I denne snutten her skal vi snakke mer om integrasjon. I den egentlige integrasjonsnutten, så viste jeg
hvordan man definerer integralet ved hjelp av øvre og nedre trappesummer. Vi definerte integrerbare funksjoner,
de som hadde et fornuftig integral, men vi sa veldig lite om hvordan man regner ut
integraler i praksis. Det kjenner du sikkert til fra før av, at man finner en antiderivert
og setter inn grensen. Men hva er egentlig sammenhengen mellom disse trappesummene våre, og dette med
å derivere baklengs? Det skal vi se på. Forrige gang, disse trappesummene: vi hadde en funksjon fra a til b,
gitt på en eller annen måte. Så definerte jeg da øvre og nedre integral, og også integralet når disse to var like.
Spørsmålet er, hvordan regner man det ut? I nesten to tusen år så brukte man nærmeste trappesum
til å regne ut integraler. Kanskje man prøvde noe som var litt smartere,
men stort sett tilnærmet man arealer og volumer fra innsiden og utsiden, hadde en grenseovergang, og fant
en felles verdi. Men det var veldig tungvint, og mange av de integralene som enhver elev i
videregående skole kan regne ut i dag, var store vitenskapelig bragder i den perioden.
Det store gjennombruddet var når man begynte å tenke på integrasjon som antiderivasjon. For å få inn det bildet,
så er det et lite skritt du må gjøre først; det er å begynne å tenke dynamisk,
istedenfor å bare tenke på integralet fra a opp til b. Da skal vi tenke på integralet fra a opp til en hvilken som helst x
som ligger i dette intervallet her, slik at vi får et dynamisk areal som går fra a til b.
Hvis jeg nå sier at A(x) er integralet, eller arealet av denne flaten når jeg går fra a til x, så har vi
noe å begynne med. Så A(x) er areal under grafen fra a til x. Eller, hvis vi bruker notasjonen vi
hadde forrige gang, så burde det da være-- hvis f er integrerbar, være integralet fra a til x av f.
Så kaller jeg variabelen inni her for t, for jeg kan ikke ha samme variabel oppi grensen her som inne i intervallet,
for da blir det bare tull. Så dette er altså utgangspunktet.
Når jeg har en sånn dynamisk x, kan jeg selvfølgelig se på hvordan dette arealet endrer seg.
Hvis jeg nå øker x-en littegrann for et nytt punkt som heter x + delta x, ja så øker
selvfølgelig arealet med denne stripen som ligger under her. Hva er arealet til denne stripen?
Jo, det må jo være hele arealet fra a opp til x + delta x. Det er hele arealet fra a og hit opp, og så minus
arealet jeg har fra a opp til x. Det burde være arealet, den tilveksten, av den stripen jeg har skravert der.
Men nå går det an å tilnærme dette arealet på en annen måte. Arealet er jo en liten søyle her.
Søylen har en grunnlinje som er delta x, og så har den en høyde som er den høyden der, som er f(x).
Hvis funksjonsgrafen hadde vært helt flat, så hadde arealet til denne tilveksten her vært et rektangel
med grunnflate delta x og høyde f(x). Den ville hatt et areal som var f(x)*delta x.
Men selv om grafen ikke er helt plan, helt vannrett, så vil det var en god tilnærmelse. Det er ikke mye
grafen rekker å variere over et lite intervall. Så dette arealet her, tilveksten, det må være
tilnærmet lik f(x)/delta x. Den tilnærmingen blir bedre og bedre dess mindre delta x er. Hvis jeg nå deler
delta x over på den andre siden, så ser dette her ut som
(A(x + delta x) - A(x))/delta x, som da er tilnærmet lik f(x).
Men det som står her, det minner oss om definisjonen på den deriverte. Grenseverdien av dette her når
delta x går mot 0, det er jo den deriverte av A. Så lar vi delta x bli mindre og mindre her, så burde dette her
gå mot at A'(x) på den siden, og feilen jeg gjør blir mindre og mindre dess mindre delta x er, så jeg burde få
likhet her til slutt, nemlig at A'(x)=f(x).
Dette argumentet antyder at hvis vi tenker på dette arealet dynamisk som en funksjon av x, så vil den
deriverte arealfunksjonen være lik f(x). Så det er en indikasjon på hvorfor areal er antiderivasjon.
Denne arealfunksjonen vil være en funksjon som har f som derivert, altså A er en antiderivert til f.
Det er ideen som ligger bak. Men dette er ikke noe matematisk bevis, av flere grunner. For det første,
så vet vi jo ikke helt når en arealfunksjon eksisterer. Vi så et eksempel på en ikke-integrerbar funksjon
i integrasjonsnutten. Det er ikke alle funksjoner som gir opphav til en fornuftig arealfunksjon.
Og så har vi slurvet litt her, da. Det var noe sånn cirka lik og noe cirka lik osv, og så ble det
liksom nærmere og nærmere og delta x ble liten, og så fikk vi en likhet til slutt.
Dette er indikasjonen på at ting må være riktig, men det er ikke noe skikkelig bevis.
Jeg skal ikke gi et fullstendig bevis for at dette virkelig holder, men jeg skal gi skissen til
det helt grunnleggende teoremet når det gjelder sammenhengen mellom integrasjon og antiderivasjon,
nemlig det som kalles analysens fundamentalteorem.
Teoremet vi skal se på, som oppsummerer sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon, det kalles
gjerne analysens fundamentalteorem. La oss tegne opp
grunntegningen først. Vi hadde altså denne funksjonen fra a til b, vi hadde arealet under den. Vi skal
innskrenke oss til å se på kontinuerlige funksjoner, så det er en kontinuerlig funksjon. Hver gang vi plukker ut
en funksjon x, er vi da interessert i arealet fra a opp til x.
Da sier analysens fundamentalteorem følgende; den handler altså om en kontinuerlig funksjon
på dette lukkede intervallet fra a til b. Den sier "Anta at f fra a til b inni R, er en kontinuerlig funksjon."
Det er to konklusjoner vi kan trekke. Den første er at f er integrerbar. "Da er f integrerbar--"
den er ikke bare integrerbar over hele intervallet fra a til b, den er integrerbar over
ethvert intervall fra a til en eller annen x som ligger inni intervallet her. Det er litt viktig, siden vi da kan
skrive opp integralet for alle x-er og ikke bare for b-en. Så da er f integrerbar "over ethvert intervall fra a til x,
der x-en ligger inni det opprinnelige intervallet." Sånn.
Ble litt stygg den der, skal vi gjøre den ordentlig. Siden f er integrerbar over dette intervallet,
kan jeg selvfølgelig da skrive opp integralet. Jeg kan skrive opp integralet fra a til x, f(t) dt.
Det er en funksjon. Det er arealfunksjonen jeg har tenkt på hele tiden, men istedenfor å kalle den A,
la meg kalle den F som er litt mer vanlig i denne sammenhengen. Det teoremet sier at denne integralfunksjonen
jeg får frem på den måten, "er en antiderivert til f." Det betyr at denne funksjonen her
er deriverbar på alle punkter i det indre intervallet fra a til b, og når jeg deriverer F,
så får jeg f tilbake.
Dette er altså analysens fundamentalteorem. Det er kanskje en litt uvanlig variant,
fordi jeg har slått sammen to ting i en setning; nemlig både dette med integrerbarhet, og at
integralet er en antiderivert.
Vi skal ikke grave oss ned fullstendig i beviset her, fordi det er ganske vanskelig. Men ideen bygger på
den intuisjonen jeg viste istad, nemlig at når jeg gir en liten tilvekst fra x+delta x, så kan jeg
uttrykke arealet på to måter; delvis som en differanse av integralfunksjonen, og delvis som nesten som arealet
av et lite rektangel som går fra x til x+delta x.
Jeg skal vise hovedideen i det beviset, uten å grave meg ned i de tekniske viderverdighetene som
ligger under.
Da skal vi se litt på bevisideen bak analysens fundamentalteorem. Da får vi starte med den
vanlige tegningen vår, som da ligger under det hele. Denne funksjonen fra a til b. Så går jeg inn
i en x her inne. I bevisideen trakk jeg frem arealfunksjonen A(x), og arbeidet med den. Men strengt tatt
har vi jo ikke noe arealfunksjon her, for vi vet ikke om denne funksjonen er integrerbar, det er del
av det vi skal vise. Det vi alltid vet, så lenge funksjonen vår er begrenset, er at jeg har
øvre og nedre trappesummer. Denne funksjonen må være begrenset, for den er kontinuerlig over et
lukket og begrenset intervall, og da sier ekstremalverdisetningen at dette er en begrenset funksjon.
Jeg kan snakke om øvre og nedre integralet her. Da setter jeg navn på dem. Jeg lar G(x) rett og slett være
øvre integralet fra a til x,
f(t) dt. Jeg innfører en annen funksjon, H(x), som er nedre integralet fra a til x, av f(t) dt.
De to funksjonene vet vi alltid eksisterer.
Jeg skal vise at funksjonen er integrerbar på ethvert intervall fra a til x, det er det første jeg skal vise,
og da er det nok å vise at disse to funksjonene er like. Da er øvre integralet og nedre integralet like,
og det er definisjonen av integrerbarhet. Jeg må også vise at disse funksjonene er like, da er jeg kommet
et godt stykke på vei. Hvordan viser jeg at disse her er like? Jo, det er det argumentet jeg
ikke skal gjennomgå, for det er litt teknisk. Det jeg viser, er at dersom jeg deriverer denne funksjonen,
setter opp definisjonen av den deriverte og argumenterer litt, så kommer jeg fram til G'(x),
det er faktisk f(x).
Så gjør jeg akkurat samme type argument med H(x). Setter inn definisjonen av den deriverte,
regner og estimerer litt. Så får jeg ut at H'(x), den er også f(x). Det jeg har kommet fram til,
er at G og H har samme derivert. Men da vet vi noe
fra snutten om middelverdisetningen: dersom G og G har samme derivert, så er den ene funksjonen
en konstant pluss den andre. Dette betyr at G(x) må være H(x) pluss en eller annen konstant.
Fordi funksjoner som har samme derivert, kan bare skille seg på en konstant. Men hva er den C-en der borte?
Hvis vi nå lar x være a, får vi jo så å si det tomme intervallet fra a til a, og da er det lett å se
at da må både øvre og nedre summen være lik 0. Slik at G(a) og H(a),
de er begge to lik 0, for vi måler da dette tomme arealet nærmest, fra a til a
på to forskjellige måter og får 0. Men hvis G(a)=H(a), så må den C-en være 0. Den er en konstant,
x er en variabel. Setter jeg inn a her, så er de to like, og da må C være lik 0. Dette her medfører at C=0,
og da sitter jeg igjen med at det G(x)=H(x), altså øvre integralet på intervallet fra a til x
er lik nedre integralet. Nedre integralet, det er definisjonen av integrerbarhet, så dette medfører at
f er integrerbar på det intervallet vi nå ser på, som går fra a til x.
Så der har jeg integrerbarheten. Hvis funksjonen er integrerbar, så kan jeg selvfølgelig definere integralet,
som da er fellesverdien av det øvre og det nedre integralet. Integralet ser slik ut, og den er da
selvfølgelig lik både nedre integralet H(x), og øvre integralet G(x). Det er definisjonen
av integralet når integralet eksisterer. Men vi har allerede sett at både G'(x) og H'(x) har f som derivert.
Det betyr selvfølgelig at den F-en, som da er lik dem begge to,
den må også ha f som derivert. Så F'(x)=f(x).
Dermed har vi bevist akkurat det vi skulle, nemlig først at f er integrerbar. Eneste betingelsen er at
f er kontinuerlig. Vi har vist at enhver kontinuerlig funksjon er integrerbar. Så har vi
etterpå vist at integralfunksjonen faktisk er en antiderivert til f-en vi startet med. Det er
analysens fundamentalteorem.
Analysens fundamentalteorem oppsummerer sammenhengen mellom integrasjon og antiderivasjon, men den
gjør det på en litt teoretisk måte, og litt forskjellig fra det vi gjør i praksis. Så la oss nå se på
forbindelseslinjen mellom teoremet og det vi pleier å gjøre når vi regner ut integraler.
Har jeg et integral fra a til b av en funksjon f(t) dt, så er det vi gjør i praksis å finne
en antiderivert til den f-en. Det er mange måter å gjøre det på. Av og til kan vi se det direkte fra uttrykket,
noen ganger må vi bruker teknikker som substitusjon og delvis integrasjon. Uansett så kommer
vi da fram til en antiderivert av K(t) av denne funksjonen her. Når jeg har funnet
den antideriverte, så setter jeg rett og slett inn grenseverdiene. Jeg tar K(b)-K(a), altså verdien til K
i ytterpunktene av intervallet. Det er slik vi går frem når vi skal løse et integral i praksis. Det er jo ikke akkurat det
analysens fundamentalteorem sier. Analysens fundamentalteorem sier at hvis jeg tar integralet
fra a til x, av f(t) dt og ser på den funksjonen jeg da får, så vil den funksjonen være en antiderivert til f-en.
Dette er en spesiell antiderivert som vi får gjennom integralet, men her trekker vi bare fram
en hvilken som helst antiderivert fra en hatt, og så setter vi inn grenseverdiene. Spørsmålet er, hva er
sammenhengen mellom det uttrykket her (som vi vet gjelder, det vi får fra analysens
fundamentalteorem), og dette uttrykket her oppe, som er det vi bruker i praksis?
Den sammenhengen er veldig enkel. Den knytter seg til at K og F hører til samme familie av funksjoner.
Begge to er antideriverte til f. Jeg vet jo da at F'(x) og K'(x),
de må være like, for de er begge to lik f(x). Og så vet vi fra snutten om middelverdisetningen,
at dersom to funksjoner har samme derivert, så skiller de seg på en konstant, slik at F(x) må være
K(x) pluss en konstant C.
Nå kan vi bruke dette til å se forbindelsen mellom det uttrykket her oppe, som er det vi som regel
bruker i praksis, og det her nede som analysens fundamentalteorem gir oss. La oss begynne med dette her.
Det er det vi har bevist, og vet er riktig. Hvis jeg nå ser på integralet her fra a til b, av f(t) dt,
så vet jeg jo fra det her oppe, hvis jeg bare setter inn x=b, at dette integralet må være lik F(b).
Det er det jeg vet fra analysens fundamentalteorem, og det er dette jeg ønsker å komme fram til. Det som er
litt skummelt her oppe, er at riktignok har jeg en K(b), og den vet jeg er knyttet til F(b), men hva med
det K(a)-uttrykket da? Det har jeg ikke noe parallell til her nede. Men, hva ville det vært for noe hvis jeg hadde
hatt en F(a) her, hva ville den vært? Jo, den ville vært integralet fra a til a, og integralet fra a til a, det er
alltid 0, for vi har ikke noe areal å regne ut. Så jeg kan rett og slett smugle inn denne a-en ved å si at
F(b) er F(b)-F(a), rett og slett fordi F(a)=0. Det er det tomme arealet fra a til a.
Når jeg har gjort det, så kan jeg få forbindelsen over mot K, for jeg vet at F(x)=K(x)+C. Da må
F(b)=K(b)+C, og F(a), den må være K(a)+C.
Så skulle jeg trekke den F(a)-en fra her, så jeg får en minus mellom de to. Da har jeg en positiv C
og en negativ C på grunn av den minusen der borte. Og så sitter jeg igjen med K(b)-K(a).
Så det lille regnestykket viste at vi kan komme fra det som analysens fundamentalteorem gir oss,
nemlig at integralet fra a til x er en antiderivert av f, og til det vi bruker i praksis, som er at
vi kan plukke frem en hvilken som helst antiderivert til K. Bør ikke være den som kommer fra
integrasjon opprinnelig, bare en vi finner. Så kan vi sette inn integrasjonsgrensen i den,
trekke fra, og så har vi funnet integralet. Denne metoden her bruker vi i praksis når vi skal løse integrasjon,
og det er akkurat den metoden du lærte på videregående skole.