I denne snutten skal vi regne ganske mye. Vi skal rett og slett regne ut dette ubestemte integralet.
Her har vi da en rasjonal funksjon som integrand. Det betyr at vi kommer til, først og fremst,
å se på teknikken delbrøksoppspalting, men vi kommer også til å se noen andre
integrasjonsteknikker underveis. Jeg skal prate gjennom alle utregningene, så dette blir en god og lang
regneteknisk snutt.
Hvilke funksjoner er det som er sånn, at når vi deriverer disse funksjonene, så får vi dette
uttrykket her? Det er det vi skal finne ut. Vi har alltid mulighet underveis til å sjekke
at vi har regnet riktig. Når vi kommer fram til det endelige svaret, så har vi også faktisk mulighet til
å regne oss tilbake, ved å derivere svaret og prøve å få tilbake det vi starta med. Men dette er jo et ganske
stort uttrykk. Her må vi gjøre noe for å komme videre.
Vi har en polynomfunksjon i telleren, og en polynomfunksjon som er ferdig faktorisert i nevneren.
Telleren er av grad 3. 3 er da den høyeste eksponenten av x som forekommer. I nevneren har vi
grad 1 i den første faktoren, og så har vi grad 2^2. Her blir det grad 4+1=5 i nevneren.
Det betyr at graden til telleren er ekte mindre enn graden til nevneren, så da slipper vi å
polynomdividere.
Videre så er altså nevneren faktisk ferdig faktorisert.
Her har vi et andregradsuttrykk, men røttene til dette andregradsuttrykket er da komplekse.
Vi kan godt se kort på det. x^2+3 kan faktoriseres, hvis vi bruker de komplekse tallene som
(x-i*roten av 3)(x+i*roten av 3). Nå ser vi bruk av algebraens fundamentalteorem, fordi den sier at
vi kan alltid da få et polynom faktorisert i lineære faktorer og andregradsfaktorer. Det er disse
andregradsfaktorene som kan hende vil være kompleks konjugerte faktorer slått sammen. Så her er
faktisk den reelle faktoriseringen ferdig for nevneren. Hvis ikke vi har denne faktoriseren,
må vi faktorisere nevneren før vi går videre.
Når vi har kommet så langt, ferdig med å polynomdividere og faktorisere nevneren,
kan vi prøve å spalte opp dette uttrykket. Det betyr at vi egentlig går motsatt vei av det vi
vanligvis gjør når vi skal sette ting på fellesnevner, prøve å forkorte og gjøre ting så kompakt som mulig.
Nå skal vi egentlig dra dette litt ut igjen, men i enklere biter. Så vi vil prøve å dele opp,
eller spalte opp, integranden. Da har vi uttrykket vårt. Nå kommer da følgende oppspalting som jeg
skriver opp først, så skal jeg forklare litt etterpå. Dette uttrykket kan spaltes opp i en bit hvor vi
tar ut den ene faktoren, 1-2x som nevner. Så får vi med oss den andre faktoren, men siden den er
i andre, så kan vi da faktisk utnytte dette her og få et ledd av denne typen og et ledd der vi har med
den andregradsfaktoren i annen.
Dette her er regelen for delbrøksoppspalting. Vi får med konstanter i telleren
for de lineære leddene, og så får vi da lineære ledd i telleren for andregradsleddene. Og selv om
andregradsleddet her er i annen, så vil det fortsatt bare være et lineært ledd. Denne teknikken vil gjøre
at vi får muligheten til å finne disse bokstavene, tallene som skal stå på plassen til A, B, C, D og E.
Det er det vi nå ønsker. For hvis vi da finner disse tallene, har vi spaltet opp integranden
i mindre biter, og så kan vi integrere disse hver for seg.
Dere kan gjerne sjekke; hvis vi for eksempel tar vekk den biten her og bare prøver å spalte opp denne
ved hjelp av denne delen og denne delen, så vil vi ikke få nok opplysninger. Vi får faktisk et likningssystem
som ikke har noen løsning. Vi klarer ikke å løse ut hva A, D og E er. Så vi må ha med
dette leddet her. I tillegg så kunne man også tenke seg at her, siden vi har et fjerdegradspolynom
i nevneren her, så kunne man kanskje gått opp til tredjegradspolynom her oppe.
Det kan man faktisk gjøre, men da skal man ikke ha med dette her. Regelen er altså at dette her funker,
og vil gi oss de enkleste bitene vi kan få, sånn at vi faktisk har mulighet til
å integrere.
Vi gjentar en gang til. Konstanter over lineære ledd-- selv om det lineære leddet er opphøyd
i annen eller i tredje osv, så er det fortsatt bare konstanter. Får vi de andregradspolynomene, så er det
lineære ledd som skal i telleren. Selv om vi da har flere, høyere eksponenter av disse leddene,
så skal vi fortsatt bare ha lineære ledd. Da vil vi kunne få ut et likningssystem, hvor vi faktisk
får en løsning. Den løsningen skal vi da prøve å regne på nå. Så hva er A, B, C, D og E?
Da setter vi dette her på fellesnevner, og så sammenligner vi disse to brøkene.
Det betyr at vi, ved å få fellesnevner, skal sammenligne tellerne. Uttrykkene i tellerne
må bli like.
På venstresiden har vi telleren. Hvis vi setter disse her nå på samme nevner som her borte,
får vi da A ganger-- da mangler vi (x^2+3)^2.
Her i midten mangler vi både det leddet og en kopi av x^2+3. Da får vi
(Bx+C)(1-2x)(x^2+3).
I det siste leddet mangler vi bare faktoren 1-2x, så da får vi (Dx+E)(1-2x).
Da ser vi at det fort blir en del ting å holde styr på. Nå må vi regne ut dette uttrykket på høyresiden,
og så sammenligne med det vi har på venstresiden. Vi fortsetter, det er bare å regne i vei.
Vi ganger ut. Her bruker vi første kvadratsetning.
Så ganger vi inn A i hvert av leddene. Da får vi Ax^4, og så får vi 6x^2 med en A. Så får vi 9A.
Så må vi gange sammen disse tre parantesene. Det kan hende det er lurt å gjøre det i to omganger, det er
fort gjort å regne en liten feil, og det er litt synd når det er mye å holde styr på. Vi ganger ut to av gangen.
Bx-2Bx^2+C-2Cx.
Så skal da dette ganges etterpå med x^2+3. Så skal vi gange ut de to
siste parentesene.
Da får vi Dx-2Dx^2+E-2Ex.
Så fortsetter vi regningen, og da skal vi bare ha litt mer tavleplass først.
Da har vi flyttet regnestykket vårt opp hit, og så fortsetter vi regningen. Vi skal nå sammenligne
fortsatt disse to uttrykkene. Da får vi fortsatt Ax^4+6Ax^2+9A. Så var det da
å gange ut disse to parentesene, så da ganger vi inn x^2 først. Da får vi Bx^3-2Bx^4+Cx^2-2Cx^3.
Så må vi gange inn 3 i parentesen. Da får vi 3Bx-6Bx^2+3C-6Cx. Så har vi med
en linje til. Dx-2Dx^2+E-2Ex.
Hele dette lange uttrykket, hvor vi da har A-er, B-er, C-er, D-er og E-er, skal være lik
dette uttrykket her.
Da sammenligner vi koeffisienter foran de ulike potensene av x. Da er den høyeste potensen
som forekommer av x, lik 4. Foran x^4 har vi en A og vi har -2B, og så har vi ingen
flere x^4-ledd. På venstresiden av dette likhetstegnet, så har vi heller ingen x^4-ledd. Det betyr at
vi får A-2B=0, når vi sammenlikner koeffisientene for x^4.
Så tar vi koeffisientene foran x^3. Da har vi et ledd her, og her, og ingen fler. Det gir B-2C.
Foran x^3, på venstresiden av likningen, står det 3. Da får vi likningen
B-2C=3.
Så var det x^2.
Da har vi 6A der, og så har vi en C her. Så har vi -6B der og -2D her.
Da får vi 6A-6B+C-2D. Foran x^2 står det da på venstresiden -3.
Det var den tredje likningen.
Så må vi ta x-leddene. Da får vi-- her har vi ett, 3B. Så har vi ett her, -6C,
og her har vi også en. Ja, vi har ett til, her også. -2E skal også være med.
Får 3B-6C+D-2E. Foran x-en står det 7. Da får vi en likning til. Vi har 5 ukjente,
A, B, C, D, E. Da passer det fint at vi har en likning til, og det er meningen med hele
teknikken for delbrøksoppspalting.
Det står 18 på venstresiden. Av konstanter på høyresiden står det 9A, 3C, E. Da får vi
9A+3C+E=18. Da har vi et likningssystem med fem likninger og fem ukjente.
Så må vi finne A, B, C, D og E som oppfyller alle disse ligningene samtidig. Da er det bare å
fortsette å regne. Første likningen gir oss at A=2B. Andre likningen gir oss B=3+2C, og det betyr igjen
at A også kan skrives som 6+4C.
Da bruker vi de to forholdsvis enkle, første likningene, og finner et uttrykk for A og B ved hjelp av C.
Så setter vi det inn i de tre likningene. Vi setter inn uttrykket for C her, her, her og her.
Så får vi da tre likninger med tre ukjente. Da bruker vi substitusjonsmetoden for å redusere
antall likninger og antall ukjente. Da får vi, i disse likningene, 6-- så setter vi inn for A.
Det blir da 6+4C.
Så setter vi inn for B=3+2C, og så har vi C-2D=-3.
I neste likning setter vi inn for B, og så beholder vi resten av likningen. I den siste likningen
setter vi inn for A. 6+4C+3C+E=18. Da har vi kommet så langt, med tre likninger
og tre ukjente.
Da regner vi videre, og skal rydde opp i dette systemet. Vi ganger inn 6 med 6+4C=36+24C.
Så får vi -18-12C+C-2D skal være lik -3. Det er første likning.
I andre likning skal vi gange inn 3-tallet her. Da får vi 9+6C-6C. Da ser det ut som C-ene
faller bort i den likningen. D-2E=7. Så var det den tredje likningen, da skal vi gange inn 9.
54+36C+3C+E=18.
Det er da tre likninger som skal være oppfylt samtidig.
Fortsatt så må vi rydde litt til.
Vi får nå 24C-12C=12C+1C=13C.
Så får vi minus 2D. Av konstanter får vi 36-18=18. Hvis vi flytter 18 over,
da får vi -18-3=-21. I den neste likningen faller C-ene bort, så da får vi bare
en likning i D og E, og den heter D-2E=7-9=-2. Så har vi den siste likningen,
36C+3C = 39C+E = 18-54 = -36.
Der har vi da tre likninger, fortsatt med tre ukjente.
For å løse dette settet nå, så prøver vi å redusere det enda mer.
Så for eksempel likning to. Den sier at D=-2+2E. Så kan vi da sette det inn
i den første likningen.
Det gir 13C-2(-2+2E)=-21. Så har vi da brukt den andre likningen. Men den tredje likningen,
den må vi da skrive opp. Da har vi brukt likning nummer to til å substituere inn for D
i likning en, så vi står igjen med to likninger og to ukjente, C og E. Her må vi rydde
enda littegranne til.
Hvis vi ganger ut, så får vi 13C-4E, og så får vi -21. Her står det +4,
som blir til -4. Det blir -25.
Så har vi den andre likningen.
Så kan vi da løse dette systemet. To likninger og to ukjente, da ser det ut som det enkleste nå
vil være å addere disse sammen. Hvis vi ganger likning to med 4, så får vi -4E+4E. Så blir vi kvitt E,
og står igjen, forhåpentligvis, med hva C skal være for noe.
Da ganger vi likning to med 4. Da får vi 13C-4E=-25.
Så får vi da gange 4. Kan ha en sånn liten regning borti hjørnet her. 39*4. Det er da 156.
156C+4E. Så har vi 36*4=144, det blir -144.
Når vi legger sammen dette nå,
så får vi 169C.
Så forsvinner E-ene, og så får vi -169 her også. Da blir vi jo veldig glade. Når vi regner masse, og så
får vi faktisk ut et veldig pent svar. For dette gir jo at C=-1. Da er vi på god vei til å finne
de andre bokstavene også.
Hvis C=-1, da kan vi prøve å nøste oss tilbake. Kan kanskje gå helt opp hit.
Hvis C=-1, så får vi 2 her og vi flytter over. Det gir B=1.
Hvis B=1,
så får vi -2 her, det betyr at A=2.
Så må vi da finne D og E også. Da kan vi gå kanskje gå opp dit. C=-1 her oppe, det gir -13.
Da får vi -21+13=8. Så får vi -(-8)/-2, som gir D=4.
Hvis D=4, så får vi -6=-2E, det gir E=3. Da har vi faktisk funnet alle verdiene
for A, B, C, D og E. Så kan vi sette dette inn i uttrykket som vi skulle spalte opp.
Det er disse verdiene som passer inn i dette likningssystemet her. Så kan vi fortsette å regne ut
det integralet som vi skulle regne ut.
Da fortsetter vi å regne ut dette uttrykket, som vi skal sammenligne med telleren i vår rasjonale funksjon
som vi skal integrere. Da handler det om å regne ut disse to parentesene før vi da
endelig kan prøve å finne A, B, C, D og E. Da får vi nå Ax^4+6Ax^2+9A. Og så kommer utregningen
av parentesene. Da ganger vi inn x^2. Så får vi Bx^3-2Bx^4+Cx^2-2Cx^3.
Så ganger vi inn 3. Da får vi en ny linje.
3Bx-6Bx^2+3C-6Cx. Så får vi med den siste linjen også.
Dx-2Dx^2+E-2Ex.
Vi skal finne A, B, C, D og E.
Dette lange uttrykket her skal da være lik 3x^3-3x^2+7x+18.
Da sammenligner vi koeffisientene foran de ulike potensene av x. Vi ser et x^4-ledd.
Det ser ut til å være den høyeste potensen av x som forekommer.
Koeffisientene foran x^4 er A-2B. På venstresiden så står det 0x^4.
Det betyr at vi får likningen A-2B=0.
Så går vi til x^3-leddene. Da har vi et ledd der, og vi har et ledd her og ingen fler.
Det gir koeffisienten B-2C. Foran x^3 på venstresiden så står det 3. Dermed må de to
koeffisientene være like, siden disse uttrykkene skal være like.
Så var det x-leddene. x^2-leddene først, kanskje. Der har vi et x^2-ledd.
Her har vi et, her og der også.
Det blir til sammen 6A-6B-C-2D. Foran x^2 står det -3 på venstresiden.
Så var det x-leddene.
Da har vi et her,
og her, her og her også.
Da får vi 3B-6C+D-2E.
Foran x på venstresiden, så står det 7. Så det gir da denne ligningen. Til slutt
har vi konstantleddene.
Da har vi 9A, 3C og E.
Det gir likningen 9A+3C+E. Det skal være konstantleddet på venstresiden, 18.
Nå ser vi at vi har fem ukjente: A, B, C, D og E. Ut fra den delbrøksoppspaltingen
vi startet med, så får vi oss nå fem likninger, som da skal være oppfylt samtidig, og gi oss løsningene på hva
A, B, C, D og E er.
For å løse et sånt system, så er det litt forskjellige måter å gjøre det på. Nå har vi
for eksempel disse to likningene på begynnelsen her, kan vi bruke til å substituere inn i de andre
og prøve å få færre og færre variabler, og til slutt stå igjen med hva de forskjellige
bokstavene egentlig står for. Vi kan begynne øverst. Den likningen sier at A=2B,
og likning nr. to sier at B=3+2C.
Det betyr for øvrig at A kan uttrykkes ved 6+4C også. Så putter vi det da inn
i de tre resterende ligningene.
Da putter vi inn for A og B her, og så putter vi inn for B her og for A der nede. Vi regner videre.
Da får vi likningene 6(6+4C) for A, -6(3+2C) for B. -C-2D=-3.
I den fjerde likningen får vi da inn for B: 3(3+2C)-6C+D-2E=7. Så er det den siste likningen.
Inn for A setter vi da uttrykket 6+4C, og så har vi 3C+E=18.
Så nå har vi tre likninger med tre ukjente. Vi har substituert inn for A og B, brukte de to første likningene
til å gjøre det. Nå står vi plutselig igjen med tre likninger og tre ukjente.
Det handler om å jobbe videre og vi må bare ha litt mere tavleplass igjen. Da har vi endelig klart
å delbrøksoppspalte dette uttrykket her. Vi satte det opp som tre ledd, og så har vi
regnet ut koeffisientene A=2, B=1, C=-1, D=4 og E=3. Poenget med dette her er jo nå at
nå vi skal regne ut integralet av denne rasjonale funksjonen, altså integralet av 3x^3-3x^2+7x+18
delt på (1-2x)(x^2+3)^2, kan vi da dele opp dette integralet
ved hjelp av denne oppspaltingen. Da får vi først integralet av A=2-- integralet av 2/1-2x.
Nå bruker vi altså at integralet av en sum er summen av integralene. Så får vi
det neste integralet, hvor B=1 og C=-1. Det gir x-1/x^2+3. Så har vi
det tredje integralet, hvor D=4 og E=3. Vi får integralet av 4x+3/(x^2+3)^2.
Da har vi fått oss tre integraler. Vi kan kalle dem en, to og tre. Så integrerer vi dem nå, hver for seg.
Da starter vi med den første.
Det er altså integralet 2/1-2x.
Når vi generelt skal integrere alle disse her, så tenker vi derivasjon baklengs.
I dette tilfellet her så gjenkjenner vi nå at vi ønsker å bruke at integralet av 1/x=ln x + C.
Men nå står det ikke x nede i nevneren, det står 1-2x. Hvis vi deriverer 1-2x,
får vi -2. Det betyr at når vi integrerer, så må vi da ha med faktoren -1/2.
Vi får -1/2, og så får vi 2*ln 1-2x. Skal vi da rydde litt. -ln 1-2x + C.
Det er det første integralet. Da merker vi oss at kjernen
i uttrykket 1/x er nå 1-2x, og den deriverte er bare en konstant. Den kan vi klare
å få med, bare ved å ta 1 delt på denne konstanten når vi integrerer. Evt. kan vi sette opp en liten
substitusjon hvis vi ønsker. Det skal vi gjøre når vi skal regne ut integralene to og tre.
Vi er i ferd med å regne ut dette integralet, og vi har delt opp i tre ledd. Nå har vi tatt
det første integralet. La oss se på nr. to. Det andre integralet heter integralet av x-1/x^2+3.
Nå er det fortsatt en grad i forskjell mellom teller og nevner. Telleren har grad 1, og nevneren har grad 2.
Det sier oss at vi kanskje fortsatt kan bruke regelen om at når vi integrer 1/x, får vi ln x.
Nå står det ikke x i nevneren, det står altså x^2+3. Hvis vi substituerer denne nevneren, x^2+3,
er den deriverte lik 2x. Det hadde vært veldig fint hvis 2x hadde stått i telleren.
Nå står det heldigvis en x, som gjør at vi kan utføre denne substitusjonen og få ln x^2+3,
bare vi sørger for at vi får 2x opp i telleren. Å få 2x opp hit, det kan vi gjøre ved
å dele på 1/2 og gange med 2,
og så kan vi spalte av -1 som et eget integral, -1/x^2+3. Da gjør vi det.
Vi får 1/2, 2x/x^2+3 minus integralet av 1/x^2+3. Ved å gjøre denne substitusjonen,
har vi altså løst dette integralet. Det integralet blir en 1/2 ln x^2+3 uten absoluttverditegn,
fordi x^2+3 er alltid positivt. Så må vi ta oss av integralet av 1/x^2+3.
Dette integralet har nå en konstant i telleren og et andregradsledd i nevneren. Da tenker vi
arcus tangens. Når vi integrerer 1/x^2+1, får vi nettopp arcus tangens. Den deriverte av arcus tangens er 1/x^2+1.
Den ønsker vi nå å bruke, men nå står det altså ikke 1 her, det står 3.
Da må vi først skaffe oss 1 her.
Da regner vi litt på dette uttrykket.
For å få 1 der, så faktoriserer vi ut 3 i nevneren. Da får vi (x^2/3)+1.
Så ønsker vi at dette her også skal stå inni en andre potens. Det får vi til, ved å sette roten av 3
istedenfor 3. Alt opphøyes da i andre potens. Da setter vi inn det her. Vi kan godt ta med oss
det integralet vi allerede har regnet ut. Så skal vi altså integrere dette uttrykket. Da får vi 1/3,
som vi kan sette utenfor. Så får vi integralet av 1 / (x/roten av 3)^2 + 1.
Nå er vi ganske nære her. Nå har vi i hvert fall 1 der, men så står det altså ikke x. Men det står
x/roten av 3.
Hvis vi substituerer u=x/roten av 3, så får vi at du=1/roten av 3 dx. Det betyr at vi må ha
med oss en faktor roten av 3 når vi integrerer.
Dermed får vi 1/2 ln x^2+3.
Så blir dette arcus tangens, men med en faktor roten av 3. Da får vi (roten av 3)/3, arcus tangens
til x/(roten av 3) + C.
Når vi deriverer tilbake, så får vi (1/x) / (roten av 3)^2 + 1.
Så må vi gange med 1/roten av 3, som da forkortes mot roten av 3. Så får vi 1/3 her.
Da har vi nå løst det andre integralet.
Etter all denne regningen, så er vi fortsatt ikke helt ferdig med å regne ut dette integralet.
Vi har nå tatt for oss førsteleddet og det neste integralet. Så har vi fortsatt dette integralet igjen.
Det tredje integralet har da som integrand 4x+3/(x^2+3)^2. Fram til nå har vi brukt
ln og arcus tangens. Nå ser vi at vi har grad 1 i teller, så har vi et andregradsledd
opphøyd i annen i nevner. Da kan vi tenke en ny regel, nemlig at når
vi integrerer 1/x^2, så får vi -1/x. Da står det nå ikke x, men x^2+3 inne i en andre potens.
Hvis vi nå vil sette u=x^2+3 og bruke denne regelen, så ser vi da at du=2x dx.
For å bruke denne med x^2+3 som kjerne, må vi få 2x opp i telleren. Da spalter vi av 2x
ved å sette et 2-tall utenfor. Så får vi med oss 3/(x^2+3)^2 som et nytt ledd.
Da får vi 2 * 2x/(x^2+3)^2 og så får vi pluss integralet 3/(x^2+3)^2.
Når vi har gjort dette, kan vi bruke denne regelen med x^2+3 inn for x.
Da får vi 2, og så får vi -1/x^2+3. Så har vi fortsatt dette integralet, som ikke er ferdig
regnet ut ennå. Så enda en linje til gir altså -2/x^2+3 pluss 3 ganger
integralet av 1/(x^2+3)^2.
Da handler det nå om hvordan vi skal takle dette integralet.
Da viser det seg at vi har en rekursiv formel for integralet av 1/x^2+1 opphøyd
i en hvilken som helst potens. Nå skal vi ikke bruke denne formelen akkurat her, men vi skal heller se
en måte som vi kan regne ut akkurat dette integralet på. Det første vi må gjøre, er å skaffe oss
en 1 her. Da kan vi gjøre det her borte.
(Problemer med lyden, samme del spilles igjen og igjen. Varer i ca. 5 min)
1/(u^2+1)^2 er lik 2 minus en kopi av dette her, så da får vi integralet av 1/u^2+1. Så har vi
pluss u/u^2+1.
Ikke + C enda, fordi vi ikke er helt ferdig med å integrere.
Det betyr at vi har følgende uttrykk for integralet vi er interessert i, som 1/2. Nå kan vi
bruke arcus tangens pluss 1/2 * u/u^2+1 + C.
Denne formelen kan vi nå bruke for å regne oss videre.
Vi har nå regnet ut dette integralet, 1/(u^2+1)^2 er altså 1/2*arcus tangens u
+ 1/2 * u/u^+1, og så pluss konstanter.
La oss nå først sette inn at u er x/roten av 3.
Da får vi 1/2*arcus tangens til x/roten av 3. Så må vi sette inn x/roten av 3 for u.
Da får vi 1/2 * (x/roten av 3) / (x/roten ax 3)^2+1 + C.
Hvis vi rydder litt i dette uttrykket her, så ser vi at denne roten av 3 kommer ned hit.
Her står det nå, hvis vi ganger ut denne parantesen, så får vi x^2/3.
Hvis vi da setter et 3-tall opp hit, så får vi ut x^2+3 her nede, for da har vi
faktorisert ut 1/3 hit, og så flytter vi 3 helt opp. Vi får 1/2 * arcus tangens til
(x/roten av 3), pluss 1/(1/3) som blir 3 oppe i teller. Så får vi 2*roten av 3,
der denne roten av 3 kommer derfra. Så har vi x/x^2+3.
Da har vi satt inn x.
Da kan vi sette dette rett inn her, og så gange med (roten av 3)/3. Nå får vi da at
integral nummer tre er lik -2/x^2+3 + roten av 3/3 ganger--
så skal også dette uttrykket inn. 1/2*arcus tangens (x/roten av 3),
+ 3/2*roten av 3 * x/x^2+3. Så kan vi godt sette denne konstanten helt utenfor.
Da kan vi rydde til slutt, og så får vi at roten av 3/3, den forkortes mot 3/roten av 3.
Så står vi igjen med at det tredje integralet er -2/x^2+3 pluss ganger inn roten av 3/3.
Da får vi (roten av 3)/6*arcus tangens(x/roten av 3) pluss--
her, når vi ganger inn roten av 3/3, står det 1/2 igjen. Da kan vi sette x/2x^2+3 + C.
Da har vi endelig regnet ut det tredje integralet her også. Da er det på høy tid med en
oppsummering.
(Problemer med lyden, samme del spilles igjen og igjen. Varer ut videoen)