I denne snutten skal vi snakke litt om regning med komplekse tall. Hvordan vi legger dem sammen,
ganger dem sammen og hvordan det reflekteres i den geometriske representasjonen. Så et komplekst tall
er et tall på denne formen her, z=a+ib. i er en kvadratrot av -1, altså i^2=-1.
Geometrisk tenker vi på et komplekst tall som et punkt eller en vektor
i planet. Så jeg har z=a+ib her ute, der a er projeksjonen langs x-aksen og b er projeksjonen
langs y-aksen. Det vi nå skal begynne med, er å rett og slett se hvordan vi regner med disse tallene.
For å regne, så trenger jeg mer enn et tall. Jeg putter inn et komplekst tall til,
c+id. Det å legge sammen to sånne komplekse tall, det er ikke noe vanskelighet i det hele tatt.
Jeg har altså (a+ib) + (c+id). Jeg samler bare sammen det vi kaller realdelene, de to delene uten i, for seg.
Og imaginærdelene, de to med i, for seg. Da får jeg a+c, og så samler jeg i-delene.
Da får jeg i ganget med b herfra og d derfra. Det blir i(b+d). Dette er et nytt,
reelt tall. Det er på den formen her oppe. Et reelt tall pluss i ganger et annet reelt tall.
Det å trekke fra to komplekse tall går akkurat på samme måten. Istedenfor pluss her, så får vi en minus.
Så får vi minus der og en minus der. Det er rett fram etter nesen.
Det å gange to komplekse tall er litt verre, men det er bare å bruke denne relasjonen i^2=-1,
i tillegg til vanlige regneregler. Hvis jeg starter med a+ib og skal gange det med c+id,
så bare ganger jeg sammen ting på vanlig måte. Jeg tar første ledd her og ganger med hvert av leddene
her borte. Da får jeg først ac. Så får jeg a*id. Hvis jeg setter i-en først, så får jeg da iad.
Da har jeg brukt opp a-en, jeg må bruke ib-en. Jeg får først ibc. Så til slutt ib*id,
da har jeg i to ganger. Jeg får i^2. Også har jeg b-en ganget med d, så jeg får dette.
Så husker jeg på at i^2=-1. Det betyr at det leddet der er egentlig -bd.
Da kan vi samle leddene. Vi tar først realdelen,
leddene som ikke inneholder i. Da har jeg ac der og -bd der nede. Jeg får (ad-bc).
Og så er det imaginærdelen, de to leddene som inneholder i. Jeg har i-en først
og det som er den egentlige imaginærdelen, (ab+bc). På den måten har jeg fått skrevet
produktet av disse to komplekse tallene z og w som et nytt komplekst tall. Et reelt tall, pluss i ganger et annet
reelt tall.
Multiplikasjon av komplekse tall er akkurat som vanlig regning, bare vi husker på at hver gang vi
får i^2, så kan vi sette det lik -1. Den regneoperasjonen som er mest krevende og krever et lite triks,
det er divisjon. Hvis jeg nå skal dele z på w, hva må jeg da gjøre? Jeg har
i utgangspunktet a+ib / c+id. Det store problemet her er i-en jeg nå har fått i nevneren.
Den må jeg bli kvitt, den der nede.
Da er det et triks som går ut på å gange med den konjugerte av nevneren oppe og nede. Det vil si at
jeg konjugerer med det tallet jeg får når jeg bytter ut fortegnet foran i-leddet med motsatt. Jeg skal da gange med
c-id oppe og nede. Jeg forandrer ikke brøken. Jeg ganger med c-id her oppe,
og c-id her nede. La oss se hva som skjer under brøkstreken først, for det er her
poenget kommer fram. Hvis vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) på dette uttrykket her,
får jeg det første leddet i annen, altså c^2. Så får jeg minus det andre leddet i annen,
det andre leddet er id. Når det opphøyes i annen, får jeg først i^2 og d^2.
Men i^2=-1, så under her står det egentlig c^2+d^2, som er et reelt tall. Vi går videre
med det etterpå. La oss først se hva som skjer over brøkstreken. Her må jeg gange på vanlig måte.
Først ac. Så a*(-id)=-iad. Så må jeg gange ib*c=ibc.
Til slutt ib*(-id)=-i^2bd.
Så kan jeg forenkle dette her litt. Det jeg hadde under brøkstreken, det var jo c^2. Så er i^2=-1,
så jeg får c^2+d^2. Hva får jeg oppå brøkstreken? Hvis jeg tar de leddene uten i først,
så har jeg ac her. Her borte er i^2=-1, så her står det +bd. De leddene
som inneholder i-- la meg ta det positive leddet først, det er ibc. Og så minus iab, i er på utsiden.
Så det blir -ad.
Nå er jeg fremme, for jeg har skrevet dette som et nytt, komplekst tall. For det jeg kan gjøre er
å splitte opp i to biter her. Jeg kan ta den delen av brøken for seg, da har jeg et reelt tall. Så kan jeg
ta denne delen av brøken for seg, og da får jeg i ganger et reelt tall. Hvis jeg splitter opp
brøken i to deler, den delt på nevneren pluss i ganger den delt på nevneren, er et komplekst tall. Et reelt tall først
og så i ganget med et annet reelt tall. Det er den formen vi ønsker å ha. Så ved hjelp av dette trikset,
å gange med den konjugerte av nevneren oppe og nede, så greier vi å gjøre om den litt mystiske brøken
av to komplekse tall, til et uttrykk som vi kjenner igjen som et tredje komplekst tall. Det trikset er nyttig,
fordi det er ikke sånn man finner på selv i en håndvending.
Det jeg har gjort hittil er bare å regne med disse komplekse tallene som algebraiske uttrykk. Vi har ikke
knyttet dem til denne geometriske representasjonen vi har her oppe. Det neste vi skal gjøre, er å se hvordan
disse algebraiske operasjonene kan uttrykkes ved hjelp av disse geometriske størrelsene. Det er først
når vi har denne sammenhengen, at vi virkelig forstår hva regning med komplekse tall er.
La oss nå se hvordan vi kan tolke algebraiske operasjoner med komplekse tall geometrisk.
Hvis jeg nå har to komplekse tall, det ene er z=a+ib og det andre er w=c+id.
Vi tenker på disse som vektorer som starter i origo. Addisjon er rett og slett det samme som vektoraddisjon.
Det jeg gjør, er at jeg tar denne pilen w, og flytter den bort dit z ender, og så tegner jeg den opp
på nytt der. Da får jeg en vektor som ser sånn ut. Summen av z og w er
rett og slett denne nye vektoren som kommer ut der. Det er z+w. Addisjon av komplekse tall geometrisk,
er rett og slett det samme som addisjon av vektorer. Det er helt tilsvarende med subtraksjon.
Subtraksjon av komplekse tall, er subtraksjon av de tilhørende vektorene.
Dette er veldig enkelt, og ikke noe nytt i det hele tatt. Det som er mer mystisk, det er multiplikasjon
av komplekse tall. Hvis jeg igjen har to komplekse tall, la oss si jeg har z her og w her.
Jeg skal multiplisere disse. For å forstå den geometriske tolkningen, er det ikke
så veldig mye vits i å se på a, b, c og d, men det lønner seg å se på to andre størrelser,
nemlig vinklene som disse vektorene danner med x-aksen, og lengden på dem. Så hvis jeg sier at vinkelen
som z har her nede heter u, og den vinkelen som w har med x-aksen heter v, så vil sett zw være
en vektor som kommer ut her.
Her har jeg zw. Vinkelen som denne vektoren danner med x-aksen, er summen av de
to opprinnelige. Vinkelen som kommer ut her er u+v. Da gjenstår det å bestemme hvor lang lengden
til zw er, denne lengden her. Den er da produktet av lengdene av z og w.
Nå skriver vi ofte lengder med tallverditegn foran. Det er lengden til z ganger lengden til w.
Det er den geometriske tolkningen av multiplikasjon. Skal du multiplisere to komplekse tall, så får du
et nytt tall, der lengden er produktet av de to opprinnelige lengdene, men der vinkelen med x-aksen
ikke er produktet, men summen av de to opprinnelige vinklene. Dette er litt mystisk. Det tok mange hundre år
før man fant ut at det var slik disse tingene
egentlig hang sammen. Det det henger på, er egentlig noen formler som du kjenner fra videregående skole.
Det som ligger bak denne sammenhengen her, det er disse to formlene for cosinus og sinus til en sum,
nemlig at sinus til u+v, det er sin u*cos v + cos u*sin v. Den tilsvarende formelen
for cosinus, nemlig at cosinus til u+v er cos u*cos v - sin u*sin v.
Det vi nå skal se, er hvordan disse to formlene for cosinus og sinus knytter sammen de to måtene
å tenke multiplikasjon av komplekse tall på:
da vi bare ganget sammen a+ib og c+id istad og brukte i^2=-1,
og denne geometriske formen her borte, hvor vi multipliserer lengder og adderer vinkler. Vi trenger litt mer plass,
så vi kommer tilbake igjen med selve regnestykket.
For å forstå sammenhengen mellom den algebraiske formen for kompleks multiplikasjon og den geometriske,
må vi se litt på hvordan vi kan oversette de vanlige koordinatene a og b til en vinkel
som beskriver hvordan vektorer forholder seg til x-aksen og lengden på denne vektoren. Vi starter med
en liten tegning. Her har jeg det komplekse tallet mitt, z=a+ib. Så bringer jeg inn lengden til denne vektoren,
den kalles ofte for r. Så legger jeg en vinkel her, som ofte betegnes med den greske bokstaven theta.
Så ønsker vi å se på sammenhengen mellom disse størrelsene. Det er ikke så veldig vanskelig.
Hvis vi bruker litt trigonometri her, så ser vi at denne siden her nede, den må være r*cos theta.
Men den er også lik a, så a = r*cos theta.
Denne siden her er er r*sin theta ved hjelp av geometri, men den er også b. Vi får b=r*sin theta.
Dette forteller oss hvordan vi kan regne ut a og b dersom vi kjenner r og theta.
a er rett og slett r*cos theta og b er r*sin theta. Så er spørsmålet hvordan vi kan gå den andre veien.
Hvis det er a og b vi kjenner, hvordan kan vi da finne r og theta? r er ganske enkel, fordi den inngår
som hypotenus i en rettvinklet trekant, der a er her nede og b er kateter. Ved Pytagoras,
er r = kvadratroten av a^2+b^2.
Kjenner vi a og b, kan vi regne ut r på denne måten. Theta er litt verre, men vi kan bruke
trigonometri på den. Vi ser for eksempel at cosinus til theta, det er det stykket der som er a
delt på hypotenusen som er r, så den er a/r. sinus til theta er denne kateten, som er b/r.
Kjenner vi a og b kan vi først regne ut r, og så kan vi regne ut
cos theta og sin theta på denne måten. Fra disse to uttrykkene kan vi da finne ut hva theta er.
I de aller fleste tilfeller behøver vi bare en av dem, cos eller sin. Hvis vi kombinerer det med hvilken
kvadrant tallet ligger i, så kan vi rekonstruere vinkelen. Som regel
er det nok å regne ut bare cos eller sin for å finne den. Dette er altså sammenhengen. Hvis vi ser på
det komplekse tallet selv, så er det i utgangspunktet a+ib, men a er r*cos theta.
Hvis jeg setter det inn det her borte så får jeg r*cos theta. Så er det i, så er b-en r*sin theta.
Så jeg får dette uttrykket. Dette kaller vi å skrive det komplekse tallet på trigonometrisk form.
Vi uttrykker det ved hjelp av r og theta istedenfor ved hjelp av a og b. Det er dette vi skal bruke
til å vise den geometriske formen for kompleks multiplikasjon. La oss se hvordan vi gjør det.
Jeg skal multiplisere sammen to komplekse tall, z og w. Jeg velger å skrive dem
på trigonometrisk form, som her borte. Nå har jeg to tall. Så la oss si at z har en r som heter r1
og en theta som heter t1, mens w har en r som heter r2 og en theta som heter t2.
Da får jeg z på den formen der borte, bortsett fra at r heter r1 og theta heter t1.
Den blir seende sånn ut. w har akkurat samme uttrykk, bortsett fra at r nå heter r2. Det blir
r2*cos t2 + i*r2*sin t2.
Her har vi skrevet opp dette produktet. Ikke på vanlig form med a+ib og c+id, men ved hjelp av
disse størrelsene r og theta for hvert av de to tallene. Nå kan vi gange sammen på vanlig måte. Jeg tar
første leddet her r1*cos theta og ganger med hvert av leddene her borte. Jeg skal være litt forsiktig
så jeg får god plass her. Da får jeg r1*r2, og så får jeg cos t1*cos t2.
Parantesen trenger jeg ikke, ta bort den. Så skal jeg ta dette leddet og gange med
det der borte. Da har jeg en i herfra, så dette blir en del av imaginærdelen. Så har jeg r1*r2.
Så har jeg cos t1*sin t2. Da har jeg brukt opp
det første leddet her. Nå må jeg gå på det andre leddet her, i*r1*sin t1, og gange det
med hvert av disse leddene her borte. Da får jeg +i, så får jeg r1r2, så får jeg
sin t1*cos t2. Da har jeg ganget sammen den og den. Så gjenstår
det siste leddet, nemlig den ganger den der borte. Hva får jeg da? Jeg får i*i, det er jo bare -c.
Den kan jeg skrive som et minustegn her nede. Så får jeg r1r2.
Så får jeg sin t1*sin t2.
Der har vi fått hele uttrykket vårt. Legger merke til at det er to ledd i realdelen som ikke
innholder i, det er det leddet her og det der nede. Så har jeg to ledd som inneholder i, det er
dette leddet og det leddet der. Vi fortsetter på vanlig måte, samler leddene uten i for seg,
og leddene med i for seg. Hvis jeg starter forfra her, så skal jeg kombinere det leddet med det der nede.
Her har jeg en felles faktor, r1r2. Jeg kan sette den utenfor en parentes. Det jeg sitter igjen med inni her,
er da cos t1*cos t2 fra dette leddet. Så har jeg -sin t1*sin t2
fra det andre leddet.
Så det er de to leddene uten i. Så har jeg de to leddene med i.
Her har jeg i og r1r2 som felles faktorer. Så jeg har i, og så har jeg r1r2. Så får jeg ta med
de trigonometriske funksjonene her. Her har jeg cos t1*sin t2. Det andre leddet,
det står der. Der har jeg altså pluss foran. Så har jeg sin t1*cos t2.
Og så slutt på parentesen. Så dette er imaginærleddet.
Hvis vi husker litt fra de foregående tavlene, så burde vi dra kjennskap på den der. Det gjør man
egentlig allerede fra videregående skole. For dette er høyresiden i formelen for cosinus til en sum.
Dere tenker på cos t1+cos t2 og tenker på hva den er lik, så er det nøyaktig det uttrykket som står her.
Her står det r1r2 * cos t1+t2.
Tiilsvarende her borte, her står det i og så står det r1r2. Hva er dette uttrykket vi har her?
Vi bør kjenne det igjen, kanskje lettest hvis vi tar det leddet først. sin t1*sin t2
+ cos t1*sin t2. Det er formelen for sinus til en sum
av to vinkler, så dette er sin t1+t2. zw, dette svære uttrykket, det samler seg
til det som står her nede. Hva er dette her? Hvis vi sammenligner med uttrykket her oppe, ser vi at
dette er den trigonometriske formen til et komplekst tall, der r=r1r2
og der vinkelen er t1+t2. Jeg har den nye r-en her.
Hvis jeg kaller den for r og den for t, så står det r*cos t her. Så står det i,
og så står det r på nytt, og så står det sin til denne thetaen, som er summen av t1+t2 her borte.
Akkurat samme uttrykk som her borte. Det betyr at dette her er den trigonometriske formen til
et komplekst tall, der lengden (modulus) er r1r2, og der vinkelen (argumentet) er t1+t2.
Det viser det jeg påsto istad, nemlig at når jeg multipliserer to komplekse tall, så vil produktet
ha en lengde som er produktet av de to opprinnelige lengdene, nemlig r1r2, og en vinkel med x-aksen,
et argument theta som er summen av de to opprinnelige argumentene, t1+t2.
Dette regnestykket viser det jeg skisserte istad, nemlig at når jeg multipliserer sammen
to komplekse tall,
så multipliserer jeg lengdene, men vinklene legges sammen, slik at produktet kommer ut her med en vinkel
som er summen av de to opprinnelige. Lengden er lengden av de opprinnelige. Det er nøyaktig
hva dette regnestykket sier.
Vi har nå sett hvordan multiplikasjon av komplekse tall kan tolkes geometrisk. Til slutt skal vi se litt
på hva dette har å si for utregningen av potenser. Det jeg starter med, er et komplekst tall z.
Jeg ser på det på trigonometrisk form, så jeg har en lengde r og en vinkel t.
z kan da skrives som r*cos t + i*r*sin t.
Så ønsker jeg å regne ut potenser av det tallet, altså z^2, z^3 osv. Siden det å multiplisere to komplekse tall
betyr at man skal gange sammen lengdene og legge sammen vinklene, så vil z^2 være et tall
som kommer ut her et sted med en vinkel som er 2t. t+t, siden vi ganger z
med seg selv, og som har en lengde r. Der oppe et sted ligger z^2. Hvis jeg nå ganger
z med selv enda en gang, så må jeg legge til en t til, så jeg kommer kanskje ut et sted her.
Har en lengde r3, skal gange den opprinnelige lengden med seg selv tre ganger. Så skal jeg
legge sammen den opprinnelige vinkelen med seg selv tre ganger, så jeg får en vinkel her som er 3t.
Slik kan vi fortsette. Neste gang får jeg r^4 her, så r^5, r^6 osv. Til slutt har vi gått helt rundt
og dukker opp i første kvadrant igjen, men det er ikke noe galt i det. Det er bare slik denne multiplikasjonen fungerer.
Så dette er altså hvordan man regner ut potenser av komplekse tall. Jeg har lyst til å gjøre dette på
en måte som gjør tingene enklere å skrive. Hvis vi se på dette uttrykket for z, så kan jeg trekke
r utenfor som en felles faktor, og da sitter jeg igjen med cos t + isin t. Denne parentesen
dukker opp så mange ganger, at det er lurt å ha et kortere uttrykk for den, så man skriver gjerne denne her
som e^it, slik at hele uttrykket blir da re^it.
Dette kan se litt merkelig ut. Man kan tenke på dette bare som en notasjon, men det viser seg
faktisk at dette er den eneste fornuftige måten å definere e opphøyd i et imaginært tall på.
Det er mange måter å forklare det på. Jeg skal nøye meg med en, nemlig å se hva som skjer dersom jeg prøver
å multiplisere sammen to komplekse tall, som er på en slik eksponensiell form. Da har jeg et tall med lengde r1,
så den blir r1e^it1. Det er det første tallet.
Det andre tallet er z2, som er r2e^it2. Når jeg ganger sammen disse to tallene,
hva skulle jeg da få? Hvis vi bruker den geometriske tolkningen av multiplikasjon,
så skal jeg da gange sammen lengdene. Jeg skal gange sammen r1 og r2. Det nye tallet
får en lengde som er r1r2,
tilsvarer r her oppe. Hva skal gjøre med vinklene? Jeg skal legge dem sammen, slik at det nye tallet
(produktet) for da en vinkel som er t1+t2-- hvis vi følger den skrivemåten her oppe, skal det skrives
om e^it1+t2. Det er det vi får bare ved å bruke den geometriske tolkningen
og denne skrivemåten her oppe. Vi kan jo prøve å gange ut z1 og z2 på vanlig vis, altså at jeg tar
disse to uttrykkene og prøver å gange sammen. r1e^it1 * r2e^it2.
Så bruker vi vanlige regneregler. Da har vi r1 her og skulle være r2 der borte, så da får vi r1r2.
Så er det disse to eksponentialuttrykkene, r1e^it1 * r2e^it2. Etter vanlige regneregler
for eksponentialfunksjoner, er det
e opphøyd i summen av disse to eksponentene, altså e^it1+t2. Hvis vi setter i utenfor en parentes,
så blir det e^i(t1+t2). Det er akkurat det samme svaret som vi fikk istad.
Det betyr at denne geometriske tolkningen av kompleks multiplikasjon, dette at vi ganger sammen lengdene
men adderer vinklene, den gjenspeiles i regnereglene for eksponentialer, nemlig at når jeg ganger sammen
to eksponentialer, så adderer jeg eksponentene. Det er hvorfor dette er den riktig definisjonen av
en kompleks eksponentialfunksjon, og hvorfor dette er en hensiktsmessig måte å skrive ting på. Rett og slett
for da kan vi bruke regnereglene for eksponentialfunksjonene, de regnereglene vi kjenner fra før av,
når vi skal regne ut produktet av to komplekse tall.
La oss se til slutt hva dette har å gjøre for potenser. Hvis jeg nå har z=re^it,
og prøver å opphøye den i n, hva skulle det være for noe? Det er (re^it)^n.
Hvis vi bruker vanlige regneregler for potenser, så er det r^n*(e^it)^n.
Bruker nå vanlige regneregler. Dette er en eksponent opphøyd i en ny en, da kan jeg
gange sammen eksponentene. Da får jeg r^n*e^i og så produktet av de to, it her og n der,
så det blir int. Der står potensen til dette komplekset tallet.
Når jeg skriver et komplekst tall på denne eksponentialformen på denne måten og jeg vil regne ut
n-te potensen, så tar jeg
lengden r^n, og så tar e^int. Akkurat som vi ville forvente
om vi bare hadde brukt regnereglene for eksponentialfunksjoner.
Denne skrivemåten gir oss en kompakt måte til å regne ut både produkter og potenser på.
I den neste snutten, som handler om hvordan vi finner n-te røttene til komplekse tall, skal vi
bruke dette på en effektiv måte.