor alle morfismene er invertible. Den består av en kategori sammen med en funksjon i: M → M (inverse), slik at t ∘ i = s, s ∘ i = t, og

c ∘ (1_{M} × i) ∘ Δ = id ∘ t

og

c ∘ (i × 1_{M}) ∘ Δ = id ∘ s

som avbildninger M → M.

Kategorier med ett objekt. En graf med ett objekt kan identifiseres med morfismemengden M, som mengde.

En monoide M er en kategori med ett objekt, O = ∗. Vi identifiserer monoiden med mengden av morfismer M = M. Enhetselementet er e = id(∗) ∈ M og multiplikasjonen er c: M ×M → M, som tar (f, g) ∈ M ×M til monoide-produktet fg ∈ M.

En gruppe G er en gruppoide med ett objekt, O = ∗. Vi identifiserer gruppen med mengden av morfismer G = M. I tillegg til enhetselementet e ∈ G og multiplikasjonen c: G × G → G har gruppen også inversen i: G → G, som tar g til g^{−1}.

Typeset by AMS-TEX

En splitt gruppoide. La G være en gruppe og la X være en høyre G-mengde. Da finnes det en gruppoide med objekter O = X og morfismer M = X × G. Funksjonene t, s: X × G → X er gitt ved t(x, g) = x, s(x, g) = xg. Vi oppfatter altså (x, g) som en morfisme fra xg til x:

x ⟵^{g} xg

Vi har identifikasjoner M×_{O}M ≅ X×G×G, som tar (x, g, h) til ((x, g), (xg, h)), og tilsvarende for M×_{O} M×_{O} M ≅ X ×G×G×G. Da er p_{1}, p_{2} : X ×G×G → X ×G gitt ved p_{1}(x, g, h) = (x, g) og p_{2}(x, g, h) = (xg, h).

Gruppoiden har identitet id: X → X ×G og komposisjon c: X ×G×G → X ×G gitt ved id(x) = (x, e) og c(x, g, h) = (x, gh). Her er e ∈ G enheten i gruppen. Gruppoiden har invers i: X × G → X × G gitt ved i(x, g) = (xg, g^{−1}). En slik gruppoide kalles en splitt gruppoide.

Nerven til en kategori. Nerven til en liten kategori C er den simplisielle mengden NC: Δ^{op} → Ens som tar [q] ∈ Δ til mengden N_{q}C av funktorer [q] → C. Her oppfattes [q] som kategorien {0 ← 1 ← ⋯ ← q}. Da er

N_{q}C = {(f_{1}, …, f_{q}) ∈ M^{q} | s(f_{i}) = t(f_{i+1}) for 1 ≤ i < q}
≅ M ×_{O} M ×_{O} ⋯ ×_{O} M

Fasett-avbildningene er gitt ved

d_{q}^{i}(f_{1}, …, f_{q}) = \{ \begin{matrix}(f_{2}, …, f_{q}) & i = 0 \\ (f_{1}, …, f_{i}f_{i+1}, …, f_{q}) & 0 < i < q \\ (f_{1}, …, f_{q−1}) & i = q . \end{matrix}

Degenerasjons-avbildningene er

s_{q}^{j}(f_{1}, …, f_{q}) = (f_{1}, …, f_{j}, id(c), f_{j+1}, …, f_{q})

hvor c = s(f_{j}) = t(f_{j+1}) ∈ O.

Når C er den splitte gruppoiden assosiert til en høyre G-mengde X er N_{q}C ≅ X × G^{q} mengden av diagrammer:

x ⟵^{g_{1}} xg_{1} ⟵^{g_{2}} … ⟵^{g_{q}} xg_{1} ⋯ g_{q}

Da er NC = B(X, G) lik bar-konstruksjonen på (X, G). Dens geometriske realisering |NC| = |B(X, G)| ≅ X ×_{G} EG er Borel-konstruksjonen på X. For X = ∗ er dette lik ∗ ×_{G} EG = BG.

La H ⊂ G være grupper og Y ⊂ X mengder, slik at inklusjonen Y → X er (H → G)-ekvivariant. Anta at den induserte funksjonen

Y ×_{H} G → X

er en bijeksjon. Dette betyr at alle G-banene i X møter Y, og stabilisatoren i G til elementene i Y er inneholdt i H. Da er avbildningen B(Y, H) → B(X, G) av nervene til de tilhørende splitte gruppoidene en homotopiekvivalens:

|B(Y, H)| = Y ×_{H} EH ⟶^{≃} Y ×_{H} EG ≅ Y ×_{H} G ×_{G} EG ≅ X ×_{G} EG = |B(X, G)|

Vi vil senere fortolke dette som et ringskifte-teorem.

Hopf algebroider

Vi vil arbeide over grunnringen ℤ, men alt vi sier kan lett generaliseres til å gjelde over en vilkårlig kommutativ grunnring k. Da erstattes alle ringer og ringhomomorfier med k-algebraer og k-algebra-homomorfier, og alle tensor-produkter dannes over k.

Hopf algebroider. For kommutative ringer (alltid assosiative med enhet) A, R, la Hom(A, R) = {f: A → R} være mengden av ring-homomorfier fra A til R. Vi sier at funktoren R ↦ Hom(A, R) fra kommutative ringer til mengder er korepresentert av A.

Anta gitt to kommutative ringer A, Γ og ring-homomorfier η_{L}, η_{R}: A → Γ (left unit, right unit). For hver kommutativ ring R er O = Hom(A, R) og M = Hom(Γ, R) mengdene av objekter og morfismer i en graf, med t, s: Hom(Γ, R) → Hom(A, R) gitt ved prekomposisjon med henholdvis η_{L} og η_{R}. Så t(f) = f ∘ η_{L} og s(f) = f ∘ η_{R}. Vi kaller η_{L} venstre-enheten og η_{R} høyre-enheten.

Strukturen (A, Γ, η_{L}, η_{R}) korepresenterer grafer.

Vi oppfatter Γ som en A-bimodul, med venstre A-modulstruktur fra venstreenheten η_{L}: A → Γ, og med høyre A-modulstruktur fra høyre-enheten η_{R}: A → Γ. Vi kan danne tensor-produktene Γ ⊗_{A} Γ og Γ ⊗_{A} Γ ⊗_{A} Γ med hensyn på denne A-bimodulstrukturen. Det er naturlige ring-homomorfier i_{1}, i_{2} : Γ → Γ ⊗_{A} Γ, gitt ved i_{1}(x) = x ⊗ 1 og i_{2}(x) = 1 ⊗ x. Ekvivalent er i_{1} = 1 ⊗ η_{L} sammensetningen

Γ ≅ Γ ⊗_{A} A ⟶^{1⊗η_{L}} Γ ⊗_{A} Γ

og i_{2} = η_{R} ⊗ 1. La ϕ: Γ ⊗ Γ → Γ være ringproduktet ϕ(a ⊗ b) = ab.

Anta videre gitt ring-homomorfier ϵ: Γ → A (counit) og ψ: Γ → Γ⊗_{A} Γ (coproduct), slik at ϵη_{L} = 1_{A} = ϵη_{R} er identiteten på A, og at ψη_{L} = i_{1}η_{L} og ψη_{R} = i_{2}η_{R}. Videre forutsettes at

ϕ(η_{L}ϵ ⊗ 1_{Γ})ψ = 1_{Γ} = ϕ(1_{Γ} ⊗ η_{R}ϵ)ψ

er identiteten på Γ, og at

(ψ ⊗ 1_{Γ})ψ = (1_{Γ} ⊗ ψ)ψ .

Da er grafen en liten kategori, med enhet id: Hom(A, R) → Hom(Γ, R) gitt ved prekomposisjon med ϵ, og komposisjon

c: Hom(Γ, R) ×_{Hom(A,R)} Hom(Γ, R) ≅ Hom(Γ ⊗_{A} Γ, R) → Hom(Γ, R)

gitt ved prekomposisjon med ψ. Så id(f) = f ∘ ϵ og c(f, g) = (f ⊗ g) ∘ ψ. Dersom ψ(x) = ∑_{i} x′_{i} ⊗ x′′_{i} i Γ ⊗_{A} Γ er c(f, g)(x) = ∑_{i} f(x′_{i})g(x′′_{i}), der produktet dannes i R. Strukturen (A, Γ, η_{L}, η_{R}, ϵ, ψ) korepresenterer små kategorier.

Til slutt, anta gitt en ring-homomorfi χ: Γ → Γ (conjugation) slik at χη_{L} = η_{R}, χη_{R} = η_{L}, og

ϕ(1_{Γ} ⊗ χ)ψ = η_{L} ∘ ϵ

og

ϕ(χ ⊗ 1_{Γ})ψ = η_{R} ∘ ϵ

som ring-homomorfier Γ → Γ, for passende faktoriseringer Γ⊗_{A} Γ → Γ av ϕ(1_{Γ} ⊗χ) og ϕ(χ ⊗ 1_{Γ}) over Γ ⊗ Γ → Γ ⊗_{A} Γ.

Da er den lille kategorien en gruppoide, med invers i: Hom(Γ, R) → Hom(Γ, R) gitt ved prekomposisjon med χ. Så i(f) = f ∘ χ. Strukturen (A, Γ, η_{L}, η_{R}, ϵ, ψ, χ) korepresenterer gruppoider.

Definisjon. En Hopf algebroide er et par av kommutative ringer (A, Γ), med strukturavbildninger η_{L}, η_{R}: A → Γ, ϵ: Γ → A, ψ: Γ → Γ ⊗_{A} Γ og χ: Γ → Γ som oppfyller betingelsene ovenfor.

Referanse: [Ra86, A1].

Lemma. Gitt en Hopf algebroide (A, Γ) og en kommutativ ring R er (O, M) en gruppoide, med O = Hom(A, R), M = Hom(Γ, R) og strukturavbildinger gitt som ovenfor.

Hopf algebraer. En Hopf algebroide (A, Γ) med A = ℤ (grunn-ringen) kalles en (kommutativ) Hopf algebra Γ. Da er η_{L} = η_{R}: ℤ → Γ den entydige ringhomomorfien, mens augmentasjonen ϵ: Γ → ℤ, koproduktet ψ: Γ → Γ ⊗ Γ og konjugasjonen χ: Γ → Γ er gitt som ekstra struktur.

Hopf algebroider korepresenterer grupper, i den forstand at for hver kommutativ ring R er G = Hom(Γ, R) en gruppe med enhet, produkt og invers indusert av ϵ, ψ og χ.

Splitte Hopf algebroider. La G være en endelig gruppe og X en høyre Gmengde. Den tilhørende splitte gruppoiden med O = X og M = X × G er korepresentert over ℤ av en Hopf algebroide (A, Γ), der A = {a: X → ℤ} og Γ = {X × G → ℤ} ≅ C^{1}(G; A).

Her er A ringen av heltallsfunksjoner på X og Γ er ringen av heltallsfunksjoner på X × G, som identifiseres med ringen C^{1}(G; A) = {f: G → A} av funksjoner fra G til A, oppfattet som 1-kokjeder på G med verdier i A. Mer generelt skriver vi C^{q}(G; A) for ringen av funksjoner fra G^{q} til A, oppfattet som q-kokjeder på G med verdier i A. Høyre-virkningen av G på X gir en venstre-virkning av G på A, ved (ga)(x) = a(xg), for g ∈ G, a ∈ A, x ∈ X.

Det er en naturlig avbildning C^{1}(G; A)⊗_{A} C^{1}(G; A) → C^{2}(G; A), som tar f_{1} ⊗f_{2} til (x, g, h) ↦ f_{1}(x, g)f_{2}(xg, h), oppfattet som 2-kokjede G^{2} → A. Dette er en isomorfi for G endelig, så koproduktet ψ: C^{1}(G; A) → C^{1}(G; A) ⊗_{A} C^{1}(G; A) kan like godt defineres som en avbildining C^{1}(G; A) → C^{2}(G; A).

Strukturavbildningene i Hopf algebroiden (A, C^{1}(G; A)) er da som følger:

η_{L}(a): g ↦ a
η_{R}(a): g ↦ ga
ϵ(f) = f(e)
ψ(f): (g, h) ↦ f(gh)
χ(f): g ↦ f(g^{−1})

for g, h ∈ G, a ∈ A og f ∈ C^{1}(G; A).

Mer generelt definerer disse formlene en Hopf algebroide (A, C^{1}(G; A)) for enhver kommutativ ring A og endelig gruppe G som virker fra venstre på A gjennom ringhomomorfier.

Slike Hopf algebroider er eksempler på splitte Hopf algebroider:

((Definer en Hopf algebroide komodul.))

Definition. En Hopf algebroide kalles splitt dersom den har formen (A, A ⊗ Γ) for en Hopf algebra Γ og en Γ-komodul-algebra A.

Dersom G = lim_{α} G_{α} er en profinitt gruppe med G_{α} = G/U_{α} endelig for hver α, og A = colim_{α} A^{U_{α}} er en diskret G-modul, så er (A, C_{c}^{1}(G; A)) også en Hopf algebroide, der

C_{c}^{1}(G; A) = colim_{α} C^{1}(G_{α}; A^{U_{α}})

er de kontinuerlige 1-kosyklene.

Kobar-komplekset. En Hopf algebroide (A, Γ) korepresenterer en gruppoide C = (O, M) over hver kommutativ ring R. Nerven NC til denne gruppoiden er en simplisiell mengde. Denne er korepresentert av en kosimplisiell kommutativ ring

[q] ↦ Γ ⊗_{A} Γ ⊗_{A} ⋯ ⊗_{A} Γ

med q faktorer Γ.

Kofasett-avbildningene er gitt ved

d_{i}^{q}(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{q−1}) = \{ \begin{matrix}i_{2}(x_{1}) ⊗ x_{2} ⊗ ⋯ ⊗ x_{q−1} & i = 0 \\ x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ψ(x_{i}) ⊗ ⋯ ⊗ x_{q−1} & 0 < i < q \\ x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{q−2} ⊗ i_{1}(x_{q−1}) & i = q . \end{matrix}

Kodegenerasjons-avbildningene er

s_{j}^{q}(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{q+1}) = (x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ϵ(x_{j+1}) ⊗ ⋯ ⊗ x_{q+1})

for 0 ≤ j ≤ q.

Det tilhørende kokjedekomplekset C^{∗}(A, Γ) kalles kobar-komplekset til Hopf algebroiden (A, Γ) [Ra86, A1.2.11]. I grad q er er

C^{q}(A, Γ) = Γ ⊗_{A} Γ ⊗_{A} ⋯ ⊗_{A} Γ

med q faktorer Γ. Korand-avbildningen er

d^{q−1} = ∑_{i=0}^{q}(−1)^{i}d_{i}^{q}: C^{q−1}(A, Γ) → C^{q}(A, Γ) .

Kohomologien av dette komplekset er per definisjon Hopf algebroide kohomologien til (A, Γ):

H^{n}(A, Γ) = H^{n}(C^{∗}(A, Γ), d^{∗})

Dersom Γ er flat som (venstre ⇔ høyre) A-modul er det en abelsk kategori av Γ-komoduler over A, med nok injektive objekter, så man kan definere Ext-grupper Ext_{Γ}^{∗}(−, −). Da er det en isomorfi

H^{n}(A, Γ) ≅ Ext_{Γ}^{n}(A, A)

for alle n ≥ 0.

Kobar-komplekset til (A, Γ) begynner altså

A ⟶^{d^{0}} Γ ⟶^{d^{1}} Γ ⊗_{A} Γ ⟶ ….

Her er d^{0}(a) = η_{R}(a) − η_{L}(a), og d^{1}(x) = 1 ⊗ x − ψ(x) + x ⊗ 1. Så

H^{0}(A, Γ) = {a ∈ A | η_{L}(a) = η_{R}(a)}

er Γ-invariantene i A, mens ker(d^{1}) er de primitive elementene i Γ.

For en endelig gruppe G og en venstre G-modul A er det naturlige isomorfier

C^{1}(G; A) ⊗_{A} ⋯ ⊗_{A} C^{1}(G; A) ≅ C^{q}(G; A) ,

med q faktorer C^{1}(G; A) til venstre. Derfor er (Hopf algebroide) kobar-komplekset C^{∗}(A, C^{1}(G; A)) isomorft med (gruppe) kokjede-komplekset C^{∗}(G; A). Altså er Hopf algebroide kohomologien H^{∗}(A, C^{1}(G; A)) isomorf med gruppe-kohomologien H^{∗}(G; A).

Også for en profinitt gruppe G og en diskret venstre G-modul A er Hopf algebroide kohomologien til (A, C_{c}^{1}(G; A)) isomorf med den kontinuerlige gruppekohomologien H_{c}^{∗}(G; A) til G med koeffisienter i A.

Formelle gruppelover

La R være en kommutativ ring. En (kommutativ, 1-parameter) formell gruppelov F definert over R er en formell potensrekke F (z_{1}, z_{2}) ∈ R[[z_{1}, z_{2}]] slik at F (F (z_{1}, z_{2}), z_{3}) = F (z_{1}, F (z_{2}, z_{3})), F (z_{1}, z_{2}) = F (z_{2}, z_{1}) og F (z_{1}, 0) = z_{1}. Da har F formen

F (z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} + ∑_{i,j≥1} a_{ij}z_{1}^{i}z_{2}^{j}

for elementer a_{ij} ∈ R, i, j ≥ 1.

La F, G være formelle gruppelover definert over R. En homomorfi f: F → G av formelle gruppelover definert over R er en formell potensrekke f(z) ∈ R[[z]] med f(0) = 0, slik at f(F (z_{1}, z_{2})) = G(f(z_{1}), f(z_{2}). Da har f formen

f(z) = ∑_{i≥0} b_{i}z^{i+1}

for elementer b_{i} ∈ R, i ≥ 0.

Det er en kategori av formelle gruppelover definert over R, der komposisjonen gf: F → H av to homomorfier g: G → H og f: F → G er gitt ved sammensetningen av potensrekker (gf)(z) = g(f(z)). En homomorfi f: F → G er en isomorfi i denne kategorien hvis og bare hvis b_{0} = f′(0) er en enhet i R. Den inverse formelle potensrekken til f(z) skrives da f^{−1}(z). Vi sier at f er en strikt isomorfi dersom b_{0} = f′(0) = 1.

La F GL(R) ⊂ R[[z_{1}, z_{2}]] være mengden av formelle gruppelover over R, og la SI(R) ⊂ R[[z]] være mengden av formelle potensrekker som definerer strikte isomorfier. Da er SI(R) en gruppe under komposisjon, og virker fra høyre på F GL(R) ved F · f = F^{f} der F^{f}(z_{1}, z_{2}) = f^{−1}(F (f(z_{1}), f(z_{2}))). Da er f en strikt isomorfi f: F^{f} → F.

Kategorien av formelle gruppelover og strikte isomorfier over R er altså den splitte gruppoiden (F GL(R), F GL(R) × SI(R)).

Gitt en ring-homomorfi ϕ: R → T, en formell gruppelov F (z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} + ∑_{i,j≥1} a_{ij}z_{1}^{i}z_{2}^{j} over R og en homomorfi f(z) = ∑_{i≥0} b_{i}z^{i+1} over R, la ϕ_{∗}F være den formelle gruppeloven ϕ_{∗}F (z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} + ∑_{i,j≥1} ϕ(a_{ij})z_{1}^{i}z_{2}^{j} over T, og la ϕ_{∗}f være homomorfien ϕ_{∗}f(z) = ∑_{i≥0} ϕ(b_{i})z^{i+1} over T. Hvis f: F → G vil ϕ_{∗}f: ϕ_{∗}F → ϕ_{∗}G.

Mengden F GL(R) av formelle gruppelover er korepresentert av Lazard-ringen L. Per definisjon er L = P/I, der P = ℤ[a_{ij} | i, j ≥ 1]. Vi lar F (z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} + ∑_{i,j≥1} a_{ij}z_{1}^{i}z_{2}^{j} ∈ P [[z_{1}, z_{2}]] og skriver F (F (z_{1}, z_{2}), z_{3}) − F (z_{1}, F (z_{2}, z_{3})) = ∑_{i,j,k} b_{ijk}z_{1}^{i}z_{2}^{j}z_{3}^{k} med b_{ijk} ∈ P. Da er I det to-sidige idealet generert av b_{ijk} og a_{ij} − a_{ji} for alle i, j, k. Vi skriver a_{ij} ∈ L også for bildet av a_{ij} ∈ P. Da er F (z_{1}, z_{2}) ∈ L[[z_{1}, z_{2}]] en formell gruppelov over L.

Det er en bijeksjon Hom(L, R) ≅ F GL(R) som tar ϕ: L → R til ϕ_{∗}F. Lazardringen L er gradert, med a_{ij} i grad 2(i + j − 1). Dersom z_{1} og z_{2} gis grad −2 er F (z_{1}, z_{2}) også av grad −2. For graderte ringer R er det en bijeksjon mellom gradsbevarende ringhomomorfier L → R og grad −2 formelle gruppelover over R.

Det kan vises at L ≅ ℤ[x_{i} | i ≥ 1], med x_{i} i grad 2i.

Gruppen SI(R) av strikte isomorfier er korepresentert av en Hopf algebra B = ℤ[b_{i} | i ≥ 1]. Det er en bijeksjon Hom(B, R) ≅ SI(R) som tar ψ: B → R til f(z) = z + ∑_{i≥1} ψ(b_{i})z^{i+1} ∈ R[[z]]. Hopf algebraen B er gradert, med b_{i} i grad 2i. Dersom z gis grad −2 har f(z) også grad −2. For graderte ringer R er det en bijeksjon mellom gradsbevarende ringhomomorfier B → R og grad −2 formelle potensrekker som definerer strikte isomorfier over R.

Enheten i SI(R) svarer til koenheten ϵ: B → ℤ med b_{i} ↦ 0 for alle i ≥ 1. Gruppe-produktet i SI(R) svarer til koproduktet ψ: B → B ⊗_{ℤ} B, gitt ved

∑_{k≥0} ψ(b_{k}) = ∑_{i≥0} b_{i} ⊗ (∑_{j≥0} b_{j})^{i+1} .

Her har b_{i} grad 2i, b_{0} leses som 1, og ψ(b_{k}) er gitt ved å regne ut høyresiden i grad 2k. Gruppe-inversen i SI(R) svarer til konjugasjonen χ: B → B, som er bestemt av

∑_{i≥0} χ(b_{i}) (∑_{j≥0} b_{j})^{i+1} = 1 .

Tensor-produktet LB = L ⊗_{ℤ} B ≅ L[b_{k} | k ≥ 1] korepresenterer par (F, f), der F er en formell gruppelov og f er en formell potensrekke, som kan oppfattes som en strikt isomorfi f: F^{f} → F. Dette er nettopp morfismene i kategorien av formelle gruppelover og strikte isomorfismer. La ι: B → LB og η_{L}: L → LB være inklusjonene i tensorproduktet.

Høyre-enheten η_{R}: L → LB, som gir B-komodul-strukturen på L, kan spesifiseres som følger. La F være Lazards formelle gruppelov over L, oppfattet som definert over LB via inklusjonen η_{L}: L → LB, og la f(z) = z + ∑_{i≥1} b_{i}z^{i+1} være en formell potensrekke, definert over LB via inklusjonen ι: B → LB. Da er F^{f}(z_{1}, z_{2}) = f^{−1}(F (f(z_{1}), f(z_{2}))) en formell gruppelov over LB, og som sådan korepresentert av en ring homomorfi L → LB. Dette er høyre-enheten η_{R}: L → LB.

Proposisjon. Det er en splitt gradert Hopf algebroide (L, LB), som korepresenterer kategorien av formelle gruppelover og strikte isomorfier.

En ring-homomorfi ψ: LB → R klassifiserer en strikt isomorfi f: F^{f} → F, der den formelle potensrekken f er klassifisert av ψι, den formelle gruppeloven F er klassifisert av ψη_{L}, og den formelle gruppeloven F^{f} er klassifisert av ψη_{R}.

Hvis vi neglisjerer graderingen, er L = ℤ[x_{i} | i ≥ 1] ringen av regulære funksjoner på et uendelig-dimensjonalt affint rom 𝔸_{ℤ}^{∞} = Spec L, og Γ = SI(ℤ) = Hom(B, ℤ) er gruppen av heltallige potensrekker

f(z) = z + ∑_{i≥1} b_{i}z^{i+1} ∈ ℤ[[z]]

under komposisjon. Et punkt i L definert over ℤ svarer til en ring-homomorfi L → ℤ, som igjen svarer til en formell gruppelov F definert over ℤ. Gruppen Γ virker fra høyre på punktene i Spec L, ved F · f = F^{f}. Banene til denne virkningen er de strikte isomorfiklassene av formelle gruppelover definert over ℤ.

Referanse: [Ra92, B.4].

Flate ringspektra

La E være et kommutativt ringspektrum (alltid assosiativt og unitalt), med enhet η: S → E og multiplikasjon μ: E ∧ E → E. Da er E_{∗} = π_{∗}(E) og E_{∗}E = π_{∗}(E ∧ E) graderte kommutative ringer.

Avbildningen 1 ∧ η: E ≅ E ∧ S → E ∧ E induserer en venstre enhet η_{L}: E_{∗} → E_{∗}E, mens avbildningen η ∧ 1: E ≅ S ∧ E → E ∧ E induserer en høyre enhet η_{R}: E_{∗} → E_{∗}E.

Vi antar at E er et flatt ringspektrum, dvs. at E_{∗}E er flat som venstre E_{∗}-modul. (Dette er ekvivalent med at E_{∗}E er flat som høyre E_{∗}-modul.)

Avbildningen 1 ∧ μ ∧ 1: (E ∧ E) ∧ (E ∧ X) → E ∧ E ∧ X induserer da en isomorfi

E_{∗}E ⊗_{E_{∗}} E_{∗}(X) ⟶^{≅} π_{∗}(E ∧ E ∧ X)

[Ra86, 2.2.7], og avbildningen 1 ∧ η ∧ 1: E ∧ X ≅ E ∧ S ∧ X → E ∧ E ∧ X induserer en kovirkning

ν: E_{∗}(X) → E_{∗}E ⊗_{E_{∗}} E_{∗}(X)

som gjør E_{∗}(X) til en E_{∗}E-komodul. Spesielt, for X = E har vi koproduktet

ψ: E_{∗}E → E_{∗}E ⊗_{E_{∗}} E_{∗}E .

Multiplikasjonen μ: E ∧ E → E induserer koenheten ϵ: E_{∗}E → E_{∗}, og twistavbildningen τ: E ∧ E → E ∧ E induserer konjugasjonen χ: E_{∗}E → E_{∗}E.

Proposisjon [Ra86, 2.2.8]. La E være et flatt kommutativt ringspektrum. Da er (E_{∗}, E_{∗}E) en gradert Hopf algebroide, med strukturavbildninger som gitt ovenfor.

For eksempel, når E = H𝔽_{p} er E_{∗} = 𝔽_{p} i grad 0 og E_{∗}E = A_{∗} er den duale mod p Steenrod algebraen. Dette er en Hopf algebra over grunnringen 𝔽_{p}.

Når E = Hℤ er E_{∗}E ⊂ A_{∗} ikke flat over E_{∗} = ℤ i grad 0.

La E være som i proposisjonen. For et spektrum X er E_{∗}(X) en E_{∗}E-komodul, og kategorien av E_{∗}E-komoduler er abelsk med nok injektiver. Det finnes da en E_{∗}-Adams spektralsekvens for X med

E_{2}^{s,t} = Ext_{E_{∗}E}^{s,t}(E_{∗}, E_{∗}(X)) ⟹ π_{t−s}(X) .

Her beregnes Ext i kategorien av E_{∗}E-komoduler. For E = H𝔽_{p} er dette den klassiske mod p Adams spektralsekvensen. Ext i kategorien av A_{∗}-komoduler er da identifisert med Ext i kategorien av A-moduler. For E = MU er dette Adams– Novikov spektralsekvensen, som med X = S har E_{2}-ledd lik E_{2}^{∗∗} = Ext_{LB}^{∗∗}(L, L) = H^{∗}(L, LB), og konvergerer sterkt mot π_{∗}(S).

Vi går her ikke inn på hvilke betingelser på E og X som sikrer konvergens i E_{∗}-Adams spektralsekvensen for X.

Referanse: [Ra86, 2.2].

Komplekst orienterte teorier

((Strikt kompleks orientering gir grad −2 formell gruppelov; avbildning MU → E av ringspektra; morfisme (MU_{∗}, MU_{∗}MU) → (E_{∗}, E_{∗}E) av Hopf algebroider.))

Referanse: [Ad74, II].

Kompleks bordisme

Milnor og Novikov bestemte den komplekse bordismeringen MU_{∗} ≅ ℤ[x_{i} | i ≥ 1], med x_{i} i grad 2i. Landweber og Novikov bestemte MU_{∗}MU ≅ MU_{∗}[b_{k} | k ≥ 1], med b_{k} i grad 2k. Da er MU et flatt kommutativt ringspektrum, og Hopf algebroiden (MU_{∗}, MU_{∗}MU) er kjent.

Den strikte komplekse orienteringen ω ∈ M̃U^{2}(ℂP^{∞}) av MU gir en formell gruppelov over MU_{∗}, klassifisert av en ring-homomorfi L → MU_{∗}. Avbildningene MU ≅ MU ∧ S → MU ∧ MU og MU ≅ S ∧ MU → MU ∧ MU tar ω til to

komplekse orienteringer ω_{L}, ω_{R} ∈ { \atop MU ∧ MU}^{2}(ℂP^{∞}), som er strikt isomorfe under konjugasjonen indusert av τ: MU ∧ MU ≅ MU ∧ MU. Denne strikte isomorfien er klassifisert av en ring-homomorfi LB → MU_{∗}MU.

Quillen viste at L → MU_{∗} og LB → MU_{∗}MU gir en isomorfi av Hopf algebroider (L, LB) ≅ (MU_{∗}, MU_{∗}MU).

Landweber eksakte spektra

En gradert MU_{∗}-modul R_{∗} bestemmer en homotopifunktor

X ↦ R_{∗}(X) = R_{∗} ⊗_{MU_{∗}} MU_{∗}(X) .

Dette er en homologiteori dersom R_{∗} er Landweber eksakt, dvs. at for hvert primtall p virker (p, v_{1}, …, v_{n}, …) som en regulær sekvens på R_{∗}.

Med notasjonen I_{n} = (p, v_{1}, …, v_{n−1}) betyr dette at for hvert primtall p og hver n ≥ 0 er multiplikasjon med v_{n}

Σ^{2(p^{n}−1)}R_{∗}/I_{n} ⟶^{v_{n}} R_{∗}/I_{n}

en injektiv homomorfi. Da finnes det et representerende spektrum R for homologiteorien R_{∗}(X), med R_{∗}(X) = π_{∗}(R ∧ X).

En homomorfi R_{∗} → T_{∗} av Landweber eksakte MU_{∗}-moduler gir en naturlig transformasjon R_{∗}(X) → T_{∗}(X) av homologiteorier, som er indusert av en avbildning R → T av representerende spektra, i den stabile kategorien.

Dersom R_{∗} er en MU_{∗}-algebra klassifiserer enhetshomomorfien MU_{∗} → R_{∗} en grad −2 formell gruppelov F over R_{∗}. Da skriver vi

R_{∗}^{F} (X) = R_{∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}(X)

for å fremheve hvordan R_{∗} er gitt som en MU_{∗}-algebra.

Gitt to grad −2 formelle gruppelover G = F^{f}, F over R_{∗} klassifisert av to ringhomomorfier L ≅ MU_{∗} → R_{∗}, som er strikt isomorfe via en strikt isomorfi f: G = F^{f} → F klassifisert av en ring-homomorfi ψ: LB ≅ MU_{∗}MU → R_{∗}, så er det en naturlig isomorfi f^{∗}: R_{∗}^{F} (X) ≅ R_{∗}^{G}(X) gitt som sammensetningen

R_{∗}⊗_{MU_{∗}}^{F}MU_{∗}(X) ⟶^{1⊗ν} R_{∗}⊗_{MU_{∗}}^{F}MU_{∗}MU⊗_{MU_{∗}}MU_{∗}(X) ⟶^{ψ⊗1} R_{∗}⊗_{MU_{∗}}^{G}MU_{∗}(X) .

Her er ν kovirkningen av MU_{∗}MU på MU_{∗}(X), og ψ: R_{∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}MU → R_{∗} er gitt som produktet av identiteten på R_{∗} og ψ: MU_{∗}MU → R_{∗}.

Dersom R_{∗} er Landweber eksakt for begge MU_{∗}-algebra strukturene gir dette en naturlig ekvivalens f^{∗}: R_{∗}^{F} (X) → R_{∗}^{G}(X) av homologi-teorier, som er indusert av en avbildning R^{F} → R^{G} av representerende spektra, i den stabile kategorien.

Dersom f: G = F^{f} → F er en ikke strikt isomorfi, men R_{∗} har formen R_{∗} = R_{0}[u, u^{−1}] for en enhet u i grad 2, kan man også definere en naturlig ekvivalens f^{∗}: R_{∗}^{F} (X) → R_{∗}^{G}(X), som skalerer u med f′(0) = b_{0}. Se [Re98, 6.7] for detaljene.

Lubin–Tate deformasjonsteori

La k være en kropp og la Γ = Γ(z_{1}, z_{2}) ∈ k[[z_{1}, z_{2}]] være en formell gruppelov over k.

En lokal-komplett ring B er en kommutativ ring med et eneste maksimalt ideal 𝔪, slik at B ≅ lim_{n} B/𝔪^{n}. La π: B → B/𝔪 være den kanoniske homomorfien til restkroppen B/𝔪.

Definisjon. En deformasjon av (k, Γ) til B er et par (G, i) der G er en formell gruppelov over B, og i: k → B/𝔪 er en homomorfi, slik at i_{∗}Γ = π_{∗}G.

To deformasjoner (G_{1}, i) og (G_{2}, i) av (k, Γ) til B er ⋆-isomorfe dersom det finnes en isomorfi f: G_{1} → G_{2} av formelle gruppelover over B, slik at π_{∗}f: π_{∗}G_{1} → π_{∗}G_{2} er identiteten av i_{∗}Γ. Så f ∈ B[[z]] oppfyller f(0) = 0 og f(z) ≡ z mod 𝔪. Vi kaller f en ⋆-isomorfi.

Vi kan oppfatte Spec B som en omegn om punktet Spec B/m. Da er en deformasjon (G, i) en utvidelse av den formelle gruppeloven i_{∗}Γ i punktet Spec B/𝔪 til omegnen Spec B, og en ⋆-isomorfi mellom to utvidelser er en isomorfi som er identiteten restriktert til Spec B/𝔪.

Det er en gruppoide Def_{Γ}(B) av deformasjoner av (k, Γ) til B og ⋆-isomorfier mellom slike. La π_{0} Def_{Γ}(B) være mengden av isomorfiklasser i denne gruppoiden, dvs. mengden av ⋆-isomorfiklasser av deformasjoner av (k, Γ) til B. Dette er lik π_{0} av nerven til Def_{Γ}(B).

Teorem (Lubin–Tate). La k være en kropp i karakteristikk p > 0, og la Γ være en formell gruppelov over k av høyde n < ∞. Da er funktoren B ↦ π_{0} Def_{Γ}(B) er korepresentabel:

Det finnes en lokal-komplett ring LT (k, Γ) med restkropp LT (k, Γ)/𝔪 = k, og en formell gruppelov F over LT (k, Γ) med π_{∗}F = Γ, slik at (F, id) er en deformasjon av (k, Γ) til LT (k, Γ).

Da er det en bijeksjon Hom(LT (k, Γ), B) ≅ π_{0} Def_{Γ}(B), som tar ϕ: LT (k, Γ) → B til ⋆-isomorfiklassen til (ϕ_{∗}F, ϕ̄). Her er ϕ̄: k → B/𝔪 reduksjonen av ϕ modulo det maksimale idealet.

Vi kaller LT (k, Γ) Lubin–Tate ringen til (k, Γ), og sier at (F, id) er den universelle deformasjonen av (k, Γ). Spesielt er F den universelt deformerte formelle gruppeloven.

((Litt om homomorfier av lokale ringer ?))

Dette betyr at gitt en deformasjon (G, i) av (k, Γ) til B så finnes det en entydig ring-homomorfi ϕ: LT (k, Γ) → B med ϕ̄ = i, og en ⋆-isomorfi g: G → ϕ_{∗}F. Lubin– Tate viser videre at i dette tilfellet er ⋆-isomorfien g også entydig bestemt av (G, i).

Gruppevirkninger. La f̄: Γ → Γ være en automorfi av den formelle gruppeloven Γ, definert over k. La f ∈ LT (k, Γ)[[z]] med f(0) = 0 være en løftning av f̄ ∈ k[[z]], så π_{∗}f = f̄. Da er f: F^{f} → F en isomorfi av formelle gruppelover over LT (k, Γ), og (F^{f}, id) er en deformasjon av (k, Γ) til LT (k, Γ).

Altså finnes det en ringhomomorfi ϕ: LT (k, Γ) → LT (k, Γ) med ϕ̄ = id, og en ⋆-isomorfi g: F^{f} → ϕ_{∗}F. Her er ϕ og den sammensatte isomorfien gf^{−1} : F → ϕ_{∗}F entydig bestemt av f̄. Tilordningen f̄ ↦ ϕ definerer en virkning av automorfigruppen Aut(k, Γ) på den korepresenterende ringen LT (k, Γ).

Hvis Γ er definert over en underkropp k_{0} ⊂ k, så virker også Galois-gruppen Gal(k/k_{0}) på LT (k, Γ): La σ: k → k være en automorfi av k over k_{0}. Siden Γ er definert over k_{0} er σ_{∗}Γ = Γ. Da er (F, σ) en deformasjon av (k, Γ) til LT (k, Γ).

Altså finnes det en ringhomomorfi ψ: LT (k, Γ) → LT (k, Γ) med ψ̄ = σ, og en ⋆- isomorfi h: F → ψ_{∗}F. Tilordningen σ ↦ ψ definerer en virkning av Galois-gruppen Gal(k/k_{0}) på den korepresenterende ringen LT (k, Γ).

Moravas eksempler. La nå k = 𝔽_{p^{n}} være kroppen med p^{n} elementer. Denne kan dannes som en grad n utvidelse av 𝔽_{p} = ℤ/p ved å føye til en primitiv (p^{n} − 1)-te rot av enheten. La Γ = F_{n} være Hondas formelle gruppelov av høyde n, som er definert over k_{0} = 𝔽_{p} ⊂ 𝔽_{p^{n}}. Denne har p-rekke [p]_{F_{n}}(z) = z^{p^{n}}.

I dette tilfellet er Lubin–Tate ringen LT (k, Γ) = 𝕎𝔽_{p^{n}}[[u_{1}, …, u_{n−1}]]. Her er 𝕎𝔽_{p^{n}} Witt ringen til 𝔽_{p^{n}}, som er en uramifisert grad n utvidelse av 𝕎𝔽_{p} = ℤ_{p}, dvs. ringen av p-adiske heltall. Gitt ℤ_{p} = lim_{n} ℤ/p^{n} kan 𝕎𝔽_{p^{n}} konstrueres ved å føye til en primitiv (p^{n} − 1)-te rot av enheten.

Det maksimale idealet i 𝕎𝔽_{p^{n}} er 𝔪 = (p), med restkropp 𝔽_{p^{n}}. Det maksimale idealet i 𝕎𝔽_{p^{n}}[[u_{1}, …, u_{n−1}]] er 𝔪 = (p, u_{1}, …, u_{n−1}), også med restkropp 𝔽_{p^{n}}. Dette er lokal-komplette ringer.

Definisjon. Gruppen Aut(𝔽_{p^{n}}, F_{n}) ⊂ 𝔽_{p^{n}}[[z]] av automorfier av F_{n} definert over 𝔽_{p^{n}} kalles den n-te Morava stabilisatorgruppen 𝕊_{n}. Dette er en profinitt gruppe. Lubin–Tate ringen

LT (𝔽_{p^{n}}, F_{n}) = 𝕎𝔽_{p^{n}}[[u_{1}, …, u_{n−1}]]

kalles kort E_{n0}. Galois-gruppen C_{n} = Gal(𝔽_{p^{n}}/𝔽_{p}) virker på 𝕊_{n} ved konjugasjon, og gruppen 𝔾_{n} = 𝕊_{n} ⋊ C_{n} virker naturlig på E_{n0}.

Teorem (Dieudonné, Lubin). La D_{n} være divisjonsalgebraen med senter ℚ_{p} og invariant 1/n. Da er 𝕊_{n} isomorf med gruppen av enheter i det maksimale orden O_{n} i D_{n}.

Eksempel. Med n = 1 er Hondas høyde 1 formelle gruppelov Γ = F_{1} gitt ved den multiplikative formelle gruppeloven F_{1}(z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} + z_{1}z_{2}. Automorfiene av F_{1} over 𝔽_{p} er de formelle potensrekkene f(z) ∈ 𝔽_{p}[[z]] med f(0) = 0, f′(0) ≠ 0 og f((1 + z_{1})(1 + z_{2}) − 1) = (1 + f(z_{1}))(1 + f(z_{2}) − 1. Dette er de p-adiske k-rekkene [k]_{F_{1}}(z) = (1 + z)^{k} − 1 = ∑_{i≥1} \binom{k}{i}z^{i}, med p ∤ k. Her er

\binom{k}{i} = \frac{k(k − 1) · . . . · (k − i + 1)}{i(i − 1) · . . . · 1}

definert for alle k. Derfor er 𝕊_{1} = Aut(𝔽_{p}, F_{1}) ≅ ℤ_{p}^{∗}.

Lubin–Tate ringen er LT (𝔽_{p}, F_{1}) = 𝕎𝔽_{p} = ℤ_{p} = E_{10}, og den universelt deformerte formelle gruppeloven F er lik den multiplikative formelle gruppeloven over ℤ_{p}. Virkningen av 𝕊_{1} på ℤ_{p} er triviell, for hver k-rekke i Aut(𝔽_{p}, F_{1}) virker som automorfier også på den universelle deformasjonen F, så hver ringhomomorfi ϕ: ℤ_{p} → ℤ_{p} er identiteten.

Dette eksempelet vil senere realiseres som E_{10} = π_{0}(E_{1}) av spekteret E_{1} = KU_{p}^{∧}, med virkningen av de p-adiske Adams-operasjonene ψ^{k} på p-komplett topologisk K-teori.

Morava teoriene E_{n}

Den (ugraderte) universelt deformerte formelle gruppeloven F over LT (𝔽_{p^{n}}, F_{n}) kan utvides til en grad −2 formell gruppelov over

E_{n∗} = LT (𝔽_{p^{n}}, F_{n})[u, u^{−1}] = 𝕎𝔽_{p^{n}}[[u_{1}, …, u_{n−1}]][u, u^{−1}] ,

med u i grad 2. Med z_{1}, z_{2} i grad −2 er uz_{1}, uz_{2} i grad 0, og vi setter F (z_{1}, z_{2}) = u^{−1}F (uz_{1}, uz_{2}) ∈ E_{n∗}[[z_{1}, z_{2}]].

Ring-homomorfien L = MU_{∗} → E_{n∗} som klassifiserer F tar v_{k} til u_{k}u^{p^{k}−1} for 0 ≤ k < n, og til u^{p^{n}−1} for k = n. Det følger at E_{n∗} er en Landweber eksakt MU_{∗}-modul, og definerer en homologiteori X ↦ E_{n∗}(X) og et spektrum E_{n}.

Gruppen 𝔾_{n} = 𝕊_{n} ⋊ C_{n} virker som naturlige automorfier på E_{n∗}(X):

For et element f̄ ∈ 𝕊_{n} = Aut(F_{n}) løfter til en ring-automorfi ϕ: E_{n0} → E_{n0} med ϕ̄ = id, og en isomorfi gf^{−1} : F → ϕ_{∗}F. Da er det en naturlig automorfi

E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}(X) ⟶_{≅}^{ϕ⊗1} E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{ϕ_{∗}F} MU_{∗}(X) ⟵_{≅}^{(gf^{−1})^{∗}} E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}(X)

av homologiteorien E_{n∗}(X), med visse modifikasjoner dersom gf^{−1} ikke er en strikt isomorfi.

Og et element σ ∈ C_{n} = Gal(k/k_{0}) løfter til en ring-automorfi ψ: E_{n0} → E_{n0} med ψ̄ = σ, og en ⋆-isomorfi h: F → ψ_{∗}F. Igjen er det en naturlig automorfi

E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}(X) ⟶_{≅}^{ψ⊗1} E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{ψ_{∗}F} MU_{∗}(X) ⟵_{≅}^{h^{∗}} E_{n∗} ⊗_{MU_{∗}}^{F} MU_{∗}(X) ,

med modifikasjoner dersom h ikke er en strikt isomorfi.

Disse naturlige automorfiene er indusert av en virkning av 𝔾_{n} = 𝕊_{n} ⋊ C_{n} på det representerende spekteret E_{n}, i den stabile kategorien.

Hopkins–Miller obstruksjonsteori

Hopkins og Miller konstruerte en obstruksjonsteori som kan vise at E_{n} er et A_{∞} ringspektrum (for en passende A_{∞} operad), og at virkningen av 𝔾_{n} på E_{n} kan løftes (diskret) til kategorien av A_{∞} ringspektra. Goerss og Hopkins skriver ut en tilsvarende obstruksjonsteori i tilfellet for E_{∞} ringspektra.

For endelige undergrupper G ⊂ 𝔾_{n} kan da homotopifikspunktene E_{n}^{hG} dannes, som A_{∞}- eller E_{∞} ringspektra.

Proposisjon. Morava stabilisator-gruppen 𝕊_{n} inneholder elementer av orden p hvis og bare hvis p − 1 | n.

Se [Ra86, 6.2.12].

Bevis-skisse. Elementene i 𝕊_{n} er inneholdt som enheter i det maksimale orden i divisjons-algebraen D_{n}, med senter ℚ_{p}. Hvis ζ ∈ 𝕊_{n} har orden p er den p-te syklotomiske kroppen ℚ_{p}(ζ) inneholdt i D_{n}. Da må graden [Q_{p}(ζ) : ℚ_{p}] = p − 1 dele n. □

Definisjon. Dersom p og n er slik at det finnes en maksimal endelig G ⊂ 𝔾_{n}, entydig opp til konjugasjon, så defineres den nte høyere reelle K-teorien som EO_{n} = E_{n}^{hG} = F (EG_{+}, E_{n})^{G}.

I tilfellet n = 2, p = 2 er divisjonsalgebraen D_{2} lik de 2-adiske kvaternionene ℚ_{2}{1, i, j, k}. Det maksimale orden O_{2} i D_{2} er generert over ℤ_{2} av 1, i, j, k og (±1 ± i ± j ± k)/2. Den maksimale endelige undergruppen av enhetsgruppen 𝕊_{2} i O_{2} er den binære tetrahedergruppen

A_{4}^{∗} = \{±1, ±i, ±j, ±k, \frac{±1 ± i ± j ± k}{2} \}

av orden 24. Her er undergruppen Q_{8} = {±1, ±i, ±j, ±k} kvaternionegruppen av orden 8, og A_{4}^{∗} ≅ Q_{8} ⋊ C_{3} der en generator τ ∈ C_{3} virker på Q_{8} ved å permutere (i, j, k) syklisk. Den maksimale endelige undergruppen av 𝔾_{2} er G_{48} = A_{4}^{∗} ⋊ C_{2} ≅ Q_{8} ⋊ Σ_{3} av orden 48, og EO_{2} = E_{2}^{hG_{48}}.

Devinatz og Hopkins viser hvordan også homotopifikspunktene for lukkede eller åpne undergrupper av 𝔾_{n} kan dannes. Morava’s ringskifteteorem gir da en ekvivalens E_{n}^{h𝔾_{n}} ≃ L_{K(n)}S.

Elliptiske kurver på Weierstrass form

Elliptisk kurve Hopf algebroiden. La

C : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}

være en plan kurve på Weierstrass form, definert over A = ℤ[a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6}]. Vi gir x, y vekt 2, 3, og a_{i} vekt i.

Den kommutative ringen A korepresenterer kurver på Weierstrass form. Kurven C er ikke-singulær, og dermed en elliptisk kurve (med basispunkt O = [0 : 1 : 0] ved ∞) dersom Δ ∈ A er invertibel [Si86, III.1.4]. Lokaliseringen A[Δ^{−1}] korepresenterer derfor elliptiske kurver på Weierstrass form.

En affin isomorfi av planet har formen

x = ax′′ + by′′ + c
y = dx′′ + ey′′ + f

med ae ≠ bd. Den tar C til en kurve C′′ på Weierstrass form hvis og bare hvis b = 0 og e^{2} = a^{3} ≠ 0. Over en algebraisk lukket kropp kan vi da skrive a = q^{2}, e = q^{3} for en passende q ≠ 0. Den affine isomorfien er da sammensetningen av en strikt affin isomorfi

x = x′ + c
y = a^{−1}dx′ + y′ + f

og en skalerende affin isomorfi

x′ = q^{2}x′′
y′ = q^{3}y′′ .

Gruppen av affine isomorfier som bevarer Weierstrass formen er derfor det semidirekte produktet av gruppen av strikte substitusjoner

(†)  \begin{aligned}x & = x′ + r \\ y & = sx′ + y′ + t \end{aligned}

der r, s, t har vekt 2, 1, 3, og gruppen av skalerende substitusjoner

(‡)  \begin{aligned}x & = q^{2}x′ \\ y & = q^{3}y′ \end{aligned}

der enheten q er har vekt 0. Den første gruppen kan oppfattes som Heisenberggruppen av strikt øvretriangulære matriser, med den affine virkningen

[ \begin{matrix}y \\ x \\ 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & s & t \\ 0 & 1 & r \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}y′ \\ x′ \\ 1 \end{matrix} ] .

Den siste gruppen er den multiplikative gruppen 𝔾_{m}.

Rang 3 Heisenberg-gruppen er korepresentert av den kommutative Hopf algebraen ℤ[r, s, t], med koprodukt Δ: ℤ[r, s, t] → ℤ[r, s, t] ⊗ ℤ[r, s, t] gitt ved

Δ(r) = r ⊗ 1 + 1 ⊗ r
Δ(s) = s ⊗ 1 + 1 ⊗ s
Δ(t) = t ⊗ 1 + s ⊗ r + 1 ⊗ t

og konjugasjon χ gitt ved

χ(r) = −r
χ(s) = −s
χ(t) = rs − t .

Den multiplikative gruppen er korepresentert ved Laurent-polynomene ℤ[q, q^{−1}], med koprodukt Δ(q) = q ⊗ 1 + 1 ⊗ q og konjugasjon χ(q) = q^{−1}.

Resultatet av substitusjonen (†) er kurven

C′ : y^{′2} + a′_{1}x′y′ + a′_{3}y′ = x^{′3} + a′_{2}x^{′2} + a′_{4}x′ + a′_{6}

med koeffisienter [Si86, III.1.2]

a′_{1} = a_{1} + 2s
a′_{2} = a_{2} − sa_{1} + 3r − s^{2}
a′_{3} = a_{3} + ra_{1} + 2t
a′_{4} = a_{4} − sa_{3} + 2ra_{2} − (rs + t)a_{1} + 3r^{2} − 2st
a′_{6} = a_{6} + ra_{4} − ta_{3} + r^{2}a_{2} − rta_{1} + r^{3} − t^{2} .

Tilsvarende er resultatet av substitusjonen (‡) en kurve C′ der a′_{i} = q^{i}a_{i} for alle i.

La Λ = A⊗_{ℤ} ℤ[r, s, t] = A[r, s, t]. Da er (A, Λ) en splitt Hopf algebroide. Venstre enheten η_{L}: A → Λ er den vanlige inklusjonen, høyre enheten η_{R}: A → Λ tar a_{i} til a′_{i} ∈ Λ gitt ved formlene ovenfor, og koenheten ϵ tar r, s, t til 0. Koproduktet Δ og konjugasjonen χ er identiteten på A og gitt som ovenfor på ℤ[r, s, t].

Definisjon. Hopf algebroiden (A, Λ) kalles elliptisk kurve Hopf algebroiden.

Den kommutative ringen Λ korepresenterer mengden av strikte affine isomorfier mellom kurver på Weierstrass form, og paret (A, Λ) korepresenterer kategorien av slike plane kurver og affine isomorfier. Lokaliseringen (A, Λ)[Δ^{−1}] korepresenterer kategorien av elliptiske kurver på Weierstrass form og strikte affine isomorfier mellom slike. (Denne Hopf algebroiden er også splitt.)

Elliptiske modulære former. Kobar-komplekset til (A, Λ) begynner

A ⟶^{d^{0}} Λ ⟶^{d^{1}} Λ ⊗_{A} Λ ⟶ …

med d^{0}(a) = η_{R}(a) − η_{L}(a), så H^{0}(A, Λ) = Ext_{Λ}^{0}(A, A) består av elementene i A som er invariante under de strikte affine isomorfiene. Kobar-komplekset respekterer vektingen i (A, Λ), så hver gruppe H^{n}(A, Λ) er vektet. Vi graderer en vektet gruppe ved å la elementer av vekt i ha grad 2i. Et element i H^{0}(A, Λ) har vekt i hvis og bare hvis det er en egenvektor med egenverdi q^{i} for substitusjonen (‡), for hver q.

Vi oppfatter elementene i A som regulære funksjoner på det affine rommet \overline{W} = Spec A ≅ 𝔸_{ℤ}^{5} av plane kurver gitt på Weierstrass form. (Elementene i ℤ[r, s, t] er regulære funksjoner på den affine Heisenberg-gruppen Spec ℤ[r, s, t] ≅ 𝔸_{ℤ}^{3}.) Invariantene mf_{∗} = H^{0}(A, Λ) ⊂ A er de funksjonene på \overline{W} som bare avhenger av den strikte affine isomorfi-klassen til kurven, dvs. som kan oppfattes som en funksjon på moduli-rommet av strikte affine isomorfiklasser av slike kurver. Denne ringen kalles ringen av elliptiske modulære former.

Deligne og Tate har vist at mf_{∗} = ℤ[c_{4}, c_{6}, Δ]/(1728Δ = c_{4}^{3} − c_{6}^{2}), der c_{4}, c_{6}, Δ har vekt 4, 6, 12. Merk at 1728 = 12^{3} = 2^{6}3^{3}. Dersom vi lokaliserer vekk fra 2 og 3 er mf_{∗}[\frac{1}{6}] ≅ ℤ[\frac{1}{6}][c_{4}, c_{6}].

Elementene i A[Δ^{−1}] oppfattes som regulære funksjoner på det åpne underrommet W = Spec A[Δ^{−1}] ⊂ Spec A = \overline{W} av elliptiske kurver gitt på Weierstrass form. Invariantene MF_{∗} = H^{0}(A[Δ^{−1}], Λ[Δ^{−1}]) ≅ mf_{∗}[Δ^{−1}] er da å oppfatte som funksjonene på moduli-rommet M_{1} = W/ ≅ av strikte affine isomorfiklasser av elliptiske kurver, som vi kan kalle ringen av elliptiske modulære funksjoner. Da er MF_{∗} = ℤ[c_{4}, c_{6}, Δ, Δ^{−1}]/(12^{3}Δ = c_{4}^{3} − c_{6}^{2}).

Spørsmål: Hva er høyere kohomologi av (A, Λ) ? Er det E_{2}-leddet i en spektralsekvens ? Hva konvergerer denne mot ?

Svar: Topologiske modulære former.

Elliptisk formell gruppelov. Den elliptiske kurven C over A[Δ^{−1}] har en kanonisk definert gruppestruktur, med P_{1} ⊕ P_{2} ⊕ P_{3} = O hvis og bare hvis {P_{1}, P_{2}, P_{3}} er de tre skjæringspunktene mellom C og en projektiv linje. Som lokal parameter (uniformizer) ved O bruker vi z = −x/y, og kurven er da grafen til w = −1/y gitt som en funksjon

w = w(z) = z^{3} + a_{1}z^{4} + (a_{1}^{2} + a_{2})z^{5} + …

av z [Si86, IV.1]. Vi kan skrive P = (z, w) med w = w(z), for P nær O. Uttrykt ved hjelp av den lokale parameteren z er sumoperasjonen P′ = P_{1} ⊕ P_{2} gitt ved rasjonal funksjon, som tillater en formell potensrekkeutvikling

z′ = F_{C}(z_{1}, z_{2}) = z_{1} + z_{2} − a_{1}z_{1}z_{2} − a_{2}(z_{1}^{2}z_{2} + z_{1}z_{2}^{2})

− (2a_{3}z_{1}^{3}z_{2} − (a_{1}a_{2} − 3a_{3})z_{1}^{2}z_{2}^{2} + 2a_{3}z_{1}z_{2}^{3}) + ⋯ ∈ A[[z_{1}, z_{2}]] .

Dette er den elliptiske formelle gruppeloven F_{C} tilordnet C [Si86, IV.1].

Substitusjonen (†) leder til en ny lokal parameter z′ = −x′/y′, med z = (z′ + rw′)/(1 − (sz′ + tw′)). Vi har igjen en formell potensrekkeutvikling

z = f(z′) = z′ + sz^{′2} + (r + s^{2})z^{′3} + (ra_{1} + rs + s^{3} + t)z^{′4} ⋯ ∈ Λ[[z′]]

som definerer en strikt isomorfi f: F_{C′} → F_{C} mellom de elliptiske formelle gruppelovene tilhørende C og C′. Substitusjonen (‡) for q invertibel leder til z = q^{−1}z′, som definerer en (typisk ikke strikt) isomorfi mellom formelle gruppelover.

Den elliptiske formelle gruppeloven til Weierstrass-kurven C definert over A er klassifisert av en ringhomomorfi ϕ: L → A. De strikte affine isomorfiene, med tilhørende strikte isomorfier av formelle gruppelover over A er klassifisert av en ringhomomorfi ψ: LB → Λ. Her er

ψ(b_{1}) = s
ψ(b_{2}) = r + s^{2}
ψ(b_{3}) = ra_{1} + rs + s^{3} + t ,

etc. Sammen definerer disse en morfisme av Hopf algebroider (L, LB) → (A, Λ).

Supersingulær kurve

En supersingulær elliptisk kurve over en perfekt kropp k i karakteristikk p har høyde 2 formell gruppelov Γ [Si86, V.3.1]. Denne kan realiseres som en plan kurve i Weierstrass form. (Strikte) affine automorfier virker da (strikt) på den formelle gruppeloven.

For p = 2 er den supersingulære kurven y^{2} + y = x^{3}. Med

k = 𝔽_{4} = 𝔽_{2}[ρ]/(ρ^{2} + ρ + 1) = {0, 1, ρ, ρ^{2}}

er gruppen av affine automorfier den binære tetrahedergruppen A_{4}^{∗}. For en strikt substitusjon (†) bevarer kurven med a_{3} = 1, a_{1} = a_{2} = a_{4} = a_{6} = 0 dersom r = s^{2}, s = r^{2} og t = r^{3} − t^{2}, som har løsningene

(r, s, t) = (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 1, ρ), (1, 1, ρ^{2}),

(ρ^{2}, ρ, ρ), (ρ^{2}, ρ, ρ^{2}), (ρ, ρ^{2}, ρ), (ρ, ρ^{2}, ρ^{2}).

En isomorfi med Q_{8} tar (1, 1, ρ^{2}) til i og (ρ^{2}, ρ, ρ^{2}) til j. En skalerende substitusjon (‡) bevarer kurven dersom q^{3} = 1, så q ∈ 𝔽_{4}^{∗} ≅ C_{3}. Da virker C_{3} ved konjugasjon på Q_{8}, som i A_{4}^{∗}.

Den maksimale endelige undergruppen av 𝔾_{2} er G_{48} = A_{4}^{∗} ⋊ C_{2}. Per definisjon er EO_{2} = E_{2}^{hG_{48}} ≅ (E_{2}^{hA_{4}^{∗}})^{hC_{2}}.

Lubin–Tate deformasjonsteori gir løftet formell gruppelov F over en komplett lokal ring LT (k, Γ) ≅ 𝕎k[[α]], og en Landweber eksakt Morava homologiteori E_{∗}(X) med koeffisienter E_{∗} = 𝕎k[[α]][u, u^{−1}]. De affine automorfiene av kurven løfter til en virkning på E_{∗}(X), og til en virkning i den stabile kategorien på et representerende spektrum E.

Vi skal se at for n = 2 og k = 𝔽_{p^{2}} gir E en modell for Morava-spekteret E_{2}.

Deuring normalform

For p = 2 med k = 𝔽_{4} kan den universelt deformerte formelle gruppeloven realiseres som den elliptiske formelle gruppeloven til kurven y^{2} + αuxy + u^{3}y = x^{3} definert over 𝕎𝔽_{4}[[α]][u, u^{−1}]. Når u = 1 er dette Deuring normalform for karakteristikk ≠ 3. Gruppen A_{4}^{∗} av affine automorfier virker løftet på E.

Hopkins og Mahowald ser at dette gir morfismer

(A, Λ) → (ℤ_{2}[[a_{1}]][a_{3}, a_{3}^{−1}], Φ^{∧}) → (E_{2∗}, C^{1}(G_{48}; E_{2∗}))

av Hopf algebroider, med E_{2∗} = 𝕎𝔽_{4}[[α]][u, u^{−1}]. Kobar-komplekset til høyre er kokjede-komplekset C^{∗}(G_{48}, E_{2∗}) for gruppe-kohomologi av G_{48} = A_{4}^{∗} ⋊C_{2} med koeffisienter i E_{2∗}. Den sammensatte morfismen induserer en isomorfi på kohomologi, etter at (A, Λ) er komplettert ved (2, a_{1}) og Δ er invertert.

Gruppekohomologien H^{∗}(G_{48}, E_{2∗}) er E_{2}-leddet i homotopi-fikspunkt spektralsekvensen for E_{2}^{hG_{48}}. Så Hopf algebroide kohomologien av (A, Λ), med Δ invertert og komplettert ved (2, a_{1}), er E_{2}-leddet i homotopi-fikspunkt spektralsekvensen for den høyere reelle K-teorien EO_{2} = E_{2}^{hG_{48}}.

Vi ønsker nå å redegjøre for hvorfor EO_{2} kan oppfattes som spekteret av topologiske modulære former, komplettert ved 2.

Elliptiske kurver på Deuring normalform

I karakteristikk ≠ 3 er enhver elliptisk kurve C på Weierstrass form strikt affint isomorf med en kurve på Deuring normalform

y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} ,

der a_{2} = a_{4} = a_{6} = 0 [Si86, A.1.3]. La D = ℤ[a_{1}, a_{3}]. Diskriminanten er Δ = (a_{1}^{3} − 27a_{3})a_{3}^{3} ∈ D.

De strikte affine substitusjonene (†) som bevarer Deuring normalformen må oppfylle a′_{2} = a′_{4} = a′_{6} = 0, som betyr at

(∗)  \begin{aligned}3r & = sa_{1} + s^{2} \\ sa_{3} & = −(rs + t)a_{1} + 3r^{2} − 2st \\ ta_{3} & = −rta_{1} + r^{3} − t^{2} . \end{aligned}

La Φ = D[r, s, t]/I, der I er det tosidige idealet generert av disse relasjonene. Da er (D, Φ) en Hopf algebroide. Det er en morfisme av Hopf algebroider ϕ: (A, Λ) → (D, Φ), der surjeksjonen ϕ: A → D sender a_{2}, a_{4}, a_{6} til 0, som bestemmer strukturavbildningene i (D, Φ).

Vi skriver kort A′ for lokaliseringen A[\frac{1}{3}, Δ^{−1}], og tilsvarende for andre Amoduler.

Proposisjon. Lokalisert vekk fra 3 og Δ induserer ϕ: (A, Λ) → (D, Φ) en isomorfi

ϕ: H^{∗}(A, Λ)′ ⟶^{≅} H^{∗}(D, Φ)′ .

((Dersom Φ ikke er flat over D bør begge sider også kompletteres ved (2, a_{1}).))

Bevis-skisse. Først sjekker vi hypotesene i [Ra86, A1.1.19]: Vi danner Λ ⊗_{A} D ≅ D[r, s, t]. Den kanoniske avbildningen π: D[r, s, t] → Φ er da surjektiv. Så danner vi C = D[r, s, t]□_{Φ}D som equalizeren av avbildningene

1 ⊗ η_{L}, η_{R} ⊗ π: D[r, s, t] ⟶ D[r, s, t] ⊗_{D} Φ .

Avbildningen ϕ ∘ η_{R}: A → A[r, s, t] → D[r, s, t] løfter til en homomorfi ψ: A → C. At enhver elliptisk kurve på Weierstrass form i karakteristikk ≠ 3 er strikt affint isomorf med en kurve på Deuring normalform medfører at ψ: A′ → C′ er en isomorfi. Inklusjonen C′ → D[r, s, t]′ er da en D′-modul homomorfi, og er som sådan splitt ved en projeksjon som tar r, s, t til 0.

Så bruker vi ringskifte-isomorfiteoremet [Ra86, A1.3.12] på (A′, Λ′) → (D′, Φ′), som gir en isomorfi

Ext_{Λ′}^{∗}(A′, C′) ≅ Ext_{Φ′}^{∗}(D′, D′) = H^{∗}(D′, Φ′) .

Her er C′ lokaliseringen av C = (Λ⊗_{A}D)□_{Φ}D, som ovenfor. Isomorfien ψ: A′ → C′ gir resultatet, siden

H^{∗}(A′, Λ′) = Ext_{Λ′}^{∗}(A′, A′) ≅ Ext_{Λ′}^{∗}(A′, C′) .

□

H^{∗}(A, Λ) har endelig type, så vi mister ingen p-lokal informasjon ved å komplettere ved et primtall p. Heretter konsentrerer vi oss om 2-lokal informasjon.

For å identifisere lokaliseringen (D′, Φ′) må vi løse likningene (∗). Dette er i allmennhet vanskelig, men er enkelt modulo idealet (2, a_{1}), og lar seg gjøre etter komplettering ved dette idealet. Modulo (2, a_{1}) søker vi løsninger til likningene

(∗∗)  \begin{aligned}r & = s^{2} \\ sa_{3} & = r^{2} \\ ta_{3} & = r^{3} + t^{2} \end{aligned}

over D′/(2, a_{1}) = 𝔽_{2}[a_{3}][Δ^{−1}] = 𝔽_{2}[a_{3}, a_{3}^{−1}]. Dette er koeffisientringen K(2)_{∗} = 𝔽_{2}[v_{2}, v_{2}^{−1}] til Morava K-teorien K(2) ved p = 2.

Likningene gir s^{4} = sa_{3}, så s = 0 eller s^{3} = a_{3}. Vi innfører en tredjerot u av a_{3} og en tredjerot ρ av enheten. Da er s ∈ {0, u, ρu, ρ^{2}u}. For s = 0 er r = 0 og ta_{3} = t^{2} gir t ∈ {0, u^{3}}. For s ∈ {u, ρu, ρ^{2}u} er r^{3} = u^{6} = a_{3}^{2} og t^{2} + ta_{3} + a_{3}^{2} = 0, som gir t ∈ {ρu^{3}, ρ^{2}u^{3}}. Vi finner 8 løsninger i 𝔽_{4}[u, u^{−1}], der 𝔽_{4} = 𝔽_{2}[ρ]/(ρ^{2} + ρ + 1) = {0, 1, ρ, ρ^{2}}, nemlig:

(r, s, t) = (0, 0, 0), (0, 0, u^{3}), (u^{2}, u, ρu^{3}), (u^{2}, u, ρ^{2}u^{3}),

(ρ^{2}u^{2}, ρu, ρu^{3}), (ρ^{2}u^{2}, ρu, ρ^{2}u^{3}), (ρu^{2}, ρ^{2}u, ρu^{3}), (ρu^{2}, ρ^{2}u, ρ^{2}u^{3}).

Oppfattet som undergruppe av Heisenberg-gruppen over 𝔽_{4}[u, u^{−1}] danner disse en gruppe isomorf med gruppen Q_{8} = {±1, ±i, ±j, ±k} av kvaternioniske enheter.

Vi ledes derfor til å utvide D′ med en tredjerot u av a_{3}, av vekt 1, og en primitiv tredjerot ρ av enheten, av vekt 0, og å komplettere ved idealet (2, a_{1}). La E = π_{∗}(E_{2}) være resultatet.

I D er diskriminanten Δ = (a_{1}^{3} − 27a_{3})a_{3}^{3}, så a_{3} er invertert i D′. Omvendt er også Δ invertert i D[a_{3}^{−1}]_{(2,a_{1})}^{∧}, ved formelen

Δ^{−1} = −\frac{1}{27a_{3}^{4}} ∑_{n=0}^{∞}(a_{1}^{3}/27a_{3})^{n} .

Vi skriver 𝕎𝔽_{4} = ℤ_{2}[ρ]/(ρ^{2} + ρ + 1) for Witt ringen til 𝔽_{4}, som er den uramifiserte kvadratiske utvidelsen av 𝕎𝔽_{2} = ℤ_{2}. Da er E = 𝕎𝔽_{4}[[a_{1}]][a_{3}, a_{3}^{−1}][u]/(u^{3} = a_{3}). Vi skriver a_{1} = αu med α i vekt 0, og får B = 𝕎𝔽_{4}[[α]][u, u^{−1}]. Dette er koeffisientringen E_{2∗} til Morava-teorien E_{2} ved p = 2. Kurven har nå likningen

y^{2} + αuxy + u^{3}y = x^{3}

på Deuring normalform over E.

Vi lar Ψ = E ⊗_{D} Φ = E[r, s, t]/I, der I er det tosidige idealet generert av relasjonene (∗) med a_{1} = αu og a_{3} = u^{3}. Igjen er (E, Ψ) en Hopf algebroide.

Løsningene (r, s, t) i E/(2, a_{1}) = 𝔽_{4}[u, u^{−1}] til (∗∗) kan oppfattes som mengden av E-algebra homomorfier Ψ → E/(2, a_{1}). Bijeksjonen Q_{8} ≅ Hom_{E}(Ψ, E/(2, a_{1})) er adjungert til en homomorfi Ψ → C^{1}(Q_{8}; E/(2, a_{1})). Vi ønsker å løfte denne til en isomorfi Ψ → C^{1}(Q_{8}; E).

Lemma. Hver løsning (r, s, t) til (∗∗) i E/(2, a_{1}) har en entydig løftning som en løsning til (∗) i E. Det er en bijeksjon Q_{8} ≅ Hom_{E}(Ψ, E).

Bevis-skisse. Dette er en anvendelse av Hensels lemma. Gitt en løsning (r_{0}, s_{0}, t_{0}) til (∗) modulo (2, a_{1}), substitueres denne inn i høyre-siden av (∗). (Koeffisientene 3 og a_{3} er nå invertible.) Dette gir en ny tilnærmet løsning (r_{1}, s_{1}, t_{1}) til (∗) modulo en ekte høyere potens av (2, a_{1}). Ved gjentatt substitusjon i (∗) fås en sekvens av stadig bedre tilnærmede løsninger (r_{n}, s_{n}, t_{n}), som i grensen gir den løftede løsningen (r, s, t) i E. Entydighet følger likedan. □

Orden 2 elementet −1 ∈ Q_{8} svarer til (r, s, t) = (0, 0, a_{3}) i 𝔽_{2}[a_{3}, a_{3}^{−1}], og løfter til (r, s, t) = (0, −a_{1}, −a_{3}) i ℤ_{2}[[a_{1}]][a_{3}, a_{3}^{−1}]. Løftningene av orden 4 elementene i Q_{8} er mer kompliserte.

Proposisjon. Det er en isomorfi av Hopf algebroider (E, Ψ) ≅ (E, C^{1}(Q_{8}; E)), der Q_{8} virker på E = 𝕎𝔽_{4}[[α]][u, u^{−1}] ved

a_{1} ↦ η_{R}(a_{1}) = a_{1} + 2s
a_{3} ↦ η_{R}(a_{3}) = a_{3} + ra_{1} + 2t .

Det er en isomorfi H^{∗}(E, Ψ) ≅ H^{∗}(Q_{8}; E).

Bevis-skisse. Et element i Q_{8} svarer til en løsning (r, s, t) til (∗) i E. Virkningen av dette elementet avbilder E til E slik at a_{1} tas til a_{1} + 2s og a_{3} tas til a_{3} + ra_{1} + 2t. Isomorfien Ψ ≅ C^{1}(Q_{8}; E) er adjungert til bijeksjonen Q_{8} ≅ Hom_{E}(Ψ, E). Kobarkomplekset til (E, Ψ) er derfor isomorft med kobar-komplekset til (E, C^{1}(Q_{8}; E)), som igjen er isomorft med komplekset C^{∗}(Q_{8}; E) som beregner gruppekohomologien H^{∗}(Q_{8}; E). □

Den sykliske gruppen C_{3} = {e, τ, τ^{2}} virker på E ⊂ Ψ ved τ(u) = ρu og τ(α) = ρ^{−1}u. Virkningen lar a_{1} = αu og a_{3} = u^{3} være invariante. Den sykliske gruppen C_{2} = {e, σ} virker på 𝕎𝔽_{4} ⊂ E ⊂ Ψ ved σ(ρ) = ρ^{2}. Virkningen på 𝕎𝔽_{4} løfter Frobenius-operatoren σ: z ↦ z^{2}, som genererer Gal(𝔽_{4}/𝔽_{2}) = C_{2}.

Sammen genererer C_{3} og C_{2} permutasjonsgruppen Σ_{3} = C_{3} ⋊ C_{2}, der στσ = τ^{2}, og Σ_{3} virker på E med invariant-ring E^{Σ_{3}} = ℤ_{2}[[a_{1}]][a_{3}, a_{3}^{−1}]. Vi skriver kort D^{∧} = E^{Σ_{3}} = (D′)_{(2,a_{1})}^{∧} og Φ^{∧} = Ψ^{Σ_{3}} = D^{∧} ⊗_{D′} Φ′.

Abstrakt er den binære tetrahedergruppen det semi-direkte produktet A_{4}^{∗} ≅ Q_{8}⋊ C_{3}, der τ ∈ C_{3} virker på Q_{8} = {±1, ±i, ±j, ±k} ved å permutere (i, j, k) syklisk. Også som affine isomorfier virker den skalerende substitusjonen (‡) med q = ρ ved konjugasjon på de strikte substitusjonene gitt ved (†), og tar i representert ved (u^{2}, u, ρ^{2}u^{3}) til j representert ved (ρ^{2}u^{2}, ρu, ρ^{2}u^{3}), og videre til ij = k representert ved (ρu^{2}, ρ^{2}u, ρ^{2}u^{3}).

Altså er virkningen av A_{4}^{∗} = Q_{8} ⋊ C_{3} på E kompatibel med virkningen av de affine isomorfiene til kurven y^{2} + y = x^{3} over 𝔽_{4}.

Lemma. H^{∗}(E^{C_{3}}, Ψ^{C_{3}}) ≅ H^{∗}(E, Ψ)^{C_{3}} ≅ H^{∗}(Q_{8}; E)^{C_{3}} ≅ H^{∗}(A_{4}^{∗}; E).

Galois-virkningen ved C_{2} = {e, σ} står igjen. Påstanden er at E^{C_{3}}, Ψ^{C_{3}} og A_{4}^{∗}- modulen E over 𝕎𝔽_{4} er indusert opp over den uramifiserte utvidelsen ℤ_{2} → 𝕎𝔽_{4}, slik at det ikke forekommer noen høyere C_{2}-gruppekohomologigrupper.

Proposisjon. H^{∗}(D^{∧}, Φ^{∧}) = H^{∗}(E^{Σ_{3}}, Ψ^{Σ_{3}}) ≅ H^{∗}(A_{4}^{∗} ⋊ C_{2}; E) = H^{∗}(G_{48}; E).

Teorem (Hopkins–Mahowald). Det er en isomorfi

H^{∗}(A, Λ)[Δ^{−1}]_{(2,a_{1})}^{∧} ≅ H^{∗}(G_{48}; E)

der (A, Λ) er elliptisk kurve Hopf algebroiden, G_{48} = A_{4}^{∗} ⋊ Gal(𝔽_{4}/𝔽_{2}) ≅ Q_{8} ⋊ Σ_{3} og E = 𝕎𝔽_{4}[[α]][u, u^{−1}]

Samtidig er E = π_{∗}(E_{2}) koeffisientringen til Morava-teorien gitt ved den universelle Lubin–Tate deformasjonen av en høyde 2 formell gruppelov over 𝔽_{4}, oppfattet som Landweber eksakt MU_{∗}-modul via Lazards og Quillens teoremer. Ved Hopkins–Miller teori virker G_{48} på E_{2} gjennom E_{∞} ringspektrum-avbildninger, og vi kan danne homotopifikspunkt-spekteret EO_{2} = E_{2}^{hG_{48}}.

Homotopifikspunkt-spektralsekvensen

E_{2}^{s,t} = H^{−s}(G_{48}; π_{t}(E_{2})) ⟹ π_{s+t}(EO_{2})

kalles også Adams–Novikov spektralsekvensen for EO_{2}.

Korollar (Hopkins–Mahowald). E_{2}-leddet i Adams–Novikov spektralsekvensen for EO_{2} er kohomologien av elliptisk kurve Hopf algebroiden (A, Λ) med Δ invertert og komplettert ved (2, a_{1}).

Kant-homomorfien i spektralsekvensen er homomorfien

π_{∗}(EO_{n}) → H^{0}(G_{48}; π_{∗}(E_{2})) ≅ (MF_{∗})_{(2,a_{1})}^{∧}

fra ringen T MF_{∗} = π_{∗}(EO_{2}) av topologiske modulære funksjoner til kompletteringen av ringen MF_{∗} av (elliptiske) modulære funksjoner over ℤ. De høyere kohomologi-gruppene H^{n}(G_{48}; π_{∗}(E_{2})) er 2-torsjon, og dette er en rasjonal ekvivalens.

Vi oppfatter dette som en basisskifte-homomorfi, fra grunnringen S (sfærespekteret) til grunnringen ℤ (de hele tallene).

Referanse: [HM98].

Adams–Novikov spektralsekvensen

Hopkins og Mahowald beregner også den høyere kohomologien H^{∗}(A, Λ). Dette bestemmer E_{2}-leddet i Adams–Novikov spektralsekvensen for π_{∗}(EO_{2}). Med unntak av en summand ko_{∗}[v_{2}^{4}, v_{2}^{−4}]{v_{1}^{4}} er dette vist i Tabell 1, som er hentet fra [HM98]. Her er også differensialene vist, og klasser som ikke overlever til E_{∞} er tegnet i grått. Klassen Δ^{8} i grad 192 overlever til E_{∞}, som bildet av v_{2}^{32} i Adams– Novikov spektralsekvensen for π_{∗}(S), så homotopien π_{∗}(EO_{2}) er 192-periodisk.

Adams spektralsekvensen

Hopkins og Miller konstruerer også et (2-komplett) konnektivt spektrum eo_{2}, med H^{∗}(eo_{2}; 𝔽_{2}) ≅ A⊗_{A_{2}} 𝔽_{2} som modul over Steenrod algebraen A. Her er A_{2} ⊂ A underalgebraen generert av Sq^{1}, Sq^{2} og Sq^{4}. Avbildningen π_{∗}(eo_{2}) → π_{∗}(EO_{2}) inverterer Δ^{8}.

Adams spektralsekvensen for π_{∗}(eo_{2}) har E_{2}-ledd

E_{2}^{s,t} = Ext_{A}^{s,t}(A ⊗_{A_{2}} 𝔽_{2}, 𝔽_{2}) ≅ Ext_{A_{2}}^{s,t}(𝔽_{2}, 𝔽_{2}) ⟹ π_{t−s}(eo_{2}) .

Disse Ext-gruppene ble beregnet av Iwai og Shimada, og er vist i Tabell 2. Hopkins og Mahowald beregner differensialene i denne spektralsekvensen, og finner dermed π_{∗}(eo_{2}). Disse gruppene er v_{2}^{32}-periodiske.

References

[Ad74] J.F. Adams, Stable homotopy and generalised homology, Chicago Lectures in Mathematics, vol. 10, The University of Chicago Press, 1974.

[HM98] M. Hopkins and M. Mahowald, From elliptic curves to homotopy theory, preprint (1998).

[Ra86] D.C. Ravenel, Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres, Academic Press, Inc, 1986.

[Ra92] D.C. Ravenel, Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory, Ann. of Math. Study, vol. 128, Princeton University Press, 1992.

[Re98] C. Rezk, Notes on the Hopkins-Miller theorem, Homotopy theory via algebraic geometry and group representations. (Mahowald, Mark et al., eds.), Contemp. Math., vol. 220, American Mathematical Society, 1998, pp. 313-366.

[Si86] J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Maths., vol. 106, Springer, 1986.

Matematisk institutt, Universitetet i Oslo