I denne snutten skal vi se hvordan vi kan bruke den geometriske tolkningen av multiplikasjon
til å finne n-te røtter av komplekse tall. Situasjonen er denne. Vi tenker oss at vi har gitt
et komplekst tall z. Den vil jo da ha en lengde (en modulus) som vi kan kalle r, en vinkel (et argument)
vi kan kalle theta. Så er vi interessert i å finne en n-te rot til z. Vi er interessert i å finne
et tall w, slik at w^n=z. Vi kan jo se på dette geometrisk. Vi er på jakt etter et tall w
som kanskje ligger her nede. Det må jo da også ha en lengde som vi kan kalle for ro
og en vinkel som vi kan kalle for phi. Det betyr altså at w er det komplekse tallet. Hvis vi nå bruker
eksponentialform,
så er det ro*e^i*phi, mens z hadde en vinkel theta og en lengde r.
Den har formen re^it. Vi ønsker altså at w^n skal være lik z. La oss regne
litt på det. Hva blir w^n? Det er det samme som (ro*e^i*phi)^n. Bruker vi
vanlige regneregler, så får vi ro^n * e^i*n*phi. Det håper vi da skal være lik z.
Setter spørsmålstegn på det likhetstegnet, siden det ikke er noe vi har etablert men noe vi ønsker å oppnå.
Det skal være lik z. z er r*e^it. Spørsmålet er, hvordan kan vi få til denne likheten?
Den enkleste måten å få den til på,
er å si at ro^n, som er lengden her, må være lik lengden her borte som er r. De to må være like.
Så må det være likhet hvis vinklene er like. Hvis jeg kan få en n*phi til å være lik t,
så burde disse tingene gå opp. Det jeg må prøve å få til her, er altså at ro^n=r.
Det kan jeg få til ved å si at ro=r^1/n. Da får jeg
til den ene saken. Det andre var at en n*phi skulle være lik theta. Det kan jeg jo få til
ved å velge phi=t/n.
Der har vi funnet en n-te rot av z. Så var det ro som da skulle være r^1/n.
Så var det e^i*phi. phi skulle være t/n.
Der har jeg funnet en n-te rot av z.
Så kan man spørre seg selv om dette er den eneste n-te roten. Hvis vi prøver å regne ut kvadratrøtter,
så ser vi fort at det må være minst to av dem. Har vi en kvadratrot, så vil minus den også være en kvadratrot
til tallet. Hvis det finnes mer enn en kvadratrot, så finnes det kanskje mer enn n n-te røtter.
Det gjør det. Det finnes faktisk nøyaktig n n-te røtter av et komplekst tall.
Vi skal nå finne resten. Da starter jeg med å omdøpe w1 til w0, for den er utgangspunktet
for de røttene vi skal finne. Dette er liksom den aller første og enkleste roten. Så den neste roten vi skal finne,
det er den jeg vil kalle w1. Hvordan fremkommer den? Da må vi kanskje ta utgangspunkt
i hvordan w0 fremkom. w0 fremkommer ved at jeg tar det komplekse tallet w, og så ganger jeg med det selv.
Første gang kom jeg dit, andre gang kom jeg kanskje dit. Når jeg har gjort det n ganger,
så faller w sammen med z. Så jeg starter her nede, legger sammen vinkler inntil jeg kommer opp dit.
Det er andre måter å treffe z på ved å legge sammen vinklene flere ganger. Å for eksempel tenke seg
at jeg starter her et sted, og så legger jeg sammen vinkelen med seg selv hele tiden, inntil jeg kommer
helt rundt og til slutt treffer jeg z. Jeg treffer ikke z i første omløp. Når jeg går en gang
helt rundt, og så treffer jeg z et stykke inn i andre omløp. Det er w1 som fremkom på den måten.
Hva er da uttrykket for w1? Lengden må være akkurat den samme som før. Når jeg ganger tallet med seg selv
n ganger, så skal jeg treffe r. Det betyr at lengden må være 1/n i utgangspunktet, men vinkelen blir
litt annerledes. Istad sa jeg at n*phi skulle være lik theta. Men nå er det ikke theta jeg treffer.
Jeg går en hel gang rundt, og så theta etterpå.
Vinkelen jeg treffer nå, den er theta+2pi. Istedenfor å ha t her, får jeg t+2pi her oppe.
Så det jeg får, er e^i, og så får jeg (theta+2pi)/n.
Det er w1. Samme ide som bak w0, det eneste er at vi har oppdaget at vi treffer nødvendigvis
ikke z i første omløp, men når vi har gått en hel gang rundt og når vi kommer opp til z igjen.
Det gir oss w1. La meg skrive den om littegranne, fordi det vil være nyttig senere. Jeg tar r^1/n,
og så spalter jeg den i to. Først tar jeg e^i*t/n, og så må jeg gange med den andre biten,
e^i*2pi/n.
Hvis vi bruker vanlige regneregler her så skal vi legge sammen eksponentene, da får vi det der borte.
Nå gjenkjenner vi første del her. Det er ikke noe annet enn det som står der oppe, w0.
Dette her er w0*e^i*2pi/n. Dette forteller at vi kan komme fra w0 til w1
ved å gange med denne faktoren, e^i*2pi/n.
Så kan vi gå videre og spørre om neste, w2. Hvordan treffer vi den? Da fortsetter vi bare på samme måte.
Med w0 traff vi z i første omløp. Med w1 traff vi z i ande omløp. Nå starter vi kanskje med et tall w
som ligger her nede, ganger det med seg selv. Passerer forbi z i andre omløp, og treffer først når vi har kommet
et stykke inn i det tredje. Det betyr at istedenfor å treffe slik at n*phi=theta, slik vi gjorde første gang,
eller n*phi=theta+2pi som vi gjorde andre gang. Når vi har gått to hele ganger rundt,
det vil si at vi har 2phi=theta+4pi. Da får jeg r^1/n, og så får jeg e^i
og så får jeg (t+4pi)/n.
Der har jeg w2. Nå kan jeg gjøre samme avspalting her som jeg gjorde i stad, for å få en litt
nyttig form på dette her. Bare skaffe meg littegranne plass først. Jeg spalter av det jeg hadde istad,
nemlig r^1/n * e^i, og så (t+2pi)/n. Da får jeg r^1/n, e^i,
og så skulle jeg ha det jeg hadde istad. i+2pi/n. Jeg har tatt med to av disse fire pi-ene, så jeg må
ta med de siste to her borte. e^i*2pi/n. Hvis jeg ganger sammen disse,
skal jeg addere eksponentene og får det der borte. Da ser jeg at dette her, det var jo w1. Jeg får w1
ganger den faktoren. w1*e^i*2pi/n. Akkurat som istad, da kom vi fra w0
til w1 ved å gange med denne faktoren. Nå kommer jeg fra w1 til w2 ved å gange med akkurat den samme faktoren.
Sånn fortsetter det nedover. For å finne stadig nye røtter, så kan jeg gange med denne faktoren flere og flere ganger.
Da skulle man kanskje tro at vi fikk uendelig mange røtter, men det viser seg at dette her stopper.
Når det kommer til wn, får dere akkurat samme tall som w0. Da er det tilbake igjen til utgangspunktet.
Dette her fortsetter bare å produsere nye røtter inntil vi kommer ned til den n-te av dem. Det er wn-1,
siden vi begynte å telle på 0. Den siste roten her nede, den er da r^1/n,
ganger e^i.
Ble stygt nederst her. Så må jeg ta t. Nå har jeg gått n-1 ganger rundt, så det er
(n-1 * 2pi)/n.
Det er den siste roten. Prøve vi å regne ut wn etter det samme mønsteret, så er vi tilbake igjen til w0.
Her har vi funnet alle røttene til det komplekse tallet z. Det er et mønster her. w0 er enkel å finne.
Vi tar n-te roten til lengden (modulus), og vi tar n-te delen til vinkelen (argumentet),
så er vi i gang. Hver gang vi skal ha en ny rot, kan vi se på det på to måter. Enten kan vi legge til vinkelen
her oppe, en ny 2pi hver gang, eller så kan vi gange med denne faktoren for å få en ny rot. Det er slik
dette systemet ser ut. Hvis vi prøver å se på det geometrisk,
så er dette en slags kakeinndeling. Hvis vi har den første roten w0 her, og jeg tegner
en sirkel om origo med dette som radius. Ble ikke så veldig bra men det får holde-- så vil alle de andre
røttene ligge sånn at de deler inn denne sirkelen i n like store kakestykker. w1 kommer kanskje der.
w2 kommer kanskje der, akkurat samme vinkelen hele veien rundt. Så fortsetter det, og så avslutter vi
kanskje her nede med wn-1. Hele sirkelen blir delt opp i like store kakestykker.
Hvis vi fortsetter et skritt til med samme mønsteret, vil vi komme fra wn-1 opp til w0,
og da er vi tilbake til ugangspunktet. Slik ligger n-te røttene. De deler opp sirkelen i
n like store kakestykker.
La oss se på et eksempel på hvordan vi regner ut n-te røtter, eller i dette tilfellet, tredjerøtter.
Vi starter med dette komplekse tallet. -4*roten av 2 + 4*roten av 2*i.
Vi ønsker da å finne tredjerøtter til dette. Da må vi bruke prosedyren fra istad.
Den tok utgangspunkt i polarform, og her har vi z på vanlig a+ib-form, altså kartesisk form.
Vi må først skrive om til trigonometrisk form eller eksponentialform. Da må jeg finne lengden
og vinkelen til dette tallet. Det lønner seg nesten alltid å tegne det opp først så man vet cirka hvor
det er hen. Dette tallet ligger tydeligvis i annen kvadrant, siden første komponenten er negativ
og annen komponenten positiv.
Et sted uti her ligger dette tallet. Det vi da må finne først, det er lengden (modulus) og vinkelen (argumentet).
Generelt er det slik at lengden, den er gitt ved Pytagoras. Den er a^2+b^2.
I vårt tilfelle så blir det -(4*roten av 2)^2 + (4*roten av 2)^2. Legg merke til at i-en
ikke skal inn her. Det er bare b-en, tallet foran i vi bruker når vi regner ut lengden.
Den minusen blir borte når jeg kvadrerer. Så står jeg igjen med 4^2 som er 16, ganget med 2. 16*2=32.
Her får jeg akkurat det samme. 4^2=16*2=32. Jeg får 32
to ganger.
Det er jo 64. Roten av 64 er 8. r er 8. Der har jeg funnet lengden,
modulus til z. Den lengden ut der er 8.
Så må jeg prøve å finne vinkelen theta. Det var jo flere måter å finne theta på. Den ene sa at
cos t, den var a (første komponentene til tallet) delt på lengden r. Bruker jeg den, så ser vi at
a i mitt tilfelle er -4*roten av 2 og r=8. Hvis jeg deler, forkorter med 4,
får jeg -roten av 2/2. roten av 2/2, det er en av disse eksaktverdiene vi kjenner igjen.
I første kvadrant er det pi/4 (45°) som har cosinus lik roten av 2/2.
Siden vi nå er det i annen kvadrant, er det lett å se at vi må være på halveringslinjen som ligger
i annen kvadrant her. Det vil si at theta må være lik 3pi/4,
eller 135°. Der har vi altså funnet r og theta til z.
Det betyr at vi kan skrive opp z på en ny måte. Den er generelt re^it.
I vårt tilfelle var r=8, så jeg får 8e^i3pi/4. Der har jeg skrevet z
på eksponentialform. Når jeg har den formen, så kan vi bruke det vi utledet istad
til å finne røttene. Her er det tredjerøtter det er snakk om, så jeg kommer til å ha tre stykker
w0, w1 og w2.
Den første er jo alltid lett å finne. Da skal jeg ta tredjeroten til r, og theta/3.
Jeg får tredjeroten av 8. Så e^i(3pi/4)/3.
Det er litt klønete skrevet, vi ser at vi kan forkorte de to 3-tallene
mot hverandre. Det blir litt enklere i neste omgang. 8^1/3, tredjeroten til 8, er 2.
Skriver litt høyere opp her. Så får jeg e opphøyd i-- så hadde jeg forkortet de to 3-tallene
mot hverandre oppe i eksponenten. Jeg står igjen med e^i*pi/4.
Hvis jeg vil ha det tilbake igjen på at a+ib-form, må jeg jo skrive om dette her som
et mer grunnleggende, komplekst tall. e^i*pi/4 er det samme som cosinus til vinkelen.
cos pi/4 + i*sin pi/4.
pi/4, det er 45 grader. Der er både cosinus og sinus lik roten av 2/2.
Den er roten av 2/2, og den er roten av 2/2. Når jeg ganger inn det 2-tallet, så forsvinner 2-tallene
under brøkstreken. Jeg blir sittende igjen med roten av 2 + i*roten av 2. Der har jeg funnet
den første tredjeroten til dette tallet vårt z. w0 er rett og slett gitt som roten av 2 + i*roten av 2.
Vi må komme oss videre og se på w1. Og da er det to måter å se på den på. Den ene er å følge
den samme formelen. Jeg tar r*1/n, altså 1/3, og så tar jeg e^i--
men istedenfor å ta den opprinnelige vinkelen, altså 3pi/4, så legger jeg på 2pi før jeg deler på 3.
Samme som istad. Deler på 3, men istedenfor å ta 3pi/4, skal det nå være
et omløp videre i runden så jeg må legge på 2pi der nede.
Her er det to måter å gå videre på. Enten kan jeg forenkle det uttrykket, se hvilken vinkel
jeg da får, og så putte inn cosinus og sinus til den vinkelen på samme måte. Hvis vi gjør det,
ser vi at vi får en litt ekkel vinkel her som ikke er så lett å finne de eksakte verdiene til.
Istedenfor å bruke den fremgangsmåten, skal jeg se på et annet triks som jeg indikerte istad,
nemlig at hver rot fremkommer ved å gange den foregående med et fast tall. Gjør jeg det her,
kan jeg ta den første biten opp dit. Det er akkurat det samme som jeg hadde for w0. Den første biten er w0.
Så har jeg den siste biten. Den som kommer inn som en faktor e^i*2pi/3.
Den w0 kjenner jeg. Den står her oppe, mens den e^i*2pi/3, det er noe jeg kan regne ut.
2pi/3, det er det samme som 120 grader, og der kjenner jeg de eksakte verdiene. Dette her er w0,
den jeg regnet ut istad. roten av 2 + i*roten av 2, ganget med e^i*2pi/3.
Ser om vi får plass til et lite kladdestykke her oppe med den. e^i*2pi/3, det er altså cosinus 2pi/3
+ i*sin 2pi/3. Hvor ligger vinkelen hen? pi/3 er 60 grader.
2*60=120°. Den stikker ut her på den siden.
Da er det slik at første komponenten stikker et stykke nedover, den er negativ.
Vi har samme cosinusverdi her som for 60 grader, så den cosinusverdien er 1/2,
bortsett fra at den stikker nedover, så den blir negativ. Den blir -1/2. Så cosinus til 2pi/3=-1/2.
sinusverdien som stikker oppover er den samme som for 60 grader, så den blir roten av 3/2.
Denne mystiske faktoren, e^i*2pi/3, viser seg altså å være
-1/2 + i*roten av 3/2. La oss putte inn den her. -1/2 + i*roten av 3/2.
Så er det bare å gange ut uttrykkene her på vanlig måte.
Det er et helt elementært regnestykke, så det kan du gjøre selv. La oss isteden gå ned og se på
den siste roten. Jeg kan sette inn i den generelle formelen, men jeg kan også bruke det samme trikset,
nemlig at hver rot er den foregående ganget med denne faktoren her. Det er det mest effektive
i dette tilfellet. Dette her er w1 ganget med denne faktoren
som hele tiden dukker opp, e^i*2pi/3. Jeg vil ta w1 jeg har her bortenfra.
Den har jeg regnet ut i linjen over. Bortsett fra at jeg ikke gadd å gjøre det, men dere gjorde det.
Så skulle vi gange med denne faktoren, som også er kjent. Jeg ganger med -1/2 + i*roten av 3/2.
Når jeg ganger sammen det jeg fikk her oppe
med dette tallet, så har jeg funnet w2. Det viser i praksis hvordan man regner ut n-te røtter
til komplekse tall. Hvis vi tar en rask gjennomgang, så det slik at som regel er dette tallet gitt
på kartesisk form, a+ib-form. Da må vi først skrive det om på polarform eller eksponentialform.
Vi må finne r og theta. r er roten av a^2+b^2. For theta må vi regne ut
cosinus eller sinus og se hvilken kvadrant vi ligger i for å finne vinkelen. Når vi har funnet det
er vi her nede og da er det bare kjøre maskineriet fra istad. Vi tar n-te roten av r og n-te delen av vinkelen t
for å finne den første roten. Så kan vi fortsette ved å bruke formelen på de neste, eller vi kan
bruke dette trikset med at vi alltid kommer fra en rot til den neste ved å gange med den ene faktoren.
Hva som lønner seg her, om det lønner seg å gå direkte inn
og se hva dette uttrykket er for noe, eller om det lønner seg å gange med faktoren, det avhenger av
det tilfellet dere se på. For av og til er det enklest å gå inn her, bare regne sammen det uttrykket,
regne ut cosinus og sinus, og få ut et pent uttrykk. Andre ganger er det enklest å regne ut
hva denne multipliserende faktoren er, og så utføre multiplikasjonen. Det er aldri så lett å si på forhånd
hva som lønner seg, så man må nesten se seg om fra tilfelle til tilfelle.