MA 366: ENHETER

John Rognes

§4.1: Enheter modulo en primtallspotens

La p være et primtall, og e ≥ 1. Vi vil bestemme strukturen til enhetsgruppen (ℤ/p^{e})^{∗}. Sammen med det kinesiske restteoremet bestemmer dette strukturen til enhetsgruppen (ℤ/m)^{∗} for et vilkårlig naturlig tall m.

For e = 1 har vi vist Gauss’ teorem: (ℤ/p)^{∗} er en syklisk gruppe. Tilfellene e ≥ 2 gjenstår.

Definisjon. La π: ℤ/p^{e} → ℤ/p være ringhomomorfien som tar kongruensklassen ā = {b ∈ ℤ | a ≡ b (mod p^{e})} i ℤ/p^{e} til kongruensklassen ā = {b ∈ ℤ | a ≡ b (mod p)} i ℤ/p. Da tar π enhetene i ℤ/p^{e} til enheter i ℤ/p. Vi får en gruppehomomorfi π^{∗}: (ℤ/p^{e})^{∗} → (ℤ/p)^{∗}.

Lemma 1. Gruppehomomorfien π^{∗}: (ℤ/p^{e})^{∗} → (ℤ/p)^{∗} er surjektiv, med kjerne 1 + pℤ/p^{e} ⊂ (ℤ/p^{e})^{∗}. Altså er det en ekstensjon av abelske grupper

1 + pℤ/p^{e} ⟶ (ℤ/p^{e})^{∗} ⟶^{π^{∗}} (ℤ/p)^{∗}

der 1 + pℤ/p^{e} oppfattes som en undergruppe av (ℤ/p^{e})^{∗}.

Bevis. Gruppehomomorfien π^{∗} er klart surjektiv. For eksempel avbildes kongruensklassene ¯1, …, \overline{p − 1} i (ℤ/p^{e})^{∗} til kongruensklassene ¯1, …, \overline{p − 1} i (ℤ/p)^{∗}, som utgjør hele (ℤ/p)^{∗}.

Kjernen til π^{∗} består av de enhetene i ℤ/p^{e} som er kongruente med 1 modulo p. Disse har formen 1 + px ∈ ℤ/p^{e} med x ∈ ℤ/p^{e}. Omvendt er alle elementer på formen 1 + px enheter i ℤ/p^{e}, siden (1 + px, p^{e}) = 1. Så ker(π^{∗}) = 1 + pℤ/p^{e} som undergruppe av den multiplikative gruppen (ℤ/p^{e})^{∗}. □

Vi skal nå konstruere en multiplikativ homomorfi τ: ℤ/p → ℤ/p^{e} slik at πτ = id, dvs. τ er en multiplikativ seksjon til π. Denne kalles Teichmüller-avbildningen, og induserer en gruppehomomorfi τ^{∗}: (ℤ/p)^{∗} → (ℤ/p^{e})^{∗} som splitter ekstensjonen ovenfor.

Lemma 2. Hvis p er et primtall og 0 < i < p er binomialkoeffisienten \binom{p}{i} delelig med p.

Bevis. Vi har \binom{p}{i} = p!/i!(p − i)!, der p deler telleren men ikke nevneren. □

Typeset by AMS-TEX

Lemma 3. Hvis k ≥ 1 og a ≡ b (mod p^{k}) så er a^{p} ≡ b^{p} (mod p^{k+1}). Bevis. La b = a + xp^{k}. Da er

b^{p} = a^{p} + (xp^{k})^{p} + ∑_{i=1}^{p−1} \binom{p}{i}a^{p−i}(xp^{k})^{i}

der (xp^{k})^{p} og hvert ledd \binom{p}{i}a^{p−i}(xp^{k})^{i} er delelig med p^{k+1}. □ Korollar 1. Hvis a ≡ b (mod p) er a^{p^{k}} ≡ b^{p^{k}} (mod p^{k+1}) for alle k ≥ 0. Bevis. Dette følger fra Lemma 3 ved induksjon. □ Korollar 2. a^{p^{k}} ≡ a^{p^{ℓ}} (mod p^{k+1}) for alle ℓ ≥ k ≥ 0. Bevis. Vi har a ≡ a^{p^{ℓ−k}} (mod p) for ℓ ≥ k ved Fermats lille teorem. Bruk Korollar 1 med b = a^{p^{ℓ−k}}. □ Definisjon. La Teichmüller-avbildningen τ: ℤ/p → ℤ/p^{e} være gitt ved

τ(ā) = \overline{a^{p^{e−1}}} .

Da er τ veldefinert ved Korollar 1 med k = e − 1. Mer generelt er τ(ā) = \overline{a^{p^{ℓ}}} i ℤ/p^{e} for en vilkårlig ℓ ≥ e − 1 ved Korollar 2. Lemma 4. Teichmüller-avbildningen er multiplikativ, dvs. τ(ab) = τ(a)τ(b) for a, b ∈ ℤ/p, og den er en seksjon til π, dvs. π ∘ τ = id. Bevis. Vi har τ(ab) = (ab)^{p^{e−1}} = a^{p^{e−1}}b^{p^{e−1}} = τ(a)τ(b) i ℤ/p^{e}. Og a ≡ a^{p^{e−1}} (mod p) så π(τ(a)) = a i ℤ/p. □ Definisjon. La τ^{∗}: (ℤ/p)^{∗} → (ℤ/p^{e})^{∗} være den restrikterte gruppehomomorfien. Da er π^{∗} ∘ τ^{∗} = id, så π^{∗} er splitt surjektiv.

Det gjenstår å bestemme gruppestrukturen på 1 + pℤ/p^{e} ⊂ (ℤ/p^{e})^{∗}. Anta inntil videre at p er et odde primtall. Definisjon. La exp_{p}: pℤ/p^{e} → 1 + pℤ/p^{e} ⊂ (ℤ/p^{e})^{∗} være gitt ved

exp_{p}(px) = ∑_{n=0}^{∞}(px)^{n}/n! .

Summen konvergerer i ℤ/p^{e} fordi

ord_{p}((px)^{n}) = n(1 + ord_{p}(x)) ≥ n

mens

ord_{p}(n!) = ∑_{k=1}^{∞} [\frac{n}{p^{k}} ] ≤ ∑_{k=1}^{∞} \frac{n}{p^{k}} = n/(p − 1) .

Så for p ≠ 2 er ord_{p}((px)^{n}/n!) ≥ n(p − 2)/(p − 1) positiv for n ≥ 1, og vokser mot +∞ med voksende n. Altså tar exp_{p} verdier i 1 + pℤ/p^{e}, og er veldefinert.

Lemma 5. exp_{p} er en gruppehomomorfi, dvs. exp_{p}(px + py) = exp_{p}(px) · exp_{p}(py) i 1 + pℤ/p^{e} for px, py ∈ pℤ/p^{e}.

Bevis. Dette er formelt, som for den reelle eksponensialfunksjonen:

exp_{p}(px + py) = ∑_{n=0}^{∞}(px + py)^{n}/n! = ∑_{i=0}^{∞} ∑_{j=0}^{∞} \binom{n}{i}(px)^{i}(py)^{j}/n!

= ∑_{i=0}^{∞}(px)^{i}/i! · ∑_{j=0}^{∞}(py)^{j}/j! = exp_{p}(px) · exp_{p}(py) .

□

Proposisjon. exp_{p}: pℤ/p^{e} → 1 + pℤ/p^{e} er en gruppeisomorfi.

Bevis. La log_{p}: 1 + pℤ/p^{e} → pℤ/p^{e} være gitt ved

log_{p}(1 + py) = ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m+1}(py)^{m}/m .

(Dette er ikke lik logaritmen med grunntall p.) Her er ord_{p}((py)^{m}) = m(1+ord_{p}(y)) mens ord_{p}(m) ≤ m/p, så ord_{p}((py)^{m}/m) ≥ m(p − 1)/p er positiv for m ≥ 1 og vokser mot +∞ når m vokser. Altså tar log_{p} verdier i pℤ/p^{e} og er veldefinert.

Vi har log_{p}(exp_{p}(px)) = px og exp_{p}(log_{p}(1 + py)) = 1 + py, så exp_{p} og log_{p} er inverse gruppeisomorfier. Dette vises ved å appelere til litt reell kalkulus: For x ∈ ℝ og y ∈ (−1, 1) er e^{x} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n}/n! og ln(1 + y) = ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m+1}y^{m}/m absolutt konvergente potensrekker. Da er

1 + y = e^{ln(1+y)} = ∑_{n=0}^{∞}( ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m+1}y^{m}/m)^{n}/n!

en likhet mellom konvergente potensrekker i y, og derfor også en likhet mellom formelle potensrekker i y, med rasjonale koeffisienter. Vi kan sette inn py for y og få en likhet mellom formelle potensrekker

1 + py = ∑_{n=0}^{∞}( ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m+1}(py)^{m}/m)^{n}/n!

med p-lokale koeffisienter, eventuelt med ℤ/p^{e}-koeffisienter. For py ∈ pℤ/p^{e} er bare endelig mange av leddene til høyre ulik null, så dette er også en likhet i 1 + pℤ/p^{e}. Altså er exp_{p}(log_{p}(1 + py)) = 1 + py og exp_{p} er surjektiv. Siden både pℤ/p^{e} og 1 + pℤ/p^{e} har nøyaktig p^{e−1} elementer er exp_{p} en bijektiv gruppehomomorfi, og dermed en gruppeisomorfi. □

Teorem 2. La p være et odde primtall og e ≥ 1. Enhetsgruppen (ℤ/p^{e})^{∗} er syklisk av orden ϕ(p^{e}) = p^{e−1}(p − 1), så det eksisterer en primitiv rot modulo p^{e}. For e ≥ 2 er et heltall g en primitiv rot modulo p^{e} hvis og bare hvis g er en primitiv rot modulo p og g^{p−1} ≢ 1 (mod p^{2}).

Eksponensialavbildningen exp_{p} og Teichmüller-avbildningen τ^{∗} definerer en gruppeisomorfi

exp_{p} ·τ^{∗}: pℤ/p^{e} × (ℤ/p)^{∗} ⟶^{≅} (ℤ/p^{e})^{∗}

som tar (px, ā) til exp_{p}(px) · τ^{∗}(ā), og det er en splitt ekstensjon

pℤ/p^{e} ⟶^{exp_{p}} (ℤ/p^{e})^{∗} ⟶^{π^{∗}} (ℤ/p)^{∗} .

Her er pℤ/p^{e} ≅ ℤ/p^{e−1} og (ℤ/p)^{∗} ≅ ℤ/(p − 1), så abstrakt er

(ℤ/p^{e})^{∗} ≅ ℤ/p^{e−1} × ℤ/(p − 1) ≅ ℤ/p^{e−1}(p − 1) .

Bevis. Isomorfien pℤ/p^{e} ≅ ℤ/p^{e−1} tar px til x, og isomorfien ℤ/p^{e−1} × ℤ/(p − 1) ≅ ℤ/p^{e−1}(p − 1) gjelder også som ringer, ved det kinesiske restteoremet. Resten av isomorfiene følger ved å sette sammen Lemma 1 med Lemma 5 og Gauss’ teorem.

For e ≥ 2 induserer ringhomomorfien ℤ/p^{e} → ℤ/p^{2} en gruppesurjeksjon

ℤ/p^{e−1}(p − 1) ≅ (ℤ/p^{e})^{∗} ⟶ (ℤ/p^{2})^{∗} ≅ ℤ/p(p − 1) .

Et element i ℤ/p^{e−1}(p − 1) er en generator hvis og bare hvis dets bilde i ℤ/p(p − 1) er en generator. Og ḡ genererer (ℤ/p^{2})^{∗} hvis og bare hvis g er en primitiv rot modulo p og ḡ^{p−1} ≠ ¯1 i 1 + pℤ/p^{2} ⊂ (ℤ/p^{2})^{∗}. □

Tilfellet p = 2 krever noen tilpasninger. Da er (ℤ/2)^{∗} triviell, og exp_{2} er ikke definert på hele 2ℤ/2^{e}.

Definisjon. For e ≥ 2 la π: ℤ/2^{e} → ℤ/4 være ringhomomorfien som for a ∈ ℤ tar ā ∈ ℤ/2^{e} til ā ∈ ℤ/4. La π^{∗}: (ℤ/2^{e})^{∗} → (ℤ/4)^{∗} være den restrikterte gruppehomomorfien.

Lemma 1’. Det er en ekstensjon av abelske grupper

1 + 4ℤ/2^{e} ⟶ (ℤ/2^{e})^{∗} ⟶^{π^{∗}} (ℤ/4)^{∗} .

Her er (ℤ/4)^{∗} = {¯1, ¯3} ≅ ℤ/2.

Definisjon. La Teichmüller-homomorfien τ^{∗}: (ℤ/4)^{∗} → (ℤ/2^{e})^{∗} være gitt ved τ^{∗}(¯1) = ¯1 og τ^{∗}(¯3) = \overline{2^{e} − 1}. Da er τ^{∗} en gruppehomomorfi, og π^{∗} ∘ τ^{∗} = id. Altså er ekstensjonen ovenfor splitt.

Definisjon. La exp_{2} : 4ℤ/2^{e} → 1 + 4ℤ/2^{e} ⊂ (ℤ/2^{e})^{∗} være gitt ved

exp_{2}(4x) = ∑_{n=0}^{∞}(4x)^{n}/n! .

Summen konvergerer i ℤ/2^{e} fordi

ord_{2}((4x)^{n}) = n(2 + ord_{2}(x)) ≥ 2n

mens

ord_{2}(n!) ≤ n

så ord_{2}((4x)^{n}/n!) ≥ n ≥ 2 for n ≥ 2 og vokser mot +∞ med voksende n. Altså tar exp_{2} verdier i 1 + 4ℤ/2^{e} og er veldefinert.

Proposisjon. exp_{2} : 4ℤ/2^{e} → 1 + 4ℤ/2^{e} er en gruppeisomorfi.

Bevis. Argumentet for at exp_{2} er en gruppehomomorfi er som før. At den er en isomorfi kan vises ved å bruke inversen log_{2} : 1 + 4ℤ/2^{e} → 4ℤ/2^{e} gitt ved

log_{2}(4y) = ∑_{m=1}^{∞}(−1)^{m+1}(4y)^{m}/m .

Igjen er ord_{2}((4y)^{m}/m) ≥ 2m−m/2 ≥ 3 for m ≥ 2 og vokser mot +∞ med m. Altså er log_{2} veldefinert, og samme argument som før viser at exp_{2}(log_{2}(1+4y)) = 1+4y for y ∈ ℤ/2^{e}. Altså er exp_{2} surjektiv, og siden 4ℤ/2^{e} og 1 + 4ℤ/2^{e} begge har 2^{e−2} elementer er exp_{2} en gruppeisomorfi. □

Teorem 2’. La e ≥ 1. Enhetsgruppen (ℤ/2^{e})^{∗} er syklisk for e = 1 og e = 2 men ikke for e ≥ 3. For e ≥ 3 er (ℤ/2^{e})^{∗} generert av \overline{−1} og ¯5, der \overline{−1} har orden 2 og ¯5 har orden 2^{e−2}.

La e ≥ 2. Eksponensialavbildningen exp_{2} og Teichmüller-avbildningen τ^{∗} definerer en gruppeisomorfi

exp_{2} ·τ^{∗}: 4ℤ/2^{e} × (ℤ/4)^{∗} ⟶^{≅} (ℤ/2^{e})^{∗}

som tar (4x, ā) til exp_{2}(4x) · τ^{∗}(ā), og det er en splitt ekstensjon

4ℤ/2^{e} ⟶^{exp_{2}} (ℤ/2^{e})^{∗} ⟶^{π^{∗}} (ℤ/4)^{∗} .

Her er 4ℤ/2^{e} ≅ ℤ/2^{e−2} og (ℤ/4)^{∗} ≅ ℤ/2, så abstrakt er

(ℤ/2^{e})^{∗} ≅ ℤ/2^{e−2} × ℤ/2 .

Bevis. Vi må vise at ¯5 genererer 1 + 4ℤ/2^{e} ⊂ (ℤ/2^{e})^{∗} for e ≥ 3. Ringhomomorfien ℤ/2^{e} → ℤ/8 induserer en gruppesurjeksjon ℤ/2^{e−2} ≅ 1 + 4ℤ/2^{e} → 1 + 4ℤ/8 = {¯1, ¯5} ≅ ℤ/2. Så ethvert element i inversbildet av ¯5 ∈ 1 + 4ℤ/8 er en generator for 1+4ℤ/2^{e}, siden den tilsvarende påstanden gjelder for gruppesurjeksjonen ℤ/2^{e−2} → ℤ/2. Og ¯5 ∈ 1 + 4ℤ/2^{e} er et slikt element, altså en generator. □

Oslo, 21. februar 2000