I denne snutten skal vi snakke litt om konvergens av følger. En følge er en oppramsing av
uendelig mange reelle tall. Vi har ofte et uttrykk for det n-te leddet i følgen, som for eksempel
hvis det n-te leddet heter an, så kan jo det være n/n+1. Så kan vi godt la følgen
starte med 1, at n=1. Noen ganger starter vi på 0, og andre ganger
starter vi på et annet tall, men veldig ofte så er a1 det første leddet. I dette tilfellet, hvis vi da setter
inn 1 for n, så får vi 1/2. Det andre leddet, da skal vi sette inn 2 for 1, så får vi 2/3.
I det tredje leddet så får vi 3/4 osv.
Da får vi en uendelig oppramsing av tall som da følger mønsteret gitt ved denne generelle formelen.
Et stykke uti her så finner vi for eksempel
a1000, som er 1000/1001 og så videre. Da ser vi jo at dette her ser ut til å nærme seg
tallet 1. 1000/1001 er jo allerede ganske nær 1. Går vi enda lenger ned,
så kommer vi enda nærmere 1. Vi kommer jo aldri fram til nøyaktig 1, men vi kan komme så nære 1
vi bare vil. En annen måte å visualisere dette på, er jo at vi kan gå inn på tallinjen. Vi har tallet 1,
og så starter vi på 1/2, og så går vi ned til 2/3, og så går vi til 3/4 osv.
Etter hvert så begynner vi å komme nærmere og nærmere 1 med dette uttrykket. Hva betyr det da,
at vi kan komme så nære 1 vi bare vil ved å gå langt nok ut i følgen? Dette, som jeg nettopp har sagt,
at vi faktisk kan komme så nære 1 vi bare vil ved å gå langt nok ut i følgen, det kan vi
skrive opp litt mer matematisk, sånn at vi får litt bedre tak på begrepet som vi kaller konvergens.
Vi har en definisjon som sier at følgen {an} konvergerer mot et tall a,
hvis for hver epsilon større enn 0
(det handler om avstanden til dette punktet a, i dette tilfellet 1), så finnes det da et naturlig tall,
slik at avstanden mellom det n-te leddet og denne a-en er mindre enn denne epsilonen for n
større enn eller lik N. Altså bare vi går langt nok ut i følgen ut til en N fra det leddet av, så vil vi
ha oppfylt at avstanden mellom an og a er mindre enn ethvert tall som dukker opp.
Epsilon er typisk veldig lite, fordi vi ønsker nettopp at denne følgen skal nærme seg et tall.
Bare vi går langt nok ut i følgen, kan vi komme så nære a vi bare vil. Så la oss bruke denne definisjonen
på følgen n/n+1. Da har vi en mistanke om at følgen n/n+1
konvergerer mot tallet 1. Da kan vi bruke denne definisjonen til å vise at dette faktisk stemmer.
Da betyr det at vi har jo gitt en epsilon nå. For hver epsilon, så skal det finnes en N.
Vår oppgave er å finne N. Disse epsilonene, de kommer, og så skal vi da finne en N som kan
parere denne epsilonen. Gitt epsilon, da ønsker vi å si noe om denne avstanden. an-1, fordi a er jo 1
i dette tilfellet.
Hva er denne avstanden? Den må vi først regne på, fordi det er den vi skal gjøre så liten vi bare vil.
Det er dette uttrykket her. Hvis vi setter på fellesnevner nå, så får vi n-n-1, så dette blir
-1/n+1. Da kan vi fjerne absoluttverditegnet, fordi n-ene er alltid positive.
Dette uttrykket er alltid positivt.
Det betyr at vi nå skal kunne gjøre dette uttrykket mindre enn alle mulige epsiloner. Så hva må da
n være? Da prøver vi å løse ut for n, så da får vi 1 mindre enn n*epsilon + epsilon. Det betyr at vi løser ut for
n nå, så flytter vi epsilon over. Da får vi 1-epsilon, og så kan vi dele på epsilon. Da står det at n
er større enn dette uttrykket. n blir større enn 1-epsilon/epsilon.
Da er spørsmålet; for hver epsilon som kommer, klarer vi nå å finne en n som er større enn
1-epsilon/epsilon? Det vil vi faktisk få til, for dette her er jo et reelt tall,
og Arkimedes' prinsipp sier at vi alltid kan finne et naturlig tall som er større enn et gitt reelt tall.
Dette kan vi faktisk få til. Da kan vi se på noen eksempler, for disse epsilonene skal jo nå
komme inn fra sidelinjen. For eksempel? 1/2 ja!
Hva hvis epsilon er lik 1/2? Det betyr altså at vi ønsker at leddene i følgen skal ligge i avstand
mindre enn 1/2 fra tallet 1. Hvor langt uti følgen må vi gå for å få til dette?
Hvis vi setter inn her, så får vi 1-epsilon og epsilon er 1/2, delt på 1/2.
Da får vi ulikheten at n>1, det betyr at N=2.
Hvis vi starter på det andre leddet i denne følgen, altså 2/3, er vi sikre på at alle leddene
leddene derfra og utover ligger i avstand mindre enn 1/2 fra tallet 1.
Vi kan kanskje prøve å få noen epsiloner som er litt mindre enn 1/2. Vi skal jo kunne parere
alle epsiloner. For eksempel 1/1000, da begynner vi å komme ganske nærme 1. Nå skal vi
ligge i avstand 1/1000 fra tallet 1. Hvor langt ut i følgen må vi gå for å få til det?
Klarer vi å få det til?
Hvis vi setter inn 1/1000 her, så får vi 1-1/1000. Det er da 999/1000, og så skal vi
dele på 1/1000. Da ser vi at vi får 999. Hvis vi nå velger N=1000. Hvis vi starter på
det tusende leddet, altså ledd 1000/1001, så vil det leddet ligge i avstand mindre enn 1/1000 fra 1,
og alle leddene videre vil ligge innenfor denne avstanden. Det betyr da at
denne følgen konvergerer mot 1. Vi klarer å parere alle epsilonene som kommer. Vi kan få
leddene i følgen til å ligge så nære 1 vi bare vil,
bare vi går langt nok ut i følgen. Det er nøyaktig det vi mener med konvergens i matematikken.
Vi skal snakke litt mer om konvergens av følger. Vi har skrevet opp definisjonen.
En tallfølge {an} konvergerer mot a hvis for hver epsilon så finnes det et naturlig tall, slik at avstanden
fra det n-te leddet til a er mindre enn epsilon, for alle n større enn eller lik N. Bare vi går
langt nok ut i følgen, ut til N, så vil leddene derfra og utover ligge i avstand
mindre enn epsilon fra a. Så her har vi a. Dette uttrykket her, absoluttverdien av an-a mindre enn epsilon,
betyr at vi ser på intervallet fra a-epsilon til a+epsilon. Innenfor her skal da
alle disse an-ene
befinne seg for n større enn lik N.
Nå kan vi spørre oss selv om, hvis vi har en følge som konvergerer mot a; kunne det tenkes at den
også konvergerte mot et annet tall?
Da kaller vi gjerne a en grenseverdi. Når en følge konvergerer mot a, skriver vi gjerne
at lim an, når n går mot uendelig, er lik a. Kunne det nå tenkes at denne grenseverdien
av uttrykket an kan være noe annet enn a?
Vi skal nå vise at det kan vi ikke ha. En følge har høyst en grenseverdi. Det har jeg lyst til å vise.
Da antar vi at følgen har to grenseverdier, og så ser vi hva som skjer.
Nå antar vi at lim an, når n går mot uendelig, er lik a, og at vi også har en annen grenseverdi, a',
der altså a og a' er forskjellig. Nå antar vi at vi har to forskjellige grenseverdier for følgen an.
Da må vi skrive opp hva dette betyr. Det at grenseverdien for an, når n går mot uendelig, er lik a,
det betyr jo at det finnes en N, slik at avstanden fra an til a er mindre enn enhver epsilon for
n større enn eller lik N. Det at lim an = a', det betyr at det finnes en N', slik at avstanden fra
an til a' er mindre enn epsilon, bare vi går ut til N' i følgen. Da kan vi skrive at
det finnes en N, slik at avstanden mellom an og a er mindre enn epsilon, for n større enn eller lik N.
Så finnes det en N',
slik at avstanden fra an til a' er mindre enn epsilon, for n større enn eller lik N'.
Nå har vi antatt noe som vi ønsker å vise ikke er riktig, så vi vil nå tvinge fram en motsigelse.
Det vi gjør nå, er at vi går så langt uti følgen at begge disse betingelsene er oppfylt. Så vi lar nå
n være større enn eller lik maksimum av disse to N-ene. Det betyr at begge disse er oppfylt. Da har vi
gått langt nok ut i følgen for å få til det.
Så ser vi på avstanden mellom disse to grenseverdiene, a og a'.
Vi vil gjerne bruke disse betingelsene som jeg har funnet for å komme videre i beviset. Da putter vi inn
an ved å plusse på og trekke fra an.
Så kommer trekantulikheten inn. Dette er nå mindre enn eller lik a-an pluss avstanden mellom an og a'.
Vi kan godt bytte om rekkefølgen på de to. Dette er fortsatt avstanden mellom a' og an.
Siden vi har gått så langt uti følgen at begge disse er oppfylt, så vil dette her være mindre enn epsilon
for a, og også epsilon for a'. Det betyr altså to epsilon.
Det betyr at avstanden mellom a og a', som vi har antatt er to forskjellige tall, skal kunne gjøres
mindre enn to epsilon.
Men nå skal dette gjelde for alle epsiloner.
Velg nå epsilon lik a-a'/2.
Så setter vi det inn her.
Det gir at a-a', avstanden mellom disse to tallene, er da ekte mindre enn 2*epsilon.
Nå er epsilon dette tallet her. Det betyr at vi får avstanden mellom a og a' her også.
Men dette er altså en ekte ulikhet, og det gir ikke mening. Et tall kan ikke være ekte mindre enn seg selv.
Da har vi en motsigelse. Det betyr at dette som vi antok, nemlig at a er forskjellig fra a',
det stemmer ikke. Vi må ha at a=a', og en følge har derfor høyst en grenseverdi.
Vi har en del resultater som vi kan bruke når vi skal finne ut om en følge konvergerer, og også da
hva den eventuelt konvergerer mot. For eksempel, så vet vi at enhver monoton, begrenset følge
er konvergent. Det er et viktig resultat. Enhver monoton, begrenset følge er konvergent. Monoton er
en samlebetegnelse på det å vokse og avta. Hvis vi har en følge der leddene vokser eller avtar,
fra et visst n av og samtidig at leddene i følgen er begrenset, så vil vi ha
en konvergent følge. Da vil denne følgen nærme seg
en grenseverdi. Så begrenset og monoton, det at den enten avtar eller vokser. Nå skal vi se
et eksempel på hvordan vi kan bruke dette resultatet. Vi starter med et positivt, reelt tall.
Så lager vi oss nå en følge, hvor det første leddet også kan være et hvilket som helst positivt, reelt tall.
Så regner vi ut det n+1-leddet, ved å ta gjennomsnittet av det foregående leddet og b delt på
det foregående leddet. Da har vi definert oss en følge. Vi bestemmer oss for et tall b, og et tall s1.
Hvis vi setter det inn her, så finner vi da s2. Så kan vi sette inn s2, og regne ut s3 osv.
Da får vi oss en uendelig følge av tall.
Hvordan oppfører denne følgen seg? Konvergerer den, og hva konvergerer den mot?
Da har vi lyst til å prøve å bruke dette resultatet, og se om kanskje denne følgen er både
monoton og begrenset. Vi starter med monoton, og da ser vi på forskjellen mellom to etterfølgende ledd
i følgen, og ser hva som skjer med dem. Hva er differanser av to etterfølgende ledd her? Vi har sn,
og sn+1 er altså 1/2sn-b/2sn. Dette er da 1/2sn-b/2sn.
Så setter vi på felles brøkstrek, og får vi (sn^2-b)/2sn.
Nå vil vi gjerne kunne si noe mer om dette uttrykket, vi vil gjerne si om dette er positivt eller negativt.
Da kan vi si noe om denne følgen vokser eller avtar.
For å gjøre det, så ser vi litt nærmere på uttrykket for leddene i følgen. Hvis vi regner litt
på dette uttrykket, så får vi nå at sn+1=sn/2+b/2sn. Så rydder vi litt. Vi ganger opp
med fellesnevner, så får vi 2sn+1*sn=sn^2+b.
Snur vi rundt på dette, så får vi en andregradslikning som sier at sn oppfyller ligningen.
sn er et reelt tall. Det regnes ut fra denne følgen, så det betyr at
når vi løser denne andregradslikningen, så vet vi at vi kommer til å få noe positivt under rottegnet
i abc-formelen. Uttrykket b^2-4ac fra abc-formelen, det blir noe positivt. Det uttrykket blir
4sn+1^2 (b^2), minus 4ac, som er da 4b. Dette blir altså noe positivt, siden sn er et reelt tall.
Vi vet at vi får reelle løsninger av andregradslikningen.
Men det betyr jo nå at sn+1^2-b er større enn eller lik 0, for n større enn eller lik 1.
Da kan vi faktisk si noe om dette uttrykket her nede, og vi kan også si noe om forskjellen
mellom to etterfølgende ledd i følgen. Dette betyr faktisk at sn-sn+1 er større enn eller lik 0, for n
større enn eller lik 2. Dette gjelder for n større enn eller lik 1, og her har vi sn, så da får vi 2. Dette gjelder for sn
større enn eller lik 2. Det betyr at {sn} er avtagende for n større enn eller lik 2. Fordi sn er da
større enn sn+1 for alle n større enn eller lik 2. Denne differansen er positiv.
Det betyr at følgen er avtagende, den er altså monoton.
Den er også begrenset. For en ting, så er jo alle leddene større enn 0. Vi starter med noe som er
større enn 0, og vi tar gjennomsnittet av positive tall så vi holder oss på den positive siden.
Dette her er en avtagende følge, så denne blir aldri større enn den største verdien av s1 og s2.
Så vi har en monoton, begrenset følge, så den er konvergent. {sn} er konvergent, og dermed gir
det mening å skrive at lim sn, når n går mot uendelig, er lik et tall s.
Denne følger nærmer seg et eller annet tall.
Nå kan vi finne dette tallet, fordi vi har et uttrykk for sn+1. Hvis vi bruker dette uttrykket
og regneregler for grenseverdier, så kan vi finne et uttrykk for s og løse ut for hva s er.
Hvis vi tar grenseverdien på begge sider nå, får vi grenseverdien av sn+1, det er s.
Setter vi inn grenseverdiene her, så får vi s begge steder hvor det står sn.
s vil oppfylle ligningen s=1/2(s+b/s).
Og da kan vi regne ut at s=1/2s+b/2s, så vi får en 1/2s=b/2s.
Så s^2=b.
Dermed er s lik pluss/minus roten av b. Men vi ble enige om at alle leddene i denne følgen er positive,
så s er roten av b.
Det betyr at vi nå har en følge som kan hjelpe oss å regne ut roten av et tall.
Denne metoden for å regne ut roten til et tall, den er veldig gammel. Den var kjent for babylonerne
for over 3500 år siden.
Man kan altså starte med et eller annet tall,
og så tar man gjennomsnittet av dette tallet med det tallet man ønsker å finne roten av, delt på sn.
Så fortsetter man å regne til man da finner roten av b, med så stor nøyaktighet som man faktisk ønsker.
Fordi vi ser nå at roten av b vil ligge mellom sn. Det har vi vist her, at sn er større enn eller lik
roten av b.
Siden vi tar gjennomsnittet hele tiden, så vil denne grenseverdien også være større enn b/sn.
Fordi vi regner ut leddene som gjennomsnittet av sn og b/sn. Så for eksempel hvis b=2,
så kan vi for eksempel velge å starte leddene i følgen med tallet 1. Hvis vi da regner ut s2
fra følgen, så får vi 1/2*1+2=3. Det er 3/2.
s3 vil da være gjennomsnittet av 3/2 og 2/(3/2), det blir 1/2(3/2+4/3).
Hvis vi regner ut dette, så blir det 9+8/6=17/12.
Det betyr at for eksempel bare da ved å regne sn1, sn2 og sn3 i denne følgen, så får vi at roten av 2
vil ligge mellom s3, som er 17/12, og 2/s3 som er 24/17. Hvis vi regner ut sånn cirka med desimaler,
så er 17/12 cirka 1,417 og 24/17 er 1,412, så da har vi allerede presset roten av 2 imellom 1,412
og 1,417. Så kan vi regne ut flere ledd i denne følgen hvis vi ønsker, for å få roten av 2 med enda
flere desimalers nøyaktighet. Alt dette kan vi få ut ved å se litt på resultater
for konvergente følger.