På den andre internasjonale matematikerkongressen i Paris i 1900 holdt David Hilbert det som kanskje er blitt matematikkhistoriens meste berømte foredrag. Istedenfor å snakke om et problem han hadde løst, slik matematikere gjerne gjør, snakket Hilbert om problemer hverken han eller andre ennå hadde løst – rett og slett om det han anså som tidens viktigste, uløste matematikkproblemer. I foredraget rakk han å snakke om 10 av dem, i den skriftlige versjonen er det 23.
Hilberts problemer er av ulik type. Noen er så klart formulert at man enkelt kan avgjøre om de er løst, andre er løst eller ikke avhengig av hvordan man velger å presisere Hilberts formuleringer, og noen er så vide og så løst formulert at de heller må ansees som forskningsprogrammer enn som forskningsproblemer. Det siste gjelder for eksempel problem 23 som ber om en videreutvikling av variasjonsregningen.
Noen av løsningene er uventede eller kontroversielle. Det gjelder for eksempel problem 1 om kontinuumshypotesen. Takket være arbeider av Kurt Gödel og Paul Cohen vet vi nå at det er umulig både å bevise og motbevise denne hypotesen fra de aksepterte aksiomene for mengdelæren. Andre del av problem 18 (tetteste kulepakning) har vært omstridt av andre grunner: På 1990-tallet annonserte både Wu-Yi Hsiang og Thomas Callister Hales at de hadde løst problemet. Begge bevisene var uhyre kompliserte, og Hales brukte blant annet et dataprogram for å sjekke over 5000 forskjellige konstellasjoner av kuler. I dag er Hales’ bevis akseptert som korrekt mens Hsiang’s i beste fall ansees som ufullstendig. (For nordmenn kan det være verdt å nevne at Axel Thue løste den to-dimensjonale versjonen av kulepakningsproblemet i 1890).
Hilberts problemer har fått ulik skjebne. Nummer 3 ble løst av Max Dehn allerede samme år som Hilbert holdt foredraget, mens andre fortsatt er uløst. Det mest berømte av de uløste er utvilsomt nummer 8, Riemannhypotesen.
Ben H. Yandells bok «The Honor’s Class: Hilbert's Problems and Their Solvers» gir en levende beskrivelse av Hilberts problemer og det arbeidet som har vært gjort for å løse dem. Selv om den på noen få punkter er litt utdatert (den ble utgitt i 2001), er den fortsatt den beste innføringen som finnes. Yandell anstrenger seg for å gi en på samme tid forståelig og presis beskrivelse av problemene og løsningene, men dette er ikke først og fremst en bok om matematikk, men en bok om matematikere og matematikersamfunnet. Forfatteren har gravd dypt i arkivene, og han har i tillegg skaffet til veie mye ny informasjon ved å snakke med matematikerne selv eller deres venner og etterlatte. Hvis man har lyst, kan man skumme raskt gjennom de matematiske partiene og konsentrere seg om de biografiske.
Personlighetene er mange og ulike, fra Max Dehns Sokrates-lignende skikkelse til Carl Ludwig Siegels forkjærlighet for «practical jokes» som gikk utover både høy og lav, deriblant hans egne studenter (Dehn og Siegel var for øvrig meget gode venner). Mye av handlingen – det føles faktisk riktig å bruke dette ordet om boken – foregår i første halvdelen av 1900-tallet, og påvirkes av de store politiske omveltningene som fant sted i denne perioden: de to verdenskrigene og den russiske revolusjon. I denne historien finnes det både helter og skurker, medløpere og uskyldige ofre. Styrken i Yandells beretning er at han tar seg tid til å sette personene inn i en historisk, politisk, kulturell og sosial kontekst, og ikke minst at han viser kryssforbindelsene mellom matematikkmiljøer i ulike land. Nazistenes utrenskninger og den påfølgende krigen flyttet matematikkhegemoniet fra Europa til USA, og under Stalins terrorvelde og tiårene etterpå utviklet matematikken i Sovjetunionen seg nærmest uavhengig av matematikken i Vesten.
Siden så mye av utviklingen foregår på begynnelsen av 1900-tallet, domineres historien av mannlige, europeiske matematikere, men i 1959 løste den japanske matematikeren Masayoshi Nagata Hilberts 14. problem ved å konstruere et moteksempel (allerede mange år tidligere hadde imidlertid Takagi Teiji bidratt vesentlig til Emil Artins løsning av en versjon av det 9. problemet). Kvinner er det av naturlige grunner heller ikke så mange av, men Julia Robinson får bred omtale som en av de viktigste bidragsyterne til løsningen av det 10. problemet. Selv om hun ikke arbeidet direkte med Hilberts problemer, aner vi også Emmy Noethers ånd bak mange av løsningsmetodene (en av hennes nære medarbeidere, Emil Artin, løste det 17. problemet, og både Artin og en annen av Noether’s medarbeidere, Helmut Hasse, har bidratt vesentlig til arbeidet på det 9. problemet). Andre kvinnelige matematikere som Hel Braun og Natascha Artin Brunswick dukker opp i mange ulike sammenhenger, og Artin Brunswick har bidratt med fotografier som gir leseren en følelse av virkelig å bli kjent med personene i boken.
Det aller mest verdifulle med "The Honors Class" er kanskje at den illustrerer på en levende og overbevisende måte hvordan matematikken utvikler seg gjennom matematikeres samarbeide og rivalisering: Hvordan ideer kombineres og utvikles, hvordan ulike innfallsvinkler utfyller og utfordrer hverandre, og hvordan en blanding av profesjonelt og personlig vennskap skaper et internasjonalt fagfellesskap. Men den viser også hvordan politisk dumhet og ondskap på et par år kan rive ned noe det har tatt mange tiår å bygge opp.