I denne snutten her skal vi snakke om kompletthetsprinsippet. Det er det teoretiske prinsippet som
ligger under all teori for kalkulus eller matematisk analyse.
Du har hatt litt av dette stoffet tidligere i videregående skole med derivasjon og integrasjon osv.
Så du lurer kanskje på hvordan et slikt underliggende prinsipp ikke har kommet til syne der.
Men det er fordi det er kommet inn forkledd gjennom begrepet tallinjen. Hvis vi ser litt på det:
tallinjen er jo bare en linje bortover, og man har satt av punkter. Et nullpunkt for å vise hvor man
starter, og så etterhvert flere tall. 1, 2 osv på den siden. -1, -2 på den andre siden. Men i tillegg
til disse heltallene, har vi brøker og andre tall. Jeg har 1/2 her, jeg har -1/2 her borte.
Jeg har tall som roten av 2, som da er et irrasjonalt tall som ikke kan skrives som en brøk.
Jeg har pi her et sted osv.
Dette er du sannsynligvis så vant til at du ikke tenker noe på det, men under dette her ligger
det faktisk noe som er litt dypt. For det vi gjør her er jo på en måte å identifisere to ting.
På den ene siden, den geometriske linjen som er et helt geometrisk objekt. Og så har vi disse tallene som
vi vanligvis tenker på en og en, som ting vi kan regne med. Så hva er egentlig sammenhengen
mellom dette geometriske kontinuum som man av og til sier, altså en enhetlig rett linje, og disse
tallene som kommer inn og som på en måte er adresser til punkter på denne linjen. Dette er ikke noe
selvfølgelighet. For at dette her skal fungere, så viser det seg at det tallsystemet vi bruker må ha
visse egenskaper. Jeg skal prøve å forklare hva disse egenskapene er.
Da kan vi kanskje begynne med å se på andre tallsystemer som vi muligens kunne ha brukt til å gi
adresser til punkter på en linje. Det aller enkleste, er det tallsystemet som vi kaller Z,
som da består av alle hele tall, positive og negative. Det består av 0 og de positive tallene 0,1, 2 osv. bortover,
og så på den andre siden de negative hele tallene. Dette er tallsystemet Z. Hvis vi tegner opp det
på samme måte som vi tegnet opp tallene her oppe, ser vi på noe som ser sånn ut. Jeg ville hatt 0 der,
så ville jeg hatt 1 her borte, og så ville jeg hatt 2, og på den andre siden ville jeg hatt -1,
-2, -3 osv.
Det er klart at det jeg nå har her, det er ikke noe rimelig tallinje. Kan ikke si at disse punktene her kan
identifisere med alle punktene på en linje. For det er en del egenskaper punkter på en linje som disse
ikke har. For eksempel er det slik at mellom to punkter på en linje så ligger det alltid et punkt
midt imellom, men det gjør det ikke her. Midt imellom 0 og 1 skulle 1/2 vært, men 1/2 er ikke her
for 1/2 er ikke noe helt tall. Så det å bruke Z som en slags modell for linjen og si at alle
punktene på en rett linje (vi kan tenke på mer eller mindre som alle tallene Z), det er åpenbart
helt håpløst. Det er altfor få punkter her, og de geometriske egenskapene til punktene på en linje
gjenspeiles ikke med egenskapene disse tallene her sånn. Det er rett og slett for få av dem,
og de gjenspeiler ikke de geometriske egenskapene som punkter på en linje har. Vi kunne prøvd å være litt mer
ambisiøse. Det neste tallsystemet vi kunne brukt,
det er tallsystemet Q av rasjonale tall, som består av alle brøker av heltall. Det er alle uttrykk av
den typen her. Et helt tall m delt på et annet helt tall n. Her kan m være hvilket som helst positivt eller
negativt tall, mens den n-en bør helst ikke være 0. Siden jeg tillater minuser der oppe, kan jeg
bare ha positive tall her nede. Så n bør da være med i de naturlige tallene, altså 1, 2, 3 osv.
Alle slike brøker utgjør mengden av alle rasjonale tall. Hvis vi setter av disse tallene her
bortover på en tallinje, så får vi noe som blir ganske mye mer fornuftig og som vi med det blotte øyet ikke kan
skille fra den tallinjen vi hadde der oppe. Her vil vi også ha 0, 1, 2,
-1, -2. Men nå er jo også alle brøkene kommet inn. Så mellom 0 og 1
vil jeg ha 1/2. Litt lenger borte her vil jeg ha 1/3, og jeg vil ha masse tall tett i tett.
Etterhvert som jeg fyller på med brøker med større og større tellere og nevnere, så fyller jeg opp hele denne
tallinjen her, ihvertfall slik at det ikke går an å se at det er noen hull. Tallene blir liggende
tett i tett. På denne tallinjen så har vi fikset problemet vi hadde her borte, at mellom
to punkter så lå det ikke noe midtpunkt i Z. Slike problemer vil vi ikke ha her.
Hvis jeg plukker ut to punkter på denne tallinjen her, er det alltid mulig å finne et midtpunkt,
fordi midtpunktet mellom to rasjonale tall, middelverdien, det er også et rasjonalt tall.
På denne tallinjen her har vi hvertfall ikke det problemet. Men vi har en del andre problemer som viser seg
når vi tenker litt dypere på hva en tallinje skal være.
Det første problemet dukker opp hvis vi tenker oss at vi vil bruke denne tallinjen som en slags linjal.
En slags målestokk for å måle hvor lange forskjellige geometriske enheter er. Hvis vi da for eksempel
gjør noe så enkelt som å starte med et kvadrat med side 1 og så ser på diagonalen i dette kvadratet,
så kan vi bruke Pytagoras til å regne ut den. Den viser seg da å være roten av 2. Roten av 2,
det visste allerede de gamle grekerne: det er ikke et rasjonalt tall. Det er et irrasjonalt tall. Det er et tall som
ikke kan skrives som en brøk. Hva betyr det? Hvis jeg vil bruke den tallinjen der nede
til å måle hvor stor den diagonalen er, da kan jeg ta hele dette kvadratet, flytte det ned,
ta diagonalen og flytte den ned slik at den starter i 0. Da får jeg et endepunkt som
ligger der et sted.
Det skulle jo da være roten av 2, men roten av 2 er som sagt ikke et rasjonalt tall. Det punktet
finnes ikke på den tallinjen som bare består av rasjonale tall. Tallet er rett og slett ikke til stede.
Hvis vi insisterer på bare å arbeide med rasjonale tall, så kan vi ikke måle
lengden av diagonalen i et kvadrat. Vi har rett og slett ikke noe tallstørrelse som tilsvarer den lengden.
Det er et av problemene vi får dersom vi velger å bruke en tallinje som er basert på rasjonale tall.
Kan vise et annet tilsvarende problem. En av de tingene vi bruker tallinjer til, er jo
å lage koordinatsystemer. Da tar jeg en tallinje i hver retning. Jeg baserer
det koordinatsystemet på de rasjonale tallene, slik at bortover i begge retninger her, har jeg da
tallinjer som ikke er fulle, består av alle reelle tall, men som bare består av rasjonale tall. På vanlig måte
lager jeg geometriske figurer her.
Jeg lager en sirkel med radius 1 om origo. Så kan jeg tegne inn linjen
som halverer første kvadrant. Det er linjen y = x. Da går jo denne linjen fra inni sirkelen til utsiden.
Vi ville tro at her må det være et skjæringspunkt mellom de to geometriske objektene.
Men hvis jeg regner ut koordinatene til det punktet der, forutsetter at sirkelen har radius 1 her, så vil
det punktet ha koordinater (√2/2, √2/2). Akkurat som roten av 2, så er
√2/2 et irrasjonalt tall. Så lenge vi har rasjonale tall satt opp på aksen her, så finnes
ikke det tallet. Det betyr at i dette tilfellet så vil denne linjen snike seg fra innsiden av sirkelen
til utsiden uten å passere et punkt som ligger på sirkelen. Det er et hull
i sirkellinjen her som denne linjen sniker seg ut av. Det virker veldig unaturlig geometrisk, men hadde vi
altså basert tallinjen på rasjonale tall, så ville slike fenomener oppstått. At linjer kunne snike seg
fra en side av en kurve til den andre ved å gå gjennom hull der det ikke finnes punkter, ikke finnes tall.
Dette er noen av de problemene som dukker opp dersom vi har et gift forhold til en tallinje,
og tror at vi kan bruke et hvilket som helst tallsystem.
Det som gjør at det en tallinjen vi er vant til, som har alle reelle tall fungerer, det er fordi
vi har dette berømte kompletthetsprinsippet. I en fei viser det at vi aldri får
problemer av denne typen med å måle lengden av geometriske objekter, og som samtidig sørger for at vi
ikke får problemer av denne typen: nemlig at kurver bytter side uten å ha noe skjæringspunkt.
Men hva dette kompletthetsprinsippet egentlig sier, det skal vi nå ta opp i en egen sekvens.
Hva sier kompletthetsprinsippet? Vel, jeg kan kanskje prøve å tegne aller først. Hvis vi har tallinjen bortover her.
Så har jeg en mengde tall som jeg markerer ved å lage tallinje litt tjukkere der den mengden ligger.
Så er det en mengden begrenset oppad, som man sier. Det vil si at det finnes et tall her borte M,
som er større enn alle tallene i denne mengden. Det er utgangspunktet. Da sier kompletthetsprinsippet
rett og slett at det finnes en minste sånn øvre skranke for denne mengden, altså et punkt som markerer her
akkurat hvor mengden slutter. Så det tallet a er større enn eller lik alle elementene i mengden, men det
finnes ikke noe annet tall som er mindre enn a, som har denne egenskapen å være større enn alle
tallene i mengden. Så den sier altså at enhver mengde som har en øvre skranke, en øvre begrensning M, har også en
minste slik øvre skranke. Hvis vi skriver det ned med ord, så blir det seende slik ut.
Det sier at hvis jeg har denne mengden her, jeg kan sette navn på den. Hvis vi kaller den for A.
Så sier den da at enhver -- ja, den mengden må være ikke-tom, det må være noen elementer der i det hele tatt.
Enhver ikke-tom -- og så må den være begrenset oventil, altså oppad begrenset delmengde A av de reelle tall,
har en minste øvre skranke.
En øvre skranke er et tall som er større enn alle tallene i mengden. Så M her er en øvre skranke.
Men prinsippet sier at det finnes den minste blant disse øvre skrankene, altså den a-en her
som markerer hvor denne mengden slutter.
Nå kan dere jo lure på hva dette har å gjøre med de eksemplene jeg hadde istad. Da jeg arbeidet
med de rasjonale tallene, da viste jeg jo at det var hull i den rasjonale tallinjen. Det var ikke
noe tall der roten av 2 skulle vært. Det var hull som gjorde at linjer kunne snike seg gjennom sirkler
uten at det var noe skjæringspunkt. Så kommer jeg da med dette veldig abstrakte utsagnet her,
og påstår at dette vil løse alle disse problemene en gang for alle. Det er kanskje litt rart,
at et såpass abstrakt prinsipp kan løse mange problemer med en gang. Men slik er det nå en gang.
Jeg skal prøve å vise det gjennom å se på dette problemet med roten av 2. Hvordan kan dette prinsippet
brukes til å vise at blant de reelle tallene, så finnes det tall som er en kvadratrot av 2,
og som har den egenskapen at hvis vi oppfyller tallet i annen så får vi 2. Det er det vi skal se på.
La oss først bli enige om hva er kvadratrot er. Kvadratrot av 2, det er et tall som opphøyd i annen gir oss 2.
Nå finnes det to slike tall, hvis det først finnes noen. Et på hver side av origo, et positivt og
et negativt. La oss satse på det positive her. Så dette er altså et tall a som er større enn 0, og som har den
egenskapen at a^2 = 2. Det er en kvadratrot av 2. Vi vet at blant de rasjonale tallene så finnes det
ikke en slik kvadratrot. Det jeg nå påstår, er at ved hjelp av kompletthetsprinsippet så kan vi vise at det må
finnes en slik kvadratrot blant de reelle tallene.
Hvordan gjør jeg det? For å bruke kompletthetsprinsippet, så trenger jeg en mengde som jeg kan
finne den minste øvre skranken til. Den mengden jeg ser på her, det er rett og slett mengden som
består av alle de reelle tallene, slik at x^2 er mindre enn 2. Det er en ikke-tom mengde.
1 ligger for eksempel der. 1^2 = 1, som er mindre enn 2. Så denne mengden har elementer,
men den er opptil begrenset. Blir x stor nok, vil x^2 være større enn 2. Hvis x for eksempel er 2,
så blir 2^2 = 4, og det er jo ikke mindre enn 2. Så alle tilstrekkelig store tall ligger på utsiden av denne mengden.
Vi får et bilde her som ser sånn ut. Her har jeg 0 i midten, og så har jeg en del tall
på begge sider her som hører med til A.
De tallene som ikke er for store, de tallene som er så små at når de opphøyes i annen så er de mindre enn 2,
de hører med til den mengden. Så dette er en ikke-tom, oppad begrenset mengde. Ifølge kompletthetsprinsippet
har denne mengden en minste øvre skranke. Den ligger kanskje der, akkurat i slutten av mengden der.
Jeg vet det finnes et tall som er en minste øvre skranke for den mengden. Det man nå kan vise,
ved å jobbe littegranne, er at hvis jeg tar det tallet, den minste øvre skranken i annen, så vil a^2 være nøyaktig 2.
Jeg skal ikke gjennomgå det argumentet, men det er ganske lett å innse at det må være sånn,
fordi de tallene som har en kvadratrot som er mindre enn 2, de ligger inni den mengden et eller annet sted.
De tallene som ligger på utsiden av mengden, de burde ha en kvadratrot som er større enn 2. Så akkurat i skillet,
når de går over fra
å være mindre enn 2 til å være større enn 2, så er det nesten opplagt at det tallet
opphøyd i annen må være nøyaktig lik 2. Dette viser at ved hjelp av kompletthetsprinsippet,
kan man trylle frem lengdemål og den størrelsen her. Kvadratroten av 2 var jo lengden av diagonalen i et kvadrat.
Det tallet finnes ikke i det rasjonale tallsystemet, men ved å bruke kompletthetsprinsippet
kan jeg vise at et slikt tall finnes i det reelle tallsystemet.
Den andre problemstillingen vi så på istad, hvor de rasjonale tallene kom til kort: det var denne
problemstillingen hvor jeg hadde en sirkel og en linje, og det viste seg at så lenge jeg arbeidet med
de rasjonale tallene, så fantes det ikke noe punkt hvor det var skjæring mellom disse to geometriske objektene.
Via kompletthetsprinsippet kan man igjen vise at slik er det ikke når vi bruker de reelle tallene. Da vil det
alltid være skjæring mellom kontinuerlige kurver som krysser hverandre. Jeg skal ikke se noe på det her,
for det skal vi se på i neste videosnutt om skjæringssetningen. Jeg bare forbereder dere på at der kommer
også kompletthetsprinsippet inn og viser at dette problemet med at ting sniker seg gjennom hull,
det forekommer ikke når vi arbeider med de reelle tallene.
Dette viser hva kompletthetsprinsippet er. Litt hvordan det brukes på en typisk måte. Det som gjenstår
å si noen ord om, er hvorfor kompletthetsprinsippet er sant. Hvis vi tenker på de reelle tallene som mengden
av alle desimaltall, så burde det være et eller annet argument som fortalte oss
at kompletthetsprinsippet er rimelig å vente. Det er det argumentet som viser at
kompletthetsprinsippet gjelder for desimaltallene, som jeg skal gjennomgå til slutt i denne snutten.
Helt til slutt skal vi altså se på hvorfor kompletthetsprinsippet er riktig. Hvis vi tenker på de reelle
tallene slik vi er vant til, som mengden av alle desimaltall, så må det være en måte å begrunne
at dette kompletthetsprinsippet er riktig. La meg prøve å gjøre dette gjennom et slags eksempel.
La oss tenke oss at vi har tallinjen her. Så har jeg mengden jeg ser på her oppe. Det er altså en ikke-tom,
oppad begrenset mengde.
Oppad begrenset betyr altså at det finnes en skranke her borte, et tall som er større enn alle tallene i A.
For å være konkrete, setter vi et navn på den her. La oss si at den grensen der går på --
eller den øvre skranken der er 12,16.
Så er jeg interessert i å vise at denne mengden har en minste øvre skranke.
Jeg begynner med å se på alle tallene som ligger i A. Så gidder jeg ikke å se på hele tallet, jeg ser bare
på heltallsdelen, den delen som ligger foran komma. Her er det kanskje noen tall som har en 5
foran komma, kanskje noen som har en 4 foran komma, en 7 foran komma osv.
Jeg ser på det største tallet jeg har foran komma i tall som ligger i A. 12,16 er en øvre skranke,
så jeg vet at ingen av disse tallene kan ha en heltallsdel som er større enn 12. Men jeg vet ikke hvor mye
for stor den øvre skranken er, så det kan godt tenkes at det ikke er tall i mengden som begynner på
12, eller begynner på 11. Kanskje 7 er den største heltallsdelen som tall i den mengden har.
Da skriver jeg opp 7 her borte. Da må jo 7 på tallinjen ligge et sted før slutten, så kanskje 7 ligger der et sted.
Det neste jeg gjør, er å se på de tallene i A som starter med 7, og så ser jeg på den første desimalen de har.
Ikke sant, hvis 7,13 ligger der, er det klart at førstedesimalen 1 er med. Kanskje er 7,36 med i mengden.
Da vet jeg at jeg har et tall her som har førstedesimal 3 osv. Så ser jeg på den
største førstedesimalen som forekommer blant de tallene i mengden som starter med 7. Det må være en
største slik førstedesimal, det kan jo ikke gå lenger opp enn 9. I verste fall er den 9. La oss gå gjennom og se,
hva er den største førstedesimalen blant de tallene som starter med 7. La oss si at vi finner ut at den er 8.
Da skriver jeg opp 8 der borte. Så fortsetter jeg prosedyren. Nå ser jeg på alle tallene i denne mengden
som starter med 7 og har førstedesimal 8, ser på annendesimal til de tallene. Igjen, det må være en største blant dem,
den kan ikke bli større enn 9. Kanskje den ikke blir større enn 4, det er den største andredesimalen blant de
som starter på 7,8. Da skriver jeg opp 4 her. Nå begynner vel mønsteret å bli klart. Nå ser jeg på alle de tallene
i mengden som starter med 7,84. Så ser jeg på den største tredjedesimalen blant dem. Den kan ikke være
større enn 9, kanskje den faktisk er 9 denne gangen. Da skriver jeg opp 9 her. Så fortsetter jeg på den måten,
da vil det etterhvert vokse frem et desimaltall her med uendelig mange desimaler bak komma.
Det tallet som fremkom på denne måten, hvis jeg kaller det for a. Så vil det være den minste øvre skranken
til den mengden jeg ser på. Så lenge vi tenker på tallene som desimaltall, så kan jeg da fremtrylle
en minste øvre skranke for a, rett og slett ved å følge denne prosedyren. Det forklarer da at
innenfor mengden av desimaltall, så vil
enhver ikke-tom, begrenset mengde på denne måten her ha en minste øvre skranke. Desimalene får jeg frem
ved denne prosedyren. Det er måten vi kan argumentere for at vi alltid har en minstre øvre skranke
innenfor desimaltallene. La meg, helt til slutt, ta med litt notasjon som kan være grei å ha med seg
til de neste videoene. Denne minste øvre skranken til en mengde, den kalles også supremum.
Derfor bruker man gjerne denne beskrivelsen her, man skriver supremum til A. Det er den minste øvre skranken
til mengden A. I dette tilfellet, hvor den minste øvre skranken faktisk heter a, så vil vi ha
denne notasjonen her. Det er greit å ta med seg, for minste øvre skranke er et langt ord.
Sup er mye kortere og det gjør det mye greiere å uttrykke ting, litt kort og konsist.
Så det vi nå skal gjøre i de neste snuttene fremover, er å se hvordan dette kompletthetsprinsippet
kommer inn og løser en god rekke problemer for oss. Det første vi skal se på, i den neste snutten,
den som handler om skjæringssetningen, er problemet jeg fortalte om tidligere i denne snutten,
nemlig om kurver som skjærer hverandre. Hvis vi da bruker dette kompletthetsprinsippet
til å vise at kontinuerlige kurver som bytter side, de må nødvendigvis ha et skjæringspunkt.
Senere skal vi se hvordan dette kommer inn i drøftingen av ekstremal- og minimalpunkter og en del andre
problemstillinger i matematisk analyse. Men budskapet er altså at kompletthetsprinsippet er et
underliggende prinsipp av ganske stor kraft, til tross for at det har et uskyldig utseende.