I denne snutten skal vi se litt på middelverdisetningen, som er et av de viktigste verktøyene
i matematisk analyse. Mange synes at denne setningen er litt vanskelig å forstå seg på; ikke fordi det er
så vanskelig å se hva den sier for noe, men den er litt vanskelig å bruke. Man trenger litt trening,
og litt intuisjon for å kjenne igjen situasjonene og de formlene der den dukker opp.
La oss begynne med setningen selv. La meg prøve å illustrere den gjennom en figur. Jeg har en
funksjon definert på et intervall fra a til b.
Denne funksjonen er ikke bare kontinuerlig, vi antar også at den er deriverbar, ihvertfall i alle indre
punkter i intervallet. Så går den kanskje noe sånt, fra et startpunkt her nede til et endepunkt her oppe.
Så trekker jeg den rette linjen gjennom endepunktene her.
Det er det som ofte kalles sekanten, den treffer der oppe. Så regner jeg ut stigningstallet til den
rette linjen. Da må jeg ta økningen i y-verdi og dele på økningen i x-verdi. Økningen i y-verdi her
er jo der jeg ender opp i f(b), minus der jeg startet, nemlig f(a). Så det er økningen i y-verdi.
I x-retning går jeg jo fra a til b, så jeg får lengden av dette intervallet, som er b-a.
Så det betyr at stigningstallet for den rette linjen, hvis vi kaller den k, så får jeg f(b)-f(a)/b-a.
Det middelverdisetningen sier, er at inni intervallet så finnes det
minst et punkt der tangenten er parallell med denne sekanten. Så det punktet ligger kanskje her.
Og jeg da har en tangent som er parallell med sekanten. Det betyr jo at den deriverte til funksjonen
i dette punktet må være lik stigningstallet til denne sekanten. Her ligger det et punkt c,
slik at f'(c) er lik det stigningstallet der borte, altså f(b)-f(a)/b-a.
Setningen gir oss ikke noe informasjon om hvilket punkt det er. Det eneste vi vet er at det ligger
mellom a og b. Det kan godt tenkes at det er flere slike punkter. På denne figuren her for eksempel,
vil det også finnes et punkt nedi her et sted, hvor tangenten er parallell med sekanten.
Det eneste setningen sier, er at et eller annet sted i det indre intervallet, finnes det et punkt
der den deriverte er lik denne brøken.
Det er geometrisk et ganske opplagt bilde. Selvfølgelig mindre opplagt hvis jeg lager en funksjon som
svinger veldig mye opp og ned. Så dette er en setning som må bevises, men beviset er ikke så fryktelig vanskelig
og jeg har lyst til å skissere det for dere.
Men før vi går løs på selve beviset for middelverdisetningen, så trenger vi en liten hjelpesetning
som gjerne kalles Rolles teorem, etter en fransk matematiker som levde på slutten av 1600-tallet.
Den tar for seg et spesialtilfelle. Hvis jeg tar intervallet fra a til b, men antar at jeg har en funksjon
som har samme verdi i begge endepunkter. Jeg kan til og med anta at den begynner og slutter på 0.
Så den har da begynnerpunkt og endepunkt nede på x-aksen. Og så gjør den et eller annet innimellom.
Det er altså en deriverbar funksjon i det indre området. Da er det forholdsvis lett å se at et eller annet
sted underveis på intervallet her, så må denne funksjonen ha et punkt der den deriverte er 0.
Det følger rett og slett fra ekstremalverdisetningen.
Fordi hvis denne funksjonen er noe annet enn det rette linjestykket der den deriverte er 0 overalt,
så må den enten ha et maks.punkt som ligger over 0, slik som her, eller den må ha et min.punkt
som ligger under 0, slik som her. I dette eventuelle maks.- eller min.punktet, så må den deriverte være 0.
Det er forholdsvis lett å se at det i et maksimumspunkt og et minimumspunkt, hvor funksjonen er deriverbar,
da må den deriverte være lik 0. Så hvis jeg har en slik deriverbar funksjon, der verdien
i begge endepunktene er lik 0. Ja, så finnes det et punkt c i det indre området, der h'(c)=0.
Dette er et spesialtilfelle av middelverdisetningen, for det tilfellet hvor verdien i endepunktene er
akkurat det samme. Men det vi nå skal se, er at denne spesialutgaven faktisk kan brukes til å bevise
den fulle setningen.
Da skal vi se på hvordan vi kan bruke Rolles teorem til å bevise middelverdisetningen.
La meg begynne med å tegne opp situasjonen en gang til. Jeg hadde altså intervallet fra a til b, så det er en
funksjon definert over det intervallet. Lager en litt enklere figur nå enn istad. Så hadde vi
sekanten som forbandt de to endepunktene på grafen. Så sa setningen, rett og slett, at et eller annet sted
i intervallet så finnes det et punkt (kan tenke seg det er flere, men i denne situasjonen er det bare ett),
her oppe et punkt c, der denne tangenten er parallell med sekanten. Eller med andre ord,
stigningstallet til tangenten, altså den deriverte punktet i punktet c, er det samme som stigningstallet til
denne linjen her. Vi så jo hvilken formel det tilsvarte istad. Det betyr at f'(c)=f(b)-f(a)/b-a.
Så middelverdisetningen sier at det alltid vil finnes
et punkt c i det indre her, slik at dette holder, gitt visse forutsetninger. For å holde helt styr på
de forutsetningene, så skriver jeg opp middelverdisetningen i klartekst her nede, slik at vi får med oss alt.
Her har vi da middelverdisetningen.
La oss først se på forutsetningene. Vi antar at f fra det lukkede intervallet [a,b] inni R: for det første er
en kontinuerlig funksjon, men i tillegg må den være deriverbar. Men det er ikke nødvendig at den er deriverbar
i endepunktene, der er det nok at den er kontinuerlig. Men i alle indre punkter må den være deriverbar.
Så denne funksjonen er altså kontinuerlig og deriverbar i det åpne intervallet fra a til b.
Det er ikke nødvendig være deriverbar i endepunktene, og det er av og til litt nyttig å vite.
Så sier setningen: da finnes det
et punkt c i det indre intervallet, der denne formelen her oppe holder. Altså at f'(c)=f(b)-f(a)/b-a.
Så det er altså middelverdisetningen som står her nede med alle forutsetningene puttet inn.
Vår oppgave er nå å bevise at denne setningen er sann.
Det jeg da gjør, er å bruke Rolles teorem som jeg viste istad, til å vise denne setningen.
Rolles teorem gjelder bare for funksjoner som er 0 i endepunktene av intervallet. For å bruke den,
må jeg få inn en funksjon som er 0 både i a og i b. Den funksjonen jeg skal bruke, er avstanden mellom
funksjonsgrafen og sekanten. Så hvis jeg putter inn en x her, og går opp funksjonsgrafen, er det
den differansen her, mellom de to grafene, som vil være h-funksjonen min. Så dette er h(x). Vi ser at når x
endrer seg, så vil det linjestykket også endre seg, så h er en funksjon av x. Vi ser også at i endepunktene,
så vil h=0, for i a faller grafen og sekanten sammen, og i b faller grafen og sekanten sammen.
Så dette er en funksjon som tilfredstiller
denne grunnleggende betingelsen i Rolles teorem. For å bruke denne h-en, må jeg ha
et uttrykk for den. Det ser litt komplisert ut, for det blir
et litt stygt algebraisk uttrykk. Det jeg aller først trenger, er en likning for denne sekantlinjen
som forbinder de to endepunktene.
Da bruker jeg det som gjerne kalles ettpunktsformelen for en rett linje. Jeg vet at den rette linjen
går gjennom det punktet der, og jeg kjenner stigningstallet, som er den brøken som står der nede.
Da sier formelen at en generell y-verdi på linjen-- hvis jeg tar den og trekker fra y-verdien
i det punktet jeg vet om, det er y-f(a), så er det lik stigningstallet for linjen, og det var jo den brøken der
hadde vi regnet ut. f(b)-f(a)/b-a. Det er k-en, det er stigningstallet.
Så skal jeg gange med (x-a). x er den generelle x-koordinaten på linjen, a er x-koordinatet i det punktet vi vet om.
Sånn.
Det er denne ettpunktsformelen for linjen gjennom punktet (a, f(a)), og med dette her som stigningstall.
Det betyr at jeg rett og slett får y-en ved å ta -f(a) og flytter den over
på den siden der. Når vi har det uttrykket, så kan jeg regne ut hva h(x) er. La oss ha den for seg der.
Så ser vi på hva h(x) er.
h(x) er altså differansen fra funksjonsgrafen og ned til linjen. Det vil si at jeg må ta uttrykket
for funksjonen her oppe og trekke fra uttrykket for y-verdien på linjen her nede. Funksjonen er jo f selv.
Her oppe har jeg f(x), så må jeg trekke fra verdien for den y-en der. Så jeg må trekke fra uttrykket
for den y-en som står her borte. Da får jeg dette uttrykket, og så må jeg flytte den f(a) over
på den andre siden. Så det blir -(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a). Jeg skal trekke fra hele uttrykket,
så flytter jeg den f(a)-en over her. Da får jeg +f(a). Sånn ser dette uttrykket
for h(x) ut. Det ser jo fryktelig ut, men det aller meste som står her er konstanter.
f(b), f(a), b og a. Alt er bare konstanter. f(a) er en konstant. Det eneste i dette svære uttrykket
som avhenger av x, det er den x-en som står der inne.
Når vi skal derivere dette uttrykket, er det egentlig ganske enkelt selv om uttrykket ser stygt ut.
Hvis jeg nå deriverer her, så får jeg at h'(x) er lik-- da må jeg først derivere det leddet,
men det er jo bare f'(x).
Så er det dette svære uttrykket jeg skal derivere. Den f(a)-en blir bare borte, den er en konstant.
Den blir borte når jeg deriverer. Dette er bare en konstant som står der, så den blir bare stående
foran her. Når jeg deriverer her, så får jeg 1 derfra og 0 derfra. Det eneste jeg blir stående igjen med
når jeg deriverer hele dette stygge uttrykket, er faktisk den brøken der. Den har en minus foran seg
som jeg må ha med. Det er -f(b)-f(a)/b-a.
Så der har jeg den deriverte av h. Det jeg sa om h, var at det var en funksjon som tilfredsstilte
Rolles teorem. Fordi f er kontinuerlig på hele intervallet, deriverbar i det indre,
og den er 0 i begge endepunktene. Ved Rolles teorem, finnes det et punkt der den deriverte til h=0.
Jeg kan finne en c, slik at h'(c)=0. Men det at h'(c)=0 må jo bety at hele dette uttrykket her
er lik 0, så jeg må sette inn x=c der. Der står det f'(c) - f(b)-f(a)/b-a. Det uttrykket er lik 0.
Men hvis dette uttrykket er 0,
så må jo de to leddene være like store.
Det betyr at det leddet må være lik det der borte. Det var jo akkurat det vi skulle bevise,
nemlig at disse to tingene er like.
Dermed er beviset for middelverdisetningen ferdig. Vi har vist, ved hjelp av Rolles teorem,
at det finnes et punkt c som oppfyller denne ligningen. Poenget var at h var en funksjon som
tilfredsstilte Rolles teorem. Da vet jeg at det finnes en c som gjør h'(x)=0. Men h'(x) er
bare dette uttrykket der. Det betyr at vi finner en c slik at dette er lik 0. Det betyr jo
at det leddet nødvendigvis er lik det. Dermed er middelverdisetningen bevist.
Som vi har sett, er ikke middelverdisetningen så veldig vanskelig å forstå. I hvert fall ikke
det grafiske bildet. Beviset er heller ikke blant de vanskeligste. Men, som jeg sa innledningsvis; det som ofte
skaper problemer for studenter, det er at setningen kan være litt vrien å bruke. Litt vanskelig å
gjenkjenne situasjonene hvor den skal brukes. Det kreves ofte litt fingerferdighet med formler
og en evne til å kjenne igjen uttrykk, som igjen da kanskje krever en god del trening. La meg vise noen
eksempler, noen veldig enkle. Den første er den situasjonen der. Vi vet at dersom en funksjon f(x)
er konstant, så er den deriverte lik 0. Men spørsmålet er, gjelder det omvendte? Er det slik at hvis
f'(x)=0, så er nødvendigvis funksjonen en konstant?
Det første her er helt trivielt å vise, for vi har jo en formel for den deriverte. Setter vi konstanten inn der,
popper 0 ut. Men det omvendte spørsmålet, det her nede, det er slett ikke så enkelt.
Her kan vi ikke bare sette inn noe i et uttrykk. Vi vet jo ikke hva jeg f(x) er. Vi vet bare at
den deriverte er lik 0.
Det er ikke så lett å besvare dette spørsmålet uten å bruke middelverdisetningen. Men med det, er det faktisk
ganske enkelt.
La oss tenke oss at vi har tallinjen bortover her. Så velger jeg ut et punkt, la meg si a.
Der har jeg selvfølgelig en funksjonsverdi, f(a). Her ligger funksjonen. Den går gjennom det punktet der.
Så kan jeg plukke ut et hvilket som helst annet punkt, x her borte.
Det jeg skal gjøre, ut fra antagelsen om at den deriverte er 0, er å vise at funksjonen er konstant.
Det jeg da må vise, er at hvis jeg tar et hvilket som helst annet punkt x her, så er f(x)=f(a).
f(x) skal egentlig helst ligge her oppe og ha samme verdi som f(a).
Hvordan viser jeg at f(x)=f(a)? Vel, jeg bruker middelverdisetningen på dette intervallet her.
Hva får jeg da? x-en spiller nå den rollen som b har spilt tidligere. Jeg får at f(x)-f(a)/x-a
er f'(c). Jeg vet ikke hva c er, men det er et eller annet
punkt i det indre intervallet her.
Hva c er, spiller jo ikke noe rolle her. Jeg vet at f'(x)=0 i alle punkter. Så den der
er nødvendigvis lik 0.
Da er denne brøken her borte lik null. Den eneste måten en brøk kan bli 0 på, er at telleren er 0.
Så f(x)-f(a) må være lik 0. Det vil si at f(x)=f(a). Dette gjelder for en hvilken som helst x
forskjellig fra a. Det viser da at funksjonen må være konstant, fordi verdien i et hvilket som helst punkt
er den samme som verdien i punktet a.
Dette er et veldig enkelt eksempel, men det viser kanskje hvorfor bruk av middelverdisetningen kan være
litt vanskelig innimellom. Det er veldig lite som i utgangspunktet her peker på middelverdisetningen.
Vi har ikke noe intervall vi er interessert i å undersøke ting over. Vi har ikke noe geometrisk bilde som
ligner det geometriske bildet i middelverdisetningen. Vi må selv finne på at den opplysningen vi har,
nemlig om at den deriverte er 0 i alle punkter, det er nok til å koble oss til
middelverdisetningen. Vi finner en brøk vi kan sette opp, og så ror middelverdisetningen oss i land.
Det er ganske typisk for bruken. Det står liksom ikke og flasher et signal om at "her skal du
bruke middelverdisetningen". Du må bruke littegranne fantasi selv, for å se hvordan den kommer inn i bildet.
La meg bare ta med en ting til, i forbindelse med dette, som vi skal få bruk for når vi kommer til
integrasjon. Hvis det nå er slik at jeg har to funksjoner, f(x) og g(x), som har samme derivert.
f'(x) og g'(x) er like i alle punkter. Hva kan vi da si om sammenhengen mellom f og g?
Det vi kan gjøre i dette tilfellet: hvis jeg nå ser på differansfunksjonen her, differansen mellom f og g,
og lager en funksjon h(x) som er f(x)-g(x), og så deriverer den funksjonen, så får jeg jo at
h'(x) er f(x)-g(x). Og så var jo forutsetningen at disse to
deriverte var de samme overalt, så da får jeg jo samme på begge sider her. Jeg får rett og
slett 0. Så det betyr at h'(x)=0,
men så vet jeg jo at hvis en funksjon er 0 i alle punkter, så er den funksjonen en konstant.
Så dette her medfører at h(x) er lik en konstant c. Hvis jeg går tilbake her,
betyr det at f(x)-g(x) er lik denne konstanten c. Flytter jeg g(x) over på den siden, så står det jo da her at
f(x)=g(x)+c. Det betyr altså at hvis jeg har to funksjoner som har samme derivert funksjon,
altså de to deriverte er de samme i alle punkter; ja, da må den ene funksjonen være den andre funksjonen
+ en c. Dette er viktig integrasjon, for dette forklarer på en måte de c-ene som dukker opp når vi regner ut
ubestemte integraler.