I denne snutten skal vi se på algebraens fundamentalteorem, som forteller oss litt om sammenhengen
mellom løsninger til ligninger, komplekse tall og en del andre ting. Utgangspunktet er enkle ligninger.
Hvis vi starter med en førstegradsligning som ser slik ut, så har jo den bare en løsning. Jeg kan flytte
b-en over på den andre siden og dele med a, og da ser jeg at x=-b/a er den eneste løsningen.
Hvis vi går videre til annengradsligninger, ax^2+bx+c=0. Da har vi jo abc-formelen
som sier at løsningene er gitt ved (-b +/- roten av (b^2-4ac)) / 2a.
Her har vi flere muligheter,
som avhenger av fortegnene inne i rottegnet her. Hvis det som står inne i rottegnet her er positivt,
tar jeg kvadratroten av et positivt tall og får to positive svar. Her har vi to reelle røtter-- vi setter et navn
på det som står inni her, kaller det for D-- hvis D>0. Hvis D=0,
det som står inni roten er lik 0 så det står (b +/- 0) / 2a.
Vi får bare en rot, nemlig -b/2a.
Istedenfor å si en rot, så sier vi ofte at det er sammenfallende røtter. De to røttene som er gitt med
pluss og minus faller sammen i det tilfellet. Så det er en rot, eller sammenfallende, dersom D=0.
Men hvis D<0, har vi noe negativt inni kvadratroten. Det var forbudt i skolematematikken,
men vi har lært om komplekse tall. Det betyr rett og slett at her får jeg i ganger noe,
så hele sammensetningen her blir komplekse tall. Det blir to, fordi jeg har pluss/minus.
Da har jeg to komplekse røtter. For førstegradsligninger har vi en rot, for annengradsligninger
har vi alltid to røtter hvis vi strekker vi det litt på to måter. For det første,
tillater kompleks røtter, og regner en rot som to (fordi det er egentlig to røtter som faller sammen).
Når matematikere på 1500-tallet begynte å løse tredje- og fjerdegradsligninger, så oppdaget de
at tredjegradsligninger typisk hadde tre løsninger. Fjerdegradsligninger hadde fire løsninger, hvis man tillot seg
dette litt utvidede løsningsbegrepet. På 1600-tallet begynte matematikere å spekulere på
om det alltid var slik at en n-tegradsligning hadde n røtter dersom man tillot dem å være komplekse
og dersom man tillot et eller annet med sammenfallende røtter. Hypotese: En n-ntegradsligning
har alltid n røtter. Hva skal vi si for noe? Hvis vi tillater komplekse, og hvis vi regner samme rot
som flere dersom den forekommer ved sammenfallende røtter-- vi sier, hvis vi teller riktig.
Kanskje sette det i anførselstegn, det er ikke noe skikkelig matematisk utsagn. Dette er utgangspunktet
for det som etter hvert har blitt kalt algebraens fundamentalteorem, og som gir et bevis
for at dette er riktig, og også en riktig tolkning av hva denne setningen vil si. Men før vi går løs
på den setningen, la oss prøve å gå motsatt vei. Så her starter vi med n-tegradsligning, og prøver
å finne røttene. La oss starte med røttene, og se om vi kan finne en ligning. Det jeg tenker meg, er at
jeg starter med n tall.
De kan være reelle eller komplekse. r1, r2 ut til rn. Så leter jeg etter en n-tegradsligning
som har disse som løsninger. Så jeg søker en ligning med disse som røtter.
Så det er på en måte motsatt problemstilling av den vanlige. Vanligvis har vi en ligning,
leter etter røttene. Her starter vi med røttene, og ser etter ligningen. Dette her er veldig enkelt.
Vi kan rett og slett sette sammen en ligning hvor jeg tar den ukjente -r1, ganger med den ukjente -r2 osv.
Det er en viss sjanse for at vi får komplekse røtter, så la oss ta høyde for at alle ting kan være
komplekse.
La meg kalle den ukjente for z. Jeg tar z-r1*z-r2*...*z-rn.
Skal dette uttrykket være 0, så må z være lik ett av tallene r1, r2 osv.
Skal et produkt være 0, så må minst en av faktorene være 0. Dette produktet er 0
når z er lik henholdsvis r1, r2 osv og er ingen andre nullpunkter. Hvis jeg nå tar dette uttrykket og ganger ut,
hva får jeg da? Jeg får opplagt et polynom og graden er n, fordi jeg har n faktorer. Den største faktoren
får jeg ved å velge z fra hver av disse. Når jeg ganger ut, får jeg P(z) som er et n-te grads polynom.
Det betyr at jeg har funnet en likning som har nøyaktig r1, r2,...,rn som løsninger, nemlig ligningen når jeg tar
dette polynomet og setter det lik 0. Det er altså ikke noe problem å starte med n tall og produsere
et n-te grads polynom eller en n-tegradslikning som har disse tallene som røtter.
Nå ser vi også hva det vil si at de hadde multiple røtter. Det betyr bare at jeg velger samme tall
flere ganger. Kanskje r1 og r2 er like; da vil r1, r2 dukke opp som en slags dobbelrot
i dette uttrykket. Vi ser også at vi kan ha komplekse røtter her. Vi kan ha r1 og r2 som komplekse ting.
Så får vi et polynom ut med komplekse røtter. Det kan tenkes at selv om r1 og r2 er komplekse,
så vil P(z) være et reelt polynom.
Nå har vi snudd problemstillingen på hodet. Det beviser ingenting, men det viser at det er en slags
naturlig sammenheng mellom det å ha n røtter og det å være en n-tegradsligning.
La oss skrive det resultatet vi er på jakt etter. Det heter algebraens fundamentalteorem.
Selv om matematikere allerede på 1600-tallet begynte å tippe at dette måtte være riktig, så ble det først
bevist av Gauss helt på slutten av 1700-tallet. Det sier følgende; anta at vi har et polynom,
at P(z) er et komplekst polynom. Det betyr at koeffisientene godt kan være komplekse tall.
Vi må ha med graden, av n-te grad. Det betyr at
P(z) er et uttrykk av denne typen her. Først et gitt tall an som kan være komplekst,
ganger z^n+an-1*z^n-1 osv, med fallende potenser helt ned
til a1z+a0. Det er utgangspunktet, at vi har et polynom av n-te grad. Da sier teoremet at det finnes
komplekse tall (n stykker) r1, r2,...,rn, slik at dette polynomet kan skrives som et produkt.
Først må jeg ha med den ledende koeffisienten her, a^n, men resten er et produkt av z-r1,
ganger z-r2, og så hele veien ned til z-rn.
Det er hele teoremet. Hva betyr det? Det betyr jo at den n-tegradsligningen
vi får ved å sette P(z)=0 har røttene r1,r2,...,rn. Siden disse tallene
kan være komplekse, så kan vi ikke garantere at det er reelle røtter. De kan godt være komplekse
alle sammen eller bare noen av dem. Det kan også være sammenfallende røtter. Det kan godt tenkes at
r1=r2, og at r6=r17 osv. Men vi kan hvertfall faktorisere på denne måten
i n faktorer. Hvis en rot, for eksempel r1, skulle forekomme i tre forskjellige faktorer
bortover her, så sier vi at
den roten har multiplisitet 3. Det betyr at hvis vi teller røtter med multiplisitet, så sier dette resultatet
at en n-tegradsligning alltid har n komplekse røtter. Det får et system i galskapen her.
Graden til et polynom svarer alltid til antall røtter når vi teller med multiplisitet. Dette er et eksempel
på hvordan komplekse tall skaper enhet i matematikken. Hvis vi bare regner med reelle tall,
så er det mange forskjellige muligheter når det gjelder antall løsninger her. Med komplekse tall,
får vi en enhetlig struktur. Det er dette som er styrken til de komplekse tallene, at de viser et mønster
som ikke er så lett å få øye på når vi bare arbeider reelt. Nå har dette teoremet også en reell form,
og det skal vi se på om et øyeblikk.
Algebraens fundamentalteorem handler om komplekse polynomer og komplekse løsninger. Ofte starter vi med
reelle polynomer, og er bare interessert i reelle løsninger. Spørsmålet er, kan vi da få noe hjelp
av dette teoremet? Teoremet sier altså at hvis jeg har et polynom av n-te grad, så kan jeg alltid
spalte det som et produkt av komplekse førstegradsfaktorer. Som jeg sa, hvis dette polynomet
er reelt, altså har reelle koeffisienter, så er vi gjerne interessert i å spalte det i reelle faktorer. Vi vet at
vi ikke alltid kan spalte et reelt polynom i reelle førstegradsfaktorer, for selv annengradsligninger har av og til
kun komplekse løsninger, og da kan vi bare spalte det i komplekse førstegradsfaktorer. Det viser seg at vi kan si en del.
Det viser seg at dersom et polynom er reelt, så vil de komplekse røttene opptrå i konjugerte par.
Det vil si at hvis jeg har en løsning, en rot på formen a+ib, så vil det konjugerte tallet,
som er a-ib, også være en løsning. Disse to røttene har samme multiplisitet.
For hver faktor av typen z-r, vil jeg ha like mange faktorer av formen z-r konjugert.
I dette uttrykket her bortover, hver gang jeg har et uttrykk av typen (z-(a+ib)), altså z-r,
så vil jeg også ha en faktor av typen z-r konjugert, altså (z-(a-ib)).
Nå viser det seg at dersom vi slår sammen, ganger sammen, alle slike par
av konjugerte røtter, så får vi noe reelt ut. Det er lett å se, la oss ta det lille regnestykket.
Hvis jeg omgrupperer her, kan jeg skrive denne her som ((z-a)-ib). Kan sette en parentes der,
og så gruppere på denne måten. Det er akkurat det samme uttrykket, jeg har bare gruppert annerledes.
Tilsvarende her borte, jeg kan skrive dette som (z-a) og gruppere det som et ledd for seg,
og så har jeg minus minus som gir pluss, +ib. Hvis jeg nå ganger sammen dette her, så kan jeg bruke
tredje kvadratsetning (konjugatsetningen). Jeg får det første leddet i annen, nemlig (z-a)^2,
og så får jeg minus det andre leddet i annen. Det er -(ib)^2. Hvis jeg ganger ut dette,
så bruker jeg andre kvadratsetning. z^2-2a+a^2.
Her får jeg i^2=-1 som dreper det minustegnet, og så blir jeg bare stående igjen
med b^2. Nå ser vi at det som så ut som et komplekst uttrykk, nemlig produktet
av disse to komplekse faktorene, faktisk blir reelt når vi ganger sammen. For a og b er reelle tall.
Her er det ikke noe i, så dette er et reelt uttrykk. Det betyr at når vi starter med
et reelt polynom-- fordi kompleks konjugerte røtter kommer i par, så kan vi alltid slå sammen
to og to komplekse førstegradsfaktorer, til en reell annengradsfaktor. Når vi har et reelt polynom
og vi tar utgangspunkt i algebraens fundamentalteorem som da faktoriserer på denne måten
og slår sammen
de faktorene som hører til konjugerte røtter, blir vi sittende igjen med følgende. Det kan jo tenkes
at dette polynomet har noen røtter som er reelle i utgangspunktet. De gjør jeg ikke noe med. de skriver jeg
bare opp først. La oss anta at de reelle røttene står først. Da får jeg z-r1 til kanskje z-rj.
Da har jeg tatt med alle de reelle røttene. Alle de jeg ikke har tatt med nå,
de er komplekse, de kommer i kompleks konjugerte par. Jeg kan slå dem sammen
til reelle annengradsfaktorer på denne måten. Nå kommer en del reelle annengradsfaktorer.
z^2+a1z+b1, z^2+a2z+b2 osv.
Det betyr at et reelt polynom alltid kan spaltes. Ikke nødvendigvis i reelle førstegradsfaktorer,
men i en blanding av noen reelle førstegradsfaktorer og noen reelle annengradsfaktorer. Vi har en form for
algebraens fundamentalteorem også dersom vi ønsker å holde oss blant reelle uttrykk. Det er ikke
så enkelt som det komplekse tilfellet. Vi får ikke alt spaltet ned som et produkt av førstegradsuttrykk,
men vi får det som en blanding av førstegradsuttrykk og annengradsuttrykk.
Det er litt mer uoversiktlig enn i det komplekse tilfellet. Den enkleste måten å bevise dette på,
er å gå veien via det komplekse. Dette er et eksempel på at den komplekse tenkemåten hjelper. Det gir oss
en ryddigere og mer oversiktlig struktur. Det gir oss et enklere bevis enn det å holde seg innenfor det reelle.
Dette resultatet her, en spalting av reelle polynomer i første- og annengradsfaktorer, er viktig i grunnleggende kalkulus
eller analyse. Det er dette her som på en måte er grunnlaget for integrasjon
med delbrøksoppspalting.