Denne snutten vi nå skal ta fatt på, den handler om skjæringssetningen. Skjæringssetningen er en
konsekvens av kompletthetsprinsippet som vi så på i den aller første snutten, og nå skal vi da se
hvordan kompletthetsprinsippet kommer til uttrykk når vi ønsker å bevise en setning.
Utgangspunktet for skjæringssetningen er veldig enkel. Jeg kan tegne den opp i en figur. Jeg har da et koordinatsystem.
og så har jeg et intervall fra a til b. Og så har jeg en funksjon som er definert for alle
punktene i dette intervallet, da går fra a til b, mens funksjonsverdiene i de to endepunktene har motsatt
fortegn. Så i det ene endepunktet har funksjonen positivt fortegn, i den andre negativt. For å være konkrete, kan vi si at
vi begynner her nede. Dette er f(a), en negativ verdi, og så ender vi her borte i f(b), som er en positiv verdi.
Hvis jeg nå tegner funksjonsgrafen, så får jeg noe som ser noe sånt ut kanskje, som flytter seg fra
f(a) til f(b). Det som virker forholdsvis opplagt, er at innimellom her så må funksjonen
ha nullpunkter. Den her ser ut til å ha tre nullpunkter; ett her, ett her og ett der borte. Men selv om den ikke hadde hatt bølger
og daler, slik som denne her, så er det naturlig å tro at en funksjon som flytter seg fra noe negativt til
noe positivt må ha et nullpunkt. Så man kan jo lure på om dette er et generelt prinsipp.
Men hvis vi tenker oss littegrann om, så er det klart at så enkel er ikke verden. Fordi hvis jeg nå
tegner en funksjon litt annerledes, hvis jeg fortsatt har intervallet fra a til b.
Starter negativt og ender positivt, men har en funksjon som ser noe sånt noe ut. Den går opp til et punkt her.
Her har den en verdi, og så gjør den et hopp, så neste verdi kommer her oppe og så fortsetter den opp til f(b).
Så har jeg laget en funksjonsgraf som går fra noe negativt til noe positivt, men uten at det
er noe nullpunkt imellom.
Men dette kan jo kanskje regnes som juks, da. At jeg glemte å si noe istad: at det der borte bare
gjelder kontinuerlige funksjoner. Hvis jeg har diskontinuerlige funksjoner med sprang, så er det klart
at da kan jeg hoppe over x-aksen fra negative verdier til positive verdier uten å ha noe nullpunkt innimellom.
Så kanskje vi kan reformulere det opprinnelige utsagnet og si at for alle kontinuerlige funksjoner,
så er det slik at hvis jeg starter negativt og ender positivt (eller omvendt)
så finnes det et nullpunkt innimellom.
Det er kanskje ikke helt opplagt, det heller, for det er jo enda en mulighet som kunne opptre her.
Det var at jeg hadde et bilde som så noe slikt ut. Jeg starter i a, ender i b som før. Negativ verdi her,
positiv verdi her. Men hvis jeg nå har en tallinje med hull i, kanskje det finnes noe gap i denne
tallinjen min, så kanskje her er det et lite gap hvor det ikke finnes noe punkt. Så kunne det kanskje tenkes at
funksjonen min kom nedenfra, snek seg gjennom tallinjen akkurat der hvor dette gapet var, og så
fortsatte opp til den positive funksjonsverdien. Så da ville jeg ikke hatt noe nullpunkt, for riktignok
passerer grafen gjennom x-aksen, men den gjør det et sted hvor det er et hull i den aksen.
Så hvis vi har en tallinje med hull i, så kunne det tenke seg at man kunne gå fra negative
til positive verdier uten at det var noe nullpunkt innimellom.
Det virker kanskje usannsynlig, men dette har å gjøre med tallsystemet vårt.
Om vi har et tallsystem som beskriver hele tallinjen, eller som etterlater hull. I den første videoen
om kompletthetsaksiomet, så vi jo at den rasjonale tallinjen, den som består av bare rasjonale tall,
har hull der det burde vært tall. Så hvis jeg hadde prøvd å gjøre dette eksperimentet her med den rasjonale tallinjen,
og så nå lager vi akser her hvor det bare er de rasjonale tallene som står. Og så tegner jeg inn grafen
til en veldig enkel funksjon. Jeg kan bruke denne funksjonen her, f(x) = x^2 - 2.
Hvordan ser den funksjonsgrafen ut? Hvis jeg sier at jeg skal gå fra 0 og ut til 2 her ute.
Hvis jeg setter inn x=0, så får jeg 0^2 - 2, det er -2. Så den funksjonsgrafen starter her
her nede i -2.
Setter jeg inn x=2, så får jeg 2^2 (som er 4) - 2, det blir 2. Så denne funksjonen ender her oppe i 2.
Og så er det lett å se at dette her er en parabel, slik at den kurven jeg får starter her nede og oppover noe sånt
noe, og så ender den i punktet der oppe. Så her ser det ut som jeg har en skjæring, at denne kurver passerer
gjennom aksen min. Det er lett å regne ut i dette tilfellet hva skjæringspunktet er. Dette er et punkt der f(x)=0,
altså et punkt hvor x^2 - 2 = 0. Det er det samme som at x^2 = 2. Da vil jo det
positive skjæringspunktet her komme i √2. Så denne kurven passerer gjennom x-aksen i √2.
Men der er det jo ikke noe punkt, for jeg arbeidet jo med rasjonale tall blant aksene her. √2 er ikke
noe rasjonalt tall. Så i det tilfellet vil denne kurven faktisk
snike seg gjennom der det er et hull i denne rasjonale tallaksen, akkurat som jeg viste her oppe.
Så dette viser at det er litt problematisk dette her med hull. Hvis jeg har et tallsystem som ikke
fanger opp alt som er av punkter, så risikerer jeg faktisk å få dette problemet på alvor, slik som det viser seg her nede.
Nå viser det seg at dette skjer ikke når vi arbeider med de reelle tallene. Grunnen til det,
er at med de reelle tallene, så har vi kompletthetsaksiomet og vi bruker aksiomet til å vise at dette her aldri skjer.
Så det jeg nå skal gjøre, er å skrive opp en presis formulering av den setningen som
ligger bak her som heter skjæringssetningen. Så skal jeg etterpå bruke kompletthetsaksiomet
til å skissere et bevis for denne setningen.
Da er det kanskje på tide å formulere denne skjæringssetningen, så vi ser nøyaktig hva den sier.
Kan kanskje ta standardfiguren igjen, så vi vet hva vi snakker om. Så jeg har da intervallet fra a til b,
så har jeg en funksjon som skifter fortegn. I tegningene mine så har den alltid startet nede og sluttet oppe.
Kanskje jeg nå kan gjøre det omvendt, så den starter her oppe og ender der nede. Og så beveger den seg på
en eller annen måte. Så er da poenget her at når den går fra et fortegn til et annet, så må det være
et nullpunkt innimellom hvis dette er en kontinuerlig funksjon som ikke får lov til å hoppe. Hvis jeg prøver å
formulere dette skriftlig, så blir det seende noe slikt ut. Dette heter altså skjæringssetningen.
Vi må få en forutsetning her, nemlig at jeg har en funksjon som er kontinuerlig.
Hvis f, som da er en funksjon fra intervallet a til b, inni R er kontinuerlig (den får ikke lov til å ha
noen sprang slik som den ene funksjonen istad hadde, den som hoppet fra den ene siden til den andre),
hvis den funksjonen er kontinuerlig og har motsatt fortegn i de to endepunktene, altså i a og b. Ja, da finnes det
et slikt punkt innimellom som vi da kan kalle c, i intervallet fra a til b. Hvis vi sier at den har
forskjellige fortegn i a og b så er den ikke 0 der, så da må det nullpunktet
ligge i det indre intervallet. Så det finnes en c i det åpne intervallet fra a til b, der funksjonen har
verdien 0, altså der f(c)=0.
Så det er det denne setningen sier.
Det er to ting å legge merke til her. For det første, denne forutsetningen om at funksjonen er
kontinuerlig; den har ikke noe sprang. Det er åpenbart viktig. Og så er det en ting som kanskje ikke
synes så godt her, og det er at under dette så har vi valgt hvilken tallinje vi arbeider med.
Vi arbeider med den reelle tallinjen. Så dette intervallet fra a til b består altså av alle de reelle tallene
mellom a og b. Vi så istad at hvis jeg bare hadde tatt med de rasjonale tallene, så hadde det vært hull
der funksjonsgrafen kunne snike seg gjennom. Så det er viktig forutsetninger for å få
denne setningen til å fungere.
Setningen kan være vanskelig å oppfatte. Erfaringen viser at studentene ofte strever litt med å forstå
hva den sier. Men når de først har forstått hva den sier, har de kanskje et problem med å skjønne at det er en
setning i det hele tatt og ikke er en selvfølgelighet. Det er bare å se på en tegning av den typen der
og tenke at "ja men selvfølgelig, hvis dette her er en sammenhengende funksjonsgraf som går fra
det ene fortegnet til det andre, så må det være et nullpunkt innimellom". Men det er to ting som gjør at dette her
ikke er helt selvfølgelig. Det ligger i at gjennom setningen, så sjekker vi to ting. Den ene tingen vi sjekker,
er ideen om en tallinje, at det ikke er noen hull i en tallinje. Vi sjekker altså
at når vi bruker den riktige tallinjen her, de reelle tallene, så er det ikke noe hull
der funksjonen kan snike seg gjennom. Hadde vi hatt de rasjonale tallene som jeg viste istad, så hadde det faktisk vært
mulig for funksjonsgrafen å snike seg gjennom i et hull i tallinjen.
Vi tester altså at vår intuisjon om tallinjen er riktig. Den andre intuisjonen vi tester,
er intuisjonen om kontinuerlige funksjoner. Kontinuitet er definert på en litt abstrakt måte
med epsilon og delta. Vi har et slags intuitivt bilde om at det betyr at funksjonsgrafen skal
være sammenhengende. Her får vi testet det intuitive bildet, ved at vi beviser at for en kontinuerlig funksjon,
så er grafen faktisk så sammenhengende at den ikke kan hoppe fra den ene siden av x-aksen
til den andre uten å ha et skjæringspunkt. Skjæringssetningen kan se geometrisk opplagt ut, men den tester altså
to viktige intuisjoner, nemlig intuisjonen om en tallinje og intuisjonen om kontinuitet. Det som nå gjenstår,
er å bevise at denne skjæringssetningen er riktig. Da skal vi bruke kompletthetsaksiomet
på en helt avgjørende måte for å finne dette skjæringspunktet c.
Det viser seg at hvis vi arbeider innenfor en lengde der kompletthetsaksiomet ikke gjelder, for eksempel
innenfor de rasjonale tallene, så får vi ikke argumentet til å fungere. Så neste er altså beviset for skjæringssetningen.
Så da var det beviset for skjæringssetningen. Vi får jeg begynne med figuren vår, som vanlig.
Fra a til b, en funksjon som skifter fortegn. Den kan gjøre det flere ganger underveis, på den måten der.
Dette er en kontinuerlig funksjon og jeg skal bevise at den må ha et nullpunkt underveis
når den da skifter fra her, en negativ til en positiv verdi.
For å bevise at den er et nullpunkt, må jeg nesten prøve å lokalisere ett av disse nullpunktene.
Her er det flere av dem, og jeg skal prøve å lokalisere det siste punktet der borte. Så jeg skal vise
at det punktet virkelig finnes, at det ikke er en glipe i tallinjen der denne funksjonsgrafen sniker seg gjennom.
Jeg skal, som sagt, bruke kompletthetsprinsippet til å gjøre dette her.
Kompletthetsprinsippet snakker om mengder og supremum til mengder. Så jeg må få inn en mengde her.
Den mengden jeg skal se på, er den mengden der funksjonen har negative verdier. Det skjer flere steder her.
Her har jeg et stykke hvor jeg har negativ f-verdi. Har har jeg et stykke med negativ f-verdi, og der borte.
Det kan selvfølgelig være mye mer komplisert, hvis jeg har en funksjon som går veldig mye opp og ned,
men uansett så kan jeg skrive opp en mengde A, som består av alle de x-ene i det intervallet vi ser på,
der f(x) har en negativ verdi.
Det er en ikke-tom mengde, for jeg vet jo at f(a) er negativ her, så a er i hvertfall med i den mengden.
Den er åpenbar oppad begrenset, fordi det får ikke lov til å være med noen tall som er større enn b
i denne mengden. Så dette er en ikke-tom, oppad begrenset mengde. Ifølge kompletthetsprinsippet
har den da et supremum, og det supremumet kan jeg sette et navn på. La meg si at jeg kaller det supremumet for c.
Hvis vi ser på figuren her borte, så er det vel ganske åpenbart hvor det punktet måtte ligge hen.
Det skal være på en måte det største tallet som er i mengden, eller det tallet som markerer slutten på mengden,
og det burde ligge her borte et sted. Vi ser det, at hva slags verdi skulle f ha i det punktet der,
er akkurat der denne mengden, der f har negative verdier, slutter.
Så den eneste rimelige hypotesen å se på, eller å stille opp, det er jo at f(c) i det punktet er lik 0.
Hvis det er tilfellet, så har vi jo kommet frem til det vi skulle, nemlig at vi har et nullpunkt inni her.
Så hvordan beviser jeg at f(c)=0? Vel, jeg skal ikke gå igjennom
det beviset i detalj, jeg skal bare vise dere ideen i det. Det er et tosidig argument. Første del av argumentet
viser at f(c) må være mindre enn eller lik 0. Andre del av argumentet viser at f(c) må være
større enn eller lik 0. Når du kombinerer de to delene, så er det bare en mulighet som står igjen,
nemlig at f(c)=0. Så hvordan argumenterer jeg for at f(c) er mindre enn eller lik 0?
Jo, jeg plukker ut en følge av elementer som ligger i mengden A, og som nærmer seg c nedenfra.
Det må alltid finnes, for uansett hvor nær opp til c jeg kommer fra nedsiden, så må det være et punkt i mengden
som er større enn det punktet jeg peker på. Fordi c er supremum over a. Så jeg kan finne en følge fra A,
kanskje begynner jeg her nede, plukker ut elementer men jeg lager dem hele tiden større.
Til slutt så nærmer den seg c. Så jeg har altså en følge av xn-verdier som nærmer seg c nedenfra,
og slik at hver eneste xn er med i mengden A. Det betyr jo at siden xn er med i mengden A,
så må f(xn) hele tiden være mindre enn null. Fordi punktene som ligger i A har jo f-verdi mindre enn 0.
Så hver eneste f(xn) er mindre enn 0.
Samtidig er det slik at hvis xn går mot c, og f er en kontinuerlig funksjon,
så må f(xn) gå mot f(c). Det er en av egenskapene ved kontinuerlige funksjoner.
Men hvis alle disse xn-ene er negative og f(xn) nærmer seg f(c), så kan ihvertfall ikke f(c) være positiv.
Så det at alle disse her er negative, det medfører at denne her må være mindre enn eller lik 0.
Så det argumentet viser altså at f(c) er mindre enn eller lik 0. Så kan jeg gjøre et tilsvarende argument
for å vise at f(c) er større enn eller lik 0. Da gjør jeg det bare omvendt.
Jeg kommer ovenfra. Jeg velger en følge av elementer som kommer fra oversiden og nærmer seg c.
Alle f-verdiene her må være positive. Det medfører at f(c)-grensen også må være positiv,
akkurat tilsvarende type argument som istad. Så må vi gjøre samme argument, bare bruke
en følge fra oversiden. Så får jeg frem at f(c) er større enn eller lik 0. Men da sitter jeg igjen med at
f(c) både må være mindre enn eller lik 0 og større enn eller lik 0.
Den eneste muligheten å få til det på, er ved at f(c) er lik 0. Først brukte jeg kompletthetsaksiomet
til å vise at denne mengden A hadde et supremum. Satte et navn på det supremumet, kalte det c. Etterpå viste jeg at
funksjonsverdien i c måtte være 0. Dermed har jeg bevist skjæringssetningen, som sier at mellom a og b må det
alltid finnes et punkt der verdien er 0.
Det var altså, litt kort og skissemessig, beviset for skjæringssetningen. Dette er en setning som brukes
mange steder i praksis, men hovedbetydningen er kanskje litt filosofisk og det jeg sa istad,
nemlig at skjæringssetningen viser at vår intuisjon er riktig på to punkter. For det første at vi med de
reelle tall har fanget opp en tallinje uten hull, der ting ikke kan snike seg igjennom, og for det andre
at vår definisjon av kontinuitet er riktig. En kontinuerlig funksjon har en graf som er sammenhengende
og som ikke kan hoppe fra en side av en linje til en annen.