Vi skal nå se på det viktige begrepet grenseverdi, som ligger bak for eksempel kontinuitet
av funksjoner og konvergens av følger. Der bruker vi grenseverdi. Vi skriver lim f(x) når x går mot r
er lik f(r), hvis funksjonen er kontinuerlig i punktet r for eksempel. Hva betyr denne lim?
Vi skal sette symboler på dette, hva vi mener med det matematisk. Utgangspunktet vårt er at vi da
har en regel eller en funksjon som er definert i nærheten av et eller annet punkt a. Vi ønsker
å sette ord på hva som skjer med f-en når vi nærmer oss a.
Da skriver vi opp definisjonen. Vi sier at f(x) nærmer seg en b som grenseverdi
når x går mot a hvis da følgende holder: nemlig det at for hver epsilon
så finnes det en delta>0, og begge disse størrelsene er bare tall,
gjerne veldig små tall. For hvert tall epsilon, så finnes det et tall delta, slik at vi da har oppfylt
at avstanden mellom f(x) og b er mindre enn epsilon,
når x er slik at avstanden fra x til a er mindre enn delta.
Da sier vi altså at f(x) nærmer seg b som grenseverdi når x går mot a,
hvis dette holder. Da vet vi at vi skriver lim f(x) når x går mot a, er lik b. Det betyr at
vi kan gjøre avstanden mellom dette uttrykket og denne grenseverdien så liten vi bare vil,
ved å velge avstanden mellom x og a liten nok. Epsilonene sier noe om denne avstanden.
For hver epsilon dere gir meg, så skal jeg kunne finne delta som da gir avstanden mellom x og a.
Bare den er liten nok, så får jeg oppfylt alle ønskene dere har for epsilon.
Vi skriver også noen ganger bare med piler, at f(x) går mot b, når x går mot a.
Tenk litt på denne definisjonen. Nå skal vi se på et par eksempler som skal hjelpe oss
å komme litt inn i bruken av epsilon og delta.
Epsilon-delta definisjonen for grenseverdier kan kanskje være litt uvant og rar til å begynne med.
Men vi skal nå se på et eksempel, hvor vi da gjør bruk av epsilon-delta og ser hvordan vi faktisk kan regne
med disse symbolene. Vi vil nå se på grenseverdien av dette uttrykket, x^3+x-2 / x^2+3
når x går mot 1. Hvis vi setter inn 1 for x, så får vi 1+1-2=0 i teller,
og 1+3=4 i nevner. Det ser faktisk ut som om dette her kan stemme, at grenseverdien
faktisk er 0. Nå skal vi da vise at det faktisk er riktig, ved å bruke epsilon-delta definisjonen.
Det vi må gjøre da, er å vise at for hver epsilon>0,
finnes det en delta>0,
slik at avstanden mellom dette uttrykket og grenseverdien skal være mindre enn epsilon for alle x,
slik at avstanden mellom x og 1 er mindre enn delta. Det betyr at vi har altså gitt epsiloner,
og så skal vi finne delta sånn at alt dette passer sammen.
Da starter vi med dette uttrykket her, for det er dette uttrykket vi ønsker å gjøre så lite som mulig.
Det heter nå x^3+x-2 / x^2+3.
Da har vi en kvotient. Når en kvotient skal være så liten som mulig, så ønsker vi at telleren
skal være så liten som mulig, og at nevneren da er så stor som mulig. Vi må gjøre noe i forhold
til dette uttrykket. Da kan det være fint om vi kunne delt opp i faktorer, hvis det er mulig. Da kan vi
se på nevneren først, x^2+3. Det polynomet har komplekse røtter, og det betyr at dette her
er ferdig faktorisert over de reelle tallene.
Så hva med x^3+x-2?
Nå husker vi kanskje tilbake da vi satte inn 1, så fikk vi faktisk 0 i teller. Grenseverdien blir også 0.
Dette polynomet er delelig med x-1. Vi polynomdividerer.
Deler det på x-1. Da får vi x^2 først, og så ganger vi tilbake. Når vi trekker
polynomene fra hverandre, står vi igjen med x^2+x-2. Deler vi x^2 på x får vi x.
Ganger vi x med x-1 får vi x^2-x. Så står vi igjen med 2x-2. Da går det opp
to ganger. Når vi ganger tilbake, så får vi rest 0.
Da har vi faktorisert ut faktoren x-1, og så står vi igjen med et andregradsuttrykk. Da kan vi
kort sjekke om dette også kan faktoriseres videre. Hvis vi bruker abc-formelen,
får vi dette. Da ser vi at diskriminanten,
det tallet som står under rottegnet er negativt. Dette er ferdig faktorisert over
de reelle tallene, for de har nå komplekse røtter. Da kan vi skrive opp faktorene og bruke
regneregler for absoluttverdi. Da får vi at dette uttrykket nå er (x-1)-faktoren, ganger x^2+x+2
delt på x^2+3.
Da må vi ta for oss hver av disse faktorene.
Så er spørsmålet, hva må denne deltaen være? Delta skal jo være den faktoren som x-1 er mindre enn,
for at hele dette uttrykket skal bli mindre enn epsilon.
Det betyr at nå kan vi velge denne mindre enn delta som vi kan finne etter hvert. Spørsmålet er,
hva kan vi gjøre med disse faktorene?
Nå er vi interessert i x-verdier veldig nære 1. Det er der vi befinner oss. Det kan være
greit å minne seg selv på det ved å ha en liten tallinje. I nærheten av her er vi interessert i å se
hva som skjer. Det er når x går mot 1 at vi skal kunne vise at dette uttrykket går mot 0.
Så da er det vanlig å bare begrense seg til et intervall rundt dette punktet vi er interessert i.
I dette tilfellet så kan vi for eksempel velge delta mindre enn 1,
x-1 er mindre enn 1. Det betyr at vi glemmer alt som ligger utenfor 0 og 2, og så ser vi kun på hva
som skjer innenfor her. x ligger mellom 0 og 2. Da har vi kommet oss så langt inn.
Så handler det om å se, hva kan vi si om disse uttrykkene når vi befinner oss på x-verdier som ligger
mellom 0 og 2?
Vi skal jobbe litt videre med dette uttrykket som vi skal kunne gjøre mindre enn enhver epsilon.
Da har vi begrenset oss til å se på x-verdier som ligger mellom 0 og 2. Hvis vi ser på
nevneren først, så ser vi at dette x^2+3 alltid er et positivt uttrykk, og nevneren ønsker
vi å gjøre så stor som mulig. x^2+3 på dette intervallet vil alltid være større enn 3.
Hvis x>0, så vil dette være større enn 3. x^2+3 er alltid større enn 3 når x ligger
på dette intervallet 0 til 2.
Så var det da andre uttrykket som står i telleren og som vi ønsker å gjøre så lite som mulig.
x^2+x+2. Hvis vi deriverer dette uttrykket, får vi 2x+1. Det sier oss at dette uttrykket
vokser på intervallet 0 til 2, så det vil oppnå sin største verdi når x=2. Dette vil være mindre enn
2*2 = 4+2+2 = 8. Det uttrykket vil alltid være mindre enn 8 når vi er på intervallet fra 0 til 2.
Da kan vi sette inn. Nå skal vi finne deltaen, det er denne verdien som x-1 må være mindre enn.
Her har vi noe som alltid er mindre enn 8, og dette er større enn 3.
For at alt dette nå til sammen skal være mindre enn epsilon,
hva må dette være mindre enn? Da ser vi nå at siden vi har en faktor 3 og en faktor 8,
hvis vi ganger opp med 3 og deler på 8, så ser vi at hvis vi velger delta lik 3*epsilon/8,
så vil dette passe veldig fint inn.
I tillegg så må vi huske at vi valgte at delta er mindre enn 1 for å få oppfylt disse betingelsene.
For hver epsilon>0, så finnes det en delta-- og nå må vi skrive opp
hva delta er. Da får vi at delta må være den minste verdien av 1 og 3*epsilon/8.
Dette er bare for å forsikre oss om, som sagt, at vi er innenfor dette intervallet 0 til 2, at delta er mindre enn 1.
Slik at vi nå får x^3+x-2 / x^+3 - 0.
Vi kan sette opp det vi har regnet ut. Dette skal være delta, så hvis vi setter inn 3*epsilon/8.
Dette er mindre enn 8, og nevneren er større enn 3. Det betyr at
1/x^2+3 er mindre enn 1/3, 3-tallet kommer ned. Hvis vi da forkorter, får vi epsilon.
Derfor velger vi delta lik 3*epsilon/8.
Dette gjelder for alle x slik at avstanden mellom x og 1 er mindre enn denne delta.
Det er nettopp det vi har brukt når vi satte inn denne i regningen. Da har vi vist ved å bruke
epsilon-delta definisjonen, at denne grenseverdien er faktisk 0.
Vi er i ferd med å bli bedre kjent med epsilon og delta. Nå skal vi se på nok et eksempel.
Vi er interessert i grenseverdien av uttrykket 1/x når x nærmer seg a, hvor a er positiv.
Hvis vi setter inn a for x, så får vi 1/a. Dette her er en veldig god kandidat for grenseverdien.
Nå skal vi sjekke at dette faktisk er grenseverdien for dette uttrykket når x går mot a ved hjelp
av epsilon-delta definisjonen.
Så la x være positiv. Det vi ønsker oss ifølge definisjonen, er at avstanden mellom uttrykket
1/x og grenseverdien skal være mindre enn epsilon når avstanden mellom x og a ligger mellom 0
og delta.
Det betyr at vi ønsker at dette uttrykket skal være så lite som mulig. For hver epsilon så finnes det
en delta, slik at dette er oppfylt når dette er oppfylt.
Da må vi se på dette uttrykket, vi regner litt på det. Da setter vi på felles brøkstrek.
Får a-x / ax. Da kan vi sette telleren i en egen absoluttverdi, og avstanden mellom a og x
er det samme som avstanden mellom x og a, så det kan vi bytte rekkefølge på. Så kan vi ta vekk
absoluttverditegnet i nevneren, fordi både a og x er valgt til å være positive størrelser.
Dette uttrykket skal vi nå gjøre mindre enn enhver epsilon når x-a er mindre enn delta.
Det betyr at denne faktoren kan vi få kontroll på. Men faktor 1/ax, den må vi si noe mer om.
Hvor stor kan den være når x nærmer seg a? Vi er altså interessert i å se hva som skjer
i nærheten av a, og da tar vi litt kontroll. Så sier vi at her ønsker vi å være. Vi ønsker bare å se
på x-verdier som ligger ganske nære a. La delta for eksempel være mindre enn 1/2a.
Det betyr altså at avstanden mellom x og a skal være mindre enn 1/2a. Hvis vi plusser på 1/2a
på denne siden, så havner vi på 3/2a. Trekker vi fra 1/2a så havner vi på 1/2a.
Det betyr at x ligger mellom 3/2a og 1/2a.
Hva skjer da med uttrykket 1/ax når vi har oppfylt dette?
Hvis vi ganger med a, som er et positivt tall, så beholder vi ulikhetene.
Så tar vi 1 delt på dette her. Da må vi ta 1 delt på på begge sider og så må vi snu ulikhetene.
Vi får at størrelsen 1/ax > 1 / (3/2a^2). Da får vi 2/3a^2.
Så er den mindre enn 1 / (1/2a^2), som blir 2/a^2. Når delta er mindre enn 1/2a,
så har vi oppfylt disse ulikhetene. Det betyr spesielt at 1/ax er mindre enn 2/a^2,
det er det vi er interessert i å finne.
Denne størrelsen her kan vi gjøre mindre enn 2/a^2. Vi ønsker jo at dette her
skal være mindre enn epsilon.
Hvis vi setter inn delta for x-a, så får vi delta og så får vi mindre enn 2/a^2.
Dette skal være lik epsilon. Nå forsvant ulikheten. Vi vet at x-a
skal være mindre enn delta, og så vet vi at 1/ax er mindre enn 2/a^2 når delta er mindre enn 1/2a.
Dette skal være lik epsilon. Da kan vi finne hva delta skal være. Da ganger vi opp med a^2,
og så deler vi på 2.
Det betyr at så lenge delta er mindre enn 1/2a, så får vi oppfylt dette.
Da får vi inn den faktoren her, og så kan vi velge oss delta lik epsilon*a^2 / 2.
Det betyr at vi bare må forsikre oss at begge disse er oppfylt, så da lar vi delta
være den minste verdien av 1/2a og epsilon*a^2 / 2. Denne deltaen vil parere enhver epsilon som kommer.
For hver epsilon, så kan vi sette inn epsilon her og velge oss en a og regne ut disse to tallene.
Så lar vi delta være den minste av disse to. Den deltaen vil oppfylle dette her for hver epsilon.
Dermed har vi vist at grenseverdien av 1/x når x går mot a, er lik 1/a ved hjelp av
epsilon og delta.