I denne snutten skal vi snakke om ekstremalverdisetningen. Det handler om maksimum og minimum for funksjoner
på en ganske teoretisk måte. Vi skal ikke prøve å finne disse punktene, vi skal bare vise at de
eksisterer under passende betingelser. Det er flere begreper å se på her som vi skal prøve
å holde fra hverandre. Det ene er at en funksjon er begrenset, og det andre er dette med maksimum- og minimumspunkter.
Disse tingene henger sammen, men de dukker opp på litt forskjellige måter. Så la meg lage
noen figurer for å illustrere dette her. For det første, dette med begrenset betyr rett og slett
at hvis jeg har en funksjon definert på en mengde: hvis det finnes et tall her oppe, M, og et
tall her nede, N, slik at funksjonen
ikke kan gå utenfor de grensene som disse tallene setter. Hvis jeg tegner
vannrette linjer her, så vil aldri funksjonsgrafen gå over den øverste og under den nederste.
Da er funksjonen begrenset. Den kan da f.eks. se noe sånt ut, får ikke lov til å komme høyere opp enn det,
ikke lenger ned enn det osv. Så det er en begrenset funksjon.
Så det er det ene punktet. Det andre punktet er dette med maks.- og min.punkter. Et maksimumspunkt for funksjonen
er rett og slett et punkt der funksjonen har større verdi enn i alle andre punkter
og et minimumspunkt er et punkt der den har mindre verdi enn i alle andre punkter. Det kan jo tenkes at vi har to
topper som er like store og der regnes begge to som maksimumspunkter, og to daler som er like dype
og som går nedenfor alt det andre på grafen. De regnes også som minimumspunkter. Men det er altså begrensethet og
maks. og min.
Nå er det sammenhengen mellom disse begrepene vi skal være litt interessert i. En ting som er
forholdsvis grei å forstå, det er at hvis en funksjon har et maksimumspunkt og et minimumspunkt, så må
den være begrenset. Fordi jeg kan bruke maksimumsverdien som en slags øvre skranke på funksjonen og
minimumsverdien som en nedre skranke. Har jeg maks.- og min.punkter, så er funksjonen begrenset. Men jeg kan godt
ha begrensede funksjoner som ikke har maks.- og min.punkter. Hvis jeg f.eks. tenker meg en funksjon
som er definert over hele tallinjen, og som har asymptoter (linjer som funksjonsgrafen
nærmer seg oppe og nede). Hvis jeg har en funksjon som ser noe sånt ut f.eks, så er den begrenset
fordi den er begrenset av disse asymptotene her, men den har ikke noe maksimums- eller minimumsverdi noe sted
fordi jeg får stadig høyere verdier bortover her
uten å nå opp til et maksimum; og jeg får stadig mindre verdier bortover her uten noen gang å
nå ned til et minimum. Så det går an å være begrenset uten å ha maks.- og min.punkter. Nå skjedde dette her
på et ubegrenset intervall, men det kan skje akkurat det samme på et begrenset intervall. Hvis jeg
har en sammenheng som ser sånn ut. En funksjon som er definert på dette intervallet her sånn.
Hvis jeg f.eks. bare har en rett linje som går opp på den måten, og hvis dette er et åpent intervall
slik at endepunktene ikke er inkludert, så er dette en funksjon som er begrenset.
Den kommer aldri høyere opp enn hit og aldri lenger ned enn dit. Men det er ikke noe maks.- eller min.punkt.
Fordi disse maks.- og min.punktene skulle ligget på kanten her, i enden av intervallet, men endepunktene er ikke med.
Igjen, du kan godt være begrenset uten at det er noe maksimumspunkter og noe minimumspunkter.
Det finnes også ubegrensede funksjoner, selv om intervallet de er definert over er endelig.
F.eks. kan jeg ta intervallet fra 0 til 1. Hvis jeg nå ser på funksjonen f(x) = 1/x,
så er den definert på et begrenset intervall. Men funksjonsgrafen er ubegrenset.
For når x går mot 0, går f(x) mot uendelig. Så den funksjonen går opp mot uendelig, til tross for at
definisjonsområdet er begrenset. For å oppsummere litt: har funksjonen maks.- og min.punkter så er
den nødvendigvis begrenset. Begrensede funksjoner behøver ikke å ha maks./min.punkter, og selv på
begrensede områder kan funksjoner godt være ubegrenset. Det vi nå skal prøve å få litt tak på, er når vi kan
være sikre på at funksjoner har maks/min.punkter og er begrenset. Det er dette
ekstremalverdisetningen handler om.
Da er vi klare til å se på ekstremalverdisetningen, som sier at når vi konsentrerer oss om kontinuerlige
funksjoner definert på et lukket og begrenset intervall, så slipper vi mange av de vanskelighetene vi
så på eksemplene tidligere.
La meg prøve å tegne opp hva som foregår først. Hvis jeg nå har et vanlig koordinatsystem her.
Jeg legger inn et lukket og begrenset intervall fra a til b. Så har jeg en kontinuerlig funksjon definert på
dette intervallet. Da er jo a og b (endepunktene) med i intervallet. Jeg må ha en funksjonsverdi f(a) på denne siden,
en funksjonsverdi f(b) på den siden. Siden funksjonen er kontinuerlig, så går grafen ut fra
disse punktene. Hvis det nå skulle få det for seg at den vil prøve å stikke mot uendelig,
gå oppover her, så har vi en følelse av at den før eller senere må snu for å forbinde seg med
den grenen der nede. Den er jo kontinuerlig, så grafen skal henge sammen. Tilsvarende hvis den delen
prøver å stikke av minus uendelig, så må den før eller senere snu og prøve å forbinde seg med
den grenen her oppe. Fordi vi skal få en kontinuerlig graf til slutt. Så det er vanskelig å forestille seg en sånn
kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall som ikke er begrenset. Vi har en følelse av at
den før eller senere må den snu her oppe. Før eller senere må den snu der nede, og da blir den begrenset.
I tillegg har vi en følelse av at det må være maksimumspunkt. Et sted snur den for godt her oppe, så da bør det
være et maksimumspunkt. Et eller annet sted snur den for godt her nede, og der bør det være et minimumspunkt.
Kanskje er det slik at kontinuerlige funksjoner definert på et lukket og begrenset intervall faktisk har
maksimum- og minimumspunkter. Det er faktisk det ekstremalverdisetningen sier. Hvis vi nå skriver den opp,
ekstremalverdisetningen altså, så gjelder den for kontinuerlige funksjoner så vi må legge inn det.
Hvis f fra [a, b] inni R
er en kontinuerlig funksjon. Men det er ikke nok, det må også være definert på et lukket og
begrenset intervall. Det er på en måte sagt her oppe allerede, men det er så viktig at jeg tar det med
en gang til i klartekst. Definert på et lukket, begrenset intervall, så har f maksimums- og minimumspunkter
og som vi så istad så er alle funksjoner med
maksimums- og minimumspunkter, de er begrenset. Vi kan henge på det her også: og er følgelig begrenset. Så det er
ekstremalverdisetningen. Dersom funksjonen er kontinuerlig og den er definert på et lukket, begrenset
intervall så er den fortøyet i endepunktene. Siden den er kontinuerlig, må funksjonsgraf være sammenhengende
og da kan den ikke stikke av. Før eller senere må den snu og gå tilbake igjen til disse endepunktene.
Så det er intuisjonen bak ekstremalverdisetningen. Så den sier noe om kontinuerlige funksjoner,
at de ikke kan stikke av, men de sier også noe om tallsystemet. For det viser seg at det er viktig her
at vi arbeider med de reelle tallene slik at intervallet [a, b] består av alle reelle tall
mellom a og b. Hvis vi hadde arbeidet med
rasjonale tall, hadde vi hatt moteksempler mot denne setningen. Jeg kan vise dere veldig raskt
et slikt moteksempel. Hvis vi ser på funksjonen f(x) = 6x - x^3. Hvis vi
ser på den på intervallet fra 0 til 2 for å kunne holde ting litt fast. Den starter da, jeg setter inn
x=0 så får jeg 0 ut, så den går ut her. Når jeg setter inn x=2 så får jeg 6*2 som er 12 minus 2^3 som er 8,
jeg får 12 - 8 = 4. Den går gjennom det endepunktet der. Hvis vi tegner grafen
så viser det seg at den ser noe sånt noe ut. Den går opp der og så ned igjen.
Så det ser ut som jeg har et maksimumspunkt her borte. Men hvis dere deriverer og setter den deriverte
lik 0, vil det si at det maksimumspunktet, det ligger i punktet √2 som er et irrasjonalt tall.
Så lenge vi arbeider med reelle tall så er dette et eksempel på at ekstremalverdisetningen gjelder.
Vi har virkelig et maksimumspunkt i dette intervallet fra 0 til 2. Men hvis vi bare hadde arbeidet med
rasjonale tall, så hadde ikke √2 vært med i tallsystemet vårt. Da vi hatt et eksempel på en
funksjon definert på et lukket, begrenset intervall, kontinuerlig som bare det, som ikke hadde hatt
noe maksimumspunkt i det intervallet. Igjen er tallsystemet vi arbeider med viktig, for at denne
intuitivt riktige setningen skal gjelde, må vi faktisk ha et tallsystem hvor det ikke er hull innimellom,
slik som √2 er et hull
i det rasjonale systemet.
Så ekstremalverdisetningen forteller oss både litt om kontinuerlige funksjoner, og om tallsystemene.
Når vi nå skal se på beviset for setningen, så skal jeg også prøve å understreke hvordan vi
bruker kompletthetsprinsippet, som er det eneste som skiller reelle tallene fra de rasjonale,
for å få et bevis for denne setningen.
Da skal vi se på beviset for ekstremalverdisetningen. Begynner med en figur som vanlig.
Dette gjaldt altså funksjoner som er definert på et lukket, begrenset intervallet fra a til b, og som var kontinuerlig.
De er hengt opp i hvert sitt endepunkt. Og så skulle vi vise at det var en maksimalverdi her, kanskje funksjonen
forsvinner opp der, uten at vi kan se den innenfor tavlen, går ned der osv. Så må jeg vise
at denne funksjonen har et maksimumspunkt. Egentlig skal jeg vise at den både har et maksimum og et
minimumspunkt men de to argumentene er helt like, så jeg nøyer meg med å bevise at den har et maksimumspunkt.
Dette er altså et bevis for eksistensen av maks.punkt.
Det jeg begynner med da, er å sette et navn på hvor stor denne funksjonen kan være. Jeg ser på
mengden av alle mulige funksjonsverdier f(x), hvor x er med i dette intervallet vi er interessert i.
Så ser jeg på supremum over hele den mengden. Jeg vet ikke at den mengden er begrenset, så det kan
tenkes at dette supremum er uendelig. Det er noe jeg må ta stilling til underveis, hva som skjer her.
Men jeg setter et navn på det, kaller rett og slett det supremum for M. Så det er ikke sikkert det er
noe punkt her som har verdi M i utgangspunktet. Men de når i hvertfall helt opp til M,
disse verdiene til funksjonen over intervallet her.
Det er utgangspunktet mitt. Så ser jeg på intervallet fra a til b. Så deler jeg det på to i midten her og så ser jeg
på de to delintervallene jeg nå får fra a til midten, og fra midten og ut til b. Det som er lett å innse,
er at hvis jeg nå ser på supremum til funksjonen over hvert av disse delintervallene, så må minst ett
av disse supremumene være lik M. Hvis jeg har supremum mindre enn både på den første delen og på
den andre delen, da må supremum over hele intervallet også være mindre enn M. Jeg vet altså at over
ett av disse to delintervallene, så er supremum lik M. På den figuren her, er det klart at
sup=M må jeg ha på første halvdel. Da sier jeg at den første halvdelen av dette intervallet
fra a og ut dit, det intervallet setter jeg et navn på og kaller [a1, b1].
Det jeg dermed har, er det opprinnelige intervallet fra a til b, og inni det ligger det et kortere intervall,
nøyaktig halvparten så langt, som heter [a1, b1]. Over begge disse to intervallene så er
supremumsverdien til funksjonen lik M.
Så fortsetter jeg etter samme strategi. Det jeg nå gjør er å dele dette nye intervallet i to biter
så gjør jeg akkurat det samme som istad. Enten over den første eller den andre halvdelen må
sup=M. Ellers kunne ikke supremum over hele [a1, b1] vært lik M. På den figuren vi ser her,
så er det klart at her må det være det andre intervallet der sup=M. Dette andre intervallet her
kaller jeg [a2, b2]. Så det er et delintervall av [a1, b1] igjen. Halvparten så langt
som det foregående, og også på dette intervallet er supremumsverdien til funksjonen lik M.
Slik kan jeg fortsette. Jeg kan dele [a2, b2] i to biter igjen. Over den ene biten så må sup=M,
og det kaller jeg [a3, b3], og så får jeg en uendelig følge av intervaller på den måten. Hvis jeg nå ser på
første punkt i hvert intervall, altså venstre endepunkt i disse intervallene. Ser på følgen som består
av an-er,
så er det en ikke-avtagende følge. Det er ikke slik at hver a nødvendigvis er større enn den foregående,
men den kan hvertfall ikke være mindre, fordi disse intervallene ligger inni hverandre. Så dette er en
ikke-avtagende følge, og den er også begrenset fordi alle disse intervallene ligger inne i det
opprinnelige intervallet fra a til b. Alle disse an-ene må være mindre enn det. Det er en ikke-avtagende,
begrenset følge.
Nå er det en konsekvens av kompletthetsprinsippet at ikke-avtagende, begrensede følger må konvergere.
Det er rett og slett fordi vi kan ta supremum av mengden av alle disse punktene, og da får vi en
grense for denne følgen. Så følgen av an-er, en følge av tall altså (ett for hver n), må konvergere mot
en verdi som vi kaller c. Siden intervallet er lukket, så må den c-en høre med til intervallet.
Så c er med i det opprinnelige intervallet [a, b]. På figuren vår ville kanskje c-en ligget
her et sted, der er c.
Vi vet ikke noe om funksjonsverdiene i hver av disse punktene an, men jeg vet jo at i intervallet
fra [a1, b1], så er supremumsverdien til alle funksjonsverdier lik M. Så det betyr at inne i intervallet [a1, b1],
så kan jeg plukke ut punkter som ligger så nær M jeg måtte ønske. Uansett om M skulle være
uendelig eller endelig, så kan jeg komme så nær M som overhodet mulig innenfor hvert enkelt intervall.
Jeg kan ikke nødvendigvis komme helt opp til M, for det er ikke sikkert det er noe funksjonsverdi
som er nøyaktig lik M, men jeg kan komme så nær jeg måtte ønske. Det betyr at jeg kan
plukke ut en følge cn, en cn fra hvert intervall, slik at disse punktene, eller disse verdiene,
kommer nærmere og nærmere M. Slik at følgen f(cn) konvergerer mot M når cn går mot uendelig.
Hva vet jeg om cn selv? Vel, hver cn ligger i intervallet [an, bn], an konvergerer mot c og disse intervallene
blir trangere og trangere. Hvert intervall er halvparten så langt som det foregående.
Det betyr at vi hvis an-ene konvergerer mot c, så blir cn-ene også tvunget til å konvergere mot c. Så jeg vet da
at cn også konvergerer mot c. Rett og slett fordi an gjør det, og an og cn er tvunget til å ligge tettere og
tettere sammen.
Men hvis cn går mot c, og f er en kontinuerlig funksjon (det ligger jo i antagelsen vår), så må
f(cn) konvergere mot f(c). Det er en egenskap som kontinuerlige funksjoner har, at hvis argumentene cn
nærmer seg c, så vil f(cn) nærme seg f(c). Men da har jeg jo to verdier for grenseverdiene f(cn).
Her oppe har jeg vist at den må være lik M, her har jeg vist at den må være lik f(c). En følge kan ikke
konvergere mot to forskjellige verdier, så disse to tingene her medfører at f(c)
nødvendigvis er lik M.
Hva betyr det? Vel, M er supremum av alle mulige verdier. Her har jeg et punkt hvor verdien faktisk er lik M.
Det betyr at f(c) må være større enn eller lik alle andre mulige funksjonsverdier. Det betyr at c er et
maksimumspunkt for funksjonen.
Så dermed har jeg også funnet ut at c er et maksimumspunkt for funksjonen. f(c)=M, det betyr at M må
være endelig. Fordi en funksjonsverdi får ikke lov til å være uendelig. Så M er endelig. Jeg har vist at funksjonen er
begrenset av en endelig M, og at jeg har et maksimumspunkt c der maksimumsverdien er oppfylt.
Som jeg sa istad, kan vi føre et akkurat tilsvarende argument for minimumspunkt og dermed har vi
bevist ekstremalverdisetningen.