TOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET

John Rognes

8. mai 2003

0. Ikke-kommutative rom og bunter

Ved Gelfand–Naimark korrespondansen svarer det et kompakt Hausdorff rom X til enhver kommutativ C^{∗}-algebra A, med A ≅ C(X) = Map(X, ℂ), og ikkekommutativ geometri handler om de generaliserte “rom” som kan tenkes å svare til ikke-kommutative C^{∗}-algebraer.

Ved Serre–Swan teoremet svarer det en (kompleks) vektorbunt E → X til hver endelig-generert projektiv C(X)-modul P, med P ≅ Γ(E) lik seksjonene i E → X. I ikke-kommutativ geometri svarer derfor endelig-genererte projektive moduler over en ikke-kommutativ C^{∗}-algebra A til generaliserte vektorbunter over det generaliserte rommet som svarer til A.

La ℰ være en C^{∗}-modul over en C^{∗}-algebra A, la End_{A}^{00}(ℰ) være idealet i End_{A}(ℰ) av A-endelig-rang operatorer på ℰ, og la dets norm-tillukning End^{0}(ℰ) være de Akompakte operatorene. La ℋ_{A} være C^{∗}-modulen over A av følger (a_{k})_{k=0}^{∞} i A med rekken ∑_{k=0}^{∞} a_{k}^{∗}a_{k} konvergent i A.

For en unital C^{∗}-algebra A svarer endelig-genererte projektive A-moduler P til C^{∗}-moduler ℰ over A på formen ℰ = pℋ_{A} der p er en A-kompakt projeksjon (= selvadjungert idempotent) på ℋ_{A}, som igjen svarer til C^{∗}-moduler ℰ over A slik at identiteten på ℰ er en A-kompakt operator. Dette gir tre ekvivalente modeller for de ikke-kommutative vektorbuntene over det ikke-kommutative rommet som svarer til A, uttrykt enten ved algebraiske moduler, eller ved projeksjoner, eller ved C^{∗}-moduler.

1. Kohomologi og K-teori

I algebraisk topologi, f.eks. som et verktøy for geometrisk topologi, studeres topologiske rom mest effektivt ved hjelp av kohomologi-teorier. Disse er kontravariante funktorer E^{∗} som tar topologiske rom til graderte abelske grupper. Viktige eksempler på slike er singulær kohomologi H^{∗}, og topologisk K-teori K^{∗}. Geometrisk sett er K-teori bygget fra vektorbunter, mens kohohomologi er bygget fra differensial-former. Algebraisk er K-teori bygget fra moduler og idealer, mens kohomologi er bygget fra divisorer. Aritmetisk er K-teori bygget fra idealer mens kohomologi er bygget fra prim-idealer, eller valuasjoner. I hvert tilfelle er det en naturlig transformasjon fra K-teori til kohomologi, som arter seg som en Chern karakter, en spor-avbildning, eller en prim-faktorisering.

Tilsvarende ønsker man å utvikle kohomologi-teorier for ikke-kommutative geometriske objekter. Disse blir kovariante funktorer som tar C^{∗}-algebraer til graderte

Typeset by AMS-TEX

abelske grupper. Quillen’s algebraiske K-teori av ringer realiserer denne utvidelsen for K-teori, som vi snart skal se nærmere på. For kohomologi av en glatt mangfoldigheter M sier Hochschild–Kostant–Rosenberg teoremet at for A = C^{∞}(M) er Hochschild-homologigruppene HH_{k}(A) isomorfe med differensial-formene Ω^{k}(M). Connes’ B-operator på Hochschild-homologi motsvarer randoperatoren d på former, så Connes’ sykliske homologi HC_{∗}(A) er isomorf med deRham-kohomologigruppene H_{dR}^{∗}(M) til M. Connes’ sykliske homologi av ringer realiserer så utvidelsen til ikkekommutative rom for kohomologi.

Spor-avbildningen K_{∗}(A) → HC_{∗}(A) generaliserer Chern-karakteren til ringer. For “vidunderlige nye ringer,” eller S-algebraer, finnes det også en videre generalisering av K-teori, syklisk homologi generaliseres til Bökstedt, Hsiang og Madsens topologiske sykliske homologi (T C), og spor-avbildningen erstattes av syklotomsporet.

2. Kohomologi-teorier

Et basert rom er et topologisk rom X utstyrt med et basispunkt x_{0} ∈ X. En basert avbildning mellom baserte rom (X, x_{0}) og (Y, y_{0}) er en kontinuerlig avbildning f: X → Y med f(x_{0}) = y_{0}.

Anta inntil videre at alle rom X, Y etc. er endelige CW-komplekser (evnt. kompakte Hausdorff rom). Dette er de rommene som kan bygges opp i endelig mange trinn ved å feste på n-celler på formen D^{n} langs en avbildning fra randen S^{n−1} ⊂ D^{n} til cellene av dimensjon < n. Eksempler: simplisialkomplekser, mangfoldigheter.

Definisjon. En redusert kohomologi-teori Ẽ^{∗} tilordner til hvert basert rom X en gradert abelsk gruppe Ẽ^{∗}(X), dvs. en følge av abelske grupper Ẽ^{n}(X) for n ∈ ℤ, og til hver basert avbildning f: X → Y en homomorfi f^{∗}: Ẽ^{∗}(Y) → Ẽ^{∗}(X), dvs. en følge av gruppe-homomorfier f^{∗}: Ẽ^{n}(Y) → Ẽ^{n}(X) for n ∈ ℤ. Tilordningen utgjør en kontravariant funktor, dvs. identitetsavbildningen id: X → X induserer identitetshomomorfien id^{∗}: Ẽ^{∗}(X) → Ẽ^{∗}(X), og hvis g: Y → Z er en basert avbildning så er (g ∘ f)^{∗} = f^{∗} ∘ g^{∗}: Ẽ^{∗}(Z) → Ẽ^{∗}(X).

Videre skal Ẽ^{∗} være homotopi-invariant, dvs. hvis f, g: X → Y er homotope som baserte avbildninger så er f^{∗} = g^{∗}: Ẽ^{∗}(Y) → Ẽ^{∗}(X). (Det følger at dersom f: X → Y er en homotopi-ekvivalens, så er f^{∗} en isomorfi.)

Så skal Ẽ^{∗} være halv-eksakt, dvs. hvis A ⊂ X er et under-CW-kompleks (evnt. et lukket underrom) med kvotientrom X/A = X ∪_{A} ∗, så induserer avbildningene A ⟶^{i} X ⟶^{j} X/A en eksakt sekvens

Ẽ^{∗}(X/A) ⟶^{j^{∗}} Ẽ^{∗}(X) ⟶^{i^{∗}} Ẽ^{∗}(A) ,

dvs. bildet av j^{∗} er lik kjernen til i^{∗}.

Til sist skal det være en naturlig suspensjons-isomorfi

σ: Ẽ^{n}(X) ≅ Ẽ^{n+1}(ΣX)

for hvert rom X og for hver n ∈ ℤ. Her er ΣX = X ∧S^{1} ≅ CX ∪_{X} CX suspensjonen av X, der CX = X ∧ I er kjeglen på X, og naturlighet betyr at σ kommuterer med f^{∗} for hver basert avbildning f: X → Y.

Avbildningen j: X → X/A kan faktoriseres som

X ⟶^{j′} X ∪_{A} CA ⟶_{≃}^{h} X/A

der C_{i} = X ∪_{A} CA er avbildningskjeglen til i: A → X, j′: X → C_{i} er inklusjonen av et under-CW-kompleks, og h: C_{i} → X/A kollapser det kontraktible underrommet CA til et punkt, og er en homotopi-ekvivalens. Det er derfor en isomorfi

h^{∗}: Ẽ^{∗}(X/A) ⟶^{≅} Ẽ^{∗}(C_{i}) .

Kvotienten av j′ er C_{i}/X ≅ CA/A ≅ ΣA, så avbildningene X ⟶^{j′} C_{i} ⟶^{k} ΣA induserer en eksakt sekvens

Ẽ^{∗}(X) ⟵^{j^{′∗}} Ẽ^{∗}(C_{i}) ⟵^{k^{∗}} Ẽ^{∗}(ΣA) .

Ved å sette sammen h^{∗}, k^{∗} og suspensjons-isomorfien σ får vi en forbindelseshomomorfi

δ = (h^{∗})^{−1} ∘ k^{∗} ∘ σ: Ẽ^{n}(A) → Ẽ^{n+1}(X/A)

for n ∈ ℤ. Dette argumentet kan føres litt videre, og så kan de ulike eksakte sekvensene settes sammen til en lang eksakt sekvens

… ⟶^{i^{∗}} Ẽ^{n−1}(A) ⟶^{δ} Ẽ^{n}(X/A) ⟶^{j^{∗}} Ẽ^{n}(X) ⟶^{i^{∗}} Ẽ^{n}(A) ⟶^{δ} Ẽ^{n+1}(X/A) ⟶^{j^{∗}} …

for n ∈ ℤ. Denne er eksakt i hver posisjon, dvs. bildet av i^{∗} er lik kjernen til δ, bildet av j^{∗} er lik kjernen til i^{∗} og bildet av δ er lik kjernen til j^{∗}. Dersom f.eks. Ẽ^{∗}(A), Ẽ^{∗}(X/A) og δ er kjent så bestemmer dette nesten Ẽ^{∗}(X), i og med at det er en ekstensjon av abelske grupper

0 → cok(δ) → Ẽ^{n}(X) → ker(δ) → 0 .

for hver n. Disse formelle egenskapene gjør at en kohomologi-teori Ẽ^{∗}(X) er essensielt beregnbar for rom X som er beskrevet som CW-komplekser, bare verdiene Ẽ^{∗}(S^{n}) er kjent for sfærene S^{n}.

(En redusert kohomologi-teori kan entydig utvides til uendelige CW-komplekser, eller vilkårlige topologiske rom, dersom en antar to ytterligere aksiomer, nemlig at den naturlige homomorfien

Ẽ^{∗}(⋁_{α} X_{α}) ⟶ ∏_{α} Ẽ^{∗}(X_{α})

er en isomorfi for vilkårlige familier av rom (X_{α})_{α}, og at f^{∗}: Ẽ^{∗}(Y) → Ẽ^{∗}(X) er en isomorfi dersom f: X → Y er en svak homotopi-ekvivalens.)

En redusert kohomologi-teori Ẽ^{∗} gir opphav til en uredusert kohomologi-teori E^{∗} definert for rom X uten basispunkt, ved formelen

E^{∗}(X) = Ẽ^{∗}(X_{+})

der X_{+} er den disjunkte unionen av X og et basis-punkt. Tilsvarende for avbildninger f: X → Y mellom rom uten basispunkt.

Omvendt gir en uredusert kohomologi-teori E^{∗} opphav til en redusert kohomologiteori Ẽ^{∗} definert for baserte rom (X, x_{0}), ved formelen

Ẽ^{∗}(X) = ker(i^{∗}: E^{∗}(X) → E^{∗}({x_{0}}))

der i: {x_{0}} → X er inklusjonen. Merk at kollaps-avbildningen c: X → {x_{0}} oppfyller c ∘ i = id, så i^{∗} ∘ c^{∗} = id^{∗} er identiteten, dvs. i^{∗} er kanonisk splitt surjektiv.

På denne måten kan vi gå frem og tilbake mellom reduserte og ureduserte kohomologi-teorier, etter som vi ønsker.

3. Halv-eksakte funktorer

For hver abelsk gruppe G definerer redusert singulær kohomologi med koeffisienter i G en redusert kohomologi-teori med E^{∗}(X) = H^{∗}(X; G). Vi skal se at topologisk K-teori også definerer en uredusert kohomologi-teori med E^{∗}(X) = K^{∗}(X), slik at K^{0}(X) = K(X) er Grothendieck-gruppen til den abelske monoiden av vektorbunter over X. Dette er nok til å definere de negative K-kohomologigruppene

K̃^{−m}(X) = K̃(Σ^{m}X)

der Σ^{m}X = Σ(Σ^{m−1}X) ≅ X ∧ S^{m} er den m-te itererte suspensjonen på X. Men dette virker bare for m ≥ 0. For å definere K^{n}(X) for n > 0 trenger vi Bott periodisitet.

Blant aksiomene for en kohomologi-teori er det bare suspensjons-isomorfien som relaterer gruppene Ẽ^{n}(X) for ulike n. Som et trinn på vei mot en kohomologi-teori kan vi derfor studere en fiksert grad, f.eks. n = 0, og bare studere den kontravariante homotopi-invariante halv-eksakte funktoren Ẽ = Ẽ^{0}.

Gitt en slik (kontravariant homotopi-invariant) halv-eksakt funktor Ẽ kan vi for m ≥ 0 definere Ẽ^{−m}(X) = Ẽ(Σ^{m}X). Dette gir den delen av en redusert kohomologi-teori Ẽ^{∗} der ∗ ≤ 0, som oppfyller kravene om kontravarians, homotopiinvariants, halv-eksakthet og suspensjons-isomorfien i grader ∗ ≤ 0. Det følger også at man har “halvparten” av den lange eksakte sekvensen

… ⟶^{δ} Ẽ^{−1}(X/A) ⟶^{j^{∗}} Ẽ^{−1}(X) ⟶^{i^{∗}} Ẽ^{−1}(A) ⟶^{δ} Ẽ^{0}(X/A) ⟶^{j^{∗}} Ẽ^{0}(X) ⟶^{i^{∗}} Ẽ^{0}(A)

men det er ikke generelt slik at det finnes noen utvidelse av Ẽ^{n} til positive n.

4. Topologisk K-teori

La X være et endelig CW-kompleks (evnt. et kompakt Hausdorff rom). Vi skriver Vect_{n}(X) for mengden av isomorfi-klasser av n-dimensjonale komplekse vektorbunter over X, og Vect(X) for mengden av isomorfi-klasser av vilkårlige komplekse vektorbunter over X. Dersom X er sammenhengende er Vect(X) = ∐_{n≥0} Vect_{n}(X). Whitney sum og tensor produkt av vektorbunter gjør Vect(X) til en kommutativ semi-ring.

Definisjon. La K(X) = G(Vect(X)) være Grothendieck-gruppen til den abelske monoiden Vect(X), med hensyn på Whitney sum. Tensor-produktet på Vect(X) induserer en kommutativ ring-struktur på K(X).

En avbildning f: X → Y induserer en ring-homomorfi f^{∗}: K(Y) → K(X) som tar isomorfi-klassen til en vektorbunt E → Y til isomorfi-klassen til pullback-bunten f^{∗}E → X.

Proposisjon. Tilordningen X ↦ K(X) er en uredusert kontravariant, homotopiinvariant halv-eksakt funktor.

Pullback langs homotope avbildninger f, g: X → Y gir isomorfe bunter f^{∗}E ≅ g^{∗}E, som medfører homotopi-invarians. Det essensielle ved halv-eksakthet er å vise at hvis E → X har triviell restriksjon E_{A} → A til et under-CW-compleks A ⊂ X, så er E isomorf med et tilbaketrekk j^{∗}(E/∼). Her er (E/∼) → X/A gitt ved å bruke trivialiseringen over A til å kollapse E_{A} til en enkelt fiber.

Gitt vektorbunter E → X og F → Y er det eksterne tensorproduktet E ∗ F → X × Y gitt som den interne tensorproduktet over X × Y av p^{∗}E og q^{∗}F, der p: X × Y → X og q: X × Y → Y er projeksjonene. Dette definerer en paring

K(X) ⊗ K(Y) ⟶^{∗} K(X × Y) .

For baserte rom X og Y lar vi X ∨ Y = (X × y_{0}) ∪ ({x_{0}} × Y) ⊂ X × Y væe wedge-summen av X og Y, og

X ∧ Y = \frac{X × Y}{X ∨ Y}

er smash-produktet av X og Y. Det er da enkelt å vise at paringen ovenfor løfter til en paring

K̃(X) ⊗ K̃(Y) ⟶^{∗} K̃(X ∧ Y) .

La S^{2} = D_{+}^{2} ∪_{S^{1}} D_{−}^{2} være 2-sfæren.

Produkt-teoremet. Ring-homomorfien

K(X) ⊗ K(S^{2}) ⟶^{∗} K(X × S^{2})

er en isomorfi.

5. Klem-funksjoner

La E → S^{2} være en ℂ^{n}-bunt. Restriksjonene E_{±} → D_{±}^{2} er trivialiserbare, siden D_{±}^{2} er kontraktibel. Velg slike trivialiseringer

θ_{±}: E_{±} ⟶^{≅} D_{±}^{2} × ℂ^{n} .

Over S^{1} = D_{+}^{2} ∩ D_{−}^{2} kan vi sammenlikne de to trivialiseringene

f = θ_{−} ∘ θ_{+}^{−1} : S^{1} × ℂ^{n} ⟵_{≅}^{θ_{+}} E_{+}|S^{1} = E_{−}|S^{1} ⟶_{≅}^{θ_{−}} S^{1} × ℂ^{n} .

Her er f: S^{1} × ℂ^{n} → S^{1} × ℂ^{n} en buntisomorfi over S^{1}. Vi kan skrive

f(z, v) = (z, g(z) · v)

for z ∈ S^{1}, v ∈ ℂ^{n} der

g: S^{1} → U(n) ≃ GL_{n}(ℂ) .

Vi kaller f (eller g) en klemfunksjon (clutching function) for E → S^{2}. Omvendt kan vi rekonstruere E → S^{2} fra f (eller g) som unionen

(D_{+}^{2} × ℂ^{n}) ∪_{f} (D_{−}^{2} × ℂ^{n}) ≅ E

over D_{+}^{2} ∪_{S^{1}} D_{−}^{2} ≅ S^{2}. Vi kan skrive [ℂ^{n}, f] for konstruksjonen til venstre.

Homotope klemfunksjoner gir isomorfe vektorbunter, og tilordningen g ↦ f ↦ [ℂ^{n}, f] gir en bijeksjon

[S^{1}, U(n)] ≅ Vect_{n}(S^{2}) .

Vi har

[S^{1}, U(n)] ≅ π_{1}U(n) ≅ \{ \begin{matrix}0 & for n = 0, \\ ℤ & for n > 0. \end{matrix}

For det er en splitt fibrering

SU(n) → U(n) ⟶^{det} S^{1}

med SU(n) enkelt-sammenhengende, så for n ≥ 1 er det_{∗}: π_{1}U(n) → π_{1}(S^{1}) ≅ ℤ en isomorfi.

For n = 1 kan vi identifisere S^{1} = U(1) ⊂ GL_{1}(ℂ) = ℂ^{∗}. Den trivielle funksjonen g(z) = 1 svarer til identitetsavbildningen f på S^{1} × ℂ^{1}, så [ℂ^{1}, 1] er den trivielle linjebunten 1: S^{2} × ℂ^{1} → S^{2}. Identitetsfunksjonen g(z) = z svarer til ekvivalensen f(z, v) = (z, zv), og den assosierte komplekse linjebunten [ℂ^{1}, z] = H kalles Hopf linjebunten, og er lik den tautologiske linjebunten over S^{2} = ℂP^{1} = Gr_{1}(ℂ^{2}).

Klemfunksjonen g(z) = z^{k} svarer til tensor-potensen [ℂ^{1}, z^{k}] = H^{k} = H ⊗⋯⊗H (k faktorer). (Kan utvides til negative H, med g(z) = z^{−1} = z̄ svarende til den duale bunten H^{∗}.)

Det er en isomorfi av ℂ^{2}-bunter H ⊗ H ⊕ 1 ≅ H ⊕ H, siden de tilhørende klemfunksjonene g_{1}, g_{2} : S^{1} → U(2):

g_{1}(z) = ( \begin{matrix}z^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

og

g_{2}(z) = ( \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & z \end{matrix} )

er homotope.

Det følger at semi-ringen Vect(S^{2}) er generert av 1 og H, med relasjonen H^{2}+1 = 2H, eller ekvivalent, (1 − H)^{2} = 0. Gruppekomplettering gir:

Proposisjon. Ring-homomorfien

ℤ[H]/(1 − H)^{2} → K(S^{2})

er en isomorfi. Så K(S^{2}) ≅ ℤ{1, H} som abelsk gruppe.

Mer generelt kan man analysere en ℂ^{n}-bunt E → ΣX = C_{+}X ∪_{X} C_{−}X ved å velge trivialiseringer av restriksjonene E_{±} → C_{±}X ⊂ ΣX, og å sammenligne trivialiseringene over snittet X = C_{+}X ∩ C_{−}X. Dette gir en klemfunksjon som er en bunt-isomorfi

f: X × ℂ^{n} → X × ℂ^{n}

over X, og som svarer til en avbildning g: X → U(n) ≃ GL_{n}(ℂ). Det er så en bijeksjon

[X, U(n)] ≅ Vect_{n}(ΣX) .

La U = ⋃_{n} U(n). Da blir gruppekompletteringene

[X, U] ≅ K̃(ΣX) ≅ K̃^{−1}(X) .

Dette motiverer en algebraisk definisjon av K̃^{−1}(X) via ekvivalensklasser av klemfunksjoner X → U = ⋃_{n} U(n).

Et bevis av produkt-teoremet begynner som følger. Enhver ℂ^{n}-bunt F → X ×S^{2} oppstår fra en klemfunksjon f: E × S^{1} → E × S^{1}, der E → X er en ℂ^{m}-bunt og f er en fibervis ekvivalens over X × S^{1}. For la E være restriksjonen til F over X × ∗, der ∗ er et basispunkt i S^{1} ⊂ S^{2}. Da er restriksjonene F_{±} av F til X ×D_{±}^{2} isomorfe med produktbuntene E × D_{±}^{2} → X × D_{±}^{2}. Ved å sammenligne isomorfiene over snittet X × S^{1} får vi en bunt-isomorfi

f: E × S^{1} ⟶^{≅} E × S^{1}

over X × S^{1}, som er den nevnte klemfunksjonen. Vi rekonstruerer F som

(E × D_{+}^{2}) ∪_{f} (E × D_{−}^{2}) ≅ F

over (X × D_{−}^{2}) ∪_{X×S^{1}} (X × D_{+}^{2}) ≅ X × S^{2}. Vi skriver [E, f] for denne ℂ^{m}-bunten over X × S^{2}.

Vi skriver f = 1 for identitetsavbildningen f(e, z) = (e, z) for e ∈ E, z ∈ S^{1}, og f = z for ekvivalensen med f(e, z) = (z · e, z). Da er [E, 1] = E ∗ 1 = E × S^{2}, mens [E, z] = E ∗H. Strategien for beviset er gradvis å forenkle f, som funksjon av koordinaten z ∈ S^{1}, fra vilkårlige kontinuerlige funksjoner via Laurent-polynomer og vanlige polynomer til lineære funksjoner. Når f er lineær i z er [E, f] i bildet av produkt-avbildningen ∗.

6. Bott periodisitet

Det er naturlige sum-dekomposisjoner

K(X) ⊗ K(S^{2}) ≅ (K̃(X) ⊗ K̃(S^{2})) ⊕ K̃(X) ⊕ K̃(S^{2}) ⊕ ℤ

og

K(X × S^{2}) ≅ K̃(X ∧ S^{2}) ⊕ K̃(X) ⊕ K̃(S^{2}) ⊕ ℤ

som respekteres av paringene ∗. Det følger at det ureduserte produktet ∗: K(X) ⊗ K(S^{2}) → K(X × S^{2}) er en isomorfi hvis og bare hvis det reduserte produktet ∗: K̃(X) ⊗ K̃(S^{2}) → K̃(X ∧ S^{2}) er en isomorfi.

Merk at ℤ{1 − H} ≅ K̃(S^{2}) ⊂ K(S^{2}), siden både 1 og H restrikterer til den/det trivielle 1-dimensjonale vektorbunten/rommet over basispunktet i S^{2}.

Teorem. Den sammensatte homomomorfien

β: K̃(X) ⟶^{≅} K̃(S^{2}) ⊗ K̃(X) ⟶^{∗} K̃(X ∧ S^{2})

gitt ved β(x) = (1 − H) ∗ x er en isomorfi.

Tilsvarende har vi en isomorfi

K̃^{−m}(X) = K̃(Σ^{m}X) ⟶_{≅}^{β} K̃(Σ^{m+2}X) = K̃^{−m−2}(X)

for alle m ≥ 0. Vi kan nå redefinere

K̃^{n}(X) = \{ \begin{matrix}K̃(X) & for n jevn, \\ K̃(ΣX) & for n odde. \end{matrix}

Dette gjør K̃^{∗} til en (fullstendig) redusert kohomologiteori.

Korollar.

K̃(S^{n}) = \{ \begin{matrix}ℤ & for n jevn, \\ 0 & for n odde. \end{matrix}

Til hver n-dimensjonal kompleks vektorbunt π: E → X finnes det en komplementær vektorbunt E′ → X med E⊕E′ ≅ X×ℂ^{N}. Vi får en inklusjon E → X×ℂ^{N} som for hvert punkt x ∈ X plasserer fiberen π^{−1}(x) = E_{x} som et underrom av ℂ^{N}. La Grassmann-mangfoldigheten

Gr_{n}(ℂ^{N}) ≅ \frac{U(N)}{U(n) × U(N − n)}

være rommet av n-dimensjonale komplekse underrom V ⊂ ℂ^{N}. Det er da en tautologisk ℂ^{n}-bunt γ_{N}^{n} over Gr_{n}(ℂ^{N}) med fiber over V ∈ Gr_{n}(ℂ^{N}) lik vektorrommet V. Inklusjonen E → X × ℂ^{N} svarer til en klassifiserende avbildning g: X → Gr_{n}(ℂ^{N}) som tar x ∈ X til fiberen π^{−1}(x) oppfattet som underrom av ℂ^{N}. Da er pullback av den tautologiske bunten γ_{N}^{n} langs g isomorf med den gitt bunten E → X.

La så N → +∞, med ℂ^{∞} = ∪_{N}ℂ^{N}, Gr_{n} = ∪_{N}Gr_{n}(ℂ^{N}) og en tautologisk bunt γ^{n} over Gr_{n}. Det er en homotopi-ekvivalens Gr_{n} ≃ BU(n), der BU(n) er det klassifiserende rommet for den topologiske gruppen U(n). Siden pullback langs homotope avbildninger gir isomorfe vektorbunter er det en tilordning som tar homotopi-klassen [g] til en avbildning g: X → Gr_{n} til isomorfiklassen til pullbackbunten g^{∗}γ^{n}, og for endelige CW-komplekser X gir dette en bijeksjon

[X, Gr_{n}] ⟶^{≅} Vect_{n}(X) .

Siden Gr_{n} ≃ BU(n) har vi mer generelt en bijeksjon

[X, ∐_{n≥0} BU(n)] ⟶^{≅} Vect(X) .

Den direkte summen av vektorbunter gir høyre-siden en abelsk monoide-struktur, og en direkte sum av vektorrom Gr_{n} × Gr_{m} → Gr_{n+m}, eller blokk sum av matriser U(n) × U(m) → U(n + m), gir en paring

∐_{n≥0} BU(n) × ∐_{n≥0} BU(n) → ∐_{n≥0} BU(n)

som induserer en abelsk monoide-struktur på venstre-siden. Disse er kompatible under bijeksjonen.