I denne snutten skal vi se på begrepet kontinuitet. Da skal vi ta for oss denne såkalte
epsilon-delta definisjonen av begrepet kontinuitet. Så hva betyr det at en funksjon er kontinuerlig
i et punkt?
Da ser vi først på en liten tegning. Vi kan godt bruke en lineær funksjon som et eksempel. Vi vet
at lineære funksjoner, de er kontinuerlige på hele den reelle tallinjen. Så hva betyr det da, at denne
funksjonen er kontinuerlig i et bestemt punkt? Kall det r. Da har vi funksjonsverdien f(r).
Det at vi har kontinuitet her, det betyr jo for en ting at grafen henger sammen. Det betyr at
funksjonsverdiene rundt f(r), de skal da nærme seg f(r). Det må vi da kunne få til
ved å gå nærme nok i x-verdi rundt punktet r. Vi ønsker at funksjonsverdiene rundt f(r)
skal komme så nære f(r) vi bare vil, og det skal vi da kunne få til bare vi går nærme nok
rundt punktet r.
Da prøver vi nå å sette litt matematikk på det jeg nettopp prøvde å si med ord. Da får vi
følgende definisjon. Vi sier at en funksjon er kontinuerlig i punktet r, som altså da er med
i definisjonsmengden til f. Da merker vi oss at for å snakke om kontinuitet i et punkt, så må vi ha
et punkt som er med i definisjonsmengden. Så da er altså f kontinuerlig i r hvis for hver epsilon>0
(dette her er altså den greske bokstaven epsilon),
så finnes det en delta>0 (den greske bokstaven delta), slik at når vi da tar en x med
i definisjonsmengden til f, og da slik at x og r ligger i avstand mindre enn delta. Så er avstanden
mellom f(x) og f(r) mindre enn epsilon.
Det jeg nå har skrevet med symboler, er akkurat det vi ønsket å få til. Nå ligger epsilon her,
og delta har vi her. Så vi ønsker at for hver epsilon (dere skal kunne gi meg epsiloner), som da sier
noe om hvilken avstand vi ønsker oss fra f(r) ut til funksjonsverdiene. Den ønsker vi faktisk å skulle
bli så liten som mulig, for å få kontinuitet i punktet. Det skal jeg kunne få til (ved å gi dere deltaer),
slik at vi da bare ved å gå nærme nok r, så får vi til det dere ønsker.
Så la oss se hvordan vi kan bruke denne definisjonen, for eksempel da på en lineær funksjon.
La f(x) være lik en generell lineær funksjon. Så skal vi vise at den er kontinuerlig for alle r
i de reelle tallene.
Hvorfor er det det? Hvis vi da har gitt en epsilon>0, så ønsket vi altså å få til dette.
Hva må vi velge delta, når vi har gitt en epsilon, for å få til å oppfylle definisjonen av
kontinuitet?
Da må vi se på denne størrelsen.
Så da ser vi på f(x)-f(r), for det er den vi ønsker skal bli mindre enn denne gitte epsilonen.
Så setter vi inn hvilken funksjon vi har med å gjøre i dette tilfellet, det er ax+b.
Hvis vi setter inn r i funksjonen, får vi ar+b. Da kan vi løse ut. Så forsvinner b-en,
skjæringspunktet med y-aksen. Da står vi igjen med ax-ar. Så kan vi bruke regneregler,
algebra og faktorisere ut a, og regneregler for absoluttverditegn. Så får vi da absoluttverdien
av stigningstallet til den lineære funksjonenen, ganger faktoren x-r. Denne faktoren har jeg
kontroll på. Det er den som skal være mindre enn delta. Hvis dette
uttrykket skal være mindre enn epsilon, så kan jeg da velge delta lik epsilon delt på absoluttverdien
av stigningstallet. Da finnes det faktisk en delta, nemlig epsilon delt på absoluttverdien av stillingstallet,
slik at når x-r er mindre enn denne deltaen, så er da f(x)-f(r), som er lik dette her,
vil være mindre enn a*epsilon/a. Da har jeg satt inn delta for den faktoren der,
som da er lik epsilon. Det var akkurat det vi ønsket å oppfylle. Hvis dere gir meg en epsilon,
så gir jeg dere da tilbake epsilon delt på absoluttverdien av stigningstallet. Det vil gjøre at vi kan
vise at lineære funksjoner er kontinuerlige i hele sitt definisjonsområde.
Epsilon-delta definisjonen av kontinuitet er nok litt uvant til å begynne med, men det bare å prøve
å forstå hva som ligger i begrepene. Så kommer dette her mer og mer etter hvert, for det handler om at
funksjonsverdiene skal nærme seg en spesiell funksjonsverdi, da i et punkt som vi studerer.
Hvis f er kontinuerlig i et punkt r, og dette punktet er et indre punkt (det betyr at det ikke er et endepunkt).
Hvis vi har et lukket intervall, så har vi jo to endepunkter, men alle punktene inni intervallet
er indre punkter. Hvis vi har et slikt punkt og f er kontinuerlig her, så kan vi da skrive at grenseverdien av f(x)
når x går mot r, den skal være lik funksjonsverdien i punktet r. Det er dette som ligger
bak grenseverdibegrepet, at funksjonsverdiene skal kunne nærme seg så mye vi bare vil, ved å velge x og r
nærme nok hverandre.
Så hvis man ser på snutten om grenseverdier, så skal vi regne ut en del grenseverdier
ved også å bruke epsilon-delta definisjonen av grenseverdi.
La oss nå se på et lite eksempel. Vi holder oss til lineære funksjoner. Så la f(x) være
funksjonen x+1 når x er forskjellig fra 0, og så lar vi den være 0 når x=0.
Da kan vi bruke denne måten å tenke på, ved hjelp av grenseverdier. Hvis vi ser på grenseverdien
av f(x) når x går mot 0, så heter jo funksjonen x+1 om vi nærmer oss 0 nedenfra eller ovenfra.
Denne grenseverdien vil være grenseverdien av uttrykket x+1, når x går mot 0. Når x nærmer seg 0,
vil dette uttrykket da nærme seg 1.
Så ser vi på hva funksjonsverdien er i punktet 0. Det er punktet 0 vi er litt ekstra interessert i her. f(0) er definert
til å være 0, som ikke er lik 1. Det betyr at vi ikke har likhet her, og dermed har vi ikke
kontinuitet i punktet 0. Men i alle de andre punktene så har vi jo en lineær funksjon som vi har vist
er kontinuerlig i alle punkter, bortsett fra i dette tilfellet 0. Vi har at f er altså
ikke kontinuerlig for x=0, men i alle andre punkter.
Sånn kan vi trekke inn grenseverdibegrepet. Grenseverdibegrepet er også nært
knyttet opp mot konvergens av følger. Det er også et nyttig begrep å bruke. Vi kan bruke følger
i forbindelse med å sjekke om en funksjon er kontinuerlig eller ikke. Da har vi et resultat som sier
at f er kontinuerlig i r. Nå kan r bare være et hvilket som helst punkt. Hvis r ikke er
et indre punkt, så vil den tilsvarende skrivemåten gjelde, bare at vi må se på ensidige grenser.
Nå har vi at f er kontinuerlig i et punkt r, hvis og bare hvis grenseverdien av f(xn), nå kommer
da en følge inn som jeg skal si hva er for noe. Når f går mot uendelig, er lik f(r),
for alle følger xn som da konvergerer mot r. Hvis en funksjon skal være kontinuerlig
i et punkt r, det betyr at funksjonsverdiene til funksjonen skal nærme seg r.
Det kan vi sjekke ved å se på alle følger som konvergerer mot denne r-en. Da skal vi ha oppfylt
at hvis vi setter følgene inn i funksjonsuttrykket og ser på denne grenseverdien, så skal de
nærme seg f(r). Grenseverdien skal være lik f(r).
I dette eksempelet her, har vi funksjonen som er 0 i punktet 0.
Så er det den lineære funksjonen x+1 i alle andre punkter. Her er det et lite bruddpunkt.
Hvis vi ser på følgen 1/n, den konvergerer mot 0. Så det er en følge som konvergerer
mot dette punktet, hvor vi har diskontinuitet.
Hvis vi nå ser på f(1/n), så vil jo den da hete (1/n)+1 hvis vi setter inn
i funksjonsuttrykket. Disse følgene vil jo da naturlig nok gå mot 1. Dette her er bare
forskjellige måter å se på det samme type fenomenet på. Vi studerer denne funksjonen
og ser også på denne følgen, 1/n.
Her har vi tallene 1, 1/2, 1/3 osv innover.
Så ser vi på funksjonsverdiene i disse punktene. De vil jo da nærme seg 1. Men så vil følgen
nærme seg 0. Da får vi denne mismatchen, som vi jo naturlig nok har når vi har en diskontinuerlig funksjon.
Vi ser at det er grenseverdibegrepet som ligger i bunn. Konvergens av følger
handler om at en følge skal nærme seg et punkt. Kontinuitet i et punkt handler om at funksjonen skal nærme seg et punkt.
Bak disse begrepene så ligger dette ordet grenseverdi.
Ved hjelp av epsilon-delta definisjonen, så kan vi for eksempel vise at summen av to kontinuerlige
funksjoner er kontinuerlig, og også differansen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Produktet av dem
er kontinuerlig, og kvotienten av dem er kontinuerlig-- alt ved hjelp av epsilon-delta definisjonen.
Også såkalte komposisjoner, eller sammensatte funksjoner, er kontinuerlige
hvis f og g er kontinuerlige. Hvis vi da i tillegg vet (og det kan vi også vise) at potensfunksjoner, logaritmefunksjoner,
eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner. Alle disse som da kalles elementære, grunnleggende funksjoner,
de er også kontinuerlige. Sammen med dette, så kan vi bruke og vise at veldig mange funksjoner
er kontinuerlige. Det vil de ofte være.
For eksempel funksjonen x^2, det er en potensfunksjon. Hvis vi ganger den med en potensfunksjon
og trekker fra en konstant funksjon, så får vi et produkt som er kontinuerlig. Hvis vi setter sammen rotfunksjonen
som også vil være en kontinuerlig funksjon, så får vi at dette her er en kontinuerlig
funksjon i hele sitt definisjonsområde.
Da er spørsmålet, hva er definisjonsområdet til denne funksjonen?
Definisjonsområdet er da alle de x-ene som passer og som gir mening til dette uttrykket.
Da vet vi at for reelle funksjoner, så må vi da ha at dette som står under rottegnet, må være positivt.
Det betyr at hvis vi tegner opp en tallinje, så vil x=0 oppfylle den ulikheten.
Så har vi faktoren x^2-1. Når vi setter inn 0 her, får vi noe negativt. Så har vi
noe positivt når vi setter inn x som er mindre enn -1 og større enn 1. Da får vi med oss
dette området, og i tillegg får vi med oss 0.
Definisjonsområdet til denne funksjonen er intervallet fra minus uendelig til -1, og så har vi
med dette spesielle punktet 0, og så har vi intervallet fra 1 til uendelig. For disse intervallene
er det kanskje greit å se at vi har kontinuitet, men vi har faktisk kontinuitet i punktet 0 også.
Ved å bruke disse resultatene, som vi kan vise ved hjelp av epsilon-delta definisjonen, så har vi
at denne her i kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.
Hvis vi tegner grafen, så er funksjonen 0 i punktet 0. Så er nullpunktene -1 og 1. Så går den oppover
på denne måten på begge sider.
Dette er altså en kontinuerlig funksjon.
Veldig kort, hvorfor har vi kontinuitet i dette punktet? Det er et såkalt isolert punkt, og da må vi gå
tilbake til epsilon-delta definisjonen. Den sier at for hver epsilon så skal det finnes en delta,
sånn at når vi går nærme nok punktet i x-retningen, så kan vi få funksjonsverdiene
til å ligge så nære funksjonsverdiene vi vil. Nå er det bare dette punktet i umiddelbar nærhet
vi har med å gjøre. Da vil den betingelsen med epsilon og delta alltid være oppfylt for alle punkter, fordi det er
bare det ene punktet vi trenger å sjekke. Dermed vil denne funksjonen være kontinuerlig
i den definisjonen vi har satt opp med epsilon og delta. For hver epsilon så finnes det en delta,
slik at når avstanden
til x er mindre enn delta, så er avstanden i funksjonsverdiene til f(x) mindre enn epsilon.