GRUPPEHOMOLOGI

John Rognes

April 1998

1. Bar-resolusjonen

La G være en gruppe.

La EG være kategorien med elementene i G som objekter, og en entydig morfisme fra g til g′ for hver g, g′ ∈ G. Vi kaller denne morfismen g′g^{−1}. Så gitt g, h ∈ G er det en entydig morfisme h: g → hg. Sammensetningen av morfismer er da gitt ved multiplikasjonen i gruppen: h ∘ h′ = hh′.

Kategorien EG har f.eks. enhetselementet e ∈ G som initielt objekt. Derfor er realiseringen EG = |EG| kontraktibel. Her er EG den simplisielle mengden

[q] ↦ G^{q+1}

der et element (g_{0}, …, g_{q}) ∈ G^{q+1} tenkes på som et diagram

g_{0} ⟵^{g_{0}g_{1}^{−1}} g_{1} ⟵^{g_{1}g_{2}^{−1}} … ⟵^{g_{q−1}g_{q}^{−1}} g_{q}

i EG. Fasett-avbildningen d_{i} sletter g_{i} fra dette diagrammet, og erstatter g_{i−1}g_{i}^{−1} og g_{i}g_{i+1}^{−1} med sammensetningen g_{i−1}g_{i+1}^{−1}.

Siden G har inverser kan vi alternativt beskrive simplekset (g_{0}, …, g_{q}) ved objektet g_{q} og q-tuplet av morfismer g_{0}g_{1}^{−1}, …, g_{q−1}g_{q}^{−1}. Vi bruker bar-notasjonen til Eilenberg og Mac Lane:

(g_{0}, …, g_{q}) = [g_{0}g_{1}^{−1}| … |g_{q−1}g_{q}^{−1}]g_{q} = [h_{1}| … |h_{q}]g_{q}

der elementene h_{i} = g_{i−1}g_{i}^{−1} er en slags homogene koordinater. Fasett-avbildningen d_{i} er da gitt ved

d_{i}([h_{1}| … |h_{q}]g_{q}) = \{ \begin{matrix}[h_{2}| … |h_{q}]g_{q} & i = 0, \\ [h_{1}| … |h_{i}h_{i+1}| … |h_{q}]g_{q} & 0 < i < q, \\ [h_{1}| … |h_{q−1}]h_{q}g_{q} & i = q. \end{matrix}

For q = 0 skriver vi (g_{0}) = []g_{0}.

Gruppen G virker fritt på EG fra høyre, ved g · γ = gγ på objektene, og (h: g → hg) · γ = (h: gγ → hgγ) på morfismene. I bar-notasjonen er virkningen

[h_{1}| … |h_{q}]g_{q} · γ = [h_{1}| … |h_{q}]g_{q}γ .

Typeset by AMS-TEX

Dermed virker G også fritt fra høyre på EG.

La BG = EG/G være orbit-kategorien for denne fri G-virkningen. Det er bare ett objekt ∗ i BG, mens hvert element h ∈ G representerer en morfisme h: ∗ → ∗. Sammensetningen av morfismer er gitt ved multiplikasjonen i gruppen: g ∘ h = gh.

La BG = |BG| være realiseringen av BG. Da er BG = EG/G orbit-rommet for den fri G-virkningen på EG. Her er BG den simplisielle mengden

[q] ↦ G^{q}

med q-simplekser [h_{1}| … |h_{q}] for h_{1}, …, h_{q} ∈ G, som representerer ekvivalensklassen av alle [h_{1}| … |h_{q}]g_{q} i EG_{q} med g_{q} ∈ G. Fasett-avbildningene er gitt ved

d_{i}([h_{1}| … |h_{q}]) = \{ \begin{matrix}[h_{2}| … |h_{q}] & i = 0, \\ [h_{1}| … |h_{i}h_{i+1}| … |h_{q}] & 0 < i < q, \\ [h_{1}| … |h_{q−1}] & i = q. \end{matrix}

Vi kaller BG (den geometriske) bar-konstruksjonen på G, eller det klassifiserende rommet til G.

La E_{∗}(G) = C_{∗}(EG) være det (ureduserte) cellulære kjedekomplekset til den simplisielle mengden EG. Så E_{q}(G) = C_{q}(EG) = ℤ{EG_{q}} = ℤ{G^{q+1}} i hver grad q. Randavbildingen ∂_{q}: E_{q}(G) → E_{q−1}(G) er gitt ved

∂_{q}(x) = ∑_{i=0}^{q}(−1)^{i}d_{i}(x)

for x ∈ E_{q}(G). Augmentasjonen ϵ: E_{0}(G) → ℤ er gitt ved ϵ([]g_{0}) = 1 for alle g_{0} ∈ G. Siden G virker fritt på EG_{q} er hver E_{∗}(G) en fri høyre ℤ[G]-modul. Videre er

H_{n}(E_{∗}(G)) ≅ H_{n}(EG) ≅ H_{n}(∗) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & n = 0, \\ 0 & ellers, \end{matrix}

siden EG ≃ ∗. Dette viser at E_{∗}(G) ⟶^{ϵ} ℤ er en fri resolusjon av ℤ i kategorien av høyre ℤ[G]-moduler. Vi kaller E_{∗}(G) bar-resolusjonen for gruppen G.

La B_{∗}(G) = C_{∗}(BG) være det cellulære kjedekomplekset til den simplisielle mengden BG. Da er B_{q}(G) = C_{q}(BG) = ℤ{BG_{q}} = ℤ{G^{q}} i hver grad q. Randavbildningen ∂_{q} er gitt ved samme formel som ovenfor, dvs.

∂_{q}([h_{1}| … |h_{q}]) =

[h_{2}| … |h_{q}] + ∑_{0<i<q}(−1)^{i}[h_{1}| … |h_{i}h_{i+1}| … |h_{q}] + (−1)^{q}[h_{1}| … |h_{q−1}] .

Fra EG/G = BG følger isomorfien

E_{∗}(G) ⊗_{G} ℤ ≅ B_{∗}(G) .

Vi kaller B_{∗}(G) (den algebraiske) bar-konstruksjonen på G.

2. Gruppe-homologi

La M være en venstre G-modul, og N en høyre G-modul.

Gruppe-homologien til G med koeffisienter i M er definert som homologien til tensor-komplekset E_{∗}(G) ⊗_{G} M:

H_{n}(G; M) = H_{n}(E_{∗}(G) ⊗_{G} M) .

Tilsvarende er gruppe-kohomologien til G med koeffisienter i N definert som kohomologien til hom-kokomplekset Hom_{G}(E_{∗}(G), N):

H^{n}(G; N) = H^{n}(Hom_{G}(E_{∗}(G), N) .

Vi skriver H_{n}(G) = H_{n}(G; ℤ) og H^{n}(G) = H^{n}(G; ℤ) i tilfellene hvor ℤ oppfattes som en triviell høyre- eller venstre-modul.

Fra identifikasjonen av cellulær og singulær homologi og kohomologi fås isomorfier H_{∗}(G) ≅ H_{∗}(BG) og H^{∗}(G) ≅ H^{∗}(BG). Mer generelt er det isomorfier H_{∗}(G; M) ≅ H_{∗}(BG; M) og H^{∗}(G; N) ≅ H^{∗}(BG; N) der høyresidene er gitt ved homologi og kohomologi med vridde koeffisienter, i Eilenbergs forstand.

Gitt en fri resolusjon P_{∗} → ℤ av ℤ i kategorien av høyre ℤ[G]-moduler finnes det en kjedehomotopi-ekvivalens E_{∗}(G) ≃ P_{∗} over ℤ, som er entydig bestemt opp til kjedehomotopi. Denne induserer kanoniske isomorfier

H_{n}(G; M) = H_{n}(E_{∗}(G) ⊗_{G} M) ≅ H_{n}(P_{∗} ⊗_{G} M)

og

H^{n}(G; N) = H^{n}(Hom_{G}(E_{∗}(G), N)) ≅ H^{n}(Hom_{G}(P_{∗}, N)) .

Vi kan derfor beregne H_{n}(G; M) og H^{n}(G; N) ved hjelp av en vilkårlig slik fri (eller projektiv) resolusjon av den trivielle G-modulen ℤ. Uttrykt ved de deriverte funktorene Tor of Ext til ⊗_{G} og Hom_{G} er det isomorfier

H_{∗}(G; M) ≅ Tor_{∗}^{ℤ[G]}(ℤ, M)

og

H^{∗}(G; N) ≅ Ext_{ℤ[G]}^{∗}(ℤ, N) .

Spesielt er H_{0}(G; M) = M_{G} (koinvariantene) og H^{0}(G; N) = N^{G} (invariantene) for alle G, M og N.

Eksempel 2.1. Hvis G = ℤ er ℤ[G] = ℤ[T, T^{−1}] ringen av Laurent-polynomer i en variabel T, der T genererer G = ℤ. Det finnes en kort fri resolusjon

0 → ℤ[T, T^{−1}] ⟶^{1−T} ℤ[T, T^{−1}] ⟶^{ϵ} ℤ → 0

med ϵ(T) = 1. Så P_{q} = ℤ[T, T^{−1}] for q = 0, 1, og er null ellers. I dette tilfellet er en G-modul M gitt ved virkningen av T på M. Tensor-komplekset P ⊗_{G} M er

0 → M ⟶^{1−T} M → 0 .

Så H_{0}(ℤ; M) = M_{T} (koinvarianter), H_{1}(ℤ; M) = M^{T} (invarianter) og H_{n}(ℤ; M) = 0 for n ≠ 0, 1. Hom-komplekset Hom_{G}(P_{∗}, N) er

0 ⟵ M ⟵^{1−T} M ⟵ 0

så H^{0}(ℤ; M) = M^{T}, H^{1}(ℤ; M) = M_{T} og H^{n}(ℤ; M) = 0 ellers. Det er en homotopiekvivalens Bℤ ≃ S^{1}.

Eksempel 2.2. La G = C_{m} være den sykliske gruppen av orden m. Da er ℤ[G] ≅ ℤ[T]/(T^{m} − 1) og det finnes en periodisk fri resolusjon

… ⟶^{1−T} ℤ[G] ⟶^{N} ℤ[G] ⟶^{1−T} ℤ[G] ⟶^{ϵ} ℤ

der N = 1 + T + ⋯ + T^{m−1} kalles norm-elementet. Med trivielle koeffisienter har P_{∗} ⊗_{G} ℤ formen

… ⟶^{0} ℤ ⟶^{m} ℤ ⟶^{0} ℤ → 0

så

H_{n}(C_{m}) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & n = 0, \\ ℤ/m & n > 0 odde, \\ 0 & n > 0 jevn. \end{matrix}

Kokomplekset Hom_{G}(P_{∗}; ℤ) er

… ⟵^{0} ℤ ⟵^{m} ℤ ⟵^{0} ℤ ⟵ 0

og

H^{n}(C_{m}) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & n = 0, \\ 0 & n > 0 odde, \\ ℤ/m & n > 0 jevn. \end{matrix}

Det er homotopiekvivalenser BC_{2} ≃ ℝP^{∞} og BC_{m} ≃ L_{m}^{∞} der L_{m}^{∞} er linserommet S(ℂ^{∞})/C_{m}.

Eksempel 2.3. La X = ⋁^{k} S^{1} være ettpunktsunionen av k sirkler, og la X̃ → X være den universelle overdekningen. Fra van Kampens teorem er π_{1}(X) = F_{k} den fri gruppen på k generatorer. Videre er X̃ en 1-sammenhengende graf, dvs. et tre, så X̃ ≃ ∗. Derfor er P_{∗} = C_{∗}(X̃) en ℤ[F_{k}]-fri resolusjon av ℤ, og H_{n}(P_{k} ⊗_{F_{k}} ℤ) ≅ H_{n}(C_{∗}(X̃) ⊗_{π_{1}(X)} ℤ) ≅ H_{n}(C_{∗}(X)) = H_{n}(⋁^{k} S^{1}). Så

H_{n}(F_{k}) = \{ \begin{matrix}ℤ & n = 0 \\ ℤ^{k} & n = 1 \\ 0 & n ≥ 2. \end{matrix}

Det er en homotopiekvivalens BF_{k} ≃ ⋁^{k} S^{1}.

Eksempel 2.4. Anta at G virker fritt på et CW-kompleks X homeomorft med en odde-dimensjonal sfære S^{2k−1}. Da er H_{n}(C_{∗}(X)) = ℤ for n = 0, 2k − 1 og 0 ellers. Komplekset

0 → ℤ ⟶^{η} C_{2k−1}(X) ⟶^{∂_{2k−1}} … ⟶^{∂_{1}} C_{0}(X) ⟶^{ϵ} ℤ → 0

er eksakt, og G virker trivielt på begge ℤ’ene. La P_{n} = C_{q}(X) for 0 ≤ q < 2k med n ≡ q mod 2k. Spleis kompleksene sammen, så ∂_{2k} = ηϵ, osv. Da er P_{∗} en G-fri resolusjon av ℤ, og H_{∗}(G) kan beregnes fra H_{∗}(X/G) fordi P_{∗} ⊗_{G} ℤ er spleiset sammen av kopier av C_{∗}(X) ⊗_{G} ℤ ≅ C_{∗}(X/G). Spesielt er H_{n}(G) periodisk i n, med periode 2k.

Eksempel 2.5. La X være rommet av kvadratiske former på ℝ^{n}, identifisert med rommet av positivt definitte symmetriske n × n-matriser. Dette er et konvekst åpent underrom av Symm_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{\binom{n+1}{2}}, og derfor kontraktibelt. Den generelle lineære gruppen GL_{n}(ℝ) virker fra venstre på X ved

g · A = gAg^{T} ,

for g ∈ GL_{n}(ℝ), A ∈ Symm_{n}(ℝ). Virkningen er transitiv, og stabilisatoren til identitetsmatrisen (som svarer til q(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}) er den ortogonale gruppen O(n) ⊂ GL_{n}(ℝ). Vi får en homeomorfi

X ≅ GL_{n}(ℝ)/O(n) .

Undergruppen G = GL_{n}(ℤ) ⊂ GL_{n}(ℝ) virker på X fra venstre. Stabilisatoren til en x = gO(n) i X er

G_{x} = {h ∈ GL_{n}(ℤ) | hx = x} = GL_{n}(ℤ) ∩ gO(n)g^{−1}

som er endelig, siden O(n) er kompakt og G er diskret. Så hvis Γ ⊂ GL_{n}(ℤ) er en torsjonsfri undergruppe virker Γ fritt på X. Dermed er X/Γ ≃ BΓ, og H_{∗}(Γ) ≅ H_{∗}(X/Γ).

Kjernen Γ(N) til homomorfien GL_{n}(ℤ) → GL_{n}(ℤ/N) kalles den prinsipale kongruensundergruppen av nivå N, og er torsjonsfri for alle N ≥ 3. Gruppen Γ(2) har bare 2-torsjon.

Eksempel 2.6. La X_{0} være rommet av kvadratiske former på ℝ^{n} opp til skalarmultiplikasjon, dvs. vi identifiserer q ∼ λq for λ > 0. Det er en fibrering X → X_{0} med fiber (0, ∞), så X_{0} ≅ ℝ^{\binom{n+1}{2}−1} og

X_{0} ≅ SL_{n}(ℝ)/SO(n) .

I tilfellet n = 2 kan X_{0} = SL_{2}(ℝ)/SO(2) identifiseres med det hyperbolske plan, eller øvre komplekse halvplan

H = {z ∈ ℂ | Im(z) > 0}

med virkningen [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] · z = \frac{az+b}{cz+d}. Isotropien i z = i er SO(2).

3. Funktorielle egenskaper

En gruppehomomorfi ϕ: H → G induserer en avbildning Bϕ: BH → BG og en homomorfi ϕ_{∗}: B_{∗}(H) → B_{∗}(G) av kjedekomplekser. Denne tar [h_{1}| … |h_{q}] ∈ B_{q}(H) til [ϕ(h_{1})| … |ϕ(h_{q})] ∈ B_{q}(G). Dette gir naturlige homomorfier i gruppehomologi og -kohomologi:

ϕ_{∗}: H_{n}(H) ⟶ H_{n}(G)
ϕ^{∗}: H^{n}(G) ⟶ H^{n}(H)

for alle n.

Shapiros Lemma 3.1. Hvis H ⊆ G, M er en venstre H-modul og N er en høyre H-modul, så er ind_{H}^{G}(M) = ℤ[G] ⊗_{H} M en venstre G-modul og coind_{H}^{G} = Hom_{H}(ℤ[G], N) en høyre G-modul, og det er naturlige isomorfier

H_{n}(H; M) ≅ H_{n}(G; ind_{H}^{G}(M))
H^{n}(H; N) ≅ H^{n}(G; coind_{H}^{G}(N))

for alle n.

Bevis. Det er en isomorfi E_{∗}(G) ⊗_{G} ind_{H}^{G}(M) ≅ E_{∗}(G) ⊗_{H} M, og E_{∗}(G) → ℤ kan oppfattes som en resolusjon av fri H-moduler. Den kan derfor brukes til å beregne H_{∗}(H; M). I kohomologi brukes en isomorfi Hom_{G}(E_{∗}(G), coind_{H}^{G}(N)) ≅ Hom_{H}(E_{∗}(G), N). □

Sats 3.2. Konjugasjon med et element γ ∈ G definerer en indre automorfi ϕ: G → G, dvs. ϕ(g) = γgγ^{−1}. Den induserte kjedeavbildningen ϕ_{∗}: B_{∗}(G) → B_{∗}(G) er kjedehomotop til identiteten, så indre automorfier induserer identiteten på homologi og kohomologi.

Bevis. Multiplikasjon med γ fra venstre definerer en funktor γ·: EG → EG, som tar morfismen h: g → hg til ϕ(h) = γhγ^{−1} : γg → γhg. Morfismene γ: g → γg definerer en naturlig transformasjon η fra identiteten på EG til γ·.

Disse er kompatible med den fri høyrevirkningen på EG. På orbitkategorien BG induserer γ· funktoren ϕ: h ↦ γhγ^{−1}, og η induserer en naturlig transformasjon fra identiteten på BG til ϕ. Altså er Bϕ homotop til identiteten på BG, og ϕ_{∗} er kjedehomotop til identiteten på B_{∗}(G). □

Det følger at hvis H er normal i G, og G virker på H ved konjugasjon, så virker G på H_{n}(H) og H^{n}(H) gjennom funktorialiteten, og virkningen restriktert til H er triviell. Derfor induseres en virkning av kvosientgruppen G/H på H_{n}(H) og H^{n}(H).

Hvis ϕ: H ⊂ G har endelig indeks, finnes det transfer-homomorfier

ϕ^{!} : H_{n}(G) → H_{n}(H)
ϕ_{!} : H^{n}(H) → H^{n}(G)

i motsatt retning av de naturlige homomorfiene ϕ_{∗} og ϕ^{∗}.

La N = ∑_{g∈G/H} g ∈ ℤ[G/H] ≅ ℤ[G]⊗_{H} ℤ være summen av restklassene i G/H. Det er en venstre G-modul homomorfi N: ℤ → ℤ[G/H], som tar 1 til N. Denne induserer en kjedeavbildning

B_{∗}(G) = E_{∗}(G) ⊗_{G} ℤ ⟶^{1⊗N} E_{∗}(G) ⊗_{G} ℤ[G/H] ≅ E_{∗}(G) ⊗_{H} ℤ .

som vi også kaller N. Videre er det en kjedehomotopiekvivalens E_{∗}(G) ⊗_{H} ℤ ≃ B_{∗}(H), som er entydig opp til kjedehomotopi. Da er ϕ^{!} den sammensatte avbildningen

ϕ^{!} : H_{n}(G) = H_{n}(B_{∗}(G)) ⟶^{N_{∗}} H_{n}(E_{∗}(G) ⊗_{H} ℤ) ≅ H_{n}(B_{∗}(H)) = H_{n}(H) .

Fra et geometrisk synspunkt er det et overdekningsrom π: EG/H → EG/G = BG med fiber G/H. Hver q-celle σ i BG tillater en løftning til EG/H, for hvert punkt i fiberen G/H. La N: C_{∗}(BG) → C_{∗}(EG/H) være kjedeavbildningen som sender σ til summen av disse [G : H] løftningene. Det er en homotopiekvivalens BH → EG/H, og ϕ^{!} er den sammensatte homomorfien

ϕ^{!} : H_{n}(G) = H_{n}(C_{∗}(BG)) ⟶^{N_{∗}} H_{n}(C_{∗}(EG/H)) = H_{n}(EG/H) ≅ H_{n}(BH) .

Her er det lett å se at sammensetningen ϕ_{∗}ϕ^{!} er multiplikasjon med indeksen [G : H] til H i G.

Sats 3.3. La G være en gruppe, ϕ: H ⊂ G en undergruppe av endelig indeks d = [G : H], M en venstre G-modul og N en høyre G-modul. Sammensetningene

H_{n}(G; M) ⟶^{ϕ^{!}} H_{n}(H; M) ⟶^{ϕ_{∗}} H_{n}(G; M)
H^{n}(G; N) ⟶^{ϕ^{∗}} H^{n}(H; N) ⟶^{ϕ_{!}} H^{n}(G; N)

er begge multiplikasjon med d.

Dersom multiplikasjon med d på M er invertibel, så er H_{∗}(G; M) en direkte summand av H_{∗}(H; M). Dersom multiplikasjon med d på N er invertibel, så er H^{∗}(G; N) en direkte summand av H^{∗}(H; N).

Hvis G er av endelig orden g, så er g en eksponent for hver H_{n}(G; M) og H^{n}(G; N) med n ≠ 0.

Hvis p er et primtall og H er en p-Sylow undergruppe i G, så er H_{∗}(G)_{(p)} en direkte summand i H_{∗}(H)_{(p)}, og H^{∗}(G)_{(p)} er en direkte summand i H^{∗}(H)_{(p)}.

Eksempel 3.4. La 𝔽_{q} være en endelig kropp av karakteristikk p. Tits bygningen B_{k}(𝔽_{q}) er realiseringen av kategorien av ekte, ikke-trivielle underrom av 𝔽_{q}^{k}, og inklusjoner mellom slike. Ved Solomon–Tits teoremet er B_{k}(𝔽_{q}) homotopiekvivalent med en ett-punkts union (wedge) av sfærer, alle av dimensjon (k − 2).

Steinberg-representasjonen St_{k}(𝔽_{q}) er definert som H̃_{k−2}(B_{k}(𝔽_{q})). Gruppen GL_{k}(𝔽_{q}) virker på B_{k}(𝔽_{q}) gjennom dens virkning på underrom av 𝔽_{q}^{k}, og dermed på St_{k}(𝔽_{q}). Steinberg-representasjonen er altså en GL_{k}(𝔽_{q})-modul.

La P ⊂ GL_{k}(𝔽_{q}) være p-Sylow undergruppen av strengt øvretriangulære matriser. Restriktert til P er Steinberg-representasjonen isomorf med den regulære representasjonen ℤ[P]. Så

H_{n}(P; St_{k}(𝔽_{q})) ≅ H_{n}(P; ℤ[P]) ≅ H_{n}(1; ℤ)

er ℤ for n = 0 og 0 ellers, ved Shapiros lemma 3.1. Etter p-lokalisering er derfor

H_{n}(GL_{k}(𝔽_{q}); St_{k}(𝔽_{q}))_{(p)} = 0

for alle n > 0.

Fra Quillens rang-filtrasjon i algebraisk K-teori følger fra dette at

K_{n}(𝔽_{q})_{(p)} = 0

for n > 0. Den algebraiske K-teorien til en endelig kropp er altså triviell etter lokalisering ved karakteristikken.

4. Pushout og amalgamert produkt

La G_{0}, G_{1} og G_{2} være grupper, med injektive homomorfier α_{1} : G_{0} → G_{1} og α_{2} : G_{0} → G_{2}. Det amalgamerte produktet

G = G_{1} ∗_{G_{0}} G_{2}

er pushout i kategorien av grupper av diagrammet

G_{1} ⟵^{α_{1}} G_{0} ⟶^{α_{2}} G_{2} .

La X være pushout i kategorien av rom av det induserte diagrammet

BG_{1} ⟵ BG_{0} ⟶ BG_{2} .

Så X = BG_{1} ∪_{BG_{0}} BG_{2}. Avbildningene her er kofibreringer, så X er homotopiekvivalent til homotopipushout av det samme diagrammet, dvs.

BG_{1} ∪ (BG_{0} × I) ∪ BG_{2} .

Sats 4.1 (J.H.C. Whitehead). La G = G_{1} ∗_{G_{0}} G_{2}. Den naturlige avbildningen

BG_{1} ∪_{BG_{0}} BG_{2} ⟶^{≃} BG

er en homotopiekvivalens. Det er en lang eksakt sekvens

⋯ → H_{n}(G_{0}) ⟶^{α_{1}⊕α_{2}} H_{n}(G_{1}) ⊕ H_{n}(G_{2}) → H_{n}(G) ⟶^{∂} H_{n−1}(G_{0}) → ….

Bevis. Rommet X er sammenhengende, og ved van Kampens teorem er π_{1}(X) ≅ G. La π: X̃ → X være den universelle overdekningen til X, og la X_{i} = π^{−1}(BG_{i}) = BG_{i} ×_{X} X̃ være pullback av X̃ over BG_{i} ⊂ X. Siden BG_{i} → X induserer en injeksjon G_{i} → G av fundamentalgrupper er overdekningen X_{i} av BG_{i} en disjunkt union av kontraktible rom. Så X̃ = X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} har homotopitypen til en graf, og er 1-sammenhengende. Det følger at X̃ er kontraktibel, så X ≃ BG. □

Eksempel 4.2. (Sammenlign med eksempel 2.6.) Det finnes et tre T ⊂ X_{0} ≅ H som bevares under virkningen av G = SL_{2}(ℤ). En kant AB i treet er et fundamentalområde for virkningen, og avbildes isomorft på orbitrommet T/G. Stabilisatoren til A er syklisk av orden 4 generert av t = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ], stabilisatoren til B er syklisk

av orden 6 generert av s = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ], og stabilisatoren til AB er syklisk av orden 2

generert av t^{2} = s^{3} = [ \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ]. Det følger at

SL_{2}(ℤ) ≅ C_{4} ∗_{C_{2}} C_{6}

er et amalgamert produkt av grupper. Det er eksakte sekvenser

0 → H_{2i}(SL_{2}(ℤ)) ⟶^{∂} ℤ/2 → ℤ/4 ⊕ ℤ/6 → H_{2i−1}(SL_{2}(ℤ)) → 0

for i ≥ 1. Her er α_{2} : ℤ/2 → ℤ/6 splitt injektiv, så ∂ = 0 og

H_{n}(SL_{2}(ℤ)) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & n = 0, \\ ℤ/12 & n > 0 odde, \\ 0 & ellers. \end{matrix}

5. Lave grader

Det er isomorfier H_{0}(G; M) ≅ G_{M}, H_{1}(G) ≅ G^{ab} = G/[G, G] og H^{0}(G; N) ≅ N^{G}.

Gruppen H^{1}(G; N) er isomorf med kvosientgruppen

Der(G, N)/P (G, N)

av derivasjoner G → N, modulo de prinsipale derivasjonene. Det er en bijeksjon mellom Der(G, N)/P (G, N) og N-konjugasjonsklasser av splittinger av den splittbare ekstensjonen

0 → N ⟶ N ⋊ G ⟶ G → 0 .

Det er en bijeksjon mellom H^{2}(G; N) og ekvivalensklassene av ekstensjoner

0 → N ⟶ E ⟶ G → 0

hvor G = E/N virker på N ved konjugasjon.

6. Produkter

(Diagonal B_{∗}(G) → B_{∗}(G) ⊗ B_{∗}(G), cup produkt, Hopf algebra struktur på H_{∗}(G; k) og H^{∗}(G; k).)

H^{∗}(C_{m}; ℤ) ≅ ℤ[y]/(my = 0) med deg(y) = 2.

H^{∗}(C_{p^{e}}; 𝔽_{p}) ≅ \{ \begin{matrix}𝔽_{2}[x] & p = 2 og e = 1, \\ Λ(x) ⊗ 𝔽_{p}[y] & ellers. \end{matrix}

Her er deg(x) = 1 og deg(y) = m.

7. Spektralsekvenser

(Hochschild–Serre, Cartan–Leray)

La G virke cellulært på et asyklisk CW-kompleks X. La X_{p} være p-cellene i X, og la Σ_{p} være en mengde representanter for X_{p}/G. Det er en spektralsekvens

E_{pq}^{1} = ⨁_{σ∈Σ_{p}} H_{q}(G_{σ}; M_{σ}) ⟹ H_{p+q}(G; M) .

Her er G_{σ} ⊆ G stabilisatoren til σ, og M_{σ} er G-representasjonen M restriktert til G_{σ}, tensor orienteringsrepresentasjonen for virkningen av G_{σ} på cellen σ.