VASSILIEVS SPEKTRALFØLGE

John Rognes

15. oktober 1994

Resolventen.

La d, Γ_{d} og λ : ℝ^{2}/ ∼→ ℝ^{N} være valgt som før.

La T = {{t_{0}, t′_{0}}, …, {t_{q}, t′_{q}}} være en samling krav om selvskjæringer, og V = {v_{1}, …, v_{b}} en samling krav om singulariteter. La (T, V) generere (A, b)-konfigura-sjonen J, og la θ ∈ χ(Γ_{d}, J) respektere (T, V)-kravene. Da er

{θ} × Δ(λ{t_{0}, t′_{0}}, …, λ{t_{q}, t′_{q}}, λ{v_{1}, v_{1}}, …, λ{v_{b}, v_{b}})

et (q + b)-simpleks i Γ_{d} × ℝ^{N}, som kalles et standardsimpleks. Resolventen σ ⊂ Γ_{d} × ℝ^{N} er unionen av alle slike standardsimplekser, og projekjonen Γ_{d} × ℝ^{N} → Γ_{d} avbilder σ via en ekvivalens i lukket homologi til diskriminantmengden Γ_{d} ∩ Σ.

La cellen C_{(T,V)} ⊂ σ være unionen av det indre av standardsimpleksene assosiert med θ og (T′, V′), når (T′, V′) gjennomløper alle samlinger av krav ekvivalent med (T, V). Da er C_{(T,V)} en lokalt triviell fiberbunt over den åpne r(J)-cellen av slike (T′, V′), med fiber lik produktet av det affine rommet χ(Γ_{d}, J) og det åpne (q + b)- simplekset int Δ(λ{t_{0}, t′_{0}}, …, λ{t_{q}, t′_{q}}, λ{v_{1}, v_{1}}, …, λ{v_{b}, v_{b}}) = int Δ_{λ(T,V)}. Så C_{(T,V)} er en åpen celle i σ.

La J-blokken B_{J} ⊂ σ være unionen av alle cellene C_{(T,V)} når (T, V) gjennomløper de samlinger av krav som genererer J. B_{J} er en lokalt triviell fiberbunt over den åpne r(J)-cellen av (A, b)-konfigurasjoner J′ ekvivalent med J, med fiber lik produktet av det affine rommet χ(Γ_{d}, J) og det åpne underrommet av sammenhengende grafer S_{J} ⊆ Δ_{J}.

Her er Δ_{J} = Δ_{λ(T,V)} med (T, V) den maksimale samlingen av krav som genererer J, og Δ_{λ(T,V)} det affine simplekset i ℝ^{N} generert av billedene av disse kravene under λ. S_{J} er underrommet lik unionen av det indre av fasettene i Δ_{J} svarende til delmengder av (T, V) som genererer den samme (A, b)-konfigurasjonen J.

Vi viste forrige gang at H̄_{∗}(S_{J}) er konsentrert i grad f(J) − 1, og er fri abelsk av rang (a_{1} − 1)! ⋯ (a_{ℓ} − 1)!.

Spektralfølgen.

Vassilievs spektralfølge i grad d kommer fra følgende filtrasjon av σ. La σ_{i} være unionen av J-blokkene B_{J} med f(J) ≤ i. Γ_{d} er generisk valgt, så σ_{3d} = σ. Assosiert til filtrasjonen

σ_{1} ⊂ ⋯ ⊂ σ_{3d} = σ

setter vi E_{p,q}^{1}(d) = H̄_{p+q}(σ_{p} − σ_{p−1}), og får en homologisk spektralfølge som konvergerer mot H̄_{p+q}(σ). Vi omindekserer til kohomologisk notasjon E_{1}^{p,q}(d) =

Typeset by AMS-TEX

E_{−p,3d−1−q}^{1}(d). Vi kaller området med −(3d + 1)/5 ≤ p ≤ 0 det stabile området, og området med −3d ≤ p < −(3d + 1)/5 det ustabile området.

Anta nå at vi er i det stabile området, dvs. velg i med 0 ≤ i ≤ (3d + 1)/5 og se på J-blokker i stratumet σ_{i} − σ_{i−1}. Kodimensjonen til χ(Γ_{d}, J) er da lik 3f(J). Så cellene C_{(T,V)} med f(J) = i danner en CW-dekomposisjon av stratumet σ_{i} − σ_{i−1}. For en fast J med f(J) = i er blokken B_{J} unionen av åpne celler C_{(T,V)}. Blokken, eller disse cellene, ligger som et produkt av en fast åpen celle med henholdsvis S_{J}, eller med de åpne simpleksene i S_{J} ⊆ Δ_{J}. Så vi kan avlese insidensrelasjonene mellom cellene C_{(T,V)} i B_{J} fra insidensrelasjonene mellom simpleksene i S_{J}.

En hjelpefiltrasjon.

Den lukkede homologien til B_{J} er konsentrert i grad 3d − 3f(J) + r(J) + (f(J) − 1) = 3d − 1 − (2f(J) − r(J)). Så vi kan filtrere stratumet σ_{i} − σ_{i−1} videre som

F_{2i−1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{0} = σ_{i} − σ_{i−1}

hvor

F_{k} = ∪_{J:2f(J)−r(J)≥k}B_{J}.

Spektralfølgen assosiert til denne hjelpefiltrasjonen er analog til spektralfølgen assosiert til skjelettfiltrasjonen til et cellekompleks, ved at den er konsentrert i en rad, og dermed degenererer ved sitt E^{2}-ledd. Dens E^{1}-ledd er et kjedekompleks (Ē^{1}, d̄^{1}) med grupper ∑_{J:2f(J)−r(J)=k} H̄_{3d−1−(2f(J)−r(J))}(B_{J}). Homologien til dette kjedekomplekset er kolonnen E_{i,∗}^{1}(d) i Vassilievs homologiske spektralfølge. Så vi kan tenke på dette komplekset som et E_{0}-ledd for denne spektralfølgen, hvor d^{0}-diffe-rensialene er gitt ved insidensrelasjonene mellom de forskjellige J-blokkene B_{J} med f(J) = i og med hosliggende antall geometriske punkter r(J).

Så vi kan skrive, i kohomologisk notasjon:

E_{0}^{p,q}(d) = ∑_{J:f(J)=−p,2f(J)−r(J)=p+q} H̄_{3d−1−(2f(J)−r(J))}(B_{J}) ⟹ H̃^{p+q}(Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ)

Her er H̄_{3d−1−(2f(J)−r(J))}(B_{J}) ≅ H̄_{f(J)−1}(S_{J}) som er fri abelsk av kjent rang når J er en (A, b)-konfigurasjon med A = (a_{1} ≥ ⋯ ≥ a_{ℓ}).

Den stabiliserte spektralfølgen.

Det følger at leddet E_{0}^{p,q}(d) av Vassilievs spektralfølge er uavhengig av d i det stabile området, og mer generelt er E_{r}^{p,q}(d) uavhengig av d når ingen differensialer av lengde mindre enn r kan nå bigraden (p, q) fra det ustabile området. Vi får definert en stabilisert Vassiliev spektralfølge E_{r}^{p,q} med E_{r}^{p,q} = E_{r}^{p,q}(d) for d tilstrekkelig stor. Tilsvarende betraktninger viser at differensialene også stabiliserer.

Knuteinvariantene.

Hvis vi bare er interessert i knuteinvarianter i H̃^{0}(Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ) kan vi trunkere E^{0}-leddet i spektralfølgen til klassene i bigrader (−i, i) og (−i, i + 1). Dette svarer til bare å studere den delen av diskriminanten som består av J-blokker med 0 ≤ 2f(J) − r(J) ≤ 1, som tilsvarer tre typer (A, b)-konfigurasjoner. Vi lister de som bidrar i filtrasjon i.

(1) A = (2, 2, …, 2, 2), ℓ(A) = i, b = 0. B_{J} består av én (3d − 1)-celle C_{(T,V)}.

(2) A = (3, 2, …, 2, 2), ℓ(A) = i − 1, b = 0. B_{J} består av én (3d − 1)-celle og tre (3d − 2)-celler på randen, hver med insidens ±1 til den sentrale cellen. De tre (3d − 2)-cellene representeres av hver sin merkede (A, b)-konfigurasjon J^{∗}, hvor ett av de tre punktene svarende til trippelpunktet (a_{1} = 3) er merket med en ∗. (Sammenlign med strukturen til S_{3} ⊂ Δ_{3}.)

(3) A = (2, 2, …, 2), ℓ(A) = i − 1, b = 1 og det singulære punktet er disjunkt fra A-konfigurasjonen. B_{J} består av én (3d − 2)-celle.

Vi får følgende beskrivelse av det trunkerte E_{0}-leddet.

Sats (Vassiliev). X_{i} = E_{0}^{−i,i} er en sum av to fri abelske grupper, med generatorer svarende til (3d − 1)-cellene i σ_{i} − σ_{i−1} av typene ovenfor. Den første gruppen er generert av isomorfiklassene av (A, b)-konfigurasjoner J av type (1) ovenfor. Den andre gruppen er generert av isomorfiklassene av (A, b)-konfigurasjoner J av type (2) ovenfor.

Y_{i} = E_{0}^{−i,i+1} er en sum av to fri abelske grupper, med generatorer svarende til (3d − 2)-cellene i σ_{i} − σ_{i−1} av typene ovenfor. Den første gruppen er generert av isomorfiklassene av merkede (A, b)-konfigurasjoner J^{∗} av type (2) ovenfor, med ett av trippelpunktene markert. Den andre gruppen er generert av isomorfiklassene av (A, b)-konfigurasjoner J av type (3) ovenfor.

d_{0}-differensialet d_{0} : E_{0}^{−i,i} → E_{0}^{−i,i+1} er homomorfien h_{i} : X_{i} → Y_{i} definert (opp til fortegn) som følger. De tre merkede (3d − 2)-cellene C_{(T,V)} av type (2) har insidensgrad ±1 til hver (3d − 1)-celle av type (1) som oppstår ved å oppløse det merkede trippelpunktet i ett dobbelpunkt, og til (3d − 1)-cellen av type (2) hvor merkingen glemmes. En (3d − 2)-celle av type (3) has insidensgrad ±1 til cellene av type (1) hvor singulariteten oppløses til et dobbeltpunkt.

Vassiliev beskriver hvordan man kan orientere alle cellene og bestemme fortegnet på disse insidensgradene. For i = 1 er h_{1} : X_{1} → Y_{1} en isomorfi. For i = 2 er det en sum av et trippelpunkt (type (2)) og to dobbeltpunkter (type (1)) i som genererer kjernen av h_{2} : X_{2} → Y_{2}. Denne sykelen i E_{1}^{−2,2} overlever til E^{−2,2}/∞ og er den første ikketrivielle Vassilievinvarianten, og er av type to.

Dette beskriver E_{1}^{−i,i}-leddet i Vassilievs stabiliserte spektralfølge. Han går videre med å beskrive en kombinatorisk algoritme for å bestemme de høyere differensialene i spektralfølgen, so vi ikke tar med her. (Er det høyere ikketrivielle differensialer ?)

Konvergens.

La e > d være like tall. Vi kan velge Γ_{d} ⊂ Γ_{e}, og får restriksjonsavbildninger H̄_{∗}(Γ_{e} − Γ_{e} ∩ Σ) → H̄_{∗}(Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ), som gir avbildninger E_{∗}(e) → E_{∗}(d). Vi kan oppfatte Vassilievs stabiliserte spektralfølge som en invers grense av spektralfølger {E_{∗}(d)}_{d}, som hver seg konvergerer (strengt) til H̃^{∗}(Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ). Men inverse grenser og konvergens av spektralfølger konvergerer (typisk) ikke hvis det ikke er noen uniform øvre skranke for lengden av differensialene i spektralfølgene. Det er ukjent hvordan dette forholder seg for Vassilievs spektralfølger. Hvis en slik skranke finnes, vil invariantene av endelig type klassifisere knuter.

Konkret, se på to knuter θ og θ′ av forskjellig type. For tilstrekkelig store d kan vi finne to polynomielle knuter i Γ_{d} som er av samme type som henholdsvis θ og θ′. Disse ligger da i forskjellige komponenter av Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ, og separeres av en klasse V i en passende E_{∞}^{−i,i}(d). Hvis (−i, i) ligger i det stabile området vil V overleve til en klasse i den stabiliserte spektralfølgen E_{∞}^{−i,i}, og gi en Vassilievinvariant av type i som separerer θ og θ′. Men vi kan godt være uheldige, slik at (−i, i) ligger i det ustabile området for d, og selv om vi øker d til en større grad e kan klassen som separerer knutene i E_{∞}(e) nå ha flyttet til en fjernere bigrad (−j, j), fortsatt utenfor det stabile områdte. Dersom dette skjer for vilkårlig store d vil ikke den stabiliserte spektralfølgen konvergere til kohomologien av knuterommet, og Vassilievs invarianter kan ikke skille mellom θ og θ′. Men skjer dette ?

Invarianter av endelig type.

Knuteinvariantene av type i i H̃^{0}(Γ_{d} − Γ_{d} ∩ Σ) ligger i den fri abelske gruppen generert av (ekvivalensklasser av (A, b)-konfigurasjoner J svarende til) dobbelpunkter og høyst ett trippelpunkt. Vi kan splitte av bidraget fra trippelpunktet ved å bytte ut trippelpunktet med et par av dobbeltpunkter, som illustrert med den første ikketrivielle Vassilievinvarianten; den av type to. Så alle Vassilievinvarianter er karakterisert ved deres verdier på kurver θ med endelig mange dobbeltpunkter og ingen høyere singulariteter. Birman og Lin [BL] tar dette som et aksiomatisk utgangspunkt for Vassilievs knuteinvarianter. De viser også at man kan skifte perspektiv tilbake til lukkede kurver i rommet eller S^{3}.

Definisjon. La V : {knuter} → A være en knuteinvariant med verdier i en abelsk gruppe A. La ℓ : S^{1} → S^{3} være en glatt lukket kurve uten singulære punkter, trippelpunkter eller høyere selvskjæringer. La d ∈ ℓ(S^{1}) være et transveralt dobbelpunkt i billedet, og la ℓ_{+} : S^{1} → S^{3} og ℓ_{−} : S^{1} → S^{3} være små perturbasjoner av ℓ slik at dobbelpunktet d endres til en høyreorientert krysning i ℓ_{+}, og til en venstreorientert krysning i ℓ_{−}. Vi utvider så knuteinvarianten V induktivt til alle slike kurver ℓ ved formelen

V (ℓ) = V (ℓ_{+}) − V (ℓ_{−}).

En knuteinvariant V sies å ha type ≤ n hvis V (ℓ) = 0 for alle kurver ℓ med > n dobbelpunkter. V har type n hvis V har type ≤ n men ikke ≤ n − 1. V har endelig type hvis V har type n for en endelig n.

Knuteinvariantene av type n med verdier i ℤ er klassene som overlever i E_{∞}^{−n,n} i Vassilievs stabiliserte spektralfølge.

Hopf algebraer.

La V = H^{0}(K − Σ; ℚ) = ⨁_{n} V_{n} være rommet av rasjonale knuteinvarianter, dualt til vektorrommet generert av mengden av knutetyper. V danner en algebra under punktvis addisjon og multiplikasjon. Videre kan vi addere knuter ved å la dem følge hverandre på en kurve, og dette definerer et koprodukt på V som gjør V til en Hopf algebra over ℚ. En slik er generert som algebra av underrommet av primitive elementer P = Prim(V) = ⨁_{n} P_{n}, som her består av de additive knuteinvariantene. Alle knuteinvariantene i V kan skrives som polynomer i de primitive, så det er klart at invariantene i P separerer knuter like godt som hele V.

Bar-Natan har beregnet dimensjonen til P_{n} for n ≤ 9 til å være

(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 18, …).

Det er kjent at det er additive invarianter av type n for alle større n, men den asymptotiske veksten er ukjent.

(Kommentar om amphichirale knuter. Ingen kjente Vassilievinvarianter skiller mellom en knute og dens invers (med omvendt omløpsretning).)

(Formodning: Vassilievinvarianter separerer knuter. Står åpen.)