I denne snutten her skal vi se litt på integrasjon, som historisk sett er en måte å regne ut arealer og volumer på,
selv om vi i dag bruker den til ganske mye annet. De teknikkene vi har i dag, de er bare moderne versjoner
av gamle problemstillinger. Så la oss begynne med det aller mest grunnleggende. Det vi har,
er en funksjon definert over et intervall fra a til b. Vi tenker oss, for enkelhets skyld, at denne funksjonen
er positiv, selv om den ikke behøver å være det. Så er vi interessert i å regne ut arealet
under denne funksjongrafen, altså til det området jeg skraverer her. Men når jeg sier det,
så jukser jeg litt, fordi vi kan ikke regne ut noe som ikke er definert, og det er ingen som har definert
arealer for oss. Før vi setter i gang med å regne ut dette arealet, må vi bestemme oss for hva vi skal mene
med arealet under en graf. Det eneste vi egentlig har som redskap da,
er det alle er enig om når det gjelder arealer, nemlig at hvis jeg har en boks med grunnlinje og høyde,
så er arealet til den boksen lik grunnlinje ganget med høyde. Det vi skal prøve å få til, er å bruke
denne formelen for arealet av et rektangel til å komme frem til et arealbegrep for mer uregelmessige områder
av den typen vi ser her oppe. Den grunnleggende idéen er å prøve å tilnærme disse områdene
ved hjelp av rektangler. Det jeg først kan tenke meg å gjøre, er å putte små rektangulære bokser
på innsiden av dette arealet her.
Jeg får en figur som ser sånn ut.
Puttet rektangler på innsiden av arealet. Hvis jeg nå regner ut arealet til alle disse rektanglene og legger sammen,
så burde jeg få noe som er mindre enn arealet til området, dersom dette området har noe areal.
Det er en problemstilling i seg selv. Hvis jeg setter opp her, så får jeg at innskrevet areal,
arealet av boksene jeg ser på, det burde være mindre enn eller lik det ekte arealet som jeg er på jakt etter.
Da har jeg tilnærmet dette arealet fra den ene siden. Jeg kan regne ut noe som jeg vet er mindre enn
det ekte arealet. Så kan jeg prøve tilsvarende triks fra den andre siden; jeg kan ta bokser som
ligger på utsiden her. Tar bokser som går opp på utsiden av området til det området jeg ser på.
Disse boksene går helt ned til x-aksen.
Så kan jeg regne ut arealet av disse boksene, og da får jeg et oppskrevet areal.
Hvis det er noe rettferdighet, så bør det omskrevne arealet være større enn arealet vi er interessert
i under grafen, som er større enn det innskrevne arealet.
Jeg må kanskje sette det der i anførselstegn inntil videre, for vi har jo ikke definert dette arealet i midten,
vi har en forestilling om at det må være et areal til det området. Hvis det er slik, så bør det
ligge mellom de to andre. Poenget er om vi kan komme nærmere og nærmere her, her er det jo blitt ganske
store bokser. Hvis jeg bruker slankere bokser, så er det mindre områder som stikker på innsiden og utsiden,
og da kommer jeg kanskje nærmere den eksakte verdien for hva dette arealet skal være. Når vi skal prøve
å definere arealet under her, eller integralet til funksjonen, så kommer vi til å systematisere den ideen
ved å bruke tynnere og tynnere bokser, finere og finere oppdelinger, for å få en bedre og bedre
tilnærming.
For å få til det, så trenger vi noen begreper. Det aller første begrepet er partisjon.
En partisjon av intervallet fra a til b, det er rett og slett en oppdeling av dette intervallet
i mindre oppdelinger. Da tenker jeg at disse punktene i oppdelingene skal være disse delepunktene
hvor jeg legger inn rektanglene. Jeg lager da en oppdeling. Punktet i oppdelingen heter x0, x1 og så videre.
x0 er det samme som a. x1 er det neste punktet som ligger i oppdelingen her. x2 er et nytt punkt som ligger etter x1,
og så videre bortover.
Hvis det er n punkter fra x1 og oppover i denne oppdelingen, så sier jeg at b er det siste punktet i oppdelingen.
Samlingen av disse punktene, fra x0=a og opp til xn=b, kaller jeg en partisjon. En partisjon P
er bare en mengde av punkter: x0, x1, opptil xn. Der x0=a, xn=b, og disse punktene da ligger i
stigende rekkefølge bortover på arealet her.
Hver gang jeg har en slik oppdeling, så kan jeg lage det jeg kaller den tilhørende nedre og øvre trappesummen,
det er akkurat det jeg har gjort her oppe. Nedre trappesummen, da tar jeg liksom rektangelet
opp til grafen,
over rektangelet jeg har. Ingenting stikker på oversiden, alt ligger på undersiden. Den øvre trappesummen
får jeg ved å gå på oversiden av grafen hele tiden. For å formalisere dette her, så må jeg da
beskrive hvor høyt opp jeg må gå for henholdsvis de indre og de ytre boksene. Hvis jeg tar
de ytre boksene først, sier jeg at høyden av den i-te, ytre boksen (det er den ytre boksen som ligger over
det i-te intervallet), og siden jeg begynner å telle på 0 her, så går det i-te intervallet fra xi-1 til xi.
Så her ser jeg på alle funksjonsverdier f(x), der x-en ligger i det i-te intervallet. Det betyr at
x-en ligger mellom xi-1 (som er startpunktet på det i-te intervallet), og xi, som er
sluttpunktet på i-te intervallet. Her ser jeg på alle funksjonsverdiene,
og så vil jeg gjøre dette her så stort at Mi er større enn alle disse funksjonsverdiene.
Da tar jeg supremum over den mengden.
Hvis jeg tegner opp det i-te intervallet her nede, her har jeg inngangen xi-1. Her har jeg slutten
på intervallet, xi, så ligger funksjonsgrafen over her, sånn kanskje. Hva er da Mi?
Det er supremum til funksjonen over dette intervallet, og det er akkurat i overkant av funksjonsgrafen her.
Så den høyden der, det er Mi.
Det tilsvarer altså høyden av boks nummer i her borte. Da mener jeg den ytre boksen, den som ligger på
utsiden av grafen. Nå må jeg gjøre noe tilsvarende for de indre boksene. Jeg skal ha en boks på innsiden her, som går opp dit
og så bort sånn. Der må jeg sørge for at den boksen hele tiden ligger på undersiden av grafen.
Hva er høyden da? Jo, nå ser jeg igjen på alle funksjonsverdier som denne funksjonen har
over dette intervallet. Sånn, akkurat samme mengden som istad, men nå er jeg ikke lenger interessert
i å få den så stor som overhodet mulig. Nå må jeg komme under alle punktene, så da må jeg ta infimum i stedet.
Altså største, nedre skranke til den mengden. Den kaller jeg mi. På tegningen her, er da mi
den høyden der.
Og da kan jeg jo skrive opp hva dette innskrevne og hva dette omskrevne arealet er for noe.
Hva er det innskrevne arealet? Jo, over hvert delintervall fra xi-1 til xi, så har jeg en boks med dette
som grunnlinje, og med høyde mi. Hver boks i den nedre, det innskrevne arealet, det er bokser med høyde Mi,
og lengde fra xi-1 til xi. Det blir xi minus xi-1. Det er størrelsen av arealet til
den i-te boksen. Så må jeg summere oppover alle de boksene jeg har. De går da fra 1 til n
på den måten der.
Går fra 1 til n,
siden jeg må sørge for at jeg har 0 der borte og ikke -1. Tilsvarende her oppe,
akkurat samme type bokser. Eneste forskjellen er nå at høyden er Mi. Hver boks har størrelse
Mi(xi - xi-1), og så summert. i går fra 1 til n, på den måten der sånn.
Det er henholdsvis det innskrevne arealet og det omskrevne arealet til disse boksene mine. Jeg må da se
hva jeg kan gjøre med disse her, når jeg får oppdelinger som er finere og finere. Da er det greit å ha et navn
på dem. Dette her er det jeg kaller den nedre trappesummen, det er størrelsen på de boksene som
ligger på innsiden der. La meg kalle den N, for nedre. Og så knytte den til partisjonen jeg har valgt,
så jeg kaller den for N(P). Det er nedre trappesum for partisjonen P.
Denne kaller jeg Ø(P) isteden, Ø for øvre. Dette er øvre trappesum til partisjonen P.
Nå er den grunnleggende idéen klar her. For hver partisjon, hver gang jeg har en oppdeling av intervallet, kan jeg lage
to samlinger av bokser. De som ligger på nedsiden, de har et samlet areal lik N(P). Boksene som ligger på oversiden,
har et samlet areal på Ø(P). Hvis området selv har et areal, så bør det ligge innimellom her for
alle mulige valg av N(P) og Ø(P).
Hva betyr det? Vi kan tenke oss at vi systematiserer litt. Hvis vi nå har tallinjen bortover her,
0 her for å ha et sted å starte. Så tar jeg fram en partisjon, jeg trekker
en partisjon opp av en hatt. Jeg får en inndeling av intervallet her, og en tilsvarende
samling av bokser på innsiden, som da har det arealet her. Og en samling av bokser på utsiden, som har det arealet her.
Det nedre arealet vil alltid være mindre enn det øvre arealet. Hvis jeg setter av dette her
på tallinjen, så her har jeg kanskje N(P). Det er den nedre trappesummen for partisjonen jeg ser på.
Så har jeg da den øvre trappesummen, kanskje jeg skal ta den i rødt. Denne her borte.
Nå har jeg jo bare trukket en partisjon opp av en hatt. I tilfelle vi skal ha flere partisjoner,
så kan jeg kalle
dette her for P1, slik at det er N(P1) og Ø(P1).
Så tar jeg en annen partisjon, trekker den opp av en hatt. Finner ut av at her var det veldig stor avstand mellom
nedre og øvre. Hvis jeg lager en finere oppdeling, en partisjon med flere punkter og tynnere delintervaller,
så kommer sannsynligvis nedre og øvre trappesum nærmere hverandre. Da får jeg kanskje en nedre trappesum
som ligger der, det er nedre trappesum for partisjon nummer to. Så får jeg en øvre trappesum for
partisjon nummer to, som kanskje ligger her oppe. Fortsatt var det ganske stor avstand mellom nedre og øvre.
Så kanskje jeg har lyst til å gjøre dette flere ganger. Hvis jeg gjør det om igjen og om igjen,
får jeg kanskje noen nedre trappesummer som ligger her, og så får jeg noen øvre trappesummer som ligger der.
Så kan jeg se hvor langt opp kan jeg presse de nedre trappesummene, og hvor langt ned kan jeg
presse de øvre trappesummene. Kanskje stopper dette her opp, kanskje her. Lenger opp kommer ikke de nedre
trappesummene.
De øvre trappesummene kommer kanskje dit, og så stopper de opp. Der stopper de øvre trappesummene opp.
Det er et gap der, det vil jeg helst ikke ha. Det kan tenkes at jeg får et gap mellom hvor langt opp jeg kan presse
de nedre trappesummene, og hvor langt ned jeg kan presse de øvre trappesummene.
Disse to størrelsene her, de vil vi sette et navn på. Dette vil jeg kalle nedre integral til funksjonen,
og dette her vil jeg kalle øvre integral til funksjonen. Dette med nedre og øvre integral,
det skal vi da ta videre, og så skal vi definere selve integralet etterhvert. Men selve integralet vil
bare være definert i det tilfellet hvor disse to grensene her, for de nedre og de øvre trappesummene,
stemmer overens. Hvis det er et gap mellom dem, slik jeg har vist her, så betyr det rett og slett
at dette området er for uregelmessig til å ha et areal, i hvert fall når vi bruker dette som
definisjonen av hva et areal skal være.
Da skal vi ta disse øvre og nedre trappesummene videre. Vi kom fram til at alle disse
nedre trappesummene lå her nede på tallinjen når vi satte dem av. Så hadde vi noen
øvre trappesummer, som lå her oppe. Så hadde vi den øvre skranken for disse nedre trappesummene.
Jeg vil formalisere, sette et navn på den der. Det kaller jeg nedre integralet av funksjonen fra a til b,
av funksjonen vår f(x) dx. Det er rett og slett så langt opp jeg kan presse disse nedre
trappesummene. Så jeg ser på alle mulige nedre trappesummer for alle mulige partisjoner. For hver eneste
partisjon av det intervallet vi ser på, så putter jeg inn den nedre trappesummen her. Så ser jeg hvor
langt opp jeg kan presse disse her. Da tar jeg supremum over denne mengden. Det er den streken
jeg satte her, som markerte den øvre enden på
de hvite strekene. Så gjør jeg tilsvarende fra den andre enden. Her har jeg alle disse øvre trappesummene som
jeg kanskje kan presse ned dit og ikke noe lenger. Så de går helt ned dit, og den streken der, kaller jeg da
det øvre integralet fra a til b med strek over, av f(x) dx. Det er da infimum, for nå skal jeg
presse så langt ned som mulig, så det er så langt ned som overhodet mulig jeg kan få disse øvre
partisjonene, eller disse øvre trappesummene. Det er ikke bestandig at disse to tingene møtes. Det kan
tenkes at den der ikke blir presset helt ned dit, slik at jeg har et gap innimellom. Skal vise
et eksempel på det etterpå, men i de aller fleste situasjoner man kommer borti i praksis, så stemmer disse her underveis.
Vi kan presse de øvre og de nedre sammen, slik at de møtes i samme punkt. I så fall sier vi at
denne funksjonen er integrerbar. Hvis disse to, nedre integralet fra a til b
(det skal stå f(x) dx inni der), hvis nedre integralet er lik øvre integralet, på denne måten der,
så sier vi at f er integrerbar.
Vi definerer integralet av denne funksjonen. Vanlig integral uten noen streker oppe og nede, til å være
den felles verdien, så det er da lik-- hvis jeg vil bruke det nedre integralet,
så er det verdien av nedre integralet av f(x) dx, men det er også lik øvre integralet. For det er jo nå tilfellet
hvor øvre og nedre integralet stemmer overens. Jeg definerer bare integralet, for funksjoner som er så snille
at jeg greier å få presset øvre og nedre sammen. Og da er integralet lik denne felles verdien.
Det er jo et veldig fornuftig utgangspunkt, fordi vi var jo enige om at hvis dette området virkelig hadde
et areal, så ville alle disse røde summene være større enn arealet, alle de hvite summene skulle være mindre.
Når vi kan presse dem helt sammen til en felles grense, er det naturlig at det er arealet til området,
eller integralet av funksjonen. Det tilfellet vi ser på her, er altså tilfellet som ser
litt annerledes ut enn det der oppe. Dette er tilfellet hvor alle disse nedre trappesummene
kommer opp til den skranken der, og alle de øvre trappesummene faktisk går helt ned til den samme verdien.
Her faller den røde streken der, og den hvite streken sammen. Den sammenfallende verdien, det er da
integralet fra a til b, f(x) dx.
På den måten får vi definert integralet for alle funksjoner som er så pene at disse strekene
faller sammen slik som jeg viste der nede. Nå er det ikke alle funksjoner som er så snille, og det betyr
bare at det finnes en god del funksjoner som faktisk ikke definerer et areal under grafen,
i hvert fall ikke ved hjelp av de metodene her. Jeg tenkte jeg kunne vise frem en slik funksjon, som da ikke
er integrerbar, hvor disse øvre og nedre trappesummene ikke stemmer overens.
Det er en litt rar funksjon, ut ifra de funksjonene dere er vant til fra videregående skole.
Men det er en veldig enkel funksjon. Jeg kan definere den over intervallet fra 0 til 1, så vi har noe
å holde oss til. f(x) er rett og slett gitt ved at f(x)=1 hvis x er et rasjonalt tall,
altså er en brøk av heltall, og den er 0 hvis x ikke er rasjonal, altså er irrasjonal. Funksjonen er litt
rar fordi den hele tiden veksler mellom verdiene 1 og 0. Det betyr at hvis jeg lager en partisjon her,
lager en partisjon av intervallet fra 0 til 1. Hvordan vil den nedre trappefunksjonen se ut?
Jo, de rasjonale tallene ligger tett på tallinjen, så uansett hvor lite intervall jeg har,
så lenge det har positiv lengde,
så er det alltid et rasjonalt tall inni der. Det betyr at i ethvert slikt intervall, ligger det et rasjonalt tall,
og i det rasjonale punktet er funksjonsverdien lik 1. Det betyr at den øvre trappesum,
den må alltid ha verdien 1, for det er alltid et punkt i det intervallet som er rasjonalt, og dermed har
funksjonen verdien 1. Det skjer over alle intervallene bortover her. En sånn øvre trappesum,
den er 1 overalt.
Kanskje jeg skulle tegnet dem rød, for å holde på systematikken her. Dette er de øvre trappesummene,
som denne funksjonen har. Hva med de nedre trappesummene? Jo, de irrasjonale tallene ligger også tett. Det betyr
at i hvilket som helst intervall, uansett hvor lite og bare lengden er positiv, så finnes det et irrasjonalt tall.
Det betyr at i hvert eneste av disse intervallene, så ligger det et irrasjonalt punkt, og der er
funksjonsverdien lik 0. Det betyr at den nedre trappesummen, for den ligger under funksjonsgrafen
hele tiden, den må hele tiden være 0. Den nedre trappefunksjonen, den har funksjonen konstant lik 0.
Da ser vi at alle øvre trappesummer,
en hvilken som helst øvre trappesum, er lik 1. Rett og slett fordi det består jo av lengden bortover der som er 1,
høyden er 1, så dette har areal 1. En hvilken som helst nedre trappefunksjon, den har trappesum 0,
fordi det er jo konstant 0 her, og med lengde 1, blir det 0*1=0.
Dette er et eksempel på en funksjon som ikke er integrerbar, fordi jeg ikke greier å presse
de øvre trappesummene ned til de nedre. Det vil alltid være en sprik på 1 imellom dem.
Det er ikke helt trivielt å definere arealet under en funksjonsgraf, og må faktisk regne med at det
finnes funksjoner som er så uregelmessig at du ikke greier å få det til, rett og slett fordi det vi prøver
å presse ned ovenfra, og det vi prøver å presse opp nedenfra, det møtes ikke. Det er et gap
mellom dem. Da får vi den slags typer funksjoner som ikke er integrerbare.
Det er ikke så mange slike funksjoner man møter i praksis. Det er ikke mange regnestykker man møter
denne funksjonen her i. Jeg skal nå vise dere at en stor klasse av funksjoner, de funksjonene som er voksende
eller avtagende, alltid vil være integrerbare.
Vi har sett et eksempel på en funksjon som ikke er integrerbar, men de fleste funksjoner man støter på
i praksis er jo integrerbare. Jeg skal nå vise hvordan man kan bevise at funksjoner faktisk er integrerbare.
Bare repetere littegrann hva vi gjorde her. Vi hadde alle disse nedre trappesummen som vi satte av,
og så hadde vi alle disse øvre trappesummene. Integrerbarhet betyr jo at disse møtes i samme punkt,
slik at det er en felles verdi der de nedre når opp, og de øvre kommer ned til den. Det betyr at for å bevise
at en funksjon er integrerbar, så er det nok å vise at disse verdiene kommer så tett sammen
som vi måtte ønske. Hvis vi kan finne noen partisjoner, slik at den øvre og nedre trappesummen kommer
så nær vi måtte ønske, så betyr det at de møtes et eller annet sted, og da er funksjonen integrerbar.
Det er idéen bak det beviset jeg nå skal presentere.
Det jeg skal vise, er rett og slett at en hvilken som helst voksende funksjon på et lukket, begrenset intervall,
nødvendigvis er integrerbar. Det samme gjelder for avtagende funksjoner, men vi må ha noe å holde oss til,
så vi tar de voksende. Her har jeg en funksjon som vokser på dette intervallet fra a til b.
Jeg har et startpunkt her borte, og så har jeg et endepunkt der oppe. Den behøver ikke være kontinuerlig,
den kan ha sprang, men da blir tegningen litt mer uryddig, så jeg velger
å tegne en kontinuerlig funksjon. Nå skal jeg vise at jeg kan presse de øvre og nedre
trappesummene så nær sammen jeg måtte ønske. Det jeg gjør, er å velge en oppdeling av intervallet her,
hvor alle bitene er like lange. Så hvert eneste intervall, hvis jeg har delt inn i n deler, så har jeg
hele intervallet b-a, så hvert eneste intervall her er (b-a)/n.
Så putter jeg inn de nedre og øvre trappesummene, slik jeg har vært vant til før. Jeg går opp
til-- siden dette er en voksende funksjon, så når jo alltid disse nedre trappene til funksjonsgrafen
i det venstre endepunktet. Jeg tror jeg tar med noen bortover her.
Så kan vi gå opp til den siste, den ligger her borte.
Så er det noen innimellom som jeg ikke gidder å tegne opp. Dette er de nedre trappesummene som hører
til denne partisjonen. Så kan jeg se på de tilhørende øvre trappesummene. Siden funksjon er voksende,
vil jo høyden deres være avgjort av hva som skjer i det høyre endepunktet, for det er der funksjonsgrafen
er høyest over hvert intervall. Disse øvre trappesummene, de blir gående slik oppover.
Den siste blir liggende her borte.
Det jeg er interessert i, er å vise at vi kan få de øvre og nedre trappesummene så nær hverandre
vi måtte ønske. Hvis jeg kan vise at differansen mellom øvre og nedre trappesum går mot null når
jeg lager oppdelingen finere og finere, så vil jeg ha vist det. Det jeg er interessert i her, er å se på
differansen mellom øvre og nedre trappesum. Hvis vi sier at den partisjonen vi har når jeg har delt inn
i n deler, den partisjon heter Pn, så er jeg altså interessert i differansen mellom øvre trappesum
og nedre trappesum for den inndelingen hvor jeg har n deler. Hvis jeg kan vise at den går mot null,
betyr det at disse øvre og nedre trappesummene kommer nærmere og nærmere, og da må de møtes et sted.
Dermed har jeg integrerbarhet. Det er nok for meg å vise at differansen mellom øvre og nedre
trappesum går mot null, når jeg lager disse inndelingen finere og finere.
Det er ikke så veldig vanskelig å gjøre, fordi differansen mellom øvre og nedre trappesum,
det som er med i den øvre summen men ikke i den nedre, det er jo disse boksene som ligger innimellom her,
så disse boksene er med i den øvre trappesummen, men ikke i den nedre. Den samlede differansen
mellom arealene, det må være summen av alle disse rød boksene som jeg nå tegnet inn.
Det samlede arealet der er ikke vanskelig å regne ut. Jeg kan stable om på dem. Hvis jeg nå tar
de boksene, og så legger jeg dem ut her på siden og stabler dem oppå hverandre. Her er den første boksen
som jeg legger ut. Det er den boksen der borte. Så tar jeg den boksen
og legger oppå der igjen. De ligger jo kant i kant her borte, så jeg kan bare skyve dem til siden
og legge dem oppå hverandre. Så får jeg den tredje boksen, den passer akkurat oppå der. Så fortsette jeg
dette tårnet oppover. Den øverste biten av tårnet blir den der. Vi ser at den samlede summen
av disse boksene, det blir dette tårnet her borte.
Det er alle disse skjøvet bort oppå hverandre. Dette er et rektangel. Den biten der, det er lengden
av hvert intervall i partisjonen. Det var vi enige om var (b-a)/n deler.
Hvor høy er denne? Jo, det er rett og slett høyden fra starten på funksjon til slutten.
Vi ender i f(b), vi starter i f(a). Den høyden der den er f(b)-f(a). Det betyr at arealet av dette tårnet
må være høyden ganger grunnlinjen. Det var jo da den differansen jeg var interessert i her oppe istad.
Ø(Pn)-N(Pn), det var samlet sum av disse rød boksene som jeg skjøv bortover så jeg fikk det tårnet.
Den hadde da et areal som var grunnlinje ganger høyde. (b-a)/n * (f(b)-f(a)).
b, a, f(b), f(a), det er faste tall. Det eneste som varierer her er n. Så når n går mot uendelig,
så må dette uttrykket gå mot 0, siden n står nedi nevneren. Dermed har jeg vist at når jeg tar
slike inndelinger med lik lengde, og gjør dem finere og finere, så vil differansen mellom øvre og nedre
trappesum gå mot 0. Det betyr at øvre og nedre trappesum skvises sammen og møtes i en felles verdi,
og da er funksjon integrerbar. Dette argumentet viser at alle voksende funksjoner er integrerbare.
Helt tilsvarende kan man vise at alle avtagende funksjoner er integrerbare. Da kan man også sette dem sammen,
hvis man har en funksjon som går opp og ned på intervaller. Først er voksnde, og så avtagende og så voksende igjen.
Så kan man bare dele dem opp i biter, og si at den er integrerbar her fordi
den er voksende, integrerbar her fordi den er avtagende, og så videre bortover. Da får man at hele funksjonen
er integrerbar. Ved hjelp av dette argumentet, kan man vise at de kontinuerlig funksjonene man treffer på
i praksis, ofte er kontinuerlige. Nå viser det seg at det finnes kontinuerlige funksjoner som er
mye mer komplisert enn dette her, og som ikke har sånne områder hvor de er delvis voksende og
delvis avtagende. For slike funksjoner er det mye vanskeligere å vise at de er integrerbare, men det er
et teorem som sier at alle kontinuerlige funksjoner på et lukket, begrenset intervall, er integrerbare.
Det er del av det som heter analysens fundamentalteorem, og det skal vi se på i neste videosnutt.